中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第四章三角形第19讲相似三角形实用课件
广泛应用．
7
• 3．相似三角形的判定
(1)两角对应相等，两个三角形相似； 一般 三角形 (2)两边对应成比例，且⑧___夹___角____相等，两个三角形相似；
(3)三边对应⑨__成__比__例____，两个三角形相似 直角 (1)一组⑩___锐__角_____对应相等，两直角三角形相似； 三角形 (2)两组直角边对应成比例，两直角三角形相似
19
易错点 相似三角形对应关系混乱
• 例2 在△ABC中，AB＝9 cm，AC＝6 cm，D是AC上的一点，且AD＝2 cm， 过点D作直线DE交AB于点E，使所得的三角形与原三角形相似，求AE的
长．
解：如图，当△AED∽△ABC 时，有AADE＝AACB. ∵AB＝9 cm，AC＝6 cm，AD＝2 cm， ∴AE＝3 cm.
条件∠1＝∠B
条件∠1＝∠B
16
• X型图
• 母子型图
条件 AB∥DE
条件∠A＝∠D
条件 AD 是 Rt△ABC 斜边上的高
17
• 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且 ∠APD＝∠B．
• (1)求证：△ABP∽△PCD； • (2)若AB＝10，BC＝16，BP＝12，求CD的长．
__________.
【解答】 ∵AADB＝1＋1 3＝14，AACE＝16.5＝14， ∴AADB＝AAEC.∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC， ∴DBCE＝AADB，即B2C＝14，∴BC＝8.
15
备考策略
• (1)常见的相似三角形的基本类型有以下几类： • A型图
条件 BC∥DE
2
2．平行线分线段成比例 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 如图所示，如果 l3∥l4∥l5，直线 l1，l2 被 l3，l4，l5 所截，那么BACB＝DEFE，AACB＝DDEF， BACC＝DEFF，……
3
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线 段③__成__比__例____.
13
• (2)如图，若DE是△ABC的中位线，则AD∶AB＝__1_∶_2______.
【解答】 ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE∥BC，且 DE＝12BC，∴△ADE∽△ABC，∴AADB＝DBCE＝12.
14
• (3)如图，若AD＝1，BD＝3，AE＝1.5，AC＝6，DE＝2，则BC＝ 8
2 1
②当△ADP∽△QCP 时，AQDC＝DCPP，∴Q1C＝21，∴QC＝1，∴BQ＝0. 2
∴当△ADP 与△PCQ 相似时，BQ＝0 或34.
24
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
(3)性质3：相似三角形周长的比等于⑥__相__似__比____；相似三角形面积的比等于 ⑦_相___似__比__的__平__方____.
6
• 【注意】 条件中若有直角三角形及斜边上的高，则可以得到一组相似
三角形．如图，△ABC∽△CBD∽△ACD．从基本图形可以得到多组成比 例线段，如AC2＝AD·AB，CB2＝BD·AB，CD2＝AD·DB，CD·AB＝AC·BC，被
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课 后复习30分钟。
11
知识点三 相似多边形及其性质
• 1．定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角①相等__________， 对 ③成比应__例边__②___________的__比__叫_，做那相么似这比两．个多边形叫做相似多边形对，应相边似多边形
• 2．性质
• (1)相似多边形的对应角④__________，对应边⑤__________.
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第19讲 相似三角形
知识要点 ·归纳
知识点一 比例与比例线段 1．比例的基本性质 (1)如果ab＝dc，那么①____a_d_____＝bc(b，d≠0)． (2)如果ab＝dc，那么a±bb＝c±dd(b，d≠0)． (3)如果ab＝dc＝…＝mn (b＋d＋…＋n≠0)，那么ab＋＋cd＋＋……＋＋mn＝②_____ab_____.
8
• 4．相似三角形的判定思路
已知条件 可供选择的判定方法
常见的基本类型
有平行截线 用平行线的性质找等角 (1)“平行线型”
另一对等角或角两边对 有一对等角
应成比例
△ABC∽△ADE
(2)“斜交型”(需满足∠1＝∠2，其中图 1
为“蝶型”)
有两边对应 夹角相等或第三边也对
成比例
应成比例或有一对直角
周长∶△ABC的周长1为∶_3_________；S△ADE∶S△1A∶BC＝9 __________.
【解答】 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE∶BC ＝AD∶AB＝1∶(1＋2)＝1∶3，△ADE 的周长∶△ABC 的周 长＝DE∶BC＝1∶3，SS△△AADBCE＝(D选最新中小学教学课件
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2019/5/27
精选最新中小学教学课件
如图，DE∥BC，则ADDB＝AEEC，AADB＝AAEC.
4
*3.黄金分割 如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果AACB＝BACC，那么就说线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫黄金比， 即AABC＝ 52－1≈0.618.
18
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C．
∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，
∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD．
(2)解：∵△ABP∽△PCD，∴CBDP＝ACBP. ∵BC＝16，BP＝12，∴CP＝16－12＝4. ∵AB＝10，BP＝12，PC＝4，∴C1D2 ＝140，∴CD＝4.8.
• (2)相似多边形对应边的比、相周等长的比等于⑥__成_比__例_____，面积比等于
⑦________________.
相似比
相似比的平方
12
重难点 ·突破
重难点 相似三角形的判定及相关计算 重点
• 例1 (2019·原创)已知：在△ABC中，D，E分别在边AB和AC上． • (1)如图，若DE∥BC，AD＝1，BD＝2，则DE∶BC＝___1_∶_3_____，△ADE的
答图
22
• 2．如图所示，正方形ABCD边长为1，P是CD边中点，点Q是线段BC上的动 点，当△ADP与△PCQ相似时，求BQ的长．
23
解：∠D＝∠C＝90°，AD＝1，DP＝CP＝12. 分两种情况：①当△ADP∽△PCQ 时，APCD＝QDCP，
1 ∴11＝Q2C，∴QC＝14，BQ＝1－QC＝1－14＝34；
20
错解分析
• △ADE与△ABC相似有两种情况，即△ADE∽△ABC或△AED∽△ABC，错解
只考虑了一种情况．
21
【正解】①如答图 1，当△ADE∽△ABC 时，有AADE＝AACB. ∵AB＝9 cm，AC＝6 cm，AD＝2 cm，∴AE＝43 cm. ②如答图 2，当△AED∽△ABC 时，有AADE＝AACB. ∵AB＝9 cm，AC＝6 cm，AD＝2 cm，∴AE＝3 cm. 综上，AE 为43 cm 或 3 cm.
角形 底和腰对应成比例
图2 △ABC∽△BDE
图3 △ACB∽△ADC
10
5.相似三角形的应用 相似三角形的实际应用有如下两种：(1)测量距离．利用相似三角形的性质测量 不能直接测量的河的宽度；(2)测量高度. 测量不能达到顶部的物体的高度，同一时
身高 建筑物的高度 刻，物高与影长成比例，即影长＝建筑物的影长.
图1 若∠1＝∠2，则△ADE∽△ABC
9
已知条件 可供选择的判定方法
常见的基本类型
直角三 一对锐角相等或斜边、直角 (3)“垂直型”(有时需利用“同角的余角
角形
边或两组直角边对应成比例
相等”找等角，其中图 2、图 3 需满足∠1 ＝∠2)
等腰三 顶角相等或一对底角相等或 △ADE∽△ABC △ABC∽△DCE
5
知识点二 相似三角形
• 1．概念 • 对应角①____相__等____，对应边②_成__比__例_____的两个三角形叫做相似三角
形．相似三角形对应边的比叫做相似比． • 2．相似三角形的性质 • (1)性质1：相似三角形的对应角③相__等________，对应边成比④例__________.
(2)性质2：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 ⑤__相__似__比____；
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
7
• 3．相似三角形的判定
(1)两角对应相等，两个三角形相似； 一般 三角形 (2)两边对应成比例，且⑧___夹___角____相等，两个三角形相似；
(3)三边对应⑨__成__比__例____，两个三角形相似 直角 (1)一组⑩___锐__角_____对应相等，两直角三角形相似； 三角形 (2)两组直角边对应成比例，两直角三角形相似
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易错点 相似三角形对应关系混乱
• 例2 在△ABC中，AB＝9 cm，AC＝6 cm，D是AC上的一点，且AD＝2 cm， 过点D作直线DE交AB于点E，使所得的三角形与原三角形相似，求AE的
长．
解：如图，当△AED∽△ABC 时，有AADE＝AACB. ∵AB＝9 cm，AC＝6 cm，AD＝2 cm， ∴AE＝3 cm.
条件∠1＝∠B
条件∠1＝∠B
16
• X型图
• 母子型图
条件 AB∥DE
条件∠A＝∠D
条件 AD 是 Rt△ABC 斜边上的高
17
• 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且 ∠APD＝∠B．
• (1)求证：△ABP∽△PCD； • (2)若AB＝10，BC＝16，BP＝12，求CD的长．
__________.
【解答】 ∵AADB＝1＋1 3＝14，AACE＝16.5＝14， ∴AADB＝AAEC.∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC， ∴DBCE＝AADB，即B2C＝14，∴BC＝8.
15
备考策略
• (1)常见的相似三角形的基本类型有以下几类： • A型图
条件 BC∥DE
2
2．平行线分线段成比例 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 如图所示，如果 l3∥l4∥l5，直线 l1，l2 被 l3，l4，l5 所截，那么BACB＝DEFE，AACB＝DDEF， BACC＝DEFF，……
3
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线 段③__成__比__例____.
13
• (2)如图，若DE是△ABC的中位线，则AD∶AB＝__1_∶_2______.
【解答】 ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE∥BC，且 DE＝12BC，∴△ADE∽△ABC，∴AADB＝DBCE＝12.
14
• (3)如图，若AD＝1，BD＝3，AE＝1.5，AC＝6，DE＝2，则BC＝ 8
2 1
②当△ADP∽△QCP 时，AQDC＝DCPP，∴Q1C＝21，∴QC＝1，∴BQ＝0. 2
∴当△ADP 与△PCQ 相似时，BQ＝0 或34.
24
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
(3)性质3：相似三角形周长的比等于⑥__相__似__比____；相似三角形面积的比等于 ⑦_相___似__比__的__平__方____.
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• 【注意】 条件中若有直角三角形及斜边上的高，则可以得到一组相似
三角形．如图，△ABC∽△CBD∽△ACD．从基本图形可以得到多组成比 例线段，如AC2＝AD·AB，CB2＝BD·AB，CD2＝AD·DB，CD·AB＝AC·BC，被
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课 后复习30分钟。
11
知识点三 相似多边形及其性质
• 1．定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角①相等__________， 对 ③成比应__例边__②___________的__比__叫_，做那相么似这比两．个多边形叫做相似多边形对，应相边似多边形
• 2．性质
• (1)相似多边形的对应角④__________，对应边⑤__________.
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第19讲 相似三角形
知识要点 ·归纳
知识点一 比例与比例线段 1．比例的基本性质 (1)如果ab＝dc，那么①____a_d_____＝bc(b，d≠0)． (2)如果ab＝dc，那么a±bb＝c±dd(b，d≠0)． (3)如果ab＝dc＝…＝mn (b＋d＋…＋n≠0)，那么ab＋＋cd＋＋……＋＋mn＝②_____ab_____.
8
• 4．相似三角形的判定思路
已知条件 可供选择的判定方法
常见的基本类型
有平行截线 用平行线的性质找等角 (1)“平行线型”
另一对等角或角两边对 有一对等角
应成比例
△ABC∽△ADE
(2)“斜交型”(需满足∠1＝∠2，其中图 1
为“蝶型”)
有两边对应 夹角相等或第三边也对
成比例
应成比例或有一对直角
周长∶△ABC的周长1为∶_3_________；S△ADE∶S△1A∶BC＝9 __________.
【解答】 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE∶BC ＝AD∶AB＝1∶(1＋2)＝1∶3，△ADE 的周长∶△ABC 的周 长＝DE∶BC＝1∶3，SS△△AADBCE＝(D选最新中小学教学课件
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如图，DE∥BC，则ADDB＝AEEC，AADB＝AAEC.
4
*3.黄金分割 如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果AACB＝BACC，那么就说线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫黄金比， 即AABC＝ 52－1≈0.618.
18
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C．
∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，
∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD．
(2)解：∵△ABP∽△PCD，∴CBDP＝ACBP. ∵BC＝16，BP＝12，∴CP＝16－12＝4. ∵AB＝10，BP＝12，PC＝4，∴C1D2 ＝140，∴CD＝4.8.
• (2)相似多边形对应边的比、相周等长的比等于⑥__成_比__例_____，面积比等于
⑦________________.
相似比
相似比的平方
12
重难点 ·突破
重难点 相似三角形的判定及相关计算 重点
• 例1 (2019·原创)已知：在△ABC中，D，E分别在边AB和AC上． • (1)如图，若DE∥BC，AD＝1，BD＝2，则DE∶BC＝___1_∶_3_____，△ADE的
答图
22
• 2．如图所示，正方形ABCD边长为1，P是CD边中点，点Q是线段BC上的动 点，当△ADP与△PCQ相似时，求BQ的长．
23
解：∠D＝∠C＝90°，AD＝1，DP＝CP＝12. 分两种情况：①当△ADP∽△PCQ 时，APCD＝QDCP，
1 ∴11＝Q2C，∴QC＝14，BQ＝1－QC＝1－14＝34；
20
错解分析
• △ADE与△ABC相似有两种情况，即△ADE∽△ABC或△AED∽△ABC，错解
只考虑了一种情况．
21
【正解】①如答图 1，当△ADE∽△ABC 时，有AADE＝AACB. ∵AB＝9 cm，AC＝6 cm，AD＝2 cm，∴AE＝43 cm. ②如答图 2，当△AED∽△ABC 时，有AADE＝AACB. ∵AB＝9 cm，AC＝6 cm，AD＝2 cm，∴AE＝3 cm. 综上，AE 为43 cm 或 3 cm.
角形 底和腰对应成比例
图2 △ABC∽△BDE
图3 △ACB∽△ADC
10
5.相似三角形的应用 相似三角形的实际应用有如下两种：(1)测量距离．利用相似三角形的性质测量 不能直接测量的河的宽度；(2)测量高度. 测量不能达到顶部的物体的高度，同一时
身高 建筑物的高度 刻，物高与影长成比例，即影长＝建筑物的影长.
图1 若∠1＝∠2，则△ADE∽△ABC
9
已知条件 可供选择的判定方法
常见的基本类型
直角三 一对锐角相等或斜边、直角 (3)“垂直型”(有时需利用“同角的余角
角形
边或两组直角边对应成比例
相等”找等角，其中图 2、图 3 需满足∠1 ＝∠2)
等腰三 顶角相等或一对底角相等或 △ADE∽△ABC △ABC∽△DCE
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知识点二 相似三角形
• 1．概念 • 对应角①____相__等____，对应边②_成__比__例_____的两个三角形叫做相似三角
形．相似三角形对应边的比叫做相似比． • 2．相似三角形的性质 • (1)性质1：相似三角形的对应角③相__等________，对应边成比④例__________.
(2)性质2：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 ⑤__相__似__比____；
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
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2024相似三角形课件初中数学PPT课件
相似三角形课件初中数学PPT课件目录CONTENCT •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何变换中应用•代数法证明三角形相似•几何法证明三角形相似•相似三角形在解题中应用•总结回顾与拓展延伸01相似三角形基本概念与性质相似三角形定义及表示方法定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
表示方法通常用符号“∽”来表示两个三角形相似，记作△ABC∽△DEF，其中顶点A与D，B与E，C与F分别对应。
相似三角形对应角、对应边关系对应角关系相似三角形的对应角相等，即如果△ABC∽△DEF，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
对应边关系相似三角形的对应边成比例，即如果△ABC∽△DEF，且他们的对应边长之比为k，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。
01020304预备定理判定定理1判定定理2判定定理3相似三角形判定定理如果两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
相似比概念及应用相似比定义01相似三角形对应边的比值叫做相似比。
相似比性质02相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
应用03在几何证明、测量、建筑设计等领域中，相似三角形及相似比的概念有着广泛的应用。
例如，利用相似三角形原理可以测量高度、宽度等难以直接测量的距离。
02相似三角形在几何变换中应用放大、缩小与位似变换放大与缩小相似三角形在放大或缩小时，其对应角不变，对应边成比例变化。
位似变换位似变换是一种特殊的相似变换，其中两个相似图形不仅对应边成比例，而且对应点连线相交于一点。
应用实例在建筑设计中，利用相似三角形的放大或缩小原理，可以制作出不同比例的建筑模型。
80%80%100%平移、旋转与对称变换中保持相似性平移变换不改变图形的形状和大小，因此平移前后的两个相似三角形仍然保持相似性。
中考数学复习《相似三角形》PPT课件
相似三角形性质与 判定
分值 5分 9分 9分 10分 11分
活动1
已知：如图所示：△ABC∽△DEF，AB=8，AC=10，DE=4，
∠F=45°，∠B=75 °则∠E= 75,°DF= 5.
相似三角形的性质1：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
活动2
已知：△ABC∽△DEF，它们的相似比为2:3，则△ABC与△DEF
√ √
√
中考解读
年份
考试内容
2012年 22题（3）
2013年 2014年 2015年
13题 23题（2）
17题作图题第（2） 19题（1）
23题（2）（3）
2016年 2017年
8题 14题填空题一个。 23题第（3）小题
知识点
相似三角形性质
相似三角形性质与 判定
相似三角形性质与 判定
相似三角形性质与 判定
典型例题：
例题1.（2016年安徽，8,4分）如图，△ABC中，AD是
B 中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（ ）
典型例题：
例2.如图在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD， BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则正方形的边 长为 。
变式：在等边△ABC中，D为BC边上的一点，E为AC边上一点，
对应高的比为 2:3 ，周长的比 2:3 ，面积的比为 4:9 。
相似三角形的性质2：相似三角形对应高、对应中线、对应角 平分线的比、周长的比等于相似比； 相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
活动3
已知：在 ABCD中，点M为CD上一点，连接AM并 延长与BC的延长线相交于点F，则图形中相似三角
中考复习 相似三角形
分值 5分 9分 9分 10分 11分
活动1
已知：如图所示：△ABC∽△DEF，AB=8，AC=10，DE=4，
∠F=45°，∠B=75 °则∠E= 75,°DF= 5.
相似三角形的性质1：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
活动2
已知：△ABC∽△DEF，它们的相似比为2:3，则△ABC与△DEF
√ √
√
中考解读
年份
考试内容
2012年 22题（3）
2013年 2014年 2015年
13题 23题（2）
17题作图题第（2） 19题（1）
23题（2）（3）
2016年 2017年
8题 14题填空题一个。 23题第（3）小题
知识点
相似三角形性质
相似三角形性质与 判定
相似三角形性质与 判定
相似三角形性质与 判定
典型例题：
例题1.（2016年安徽，8,4分）如图，△ABC中，AD是
B 中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（ ）
典型例题：
例2.如图在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD， BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则正方形的边 长为 。
变式：在等边△ABC中，D为BC边上的一点，E为AC边上一点，
对应高的比为 2:3 ，周长的比 2:3 ，面积的比为 4:9 。
相似三角形的性质2：相似三角形对应高、对应中线、对应角 平分线的比、周长的比等于相似比； 相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
活动3
已知：在 ABCD中，点M为CD上一点，连接AM并 延长与BC的延长线相交于点F，则图形中相似三角
中考复习 相似三角形
《相似三角形》课件
设计者使用相似三角形来创建比例恰到
好处的建筑物。
3
地理
使用相似三角形的原理来测量无法直接 测量的高度和距离。
工程
工程师可以借助相似三角形来进行缩放 和尺寸调整。
通过相似三角形求高度和距离
通过测量底边和顶角，可以利用相似三角形的原理来计算无法直接测量的高 度和距离。
相似三角形的重心、垂心和外心
相似三角形的重心、垂心和外心是三角形内特殊的点，它们的位置和性质可以用相似三角形的原理推导出来。
相似三角形PPT课件
相似三角形课件将深入探讨相似三角形的定义、性质、判断、比例、面积、 应用、解法以及与等腰三角形和全等三角形的关系。
什么是相似三角形?
相似三角形是具有相同形状但大小不同的三角形。它们的对应角度相等，而 各对应边的比例始终保持一致。
相似三角形的定义和性质
定义
三角形之间对应的角相等， 对应的边成比例。
性质
相似三角形的对应边长之比 始终相等，全等三角形也是 一种相似三角形。
例子
两个等腰三角形的顶角相等， 底边的比例相等。
如何判断两个三角形是否相似？
1 AA判定法
两个三角形的两个对应角 度相等，则它们相似。
2 SAS判定法
两个三角形的两个对应边 成比例，并且夹角相等， 则它们相似。
3 SAA判定法
两个三角形的一个角相等， 并且两个对应边成比例， 则它们相似。
相似三角形的比例和比较
பைடு நூலகம்
比例
相似三角形的对应边长之比是固定的，可以用比例 表示。
测量
可以使用测量工具来确定三角形各边的长度，从而 比较它们的大小。
相似三角形的面积比例
相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。
《相似三角形》ppt课件-2024鲜版
2024/3/27
7
02
相似三角形判定定理及其应用
2024/3/27
8
平行线截割定理
01
02
03
定理内容
两条平行线被一组横截线 所截，则对应线段成比例 。
2024/3/27
定理证明
通过相似三角形的性质进 行证明。
应用场景
在几何证明题中，常用于 证明线段之间的比例关系 。
9
三角形中位线定理
定理内容
2024/3/27
21
其他实际问题应用举例
2024/3/27
摄影中的透视问题
在摄影中，由于透视效应的存在，照片中的物体可能会产生变形。利用相似三角形原理可 以对照片进行透视校正，恢复物体的真实形状。
地理信息系统（GIS）中的应用
在GIS中，经常需要处理地理空间数据。利用相似三角形原理可以对地图进行缩放、旋转 和平移等操作，实现地理空间数据的可视化和分析。
似。
2024/3/27
4
相似之比称为相似比。
性质
01
相似三角形的对应角相等。
02
03
相似三角形的对应边成比例 。
04
2024/3/27
05
相似三角形的面积比等于相 似比的平方。
5
相似三角形对应角相等
2024/3/27
对应角
在两个相似三角形中，相互对应 的角称为对应角。
解析
由于△ABC与△DEF全等，所以△DEF的周长 等于△ABC的周长，即5cm + 7cm + 6cm = 18cm。
2. 例2
解析
已知△ABC与△PQR相似，且AB:PQ=2:3。 若△ABC的面积为12cm²，求△PQR的面积 。
中考一轮复习《第19讲直角三角形》课件
3
ABCD的面积为
.
【解析】连接BE.设AB=3x，则BC=5x，
所以BE= BC=5x，由勾股定理得，AE=4x.
所以ED=x，又AE·ED=4 ，
3
即4x·x= 4 ，x2= 4，
3
3
所以矩形ABCD的面积为3x·5x=15x2=5.
答案：5
【变式训练】
(2014·南充中考)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将
【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三 角形的三个步骤 1.确定三角形的最长边. 2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和. 3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等， 则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.
【真题专练】
1.(2014·滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的
此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同
时 经 过 边 AB ， AD( 包 括 端 点 ) ， 设 BA′=x ， 则 x 的 取 值 范 围
是
.
【解析】当折痕经过点B时，x取得最大值，此时BA′=BA=8； 当折痕经过点D时，x取得最小值，此时在Rt△DC A′中，由勾 股定理可得BA′=15，∴BA′=2. 答案：2≤x≤8
命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题
【 例 】(2013· 山 西 中 考 ) 如 图 ， 在 矩 形 纸 片 ABCD 中 ， AB=12 ，
BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上
的点A′处，则AE的长为
.
【审题视点】
【真题专练】
1.(2013·资阳中考)如图，点E在正方形
ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
ABCD的面积为
.
【解析】连接BE.设AB=3x，则BC=5x，
所以BE= BC=5x，由勾股定理得，AE=4x.
所以ED=x，又AE·ED=4 ，
3
即4x·x= 4 ，x2= 4，
3
3
所以矩形ABCD的面积为3x·5x=15x2=5.
答案：5
【变式训练】
(2014·南充中考)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将
【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三 角形的三个步骤 1.确定三角形的最长边. 2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和. 3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等， 则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.
【真题专练】
1.(2014·滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的
此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同
时 经 过 边 AB ， AD( 包 括 端 点 ) ， 设 BA′=x ， 则 x 的 取 值 范 围
是
.
【解析】当折痕经过点B时，x取得最大值，此时BA′=BA=8； 当折痕经过点D时，x取得最小值，此时在Rt△DC A′中，由勾 股定理可得BA′=15，∴BA′=2. 答案：2≤x≤8
命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题
【 例 】(2013· 山 西 中 考 ) 如 图 ， 在 矩 形 纸 片 ABCD 中 ， AB=12 ，
BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上
的点A′处，则AE的长为
.
【审题视点】
【真题专练】
1.(2013·资阳中考)如图，点E在正方形
ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
《相似三角形》完整版教学课件
易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易 忽略对应角和对应边的关系，导致判 断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单 位统一和比例关系的正确应用，避免 计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质， 可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上 距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离， 可以计算出实际的距离；反之，已知 实际距离和比例尺，也可以计算出地 图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比 例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比 。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知 的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正 比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例
中考数学大一轮数学复习专题ppt课件：相似三角形
②周长之比等于____________，面积之比等于________． (3)相似多边形对应边的比称为相似比．
1
3. 相似三角形的定义及性质
(1)定义：如果两个三角形的各角对应________，各边对应________，那么这两个三角形相似．
(2)相似三角形的性质：
①相似三角形的对应角____________，对应边________． ②相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于________．
2 3
1
2
3
14
中考大一轮复习讲义◆ 数学
热点看台 快速提升
热点四 位似图形 热点搜索 1. 画位似图形的一般步骤：(1)确定位似中心．(2)分别连接并 延长位似中心和能代表原图的关键点．(3)根据相似比，确定能代表所作的位 似图形的关键点．(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 2. 识别位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相 交于一点，相交于一点的，就是位似图形，交点就是位似中心．
动，到点 B 停止，过点 P 作 PD⊥AB，垂足为 D，PD 的长 y(cm)与点 P 的运动时间 x(秒)的函数图像如图 2 所示．当点 P 运
动 5 秒时，PD 的长是( B )
A. 1.5 cm B. 1.2 cm C. 1.8 cm D. 2 cm
2. (2013·重庆 B 卷)已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为 3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( D )
2
∴BC＝ 10.
3
13
中考大一轮复习讲义◆ 数学
热点看台 快速提升
点对点训练 5. (2012·上海)在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，∠AED＝∠B，如果 AE＝2，△ADE 的面
中考数学总复习课件：相似三角形(共27张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
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13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月7日星期二2021/9/72021/9/72021/9/7 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/72021/9/7September 7, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/7
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13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月7日星期二2021/9/72021/9/72021/9/7 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/72021/9/7September 7, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/7
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中考数学基础复习第19课相似三角形及其性质课件
【考点剖析】 【考点1】比例线段 例1.如图,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=5,DF=12,求DE和EF的长.
【解析】∵l1∥l2∥l3, ∴ AB DE (平行线分线段成比例),
AC DF
∵AB=3,BC=5,∴AC=AB+BC=8,
∵DF=12,∴ 3 DE .∴DE=4.5,
8 12
第19课 类似三角形及其性质
【知识清单】 一、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段____成__比__例___. 二、类似三角形的性质 性质1:类似三角形的对应角____相__等___,对应边的比____相__等___. 性质2:类似三角形周长的比等于____类__似__比___. 性质3:类似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于 ____类__似__比___. 性质4:类似三角形的面积的比等于类似比的____平__方___.
b b＋2x
b（b＋2x）
b（b＋2x）
∵a>b>0,x>0,∴m-n= 2x（a－b）>0,
b（b＋2x）
∴m>n.
若图中的两个矩形类似,则需m=n.
∴图中的两个矩形不类似.
反思:利用类似多边形的性质转化为比例式求解.
【学后检测】
1.如图l1∥l2∥l3,若
AB＝3 BC 2
,DF=10,则DE=
3
则点C坐标为 ( B )
A.(-1,-1) C. (1, 4)
3
B.( 4 , 1)
3
D.(-2,-1)
3.(202X·吉林)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.若△ADE的面积
为1
2
3
最新人教版初中九年级下册数学【总复习第十九讲 相似三角形】教学课件
，y) 对应的位似图形上的点的坐标为 (kx，ky) 或 (－kx，－ky)．
例题讲解
• 关于位似图形的作法及点的坐标变化
例5. 如图所示，在平面直角坐标系中， △ABC 的顶点 A (4,
4) , B (-3, 0)， C (6, 0).
A (1) 在图中△ABC 内部作 △A′B′C′， 使 △A′B′C′ 和△ABC 位似，且位似 中心为点 O
例题讲解
• 关于相似三角形的性质应用
例4. 如图8，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E
在 AB 上，且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，
若 △AEF与 △ABC 相似，则 AF = 2 或 4.5 . B 此时△AEF与 △ABC的面积比为1:9 或 1:4 .
A
E
F
F
C 图8
注意：相似三角形若无明确对应关系时，应分类讨论
图形
符号语言
∵∠A=∠A′ , ∠B=∠B′ ∴ △ABC∽△A′ B′ C′
∵ AB BC AC A' B' B' C' A' C'
△ABC ∽△A' B' C'
∵ AB BC ,B B' A' B' B' C'
△ABC ∽△A' B' C'
∵DE∥BC ∴ △ADE∽△ABC
三、相似三角形的判定技巧
，位似比为 2 : 3.
解：如图，△A′B′C′ 为题目所求作.
·A′
B B·′ O
·C′ C
(2)
此时，△A′B′C′
中
A′点的坐标是（
8 3
，38
例题讲解
• 关于位似图形的作法及点的坐标变化
例5. 如图所示，在平面直角坐标系中， △ABC 的顶点 A (4,
4) , B (-3, 0)， C (6, 0).
A (1) 在图中△ABC 内部作 △A′B′C′， 使 △A′B′C′ 和△ABC 位似，且位似 中心为点 O
例题讲解
• 关于相似三角形的性质应用
例4. 如图8，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E
在 AB 上，且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，
若 △AEF与 △ABC 相似，则 AF = 2 或 4.5 . B 此时△AEF与 △ABC的面积比为1:9 或 1:4 .
A
E
F
F
C 图8
注意：相似三角形若无明确对应关系时，应分类讨论
图形
符号语言
∵∠A=∠A′ , ∠B=∠B′ ∴ △ABC∽△A′ B′ C′
∵ AB BC AC A' B' B' C' A' C'
△ABC ∽△A' B' C'
∵ AB BC ,B B' A' B' B' C'
△ABC ∽△A' B' C'
∵DE∥BC ∴ △ADE∽△ABC
三、相似三角形的判定技巧
，位似比为 2 : 3.
解：如图，△A′B′C′ 为题目所求作.
·A′
B B·′ O
·C′ C
(2)
此时，△A′B′C′
中
A′点的坐标是（
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，38