高中数学竞赛系列讲座
系列讲座之五——简单递推数列的通项公式
实际上 ， 们将 ｎ 一 我
＋ ｄ与 原 式 相 减 知
式相减得 ａ ｎ一
二
二
ａ— ｐ
．
数 列 ｛ 。 。 ｝ 等 比 数 列 ， 而 得 到 ｎ 一 ａ ｎ 一 是 从 一
（ ～ 口）一 ， １ｃ 代人 ａ 一 ∞１ ２ ＋ｄ 口 ＝ ｍ ， ｌ ＋ｄ 便 ，
１ 一 阶 线性 和 非线 性 递推 数 列 的通 项 公 式
由× ６ 寺＜志 ， ≥７ 满 不 式Ｉ 一 得ｎ ・ 足 等 即 ｓ
ｎ ６Ｉ 一 ＜ 的最 小 整 数 ”＝ ７ ．
２ 二 阶线 性 递 推 数 列 的通 项 公 式
对于二阶线性递推数列 口 一 升 ＋ ， 以 可 构 造 两 个 （ 个 ） 助 数 列 加 以 解决 ． Ｐ＝ ａ ， 一 辅 设 ＋ ｑ
解 设 ｍ 一 ２０ ８， １ ２ ０ ａ 的特 ０ ｎ — ａ ＋２０ ７ ￣ｌ
１， ａ ） 且 一 ９ 其 前 ｎ项 之 和 为 Ｓ ， 满 足 不 等 式 ， 求
１
｝ｓ 一 一 ６ Ｉ ＜
』厶 Ｊ
的 最 小 整 数 ． （ ９ ４年 全 国 高 中数 学联 赛 试 题 ） １９
口
ｃ —ｑ
是 将 ｎ 一 ∞井 ＋ 幽 与 原 式 乘 以 ｑ 式 子 相 减 知 的 数 列 ｛ 一ｑ 是 等 比数列 ， 而 得 到 口 。 ｑ ａ ａ） 从 什一 ａ 一 （２ ｑ １ｃ ， 入 ａ 一 ∞１ 由 ， １ ｃ 幽 ｎ 一 ａ ） 代 ２ ＋ 口 一 ａ＋ ， 便 得 数 列 的 通项 公 式 ． Ｃ ｑ ， 一 ｑ 十 幽 当 — 时 ａ ａ ，
｛ ａ ）的 通 项 公 式 ． 例 １ 已 知数 列 ｛ ａ ）满 足 ３ ＋ 口 口 ： ４ ≥ （
高中竞赛数学教案
高中竞赛数学教案
目标：通过本课程的学习，学生将能够掌握高中竞赛数学的基本概念和解题技巧，提高数学思维能力和解题能力。
时间：2课时
教学内容：
1. 引入：介绍竞赛数学的概念和重要性，激发学生学习的兴趣。
2. 知识点讲解：主要介绍一些常见的竞赛数学题型，如整数、方程、不等式等，并讲解解题方法和技巧。
3. 练习及讲解：组织学生做一些竞赛数学题目，然后逐步讲解解题过程和方法。
4. 拓展练习：通过一些拓展练习，帮助学生将所学知识应用到更复杂的题目中。
5. 总结：对本课的内容进行总结，并强调重点和难点，为下一节课的学习做准备。
教学方法：
1. 示范教学法：老师通过讲解和演示解题过程，指导学生掌握竞赛数学的解题技巧；
2. 合作学习法：组织学生小组合作，共同解决问题，促进学生之间的交流和合作；
3. 循序渐进法：由简单到复杂，逐步引导学生掌握竞赛数学的基本知识和解题方法。
教学资源：
1. 竞赛数学教材及习题册；
2. 竞赛数学模拟试题；
3. 多媒体教学设备。
教学评估：
1. 观察学生在课堂上的表现，包括积极性、思维能力和解题能力；
2. 组织小测验，测试学生对所学知识的掌握程度；
3. 布置作业，检查学生对所学知识的理解和应用能力。
扩展活动：
1. 组织学生参加校内外的数学竞赛活动，锻炼学生的竞赛能力；
2. 组织学生参加数学讨论会，激发学生的数学兴趣和思维能力；
3. 鼓励学生自主学习，探索数学的奥秘。
强基计划数学备考系列讲座(18)——三角函数与三角变换
三角
三角函数的单调性、有界 性、凹 凸 性,典 型 不
不等式
等式
三角与
三角形边角基本关系,正 弦 定 理,余 弦 定 理,
几何
３
π
特别地, x＜s
i
nx＜x,∀x∈ (
０, )．
π
６
c)嵌 入 不 等 式:在 △ABC 中,对 一 切 实 数 x,
y,
z,都有
x２ ＋y２ ＋z２ ≥２xycosA ＋２yzcosB ＋２
采用“邻补角”“算两次”策略,依据正弦定理和余弦定
般的结论,从而由最初的授人以鱼(基于课本教知识)
的中线、角平分线、高 线 及 “爪 型”三 角 形 向 量 的 一 般
中难度属于中等,解 这 类 三 角 形 方 法 很 多,通 常 可 以
理列方程求解,也可 以 采 用 作 高、作 平 行 线 等 手 段 利
s
i
nx ＜x ＜t
anx,∀x ∈ (
０, ),
２
证明
x ＋y２ ＋z２ －２xycosA －２yzcosB －２
zxcosC ＝
２
x２ －２(
x＋y２ ＋z２ －２yzcosB ＝
ycosA ＋zcosC)
２
(
x－ycosA －zcosC)
＋y２ ＋z２ －
２
(
A ＋C)＝
ycosA ＋zcosC)＋２yzcos(
２ ２
注意 s
i
n(
a
r
c
s
i
nx)有 意 义 的 条 件 是 x ∈ [－１,
１],而
a
r
c
s
i
n(
s
余数与同余——数学竞赛系列讲座(2)
因 此 Ａ 可 能 是 ２ ４ １ 、８ ７ ． 、 、 ９ ３ 、 ６
经检 验 ， 有 Ａ 一 １ 只 ９符 合 题 意 ． 反思
方 法． 例 ３ 有 甲 、 、 ３个 人 ， 乙 丙 甲每 分 行 走 １ ０米 ， ２ 乙每 分 行 走 ｉ ０ ０ 米 ， 每 分 行 走 ７ 米 ， 果 ３个 人 同 时 、同 向 ， 同 地 出 发 ， 周 长 是 丙 ０ 如 从 沿 ３ ０米 的 圆 形 跑 道 上 行 走 ， 么 至 少 经 过 多 少 分 后 ３个 人 又 可 以 相 聚？ ０ 那
维普资讯
余 数 与 同 余
・
数学竞赛系列讲座（ ） ２
江 苏 省南 京市教 育局教 研 室 朱 建明
［ 本 知识 ］ 基
如 果 整 数 ａ除 以正 整 数 ｍ ， 为 ｑ 余 数 为 ｒ 则 ａ— ｑ ＋ ｒ 其 中 ｑ 商 ， ， ｍ ，
高一数学竞赛指导——多项式问题
高一数学竞赛指导——多项式问题
凌惠明
【期刊名称】《新高考（高一数学）》
【年(卷),期】2013(000)011
【总页数】3页(P46-48)
【作者】凌惠明
【作者单位】
【正文语种】中文
【相关文献】
1.略说多项式的应用方法——陕西省大学生高等数学竞赛题系列分析之三 [J], 龚冬保;褚维盘;叶正麟
2.多项式乘法与乘法公式——数学竞赛辅导系列讲座（11） [J], 李小福
3.高中数学竞赛中的多项式问题 [J], 彭广阳;张红玲;李宝毅
4.数学竞赛系列讲座(适合高一)——第四讲函数问题及其解法(二) [J], 冯大学;赖立新
5.由一道数学竞赛题引出的新题──兼议单位根在多项式整除性问题中的应用 [J], 戴月
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系列讲座之十——直线和圆
的方 程 是 ３ ｘ＋ ４ ｙ一 １ ０— ０ ．
直线 ．
所 以
Ｃ 一 ３ ０ 一 ９ 。 （ ８ 。 ａ 一ｄ一 ６ 。 Ｏ 一 １ ０ 一４ ）
又 点 Ｑ， Ｄ均 在 。 上 ， 以点 Ｑ和点 Ｄ重 合 ， 所
故 Ｐ 是 ｏ 的 切 线 ． Ｄ
９。 ３ ， ０ ＋ ｄ 故 Ｐ Ｑ 一 １ ０ 一 Ｉ ８。
Ｍ Ｄ 一 ９ 一 ０。
一
Ｎ Ｐ ．
ｊ Ｐ 如 图 ２ 若设 Ａ ＿ Ｄ， ， Ｂ切 ｏ 于Ｑ， 连结 Ｉ 只要 Ｏ，
△ ＮＣ 所 以 Ｐ，
证 △ Ｐ Ｄ △ Ｐ Ｑ．
又 Ｃ 公 共 ， 以 ＡＡ Ｐ Ｐ 所 Ｃ
ＰＡＣ 一 ＰＮ Ｃ ．
简 证 设 Ａ 与 ｏ 切 于点 Ｑ， 结 Ｉ Ｉ ， Ｂ 连 Ｏ，Ｄ Ｉ ， Ｉ ＝ Ｉ — Ｉ ， 上Ａ Ｉ 上 Ｂ Ｍ 则 Ｄ Ｑ Ｍ Ｉ Ｑ Ｂ， Ｍ Ｃ．
例 ２ 已知 直 线 ｚ： 一 ４ ｘ和 Ｐ（ ， ） 在 直 线 ｚ ６４ ． 上 求 一 点 Ｑ， 过 Ｐ， 的 直 线 与 ｚ 以及 ｚ轴 ， 第 使 Ｑ ， 在
一
竞 赛 中 的直 线 和 圆 主 要 涉 及 一 些 证 明和 最 值 问 题 ．
１ 例 题 选 讲
象 限 内 围成 的 三 角 形 的 面 积 最 小 ． １ ７ （ ９ ８年 全 国
０， 且 也 恒 过 定 点 Ｐ（ ， ） 与 并 ２４ ，
轴 交 于Ａ （ｋ ｑ２ Ｏ ． 图 ｌ 四边 ２。 － ，） 如 ， 形 （ ） ＡＰＢ 的 面 积 为 图１
轴 交 于 点
图
ｓ㈣ 一 △ ． ｃ ’ ；
Ｓｚｌ＋ Ｓ 一 ０ ．
系列讲座之十一——圆锥曲线(1)
＝Ｒ 等・ ２— Ｍ一 丽
令３ ｏ 意 一 ， ， ， 到兰 一 一 注
ｅ ｃ Ｏ ｌ 高ｅ 撒 删Ｍ一、 １ ， —‘ ３ Ｌ
因为 。 一 ｚ一 ６ ，得 （ ｚ ｚ ｚ一 ） 一 一 ０， 得 ｚ 解
ｔ Ｆ ｔｃ ａ Ｍ — ｎ Ｍ 删 一
线
例 １ 设 椭 圆 的方 程 为 ＋ 一 １ ｎ ６ ０ ， （ ＞ ＞ ）
， Ａ。 别 与 同一 条 准 线 交 于 Ｍ ， 两 点 ， Ｐ 分 ＭＩ 试
（ ０ ５年 天 津 市数 学 竞 赛 试题 ） ２０
证明 ： 以线 段 ＭＭ 为直 径 的 圆必 经 过椭 圆外 的一 个 定点． 分 析 由对 称 性 知 道 定 点 在 Ｘ轴 上 ， 用 向量 利 的 数 量 积知 识 求 ＭＭ 为直 径 的 圆方 程 ．
！． 一 ０
．
设 以线 段 ＭＭ 直 径 的 圆 Ｃ上 任 意 一点 Ｑ（ 为 ｘ，
） 则 由 ，
Ｒ ，即 Ｑ ＜ Ｐ Ｍ Ｐ Ｑ
，
．
一 ０得 圆 ｃ 的方 程 为
ｅ
所以 ８ ． ＞
ｃ 譬 ｃ ． ｚ 一 一
得 （ 一 ） 一 ｚ ｚ
，ｏ －－
于ｃ 是０ ｓ
证 明 由已 知 可设 Ａ 一口， ） Ａ（ Ｏ ， 条 （ ０ ， ａ， ） 一
分 涉 焦 弦 Ｉ 析 及 点
｝
统 ， ｌ． 一如设一 Ｉ 解１ ＿／ 定 兰 ／ 薹图线卜 义 麦 段 ／ ．
Ｐ 的 中 点 为 Ｍ ， 点 Ｐ， Ｑ 过 ｌ
准 的 程 一 ，圆 动 Ｐ 坐 为 ， 线 方 为 等椭 上 点 的 标 （ ｚ 。 ） ≠ ， 一， 兽 一 ． 且 。 ＋ 即 则
高中数学竞赛培训教案
高中数学竞赛培训教案
教学目标：通过本次培训，学生能够掌握竞赛所需的数学知识和解题技巧，提高数学竞赛
的应试能力。
教学内容：本次培训主要围绕高中数学竞赛的常见题型展开，包括数列、概率、几何、代
数等知识点。
教学步骤：
第一步：复习基础知识
讲解数学竞赛常见题型，包括选择题、填空题、解答题等，帮助学生理清基础知识，打好
基础。
第二步：讲解数学竞赛解题技巧
介绍数学竞赛解题的基本思路和方法，包括适时放弃、灵活运用、多角度思考等技巧。
第三步：解析典型题目
通过解析一些典型的数学竞赛题目，引导学生掌握解题技巧，提高解题速度和正确率。
第四步：练习题目
让学生进行有针对性的练习，巩固所学知识和技巧，提高解题能力。
第五步：总结反思
让学生对本次培训进行总结和反思，查漏补缺，为下次培训做好准备。
教学方法：讲解结合练习、小组合作、讨论交流等方式，激发学生学习兴趣，提高学习效果。
教学工具：教材、习题、黑板、投影仪等。
教学评价：通过练习题目和考试测验，评估学生的学习情况和提高空间，及时调整教学方案，确保教学效果。
教学改进：根据学生的反馈和评价意见，不断改进教学方法和内容，提高竞赛培训的质量
与效果。
以上是本次高中数学竞赛培训教案范本，希最能达到预期目标，提高学生的数学竞赛能力。
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高中数学竞赛系列讲座第四讲指数函数与对数函数指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。
无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。
熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。
一、指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。
相同因数相乘a·a……a(n个)=a n导出乘方，这里的n为正整数。
从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。
欧拉指出：“对数源出于指数”。
一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
a b=N与b=log a N是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。
当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。
指数运算与对数运算互逆的运算。
二、指数运算与对数运算的性质1．指数运算性质主要有3条：a x·a y=a x+y,(a x)y=a xy,(ab)x=a x·b x（a>0,a≠1,b>0,b≠1）2．对数运算法则（性质）也有3条：（1）log a(MN)=log a M+log a N（2）log a M/N=log a M-log a N（3）log a M n=nlog a M(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)3．指数运算与对数运算的关系：X=a log a x；m log a n=n log a m4．负数和零没有对数；1的对数是零，即log a1=0；底的对数是1，即log a a=15．对数换底公式及其推论：换底公式：log a N=log b N/log b a推论1：log a m N n=(n/m)log a N推论2：三、指数函数与对数函数函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数。
它的基本情况是：（1）定义域为全体实数（-∞，+∞）（2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0（3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。
（4）单调性是：当a>1时为增函数；当0<a<1时，为减函数。
（5）无奇偶性，是非奇非偶函数，但y=a x与y=a-x的图象关于y轴对称，y=a x与y=-a x的图象关于x轴对称；y=a x与y=log a x的图象关于直线y=x对称。
（6）有两个特殊点：零点（0，1），不变点（1，a）（7）抽象性质：f(x)=a x(a>0,a≠1),f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数，它的基本情况是：（1）定义域为正实数（0，+∞）（2）值域为全体实数（-∞，+∞）（3）对应关系为一一映射，因而有反函数——指数函数。
（4）单调性是：当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数。
（5）无奇偶性。
但y=log a x与y=log(1/a)x关于x轴对称，y=log a x与y=log a(-x)图象关于y轴对称，y=log a x与y=a x图象关于直线y=x对称。
（6）有特殊点（1，0）,(a，1)（7）抽象运算性质f(x)=log a x(a>0,a≠1)，f(x·y)=f(x)+f(y),f(x/y)=f(x)-f(y)例1．若f(x)=(a x/(a x+√a))，求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不可取的。
需找出f(x)的结构特征，发现规律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001= (1)而f(x)+f(1-x)=(a x/(a x+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(a x/(a x+√a))+(a/(a+a x·√a))=(a x/(a x+√a))+( (√a)/(a x+√a))=((a x+√a)/(a x+√a))=1规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：原式=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1 +…+1)5000个=500说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。
（1）取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4x/(4x+2))，那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值= 。
（2）上题中取a=9，则f(x)=(9x/(9x+3))，和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n).（3）设f(x)=(1/(2x+√2))，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为。
这就是2003年春季上海高考数学第12题。
例2．5log25等于：（）（A）1/2 （B）(1/5)10log25（C）10log45（D）10log52解：∵5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)×10log25∴选（B）说明：这里用到了对数恒等式：a log a N=N(a＞0,a≠1,N＞0)这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。
例3．计算解法1：先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。
解法2：利用算术根基本性质对真数作变形，有说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。
例4．试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。
解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记122003=a＞0，则有((122002+1)/(122003+1))÷((122003+1)/(122004+1))=((a/12)+1)/(a+1)·((12a+1)/(a+1))=((a+12)( 12a+1))/(12(a+1)2)=((12a2+145a+12)/(12a2+24a+12))＞1故得：((122002+1)/(122003+1))＞((122003+1)/(122004+1))例5．已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（）（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随a,b的取值而定解：设lglog310=t，则lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t而f(t)+f(-t)=∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3说明：由对数换底公式可推出log a b·log b a=(lgb/lga)·(lga/lgb)=1，即log a b=(1/log b a)，因而lglog310与lglg3是一对相反数。
设中的部分，则g(x)为奇函数，g(t)+g(-t)=0。
这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解，关键在于细致观察函数式结构特征及对数的恒等变形。
例6．已知函数y=((10x-10-x)/2)(X∈R)（1）求反函数y=f-1(x)（2）判断函数y=f-1(x)是奇函数还是偶函数（1）求y=(10x-10-x)/2的反函数首先用y把x表示出来，然后再对调x,y即得到y=f-1(x)；分析：（2）判断函数y=f-1(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义，看当X∈R时是否有f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0)或f(-x)=f(x)恒成立。
解：（1）由y=((10x-10-x)/2)(X∈R)可得2y=10x-10-x，设10x=t，上式化为：2y=t-t-1两边乘t，得2yt=t2-1整理得：t2-2yt-1=0，解得：由于t=10x＞0，故将舍去，得到：将t=10x代入上式，即得:所以函数y=((10x-10-x)/2)的反函数是(2)由得:∴f-1(-x)=-f(x)所以，函数是奇函数。
说明：①从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论：函数y=((a x-a-x)/2)(X∈R,a＞0,a≠1)的反函数是，它们都是奇函数。
当a=2,3,10或e时就构造了新的特殊的题目。
进一步还可以研究它们的单调性，如1992年高考数学试题：函数y=((e x-e-x)/2)的反函数（A）是奇函数，它在(0,+∞)上是减函数；（B）是偶函数，它在(0,+∞)上是减函数；（C）是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数；（D）是偶函数，它在(0,+∞)上是增函数。
②函数y=((a x-a-x)/2)是由y=f(x)=a x构造而得，全日制普通高级中学教科书（试验修订本。
必修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社中学数学室编著）P107复习参考题二B组第6题：设y=f(x)是定义在R上的任一函数，求证：（1）F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数；（2）F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。
而f(x)=F1(X)+F2(x)，它说明，定义在R上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x))与一个偶函数(F1(x))的代数和。
从这个命题出发，由f(x)=a x就可以构造出诸多奇函数，比如，y=((a x-a-x)/2)；y=((a x-a-x)/(a x+a-x))=((a2x-1)/(a2x+1))等等用自然对数的底e≈2.71828…（无理数）作底，作函数sh(x)=((e x-e-x)/2),ch(x)=((e x+e-x)/2),th(x)=((e x-e-x)/(e x+e-x))它们分别叫做双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，它们具有如下性质：(1)ch2(x)-sh2(x)=1;(2)sh(x+y)=sh(x)·ch(y)+ch(x)·sh(y);(3)ch(x+y)=ch(x)·ch(y)+sh(x)·sh(y);(4)th(x+y)=((th(x)+th(y))/(1+th(x)·th(y)));(5)ch(-x)=ch(x);(6)sh(-x)=-sh(x);(7)th(-x)=-th(x).令x=y，则有(8)sh(2x)=2sh(x)·ch(x);(9)ch(2x)=ch2(x)+sh2(x)其中①⑧⑨合起来，就是课本P107的第8题。