高中数学竞赛系列讲座

高中数学竞赛系列讲座第四讲指数函数与对数函数指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。

无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。

熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。

一、指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。

相同因数相乘a·a……a(n个)=a n导出乘方，这里的n为正整数。

从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。

欧拉指出：“对数源出于指数”。

一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

a b=N与b=log a N是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。

当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。

指数运算与对数运算互逆的运算。

二、指数运算与对数运算的性质1．指数运算性质主要有3条：a x·a y=a x+y,(a x)y=a xy,(ab)x=a x·b x（a>0,a≠1,b>0,b≠1）2．对数运算法则（性质）也有3条：（1）log a(MN)=log a M+log a N（2）log a M/N=log a M-log a N（3）log a M n=nlog a M(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)3．指数运算与对数运算的关系：X=a log a x；m log a n=n log a m4．负数和零没有对数；1的对数是零，即log a1=0；底的对数是1，即log a a=15．对数换底公式及其推论：换底公式：log a N=log b N/log b a推论1：log a m N n=(n/m)log a N推论2：三、指数函数与对数函数函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数。

它的基本情况是：（1）定义域为全体实数（-∞，+∞）（2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0（3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。

（4）单调性是：当a>1时为增函数；当0<a<1时，为减函数。

（5）无奇偶性，是非奇非偶函数，但y=a x与y=a-x的图象关于y轴对称，y=a x与y=-a x的图象关于x轴对称；y=a x与y=log a x的图象关于直线y=x对称。

（6）有两个特殊点：零点（0，1），不变点（1，a）（7）抽象性质：f(x)=a x(a>0,a≠1),f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数，它的基本情况是：（1）定义域为正实数（0，+∞）（2）值域为全体实数（-∞，+∞）（3）对应关系为一一映射，因而有反函数——指数函数。

（4）单调性是：当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数。

（5）无奇偶性。

但y=log a x与y=log(1/a)x关于x轴对称，y=log a x与y=log a(-x)图象关于y轴对称，y=log a x与y=a x图象关于直线y=x对称。

（6）有特殊点（1，0）,(a，1)（7）抽象运算性质f(x)=log a x(a>0,a≠1)，f(x·y)=f(x)+f(y),f(x/y)=f(x)-f(y)例1．若f(x)=(a x/(a x+√a))，求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不可取的。

需找出f(x)的结构特征，发现规律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001= (1)而f(x)+f(1-x)=(a x/(a x+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(a x/(a x+√a))+(a/(a+a x·√a))=(a x/(a x+√a))+( (√a)/(a x+√a))=((a x+√a)/(a x+√a))=1规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：原式=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1 +…+1)5000个=500说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。

（1）取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4x/(4x+2))，那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值= 。

（2）上题中取a=9，则f(x)=(9x/(9x+3))，和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n).（3）设f(x)=(1/(2x+√2))，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为。

这就是2003年春季上海高考数学第12题。

例2．5log25等于：（）（A）1/2 （B）(1/5)10log25（C）10log45（D）10log52解：∵5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)×10log25∴选（B）说明：这里用到了对数恒等式：a log a N=N(a＞0,a≠1,N＞0)这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。

例3．计算解法1：先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。

解法2：利用算术根基本性质对真数作变形，有说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。

例4．试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。

解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记122003=a＞0，则有((122002+1)/(122003+1))÷((122003+1)/(122004+1))=((a/12)+1)/(a+1)·((12a+1)/(a+1))=((a+12)( 12a+1))/(12(a+1)2)=((12a2+145a+12)/(12a2+24a+12))＞1故得：((122002+1)/(122003+1))＞((122003+1)/(122004+1))例5．已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（）（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随a,b的取值而定解：设lglog310=t，则lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t而f(t)+f(-t)=∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3说明：由对数换底公式可推出log a b·log b a=(lgb/lga)·(lga/lgb)=1，即log a b=(1/log b a)，因而lglog310与lglg3是一对相反数。

设中的部分，则g(x)为奇函数，g(t)+g(-t)=0。

这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解，关键在于细致观察函数式结构特征及对数的恒等变形。

例6．已知函数y=((10x-10-x)/2)(X∈R)（1）求反函数y=f-1(x)（2）判断函数y=f-1(x)是奇函数还是偶函数（1）求y=(10x-10-x)/2的反函数首先用y把x表示出来，然后再对调x,y即得到y=f-1(x)；分析：（2）判断函数y=f-1(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义，看当X∈R时是否有f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0)或f(-x)=f(x)恒成立。

解：（1）由y=((10x-10-x)/2)(X∈R)可得2y=10x-10-x，设10x=t，上式化为：2y=t-t-1两边乘t，得2yt=t2-1整理得：t2-2yt-1=0，解得：由于t=10x＞0，故将舍去，得到：将t=10x代入上式，即得:所以函数y=((10x-10-x)/2)的反函数是(2)由得:∴f-1(-x)=-f(x)所以，函数是奇函数。

说明：①从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论：函数y=((a x-a-x)/2)(X∈R,a＞0,a≠1)的反函数是，它们都是奇函数。

当a=2,3,10或e时就构造了新的特殊的题目。

进一步还可以研究它们的单调性，如1992年高考数学试题：函数y=((e x-e-x)/2)的反函数（A）是奇函数，它在(0,+∞)上是减函数；（B）是偶函数，它在(0,+∞)上是减函数；（C）是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数；（D）是偶函数，它在(0,+∞)上是增函数。

②函数y=((a x-a-x)/2)是由y=f(x)=a x构造而得，全日制普通高级中学教科书（试验修订本。

必修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社中学数学室编著）P107复习参考题二B组第6题：设y=f(x)是定义在R上的任一函数，求证：（1）F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数；（2）F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。

而f(x)=F1(X)+F2(x)，它说明，定义在R上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x))与一个偶函数(F1(x))的代数和。

从这个命题出发，由f(x)=a x就可以构造出诸多奇函数，比如，y=((a x-a-x)/2)；y=((a x-a-x)/(a x+a-x))=((a2x-1)/(a2x+1))等等用自然对数的底e≈2.71828…（无理数）作底，作函数sh(x)=((e x-e-x)/2),ch(x)=((e x+e-x)/2),th(x)=((e x-e-x)/(e x+e-x))它们分别叫做双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，它们具有如下性质：(1)ch2(x)-sh2(x)=1;(2)sh(x+y)=sh(x)·ch(y)+ch(x)·sh(y);(3)ch(x+y)=ch(x)·ch(y)+sh(x)·sh(y);(4)th(x+y)=((th(x)+th(y))/(1+th(x)·th(y)));(5)ch(-x)=ch(x);(6)sh(-x)=-sh(x);(7)th(-x)=-th(x).令x=y，则有(8)sh(2x)=2sh(x)·ch(x);(9)ch(2x)=ch2(x)+sh2(x)其中①⑧⑨合起来，就是课本P107的第8题。