全国高中数学联赛试题及答案教程文件
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。
为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。
请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。
解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。
墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。
因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。
用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。
因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。
当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。
当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。
所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。
因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。
2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。
求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。
全国高中数学联赛试题及解答
20XX 年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准说 明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 一定为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定 答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为A ．12＜x ＜1B ．x ＞12且x ≠1 C ． x ＞1 D ． 0＜x ＜1答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⇒ ⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1．所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．3．已知集合A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为A ．20B ．25C ．30D ．42 答C ．解：5x －a ≤0⇒x ≤a 5；6x －b ＞0⇒x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为A ．[15，1)B ．[15，2)C ．[1，2)D ．[15，2)答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的A . 充分必要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件 答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0． 反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为A ．12(102006＋82006)B ．12(102006－82006) C ．102006＋82006 D ．102006－82006答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于(9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k 以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k (－1)k 92006－k从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(102006－82006)． 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ．填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98． 故，f (x )∈[0，98]．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ．填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2⇔(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤4⇔2a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2．⇔－25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． ⇔25|a |≤3－5a 2⇒|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上. 当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2|⑴ 又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2| ⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43．代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3． 填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。
2024年全国高中数学联赛
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)一．(本题满分40分)给定正整数r,求最大的实数C,使得存在一个公比为r的实数等比数列a nn≥1,满足a n≥C对所有正整数n成立.(x 表示实数x到与它最近整数的距离.)二．(本题满分40分)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,点E,F分别在边BC,CD上，满足EF||BD,分别延长FA,EA至点P,Q,使得过点A,B,P的圆ω1及过点A,D,Q的圆w2均与直线AC相切.证明：B,P,Q,D四点共圆.(答题时储将图画在答卷纸上)三．(本题满分50分)给定正整数n.在一个3×n的方格表上，由一些方格构成的集合S称为“连通的”,如果对S 中任意两个不同的小方格A,B,存在整数l≥2及S中l个方格A=C1,C2,…,C l=B,满足C i与C i+1有公共边(i=1, 2,⋯,l-1).求具有下述性质的最大整数K:若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S,使得S中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K.四.(本题满分50分)设A,B为正整数，S是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1)对任意非负整数k,有A K∈S;(2)若正整数n∈S,则n的每个正约数均属于S;(3)若m,n∈S,且m,n互素，则mn∈S;(4)若n∈S,则An+B∈S.证明：与B互素的所有正整数均属于S.。
全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛试题及答案第一题：设函数f(x)在区间[a, b]上连续，(a < b)，且在(a, b)内可导。
证明：存在ξ∈(a,b)，使得f(b) - f(a) = (b-a)f'(\xi)解答：根据拉格朗日中值定理，存在c∈(a,b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)所以，我们只需证明c=ξ即可。
由于f(x)在[a, b]上连续，并且在(a, b)内可导，所以内点可导连续定理告诉我们：f(x)在[a, b]上一致连续。
依据一致连续性，对于任意ε>0，存在δ>0，使得对于所有的x',x''∈[a, b]，只要 |x' - x''| < δ，就有 |f(x') - f(x'')| < ε。
考虑到c∈(a, b)，且c=ξ是一个特定值，我们可以取一小段(a,b)中的点序列，使得这个点序列的左右界可以趋近c，同时满足 |x' - x''| < δ。
设这个点序列为{x_n}，那么对应的有一个序列{f'(x_n)}。
根据极限的性质，我们可以得到∃ n→∞，使得x_n→c时，f'(x_n)→ f'(c)。
而由于f'(x)在(a, b)内可导，所以根据导数的定义，也就是f'(c) = lim(x→c) (f(x) - f(c))/(x - c)结合拉格朗日中值定理中的等式f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)我们可以得到：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)所以，c=ξ成立，证毕。
第二题：设a, b, c为正实数，且满足 abc=1。
证明：a/(a^3 + 1) + b/(b^3 + 1) + c/(c^3 + 1) ≤ 3/2解答：根据条件abc=1，可以设 a = x/y, b = y/z, c = z/x (其中x, y, z为正实数)。
全国高中数学联赛集训试题及参考答案.docx
全国高中数学联赛集训试题及参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)函数f(x)=logi/2(x2-2x-3)的单调递增区间是(若实数x, y 满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x?+y2的最小值为(直线x/4+y/3=l 与椭圆x 2/16+y 2/9=l 相交于A, B 两点，该椭圆上点P,使得APAB 面积等于3, 这样的点P 共有(6、由曲线x 2=4y,x 2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为VI ；满足 x 2+y 2<16,x 2+(y-2)2>4,x 2+(y+2)2>4的点(x,y)组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V?，则(A) Vi= (1/2) V 2 (B)Vi= (2/3) V 2二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7、已知复数Zi,Z2满足I Z[ | =2, | Z 2 | =3,若它们所对应向量的夹角为60。
,则I (Z 1+Z 2)/(Z 1+Z 2) 8、将二项式(Wx+1/ (2^x)) 11的展开式按x 的降'最排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式 1、 (A) ( —co, —1)(B) (—8,1)(C) (1, + co) (D) (3, +s) 2、 (A) 2 (B) 1 (C)山 (D)也 3、 函数 f(x)=x/l-2%x/2 ( (A)是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C)既是偶函数乂是奇函数(D)既不是偶函数也不是奇函数 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个5、已知两个实数集合 A= {ai,a2,...,aioo )与 B= {bib,...bo}, 若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f(ai )<f(a 2)<.. <f(a 1O o)MS 样的映射共有( )。
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
9.若 是双曲线 上的点，则 的最小值是_________.
10. 如图，设正方体 的棱长为1，α为过直线 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是_________.
11.已知实数 满足： 的最大值是____.
12.设集合 则集合A中元素的个数是___________
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
解：a2－a1= (y－x)，b4－b3= (y－x)， = ．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
解：( +2)2n+1－( －2)2n+1=2(C 2xn22n+1)．
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则 =．
4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；
⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；
⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．
全国高中数学联赛试题及答案.pdf
5. 方程
x2
+
sin 2 − sin 3 cos
A. 焦点在 x 轴上的椭圆
C. 焦点在 y 轴上的椭圆
y2 2 − cos
= 1 表示的曲线是 3
B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线
6.
记集合 T
=0,1,2,3,4,5,6}， M
=
a1 7
+
a2 72
+
a3 73
1．使关于 x 的不等式 x − 3 + 6 − x k 有解的实数 k 的最大值是（ ）
A． 6 − 3
B． 3
C． 6 + 3
D． 6
解：令 y = x − 3 + 6 − x,3 x 6, 则 y2 = (x − 3) + (6 − x) + 2 (x − 3)(6 − x) 2[(x − 3)
一寸光阴不可轻
一、选择题
二〇〇五年高中数学联赛试卷
1. 使关于 x 的不等式 x − 3 + 6 − x k 有解的实数 k 的最大值是
A. 6 − 3
B. 3
C. 6 + 3
D. 6
2. 空间四点 A、B、C、D，满足| AB |= 3、| BC |= 4 、| CD |= 11、| DA |= 9 ，则 AC BD 的取值
2
一寸光阴不可轻
BC) (BC + CD), 即 2AC BD = AD2 + BC 2 − AB2 − CD2 = 0, AC BD 只有一个值得 0，故选
A。
3． ABC 内接于单位圆，三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
2
4
2
2
【解析】 a =b ， c =d ，设 a=x ， b=x ； c=y ， d=y ，x － y =9． ( x+y )( x－ y ) =9．
∴ x+y2=9， x－ y2=1， x=5， y2=4． b－ d=53－25=125－ 32=9 3．
11．将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每
n=q2+q+1，l
≥
1 q(
q+1)
2+1，
2
q≥ 2，q∈ N．已知此图中任四点不共面， 每点至少有一条连线段， 存在一点至少有 q+2 条连
线段．证明：图中必存在一个空间四边形 ( 即由四点 A、B、 C、 D和四条连线段 AB、BC、CD、
DA组成的图形 ) ．
2020 年全国高中数学联赛解答
BD DQ 本题成立．而要证 BDQ∽ DAQ，只要证 AD=AQ即可．
二、（本题 50 分）
设三角形的三边长分别是正整数 l ，m， n．且 l >m>n>0．
l
m
n
已知
3 10 4
=
3 10 4
=
3 10 4
，其中
{ x} =x－ [ x] ，而 [ x] 表示不超过
x 的最大整数．求这种三角
形周长的最小值．
2
y=－ (cot
u+tan u)+cos
u=－ sin2
u+cosu．在
u∈ [ － ，－ ] 46
时， sin2
u与
cos u 都单调递
11 增，从而 y 单调递增．于是 u=－ 6时， y 取得最大值 6 3，故选 C．
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2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛
全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括4道大题，其中一道平面几何题.
一 试
一、填空（每小题7分，共56分）
1． 若函数(
)f x =
()()()n n
f x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()
()991f = ．
2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L
上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横
坐标范围为 ．
3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪
⎨⎪-⎩
≥≤≤，N 是随t 变化的区
域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．
4． 使不等式
1111
200712
213
a n n n +++
<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．
5． 椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积
OP OQ ⋅的最小值为 ．
6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩
上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）
8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时
一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题
1． （14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆22
11612
x y +=交于
不同两点A ，B ，与双曲线22
1412
x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，
使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明
理由．
2． （15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，
，
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，14
q =，求{}n a 的前n 项和．
3． （15分）求函数y
加试
一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）
9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．
⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；
⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，
B
求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．
10．
求证不等式：
2111ln 12n k k n k =⎛⎫
-<- ⎪+⎝⎭
∑≤，1n =，2，…
11．
设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，
使得C k m 与l 互素．
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