第一章第三节 古典概型—概率论与数理统计(李长青)
概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
概率论与数理统计(完整版)
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验 ,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个 ,且具有非 零的 ,有限的几何度量 ,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前言
1. 确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况. E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
【精品】概率论与数理统计PPT课件第一章 古典概型与概率空间
随机现象的特点
虽然在个别试验中，其结果呈现出不确定 性，但是人们经过长期实践并深入研究之后， 发现在大量重复试验或观察下，这类现象的结 果呈现出某种规律性
—— 这种在大量重复试验或观察中，所 呈现出的固有规律性称之为统计规律性.
4
概率论与数理统计
正是研究随机现象的这种统计规律性的 数学分支.
下面我们就来开始这门课程的学习.
1
引言
1. 确定性现象
在一定条件下必然发生（出现）某一结果 的现象称为确定性现象.
特点 在相同的条件下，重复进行实验或观察，
它的结果总是确定不变的.
2
2. 随机现象
在一定条件下，可能出现这样的结果， 也可能出现那样的结果，而试验或观察前， 不能预知确切的结果. —— 即在相同的条件下，重复进行观测或试 验，它的结果未必是相同的.
H
(T,T)： T
T
11
三、 随机事件
1. 随机事件
投掷一枚骰子的样本空间是 {1, 2, ....,6}
A={3} 表示掷出3点, 我们称A是事件.
则A是
的子集.
掷出3点, 就称事件A发生, 否则称事件A不发生.
用集合B={2,4,6}表示掷出偶数点, B是 的
子集, 我们也称B是事件.
样本空间(sample space) ，用表示．
{ | 为试验S的样本点}.
10
例1 将一枚硬币抛掷两次，则样本空间为
={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}, H~head,T~tail.
其中 第1次 第2次
(H,H): H
H
(H,T)： H
T
(T,H): T
概率论与数理统计教案(48课时)(最新整理)
( x, y )G
，注意二重积分运算知识点的复习。
d) 二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。
五．思考题和习题
思考题：1. 由随机变量 X ,Y 的边缘分布能否决定它们的联合分布？
2. 条件分布是否可以由条件概率公式推导？ 3. 事件的独立性与随机变量的独立性是否一致？ 4．如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算，试举例说明。 习题：
第四章 随机变量的数字特征 一．教学目标及基本要求
(1)理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式；
(2)掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用
期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。
(3)熟记 0-1 分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期
第四节 二维随机变量的函数的分布
已知(X,Y)的分布率 pij 或密度函数 (x, y) ，求 Z f ( X ,Y ) 的分布律或密度
函数Z (z) 。特别如函数形式： Z X Y , Z max( X ,Y ), Z min( X ,Y ) 。
2 学时
三．本章教学内容的重点和难点
a) 二维随机变量的分布函数及性质，与一维情形比较有哪些不同之处；
5．列举正态分布的应用。
习题：
第三章 多维随机变量及其分布
一．教学目标及基本要求
(1)了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续 型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。
(2)会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。 (3)掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。 (4)会求两个独立随机变量的简单函数(如函数 X+Y, max(X, Y), min(X, Y))的分布。
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论与数理统计 第一章1.3古典概型与几何概型
基本事件总数为 24. 记 (1), (2), (3), (4) 的事件分
别为 A, B,C, D.
(1) 各球自左至右或自右至左恰好排成 1,2,3,4 的
顺序;
(1) A 中有两种排法, 故有
P(
A)
2 24
1 12
.
(2) 第 1 号球排在最右边或最左边;
(2) B 中有 2 (3!) 12 种排法, 故有
完
计算古典概率的方法
基本计数原理
加法原理
乘法原理
排列组合方法 排列公式
应用举例
组合公式
二项式
完
例 1 一个袋子中装有 10 个大小相同的球, 其中 3
个黑球, 7 个白球, 求: (1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;
(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的
概率 以及两个球全是黑球的概率.
顺序;
(2) 第 1 号球排在最右边或最左边; (3) 第 1 号球与第 2 号球相邻;
解 将 4 个球随意地排成一行有4!=24 种排法, 即 基本事件总数为 24. 记 (1), (2), (3), (4) 的事件分 别为 A, B,C, D.
解 将 4 个球随意地排成一行有4!=24 种排法, 即
三班 6 名的分法有:
C145C151C
6 6
15! 4!5!6!
(种).
解 15 名优秀生分别分配给一班 4 名, 二班 5 名,
三班 6 名的分法有:
C145C151C
பைடு நூலகம்
6 6
15! 4!5!6!
(种).
(1) 将 3 名优秀生分配给三个班级各一名, 共有 3!
种分法, 再将剩余的 12 名新生分配给一班 3 名,
概率论与数理统计李长青版答案第一
概率论与数理统计李长青版答案第一p(a)=a所含样本点数/总体所含样本点数。
实用中经常采用“排列组合”的方法计算。
用数理统计方法去解决一个实际问题时，一般有如下几个公式：p(a)\ue0，p(b|a)=p(ab)/p(a) 、p(ab)=p(a)×p(b|a)=p(b)×p(a|b) 、p(a∪b)=p(a)+p(b)－p(ab)。
p(a)=a所含样本点数/总体所含样本点数。
实用中经常采用“排列组合”的方法计算·条件概率当p(a)\ue0，p(b|a)=p(ab)/p(a)乘法公式p(ab)=p(a)×p(b|a)=p(b)×p(a|b)计算方法“排列组合”的方法计算记法p(a)=a乘法法则p(a∪b)=p(a)+p(b)－p(ab)用数理统计方法回去化解一个实际问题时，通常存有如下几个步骤：创建数学模型，收集整理数据，展开统计数据推测、预测和决策。
这些环节无法截然分离，也不一定按上述次序，有时就是互相交叠的。
①模型的选择和建立。
在数理统计学中，模型是指关于所研究总体的某种假定，一般是给总体分布规定一定的类型。
建立模型要依据概率的知识、所研究问题的专业知识、以往的经验以及从总体中抽取的样本（数据）。
②数据的搜集。
存有全面观测、样本观测和精心安排特定的实验3种方式。
全面观测又称普查，即为对总体中每个个体都予以观测，测量所须要的指标。
样本观测又称抽检，就是所指从总体中提取一部分，测量其有关的指标值。
这方面的研究内容形成数理统计的一个分支学科。
叫做抽样调查。
③安排特定实验以收集数据，这些特定的实验要有代表性，并使所得数据便于进行分析。
这里面所包含的数学问题，构成数理统计学的又一分支学科，即实验设计的内容。
④数据整理。
目的就是把涵盖在数据中的有价值信息提取出。
一种形式就是制订适度的图表，例如图表，以充分反映暗含在数据中的粗略的规律性或通常趋势。
另一种形式就是排序若干数字特征，以刻画样本某些方面的性质，例如样本均值、样本方差等直观描述性统计数据量。
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例1 将一枚均匀硬币抛掷三次.
(1) 设事件 A1 为“恰有一次出现正面”, 求 P(A1); (2) 设事件A2 为“至少有一次出现正面”, 求 P(A2). 解 (1) 记 H 表示出现正面, T 表示出现反面, 则样
本空间可表示为
{HHH, HHT, HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}
现在，随机计算机技术的迅速发展，已按照上述思 路建立起一类新的方法，称为蒙特卡洛（Monte-Carlo） 方法，这种方法在数值计算、数学地质方面有着重要的 应用。
(1)取到的两个球都是白球的概率;
(2)取到的两个球颜色相同的概率;
(3)取到的两个球中至少有一个是白球的概率. 解 先考虑有放回的情形，记 A = “ 取到的两个球都是白球” B = “ 取到的两个球都是红球” C = “ 取到的两个球中至少有一个是白球”
依古典概型概率计算公式有 （1）P(A) nA 4 4 4 n 66 9 (2) 首先 P(B) nB 2 2 1 n 66 9
部分 rk 个. 不同的分法总数为
C C L r1 r2 n nr1
C rk nr1 r2 L rk1
n! r1 !r2 !L
rk !
例2 一口袋装有6个球, 其中4个白球、2个红球, 从 袋中取球两次, 每次随机地取一个. 考虑两种取球方式: (a)放回抽样, (b)不放回抽样. 试分别就上面两种情况求
解 30个球平均分到三个盒子中，分法总数为
30! (10!10!10!).
记
A = “每盒恰有一个红球”
B = “3个红球放入同一个盒子”
（1）由组合记数公式可得
3! 27!
nA 9!9!9!
所以有
P(A) 3! 27! 30! 50 9!9!9! 10!10!10! 203
（2）由组合记数公式可得
不放回的选排列数： Anr n(n 1)(n 2)L (n r 1)
（2）组合数 从 n 个元素中选出 r 个的组合数：
Cnr
n
r
Anr r!
n(n 1)L (n r r!
1)
n! r!(n r)!
若 r1 r2 L rk n, 把 n 个不同的元素分成 k
个部分，第一部分 r1 个，第二部分 r2 个，… ，第 k
解： 以M 表示落下后针的中点，x 表示 M 与最近一
平行线的距离， 表示针与此线的夹角.
0 x a ,0
2
决定了xo平面上一矩形区域, 这就是样本空间. 针与平行线相交的充要条件为 x l sin
2
M x
ax
2
x l sin 2
将针与平行线相交这一事件记为A
A
( x,
)
x
l 2
P(A) nA 43 2 n 65 5
P(B) nB 21 1 n 65 15
P(AU B) P(A) P(B) 2 1 7 5 15 15
P(C) P(B) 1 P(B) 14 15
例3 袋中装有30个球, 其中白球27个, 红球3个.现将 球取出, 随机地放入三个盒子中,每盒10个, 求 (1) 每盒恰有一个红球的概率; (2) 3个红球放入同一个盒子的概率.
nB
3 27! 7!10!10!
从而
P(B) 3 27!
30! 18
7!10!10! 10!10!10! 203
例4 一副扑克牌(52张)，从中任取13张，求至少有 一张“A”的概率。
解: 设A={任取的13张牌中至少一张“A”}，
并设Ai={任取的13张牌中恰有i张“A”}，i=1, 2, 3,
解：设甲乙两人在时间T内到达预定点的时刻 分别为x和y,则它们可以取[0,T ]内的任一值,
即0 x T , 0 y T , 而两人会面的充要条件是
xy t
每一个 x 和每一个 y 便构成平面 T
上的一个点 ( x, y ),
它就是一个基本结果. 因此， t
样本空间为
T
O
t
{(x, y) 0 x T,0 y T}
有 m1 m2 L mn 种不同方法.
乘法原理： 设完成 A 需要有 n 个步骤，
第 i 个步骤又包含 mi 种不同的方法，则完成过程 A 共 有 m1 m2 L mn 种不同的方法.
（1）排列数 从 n 个元素中取出 r 个进行排列：
有放回的重复排列数： 6 44 7r 个4 48 n n L n nr
P( A) 1 P( A) 1 C4183 0.696 C5123
二、几何概率
定义 设Ω是一个几何体(它可以是一维、二维、三
维或者任意 n 维的)且具有有限的度量(对一维情形是区 间长度, 二维情形是面积, 三维情形是体积等). 向 Ω中投 掷一质点 M , 如果 M 在 Ω 中均匀分布,则称该随机试验 是几何型的.
第三节 等可能概型（古典概型）
一、等可能概型
定义4：设随机试验E满足如下条件: (1) 试验的样本空间只有有限个样本点，即
1,2,L n
(2) 每个样本点的发生是等可能的，即
P(1 ) P(2 ) P(n )
则称试验为古典概型，也称为等可能概型。
概率计算公式
P( A)
k n
A
中所含的基本事件数 基本事件总数
由对称性知, Ω 中每个基本事件发生的可能性相同. 又 A1 {HTT,THT,TTH}，由此知 P(A1) 3 8.
(2) 由于 A2 {TTT}, 于是
P(A2 ) 1 P(A2 ) 11 8 7 8.
关于排列组合的计数原理
加法原理： 设完成过程A有n种不同方式， 若第i 种方式包含 mi 种不同方法，那么 完成过程 A 一共
设 A 表示事件 “ 甲乙两人能够会面 ”，则
A {(x, y) x y t, 0 x T , 0 y T}
于是
P(A)
( A)
T2
T
t 2
1 (1
t
)2
()
T2
T
例6 蒲丰(Buffon)投针问题. 平面上画有等距离为 a 的一些平行线，向平面上任意投一长为l(l<a)的针, 试求针与平行线相交的概率.
A
4
A1
A2
A3
A4 ,
且
A1, A2 , A3, A4
两两互斥，
又
P( Ai
)
C4i C4183i C5123
i 1,2,3,4
4
4
因此P( A) P( Ai )
i 1
i 1
C4i C4183 i C5123
0.696
换一种方法来计算这一概率：
从而
P( A)
C13 48
C13 52
实验者 年份 针长 投掷次数 相交次数 的实验值
Wolf 1850 0.8 5000 2532 3.1596
Smith 1855 0.6 3204 1218.5 3.1554
De Morgan,C. 1860 1.0
600
382.5 3.137
Fox
1884 0.75 1030 489
3.1595
sin
,(
x,
)
于是
P( A) ( A) l sind
() 0 2
a 2l 2 a
由于最后的答案与 有关，因此不少人想利用它来 计算 的数值，其方法是投针 n 次，计算针与线相交
的次数 k ，再以频率值 k n 作为概率 p 的值代入上结
果，求得
2ln
ak
投针试验的历史资料
注： M 在 Ω 中均匀分布指的是: 点 M 必定落于Ω 中, 而且落在区域 A( Ω) 中的可能性大小仅与 A的度 量成正比, 而与 A 的位置与形状无关.
设 A 表示“掷点落在 A 内” 的事件，那么事件 A 的 概率为
P( A) ( A) ()
称此概率为几何概率 .
例5 (约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在 预定地点会面. 先到者等候另一人, 经过时间 t (t<T)后 即离去,求甲乙两人能会面的概率 (假定他们在T内任一 时刻到达预定点是等可能的) .
又因为
“取到的两个球颜色相同” A U B, 且 AB .
从而
P(AU B) P(A) P(B) 4 1 5 99 9
(3) 因为 “取到的两个球中至少有一个是白球”的对立事件是 “取到的两个球没有一个是白球”
因此有 C B, 从而 P(C) P(B) 1 P(B) 8 9
不放回的情形与上述计算类似，其结果为
Lazzerini 1901 0.83 3408 1808 3.1415929
Reina 1925 0.5419 2520 859
3.1795
注：其中的线间距离 a 折算成 1
上述解决问题的思路：建立一个概率模型，它与某
些人们感兴趣的量----- 此处是数学常数 ----有关，然后
设计适当的随机试验，并通过这个试验的结果来确定这 些量。