2011、2012、2013年卓越联盟自主招生数学试题-免费下载

2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生

数学试题

分值: 分 时量: 分钟

一、选择题,

1.已知向量,a b 为非零向量,(2),(2),a b a b a b -⊥-⊥ 则,a b 夹角为( )

A. 6π

B. 3π

C. 32π

D. 6

5π 2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则

tan()tan()αβγαβγ++=-+( ) A. 11n n -+ B. 1n n + C .1n n - D.11

n n +- 3.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1AA 的中点,F 是棱11A B 上的点,且11:1:3A F FB =,则异面直线EF 与1BC 所成角的正弦值为( )

A. B. C. D. 4.i 为虚数单位,设复数z 满足||1z =,则2221z z z i

-+-+的最大值为( )

A. 1

B. 2

C. 1

D. 25.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,ABC ∆三个顶点都在抛物线上,且ABC ∆的重心为抛物线的焦点,若BC 边所在的直线方程为4200x y +-=,则抛物线方程为( )

A.. 216y x =

B. 28y x =

C. 216y x =-

D. 28y x =-

6.在三棱柱111ABC A B C -中,底面边长与侧棱长均不等于2,且E 为1CC 的中点,则点1C 到平面1AB E 的距离为( )

A. B. C. D. 7.若关于x 的方程

2||4

x kx x =+有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( ) A. (0,1) B. 1(,1)4 C.1(,)4

+∞ D. (1,)+∞ 8.如图,ABC ∆内接于O ,过BC 中点D 作平行于AC 的直线,l l 交AB 于E ,交O 于G F 、,交O 在A 点处的切线于P ,若3,2,3PE ED EF ===,则PA 的长为( )

A. B. D.9.数列{}k a 共有11项,1110,4,a a ==且1||1,1,2,,10k k a a k +-== 满足这种条件的不同数列的个数为( )

A. 100

B. 120

C. 140

D. 160

10.设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27

π的旋转,τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射.用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ.用k σ表示连续k 次σ的变换,则234στστστσ是( )

A. 4σ

B. 5σ

C.2στ

D.2τσ

二、解答题

11.设数列{}n a 满足1221,,2n n n a a a b a a a ++===+.

(1)设1n n n b a a +=-,证明:若a b ≠,则{}n b 是等比数列;

(2)若12lim()4,n n a a a →∞

+++= 求,a b 的值;

12.在ABC ∆中,2,AB AC AD =是角A 的平分线,且AD kAC =

. (1)求k 的取值范围;

(2)若1ABC S ∆=,问k 为何值时,BC 最短?

13.已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆与直线y x =相切.

(1)求椭圆的方程;

(2)过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ,与椭圆分别交于,P Q 及,M N ,求四边形PMQN 面积的最大值与最小值.

14.一袋中有a 个白球和b 个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n 次这样的操作后,记袋中白球的个数

为n X .

(1)求1EX ;

(2)设()n k P X a k p =+=,求1(),0,1,,;n P X a k k b +=+=

(3)证明:11(1) 1.n n EX EX a b

+=-

++

15.设()ln f x x x =.

(1)求()f x '; (2)设0,a b <<求常数c ,使得

1|ln |b a

x c dx b a --⎰取得最小值; (3)记(2)中的最小值为,Ma b ,证明,ln 2Ma b <.

参考答案:

一.选择题1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8.9.10.B D B C A D C B B D 二.解答题

11.【解】(1)证:由1221,,2n n n a a a b a a a ++===+,得2112()().n n n n a a a a +++-=--

令1,n n n b a a +=-则112n n b b +=-,所以{}n b 是以b a -为首项,以12

-为公比的等比数列; (2)由(1) 可知1*11()(()2

n n n n b a a b a n N -+=-=--∈, 所以由累加法得1111()2(),11(2n n a a b a +---=---即121()[1()],32n n a a b a +=+--- 也所以有121()[1()](2),132

n n a a b a n n -=+---≥=时,1a a =也适合该式; 所以1*21()[1()]()32

n n a a b a n N -=+---∈ 也所以

1211()224412()[()()()(13399212

n n n a a a na b a n na b a n b a b a --+++=+--=+---+--+ 由于12lim()4,n n a a a →∞+++= 所以24()0,()4,39

a b a b a +-=--=解得6,3a b ==-. 12.【解】(1)过B 作直线BE AC ,交AD 延长线于E ,如图右. 所以,

2,BD AB CD AC

== 也所以有2DE BE BD AD AC DC

===,即2,3.BE AC AE BD == 在ABE ∆中,有2222cos .AE AB BE AB BE EBA =+-⋅∠ 即222(3)(2)(2)2(22)cos AD AC AC AC AC A =++⋅⋅ 所以,2229()88cos ,kAC AC AC A =+⋅即2816(1cos )(0,)99

k A =+∈ 所以403

k <<. (2)因为21sin sin 12

ABC S AB AC A AC A ∆=⋅⋅== 在ABC ∆中,有2222254cos 2cos 54cos sin A BC AB AC AB AC A AC AC A A -=+-⋅=-=

记54cos sin A y A

-=,则sin 4cos )5y A A A ϕ+=+=

当sin()1A ϕ+=时53y ⇒=

此时y 取最小值,此时3cos 5

A =.