高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.5 椭圆课件 文
【解析】 如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所
以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为
焦点的椭圆，a＝1，c＝12，b2＝34，所以动点P的轨迹方程为x2
＋43y2＝1. 【答案】
x2＋43y2＝1
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的 动点，A(1,1)是一定点．求|PA|＋|PF|的最大值和最小值 ________．
第八章
平面解析几何
第五节 椭圆
考纲下载 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质．
请注意 1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，而 直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点． 2．定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的 形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不 等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中、高档题 目．
【答案】 12
在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注 意到常数2a>|F1F2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任 一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系．
突破考点 02
求椭圆的标准方程
（重点得分型——师生共研）
标准方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
＋ x－ 52＋y2]， 故由椭圆定义可知|AN|＋|BN|＝2×6＝12.
方法2：根据已知条件画出图形，如图．设MN的中点为 P，F1、F2为椭圆C的焦点，连接PF1、PF2.显然PF1是△MAN 的中位线，PF2是△MBN的中位线，∴|AN|＋|BN|＝2|PF1|＋ 2|PF2|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×6＝12.
突破考点01 突破考点02 突破考点03
突破考点04 高考真题演练
课时作业
突破考点 01
集合的基本概念
（基础送分型——自主练透）
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________的点的 轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距 离叫做椭圆的焦距．
常数(大于|F1F2|)
【调研1】 (1)已知A－12，0，B是圆x－122＋y2＝4(F为圆 心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨 迹方程为________．
则m32＋n42＝1，且mn ＝ 23，解得m2＝235，n2＝245. 故所求方程为2y52 ＋2x52 ＝1.
34
方法2：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为 x42＋y32＝t(t>0)，将点(2，－ 3)代入，得
t＝242＋－3 32＝2.
故所求方程为x82＋y62＝1.
若焦点在y轴上，设方程为
y2 4
＋
x2 3
＝λ(λ>0)代入点(2，－
3)，得λ＝2152， ∴2y52 ＋2x52 ＝1.
34
(1)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步 骤是：
①作判断：根据条件判断焦点的位置． ②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程 为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方 程组． ④求解，得方程．
∵椭圆过点A(3,0)．
∴a92＝1，∴a＝3，∵2a＝3×2b， ∴b＝1，∴方程为x92＋y2＝1. 若焦点在y轴上，设方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)．
∵椭圆过点A(3,0)，∴b92＝1，∴b＝3. 又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为8y12 ＋x92＝1. 综上所述，椭圆方程为x92＋y2＝1或8y12 ＋x92＝1.
【解析】
如图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6. ∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6. 利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号 成立)．
∴|PA|＋|PF|≤6＋ 2， |PA|＋|PF|≥6－ 2. 故|PA|＋|PF|的最大值为6＋ 2，最小值为6－ 2.
(4)方法1：∵e＝ac＝
a2－b2 a
＝
1－ba22＝
1－34＝12，若
焦点在x轴上，设所n2
＝1(m>n>0)，则1－
mn 2＝14.
从而mn 2＝34，mn ＝
3 2.
又m42＋n32＝1，∴m2＝8，n2＝6.
∴方程为x82＋y62＝1. 若焦点在y轴上，设方程为my22＋nx22＝1(m>n>0)，
【调研2】 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到 同侧顶点的距离为 3； (3)经过点P(－2 3，1)，Q( 3，－2)两点； (4)与椭圆x42＋y32＝1有相同离心率且经过点(2，－ 3)．
【解】 (1)若焦点在x轴上，设方程为 ax22＋by22＝1(a>b>0)．
(2)由已知，有aa＝－2c＝c， 3，
解得ac＝＝2
3， 3.
从而b2＝a2－c2＝9.
∴所求椭圆方程为1x22 ＋y92＝1或x92＋1y22 ＝1.
(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ∵点P(－2 3，1)，Q( 3，－2)在椭圆上， ∴132mm＋＋4nn＝＝11，， 解得m＝115，n＝15. 故1x52 ＋y52＝1为所求．
(2)①方程ax22＋by22＝1与ax22＋by22＝λ(λ>0)有相同的离心率．
【答案】 最大值6＋ 2，最小值6－ 2
(3)(2014·辽宁卷)已知椭圆C：
x2 9
＋
y2 4
＝1，点M与C的焦点
不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的
中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.
【解析】 方法1：由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(－ 5 ，0)，右焦点为F2( 5 ，0)，则M(m，n)关于F1的对称点为 A(－2 5 －m，－n)，关于F2的对称点为B(2 5 －m，－n)，设 MN中点为(x，y)，所以N(2x－m,2y－n)．所以|AN|＋|BN|＝ 2x＋2 52＋2y2＋ 2x－2 52＋2y2＝2[ x＋ 52＋y2
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高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆课件
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
范围 性 对称性 质
顶点
离心率 a，b，c 的关系
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴：__坐_标__轴___；对称中心：_原_点___
A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b)
3．已知椭圆2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4,0)，则 m＝(
)
A．2B．3Fra bibliotekC．4
D．9
B [由左焦点为 F1(－4,0)知 c＝4.又 a＝5，∴25－m2＝16，解得 m＝3 或－
3.又 m>0，故 m＝3.]
4．直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短
轴长的14，则该椭圆的离心率为( )
1
1
A.3
B.2
2
3
C.3
D.4
B [如图，|OB|为椭圆中心到 l 的距离，则|OA|·|OF|
＝|AF|·|OB|，即 bc＝a·b2，所以 e＝ac＝12.]
5．椭圆x42＋y32＝1 的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 A，B，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是__________. 【导学号：51062285】
∴x0＝－53c且 y0＝－b32， 代入椭圆 x2＋by22＝1，得 25c2＋b2＝9，① 又 c2＝1－b2，② 联立①②，得 b2＝23. 故椭圆 E 的方程为 x2＋32y2＝1.]
[规律方法] 1.(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 2a>|F1F2|这一 条件．
2025高考数学一轮复习-8.5-椭圆【课件】
得（x1－x2）a（2 x1＋x2）＋（y1－y2）b（2 y1＋y2）＝0. 因为线段AB的中点坐标为(1，－1)， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， 且 kAB＝xy11－－yx22＝12，所以ba22＝12，即 a2＝2b2②. 由①②，得 b2＝9，a2＝18，所以椭圆 E 的方程为1x82＋y92＝1.
第八章 平面解析几何
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 _椭__圆___.这两个定点叫做椭圆的__焦__点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦__距__， 焦距的一半称为半焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0， 且a，c为常数： (1)若__a_＞__c___，则集合P为椭圆； (2)若__a_＝__c___，则集合P为线段； (3)若__a_＜__c___，则集合P为空集.
D. x2＋y2＝1 18 9
解析 由题意可知，椭圆E的半焦距c＝3，所以a2－b2＝9①. 因为直线 AB 经过点(1，－1)，F(3，0)，所以 kAB＝－1－ 1－30＝12. 设点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则xaxa212222＋ ＋bbyy212222＝ ＝11， ，两式相减，
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
图形
ay22＋xb22＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.5 椭圆
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越“圆”。( × ) 解析 错误。根据椭圆离心率的意义可知，椭圆的离心率e越大，椭圆 就越“扁”而非“圆”。 (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。( √ ) 解析 正确。根据椭圆的性质可知，椭圆既是轴对称图形，又是中心 对称图形。
[练一练]
1．设 P 是椭圆x42＋y92＝1 上的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|
解得－3<m<5 且 m≠1。 答案 C
3．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则 C
的方程是( ) A.x32＋y42＝1 C.x42＋y22＝1
B.x42＋
y2 ＝1 3
D.x42＋y32＝1
解析 由中心在原点的椭圆 C 的右焦点 F(1,0)知，c＝1。 则ca＝12，得 a＝2。所以 b2＝a2－c2＝3， 故椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1。 答案 D
知识梳理
1．椭圆的定义 (1)我们把平面内到两个定点F1、F2的距离之 和 等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合叫作椭圆。这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1， F2间的距离叫作椭圆的 焦距 。 (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a， c为常数： ①若 a>c ，则集合P为椭圆； ②若 a＝c ，则集合P为线段； ③若 a<c ，则集合P为空集。
【解析】 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，P→F1⊥P→F2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2。 ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2。 ∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2。 ∴|PF1|·|PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×2b2＝b2＝9。 ∴b＝3。
2024年高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节椭圆课件
第四节 椭圆
知识点99：椭圆的定义及标准方程
教材知识萃取
椭圆的定义和标准方程
（1）定义平面内与两个定点 , 的距离的和等于①______（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的②______，两焦点间的距离叫做椭圆的③______.集合语言： , ,其中 ，且 , 为常数.注意 若 ，则动点的轨迹是线段 ；若 ，则动点的轨迹不存在．
教材素材变式
(2)易知椭圆+y2=1的焦点坐标为(±1,0),设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=1,因为椭圆过点(1,),所以2a=+=4,即a=2,所以b=,所以所求椭圆的标准方程为+=1.(3)设所求椭圆方程为+=1(m>0,n>0,m≠n).分别把A(2,-),B(-,-)的坐标代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为+y2=1.
教材素材变式
2. “1<m<5”是“曲线+=1表示椭圆”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
教材素材变式
3. 已知椭圆C:+=1(m>0)的一个焦点的坐标为(2,0),则m=A.1 B.2C.5 D.9
教材素材变式
【多维探究】若将本题中的条件“一个焦点的坐标为(2,0)”改为“焦距为4”,则m= .
几何性质
范围
对称性
对称轴：⑥___________.对称中心：⑦______.
轴、 轴
原点
知识点100：椭圆的几何性质
标准方程
几何性质
焦点
顶点
轴
焦距
离心率
续表
知识点100：椭圆的几何性质
说明 离心率表示椭圆的扁平程度,当 越接近于1时， 越接近于 ，从而 越小，因此椭圆越扁；当 越接近于0时， 越接近于0，从而 越大，因此椭圆越接近圆；当 时， , ，两焦点重合，图形就是圆.
知识点99：椭圆的定义及标准方程
教材知识萃取
椭圆的定义和标准方程
（1）定义平面内与两个定点 , 的距离的和等于①______（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的②______，两焦点间的距离叫做椭圆的③______.集合语言： , ,其中 ，且 , 为常数.注意 若 ，则动点的轨迹是线段 ；若 ，则动点的轨迹不存在．
教材素材变式
(2)易知椭圆+y2=1的焦点坐标为(±1,0),设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=1,因为椭圆过点(1,),所以2a=+=4,即a=2,所以b=,所以所求椭圆的标准方程为+=1.(3)设所求椭圆方程为+=1(m>0,n>0,m≠n).分别把A(2,-),B(-,-)的坐标代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为+y2=1.
教材素材变式
2. “1<m<5”是“曲线+=1表示椭圆”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
教材素材变式
3. 已知椭圆C:+=1(m>0)的一个焦点的坐标为(2,0),则m=A.1 B.2C.5 D.9
教材素材变式
【多维探究】若将本题中的条件“一个焦点的坐标为(2,0)”改为“焦距为4”,则m= .
几何性质
范围
对称性
对称轴：⑥___________.对称中心：⑦______.
轴、 轴
原点
知识点100：椭圆的几何性质
标准方程
几何性质
焦点
顶点
轴
焦距
离心率
续表
知识点100：椭圆的几何性质
说明 离心率表示椭圆的扁平程度,当 越接近于1时， 越接近于 ，从而 越小，因此椭圆越扁；当 越接近于0时， 越接近于0，从而 越大，因此椭圆越接近圆；当 时， , ，两焦点重合，图形就是圆.
高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆课件理北师大版
3．椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝_________． 解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2)＝4，所以 m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，所以 m＝8．所以m＝4或8． 答案：4或8
3．椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝_________． 解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2)＝4，所以 m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，所以 m＝8．所以m＝4或8． 答案：4或8
题型一 椭圆的定义与标准方程 1．已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦
点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( C )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
解析：由椭圆的方程得 a＝ 3．设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定 义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC 的周长为|BA|＋|BC|＋|CA| ＝ |BA|＋ |BF|＋ |CF|＋ |CA|＝ (|BA|＋ |BF|)＋ (|CF|＋ |CA|)＝ 2a＋ 2a＝ 4a＝ 4 3．
第八章 平面解析几何 第五节 椭圆
命题义、标准方程、本节主要考查考生的
几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的 数学运算、直观想象
命题热点，直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、 核心素养及考生对数
三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现， 形结合思想、转化与
1．设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于
点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( D )
高考数学(文)一轮复习 8-5椭圆
30
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
【变式训练2】
(1)[2017·锦州模拟]设椭圆C：
ax22＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥ F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A.
3 6
B.13
C.12
D.
3 3
解析 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝
＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，
|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角
三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2.
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
7
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点 的轨迹是椭圆．( × ) 2．椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
8
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
3．椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为 2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦 距)．( √ )
13
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
3．[2017·贵阳监测]椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，短轴长为4，则椭圆的方程为___1x_62_＋__y4_2_＝__1_____．
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第5节 椭 圆
则|PA|=r+1,|PB|=8-r,
可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,
则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.故选A.
角度二
椭圆的焦点三角形
[例2] (多选题)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆 C: + =1 的左、
右焦点分别是F1,F2, M( ,y0) 为椭圆C上一点,则下列结论正确的是
轴三等分,则此椭圆的方程是(
A.+=1
B.+ =1 源自 √C.+=1
D. +=1
)
解析:根据题意可设椭圆方程为 + =1,易知 2a=18,且 2c= ×2a,
解得a=9,c=3,
所以a2=81,b2=a2-c2=72,
所以 a=2 ,则离心率 e== .故选 C.
)
5.若方程
为
(0, )
+
=1 表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围
-
.
解析:由题可知,1-m>m>0,解得 0<m< ,所以实数m的取值范围为
(0,).
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
椭圆的定义及应用
角度一
根据定义判断曲线的形状
[例1] 一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,
那么动圆的圆心P的轨迹是(
√
A.椭圆
B.双曲线
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 85 椭圆课件
率)．
相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线
2．了解椭圆的简单应用．
与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，
3．理解数形结合的思想.
转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指
导作用，对运算能力的培养.
考点多维探究
考点 1 椭圆的定义与标准方程
回扣教材 1.椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的_和____等于_常 __数 ___ (大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这 两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做_焦__距__．_ (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝__2_a___，且 2a__>____|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中 a>c>0，且 a，c 为常 数． 注意：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为( )
A.x82＋y22＝1
B.1x22 ＋y62＝1
解析 ∵椭圆的离心率为 23，
C.1x62 ＋y42＝1
D.2x02 ＋y52＝1
∴ca＝ a2a－b2＝ 23，∴a＝2b.∴椭圆的方程为 x2＋4y2＝4b2. ∵双曲线 x2－y2＝1 的渐近线方程为 x±y＝0，
解析 由 x2＋my2＝1⇒y12＋x12＝1. m
m1 ＝2 1得 m＝14.
典例1
(1)[2013·广东高考]已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则 C 的方程
是( )
A.x32＋y42＝1
B.x42＋
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆课件文
交椭圆 C 于 A，B 两点，且△ C 的方程为_1x_62＋__y8_2＝__1_或__x8_2＋__1y_62_＝_1．
在未明确焦点的具体位置时，应分情况
讨论．
解析 由椭圆的定义及△ABF2 的周长知 4a＝16，则 a
＝4，又ac＝ 22，所以 c＝ 22a＝2 2，所以 b2＝a2－c2＝16 －8＝8.当焦点在 x 轴上时，椭圆 C 的方程为1x62 ＋y82＝1；当 焦点在 y 轴上时，椭圆 C 的方程为1y62 ＋x82＝1.综上可知，椭 圆 C 的方程为1x62 ＋y82＝1 或x82＋1y62 ＝1.
典例2
(2017·江西模拟)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，F1，
F2 为椭圆的左、右焦点，且焦距为 2 3，O 为坐标原点，点
P 为椭圆上一点，|OP|＝ 42a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比
数列，求椭圆的方程．
用待定系数法，根据已知列出方程组．
解 设 P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝a82， 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋ |PF2|2＝4a2， 又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列， ∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2， |PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2， ∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得 x2＋y2＋ 5c2＝2a2，
(1)利用向量数量积得到目标函数，利用 二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．
解 (1)设 P(x，y)，∴F1(－ 3，0)，F2( 3，0)， 则P→F1·P→F2＝(－ 3－x，－y)·( 3－x，－y)＝x2＋y2－3 ＝34x2－2， ∵x2∈[0,4]，∴34x2－2∈[－2,1]． ∴P→F1·P→F2的最大值为 1，最小值为－2.
高考数学(理)一轮复习课件：第8章 平面解析几何8-5
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第十二章
选考部分
2 2 x y 1 ＋ ＝1． 2．[教材改编]已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率为 ，则椭圆的标准方程为________ 4 3 2
x2 y2 解析 设椭圆标准方程为 2＋ 2＝1， a b
c＝1 a＝ 2 a 2 由已知可得c＝1， ⇒b＝ 3 2 2 2 c＝1 a ＝b ＋c
2 2 2 a ＝ b ＋ c 椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 为斜边长，_______________.
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第十二章
选考部分
小题快做 1.思考辨析 (1)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( √ ) (2)平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (3)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 是 m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ )
选考部分
典例1
x2 y2 (1)[2013· 课标全国卷Ⅰ]已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 a b ) x2 y2 B. ＋ ＝1 36 27 x2 y2 D. ＋ ＝1 18 9
E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为( x2 y2 A. ＋ ＝1 45 36 x2 y2 C. ＋ ＝1 27 18
焦距． 两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做______ 2a ，且 2a______|F > (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝______ 1F2|}，|F1F2|＝2c，其中 a>c>0，且 a，c 为常
数． 注意：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．