渗流数学模型
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岩土介质渗流数学模型与数值方法
岩土介质系统渗流数学模型
假定有一地下水系统，其渗流域为Ω，已知水头 边界为Γ1，已知流量边界为Γ2 ，隔水边界为零 流量边界，潜水面边界为Γ3 ，其岩土介质三维 渗流数学模型为：
岩Байду номын сангаас介质系统渗流数学模型
• 2.等效连续介质渗流数学模型。该模型中的 岩土介质系统中存在裂隙和孔隙，但裂隙比较 密集，在宏观尺度上把这种岩土介质可近似看 成连续介质，渗流数学模型中的参数为等效参 数。
几个基本概念
• 模拟： • 模拟是采用某种方法反映或再现客观存在 的现实，以便研究它所具有的客观规律性。模 型就是这种反映的形式和手段。从科学意义上 讲，模拟可定义为“各种不同过程和现象在专 门模型上的再现”。 • 一般来说，模拟可分为物理模拟和数学模 拟。
几个基本概念
• 从上述模拟和模型的概念上可以看出，模 拟是一切科学研究（定量化）的重要手段，模 拟是运行模型的过程，也是逼近现实物理背景 的本质手段，而模型是实现模拟的工具。在本 章节的研究中，着重运用数学模拟的方法，建 立各种条件下的岩土介质渗流数学模型，定量 化研究复杂的岩土介质体系的渗流问题，为工 程设计提供有用的工具。
• 1.多孔连续介质渗流数学模型。该模型是在 宏观尺度上，把岩土介质看作连续的多孔介质 体系，考虑岩体内裂隙导水、岩块储水而建立 的岩体双重介质渗流数学模型。 • 对于一个具体地下水系统而言，要建立岩土 介质地下水的渗流数学模型，需要针对实际， 构建特定问题的渗流方程、初始条件和边界条 件，由渗流方程和定解条件构成数学模型。
岩土水力学
岩土介质渗流数学模型与数值方法
几个基本概念
• 模型： • 模型就是把现实的复杂系统的本质部分 信息减缩成有用的可定量化的描述形式。它 是用来描述复杂系统的运动规律，是复杂系 统的一种客观写照或缩影，是分析实际系统 和预报、控制系统行为或状态的有力工具。 • 模型按照其表现形式可分为物理模型和 数学模型。
第6章 单相液体的渗流
（K =
∂(ρ n) + div ( ρ V ) = 0 ∂t p V2 p H =z+ + ≈z+ （∆H = H 2 − H1） γ 2g γ
γ ⋅ k） µ
ρ = ρ 0e β p
(1 − n ) = (1 − n 0 ) e − α p
定解条件——初始条件、边界条件（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类） 初始条件、边界条件（ 定解条件 初始条件
ΦM =
平面： M = Φ
1 ∑ (qi ⋅ Lnri ) + C 2π i =1
i =1 n
∑ Φ Mi
n
， Φe − ΦM =
i =1
∑（ Φ e
n
− Φ Mi ）
1 n 1 球形： M = Φ ∑ (−Qi ⋅ r ) + C 4π i =1 i 1 n Φ 平面： e − Φ M = ∑ (qi ⋅ Ln 2π i =1 Rei ) ri
1 n 1 1 球形： e − Φ M = Φ (Qi（ − ⋅ ） ) ∑ 4π i =1 ri Rei
第六章的重点内容
1、单相均质液体渗流的数学模型 （1）一般结构：封闭方程组+定解条件 2 （2）数学模型： ∇ p = 0 2、渗流的基本类型及其特征 （1）基本假定：渗流遵循达西定律、渗透率与粘度等为常数 （2）基本类型：直线渗流、平面径向渗流、球形径向渗流 3、单相液体的渗流计算
n=0 直线渗流（平面和剖面均为平行流） 平面和剖面均为平行流） n=1 平面径向渗流（平面对称径向流、剖面平行流） 平面对称径向流、剖面平行流） n=2 球形径向渗流（平面与剖面均对称径向流） 平面与剖面均对称径向流）
一、直线渗流
1、数学模型 、
d p
∂(ρ n) + div ( ρ V ) = 0 ∂t p V2 p H =z+ + ≈z+ （∆H = H 2 − H1） γ 2g γ
γ ⋅ k） µ
ρ = ρ 0e β p
(1 − n ) = (1 − n 0 ) e − α p
定解条件——初始条件、边界条件（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类） 初始条件、边界条件（ 定解条件 初始条件
ΦM =
平面： M = Φ
1 ∑ (qi ⋅ Lnri ) + C 2π i =1
i =1 n
∑ Φ Mi
n
， Φe − ΦM =
i =1
∑（ Φ e
n
− Φ Mi ）
1 n 1 球形： M = Φ ∑ (−Qi ⋅ r ) + C 4π i =1 i 1 n Φ 平面： e − Φ M = ∑ (qi ⋅ Ln 2π i =1 Rei ) ri
1 n 1 1 球形： e − Φ M = Φ (Qi（ − ⋅ ） ) ∑ 4π i =1 ri Rei
第六章的重点内容
1、单相均质液体渗流的数学模型 （1）一般结构：封闭方程组+定解条件 2 （2）数学模型： ∇ p = 0 2、渗流的基本类型及其特征 （1）基本假定：渗流遵循达西定律、渗透率与粘度等为常数 （2）基本类型：直线渗流、平面径向渗流、球形径向渗流 3、单相液体的渗流计算
n=0 直线渗流（平面和剖面均为平行流） 平面和剖面均为平行流） n=1 平面径向渗流（平面对称径向流、剖面平行流） 平面对称径向流、剖面平行流） n=2 球形径向渗流（平面与剖面均对称径向流） 平面与剖面均对称径向流）
一、直线渗流
1、数学模型 、
d p
第二章油气渗流的数学模型
油气层渗流力学
第二章 油气渗流的数学模型
主要内容
§2.1 概述 §2.2 渗流基本微分方程的建立 §2.3 典型数学模型 §2.4 定解条件
§2.1 概
一、建立数学模型的基础
述
油气渗流数学模型的研究方法是把一定地质条件下油气渗 流的力学问题转换为数学问题，然后求解， 流的力学问题转换为数学问题，然后求解，再联系油气田开发 的实际条件应用到生产当中去。 的实际条件应用到生产当中去。 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异， 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异，伴随渗 流过程出现的物理化学现象也不同， 流过程出现的物理化学现象也不同，故有很多类型的渗流数学 模型。 模型。
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
3、确定未知数（因变量）和其他物理量之间的关系 确定未知数（因变量） 确定选用的运动方程 确定所需的状态方程 确定连续性方程 确定伴随渗流过程发生的其他物理化学作用的函 数关系
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
4、推导数学模型所需的综合微分方程 用连续性方程作为综合方程，把其他方程代入连续 性方程中，得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分 方程或微分方程组。
§2.1 概
述
二、油气渗流数学模型的一般结构
油气渗流基本微分方程体现了在渗流过程中需要研究的流 体力学、物理学和化学问题的总和， 体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象的 内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几方 内在联系。因此， 面的因素： 面的因素： 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程， 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所以 需要建立流体和岩石的状态方程； 需要建立流体和岩石的状态方程；
第二章 油气渗流的数学模型
主要内容
§2.1 概述 §2.2 渗流基本微分方程的建立 §2.3 典型数学模型 §2.4 定解条件
§2.1 概
一、建立数学模型的基础
述
油气渗流数学模型的研究方法是把一定地质条件下油气渗 流的力学问题转换为数学问题，然后求解， 流的力学问题转换为数学问题，然后求解，再联系油气田开发 的实际条件应用到生产当中去。 的实际条件应用到生产当中去。 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异， 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异，伴随渗 流过程出现的物理化学现象也不同， 流过程出现的物理化学现象也不同，故有很多类型的渗流数学 模型。 模型。
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
3、确定未知数（因变量）和其他物理量之间的关系 确定未知数（因变量） 确定选用的运动方程 确定所需的状态方程 确定连续性方程 确定伴随渗流过程发生的其他物理化学作用的函 数关系
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
4、推导数学模型所需的综合微分方程 用连续性方程作为综合方程，把其他方程代入连续 性方程中，得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分 方程或微分方程组。
§2.1 概
述
二、油气渗流数学模型的一般结构
油气渗流基本微分方程体现了在渗流过程中需要研究的流 体力学、物理学和化学问题的总和， 体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象的 内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几方 内在联系。因此， 面的因素： 面的因素： 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程， 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所以 需要建立流体和岩石的状态方程； 需要建立流体和岩石的状态方程；
渗流数学模型的边界条件
渗流数学模型的边界条件
1. 接口边界条件：定义模型中不同材料之间的边界，例如固体-液体、液体-气体等界面的性质。
这些边界条件可以通过定义反射、吸收、折射等参数来描述。
2. 几何边界条件：确定模型的几何形状和边界形状，包括模型的尺寸、形态和边界曲线等。
这些边界条件可以是直线、圆弧、椭圆等简单形状，也可以是复杂的非线性边界。
3. 边界条件类型：指定在边界上施加的条件类型，如固定边界、自由边界、边界源项等。
在固体边界上施加压力或位移条件，在流体边界上施加速度或压力条件。
4. 边界条件参数：给定边界条件的具体数值或函数关系。
通常涉及流体流动的初始条件、边界上的约束条件、边界通量等。
这些参数可以是恒定值，也可以是随时间或空间变化的函数。
5. 边界扩展条件：用于处理模型中的边界处的不完整性或缺失，包括超限条件、周期性边界条件、无流条件等。
这些条件可以帮助将模型在边界区域之外扩展，以适应更广泛的应用情况。
请注意，在涉及确认真实名字和引用的情况下，建议使用具体案例或相关研究来说明边界条件的应用，但需要注意不透露任何个人信息或侵犯他人的权益。
渗流模型知识点总结图
渗流模型知识点总结图渗流模型是描述地下水流动和传输的数学模型，它可以帮助我们理解和预测水在地下的流动情况。
渗流模型可以应用于地下水资源管理、地下水污染治理、水文地质等领域，具有重要的实用价值。
下面是关于渗流模型的一些重要知识点总结。
1. 渗流方程渗流模型的数学描述基于渗流方程，它描述了地下水在多孔介质中的流动规律。
渗流方程通常采用达西定律和杜安-卡丁方程进行描述，它们可以用来描述地下水的渗流速度、渗透率、孔隙度等参数之间的关系。
2. 边界条件在渗流模型中，边界条件是描述模型边界上的地下水流动情况的重要参数。
常见的边界条件包括：Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和混合边界条件。
这些边界条件可以帮助我们对地下水流动的边界条件进行准确描述，是渗流模型计算的基础。
3. 初始条件渗流模型中的初始条件是指模型开始计算时的地下水流动情况。
初始条件通常是指地下水位和地下水流动速度的初始数值，它们是模型计算的起点。
在模型计算中，初始条件的准确性对计算结果具有重要影响。
4. 离散化方法为了解决渗流方程，通常需要将其离散化。
常见的离散化方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法可以将连续的渗流方程转化为离散的问题，通过计算机进行数值计算，得到地下水流动的数值解。
5. 模型验证渗流模型的验证是指利用现场观测数据来验证模型的准确性和可靠性。
验证通常包括比对模型计算结果和现场观测数据，评估模型的拟合程度，以及对模型参数的敏感性分析等。
模型验证可以帮助我们了解模型的适用范围和局限性，提高模型的预测准确性。
6. 模型应用渗流模型在地下水资源管理、地下水污染治理、水文地质和地下水开采等领域有着广泛的应用。
通过渗流模型，我们可以模拟地下水流动过程，预测地下水位和地下水流向，并为地下水资源的合理开发和保护提供科学依据。
此外，渗流模型也可以帮助我们理解地下水污染的传播规律，优化地下水治理方案。
总的来说，渗流模型是描述地下水流动和传输的重要工具，它可以帮助我们理解地下水资源的分布和变化规律，为地下水资源管理和保护提供科学依据。
地下水渗流基本方程及数学模型总结
p减少 有效应力增大会引起固体颗粒的压缩变形。固 体颗粒的压缩变形比多孔介质中空隙的变形小得多，通
常可忽略。
（二）含水层的状态方程
含水层弹性存储的概念： 弹性储存：当地下水水头（水压）降低（或升高）时， 含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质。 含水层弹性存储的物理意义：
（承压含水层）弹性储存与（潜水）重力储存不同；
第一步：化简方程左端项： 当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有：
H v x K xx x
H v y K yy y
H v z K zz z
( v x ) H H H ( K xx ) [ K xx (K xx )] x x x x x x x
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流的基本微 分方程的推导 二、地下水运动微分方程的各种形式 三、地下水运动数学模型的建立及求解
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导 为反映含水层地下水运动的普遍规律，研究选定在各向 异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。 水均衡的基本思想，对某一研究对象：
描述地下水运动的数学模型及解算方法二地下水运动微分方程的各种形式zzyyxxzzyyxx使潜水面边界处理的简单化直接近似地在微分方程中处理dsdh此时1潜水面比较平缓等水头面呈铅直水流基本水平可忽略渗流速度的垂直分量v2隔水底板水平铅垂剖面上各点的水头都相等各点的水力坡度和渗流速度都相等sin可以近似地用tg代替此即著名的dupuit假设
m d( )
m
1 d d ( )
常可忽略。
（二）含水层的状态方程
含水层弹性存储的概念： 弹性储存：当地下水水头（水压）降低（或升高）时， 含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质。 含水层弹性存储的物理意义：
（承压含水层）弹性储存与（潜水）重力储存不同；
第一步：化简方程左端项： 当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有：
H v x K xx x
H v y K yy y
H v z K zz z
( v x ) H H H ( K xx ) [ K xx (K xx )] x x x x x x x
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流的基本微 分方程的推导 二、地下水运动微分方程的各种形式 三、地下水运动数学模型的建立及求解
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导 为反映含水层地下水运动的普遍规律，研究选定在各向 异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。 水均衡的基本思想，对某一研究对象：
描述地下水运动的数学模型及解算方法二地下水运动微分方程的各种形式zzyyxxzzyyxx使潜水面边界处理的简单化直接近似地在微分方程中处理dsdh此时1潜水面比较平缓等水头面呈铅直水流基本水平可忽略渗流速度的垂直分量v2隔水底板水平铅垂剖面上各点的水头都相等各点的水力坡度和渗流速度都相等sin可以近似地用tg代替此即著名的dupuit假设
m d( )
m
1 d d ( )
渗流力学 第二章 数学模型
5.根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致 6.确定数学模型的适定性:解的存在、唯一、稳定性问题 7.给出问题的边界条件和初始条件
第二节 运动方程
渗流服从线性规律时，渗流速度为: v K P
L
其微分形式为： v K dP
dL
将上式从均质地层的稳定渗流 推广到非均质地层的不稳定渗流
性压缩系数C、导压系数æ等)和流体的物理参数（如 粘度μ、密度ρ、体积系数B等)
第一节 建立数学模型的原则
2.研究各物理量的条件和状况
过程状况：是等温过程还是非等温过程； 系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝
析系统； 相态状况：是单相还是多相甚至是混相； 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流
液体的状态方程 气体的状态方程 岩石的状态方程
第三节 状态方程
一、液体的状态方程
液体具有压缩性，随着压力降低，体 积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：
CL
1 VL
dVL dP
(1)
根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时
液体质量M不变,即
M VL (2)
微分上式得：
dVL
M
2
d
(3)
将VL、dVL代入(1)式得：
v K gradP
或写成：
K P
vx
x
vy
K
P y
vz
K
P z
第三节 状态方程
渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程， 由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因 此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描 述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状 态方程”。
发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数； ②由于
第二节 运动方程
渗流服从线性规律时，渗流速度为: v K P
L
其微分形式为： v K dP
dL
将上式从均质地层的稳定渗流 推广到非均质地层的不稳定渗流
性压缩系数C、导压系数æ等)和流体的物理参数（如 粘度μ、密度ρ、体积系数B等)
第一节 建立数学模型的原则
2.研究各物理量的条件和状况
过程状况：是等温过程还是非等温过程； 系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝
析系统； 相态状况：是单相还是多相甚至是混相； 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流
液体的状态方程 气体的状态方程 岩石的状态方程
第三节 状态方程
一、液体的状态方程
液体具有压缩性，随着压力降低，体 积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：
CL
1 VL
dVL dP
(1)
根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时
液体质量M不变,即
M VL (2)
微分上式得：
dVL
M
2
d
(3)
将VL、dVL代入(1)式得：
v K gradP
或写成：
K P
vx
x
vy
K
P y
vz
K
P z
第三节 状态方程
渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程， 由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因 此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描 述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状 态方程”。
发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数； ②由于
油气渗流的数学模型
div[( ogs gs )vo ]dxdydzdt
由于气体分离出来，在单元体内油被气相替代，因此，油相饱 和度也将发生变化，在单元体孔隙内油相质量随时间变化为：
( ogs gs ) So dxdydzdt t
根据质量守恒定律，上面两式应该相等，得到油、气两 相渗流时，油相的连续性方程：
或
( v x ) ( v y ) ( v z ) y z x
散度，M点单位体积 单位时间向包围曲面 ( ) 外流出的流体体积
t
上式可写成： ( ) div ( v ) 0 t 上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守 恒方程（连续性方程）
单相渗流的连续性方程 两相渗流的连续性方程
一、单相渗流的连续性方程
在地层中取微小六面体单元，单元体中M点质量速度在各 坐标上分量为ρvx、ρvy、和ρvz。
vx
vy
( vx ) dx x 2 ( vy ) dy
y 2
vz
( vz ) dz z 2
vox voy voz So y z t x
可以写为
So div(vo ) 0 t
对水相来讲，同样可以得出：
S w div(vw ) 0 t
2．油、气两相渗流的连续性方程
在油、气两相渗流时，溶有气体的石油经过单元地层，由于 地下单位体积原油 在压力P下溶有气体 压力降低而分出气体，因此，油的质量发生变化，在 dt时间 中溶解气质量 的地下原油密度 内流入流出的质量差为：
第2章 油气渗流的数学模型
建立数学模型的原则
运动方程 状态方程 质量守恒方程 典型油气渗流数学模型建立 数学模型的初边值条件
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于压力降低而分出气体，因此，油的质量发生变化，在dt 时间内流入流出的质量差为：
div[( ogs gs )vo ]dxdydzdt
由于气体分离出来，在单元体内油被气相替代，因此，油 相饱和度也将发生变化，在单元体孔隙内油相质量随时间 变化为：
( ogs gs ) So dxdydzdt t
单相渗流的连续性方程 两相渗流的Βιβλιοθήκη 续性方程第四节 质量守恒方程
一、单相渗流的连续性方程
微分法（无穷小单元分析法）：地层中取微小六面体单元， 其中M点质量速度在各坐标上分量为ρvx、ρvy、ρvz。
vx
vy
( vx ) dx x 2 ( vy ) dy
y 2
vz
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( ) y z t 散度，M点单位体积单 x 位时间向包围曲面外流 出的流体体积 上式可写成： ( ) div ( v )0
或
t
上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守恒 方程（连续性方程）
( vz ) dz z 2
第四节 质量守恒方程
1.流入流出质量差
dt时间经a'b'面流入的质量流量应为：
dt时间经a"b"面流出的质量流量为：
( vx ) dx vx x 2 dydzdt
( vx ) dx vx x 2 dydzdt
可以写为
S w 对水相来讲，同样可以得出： div(vw ) 0 t
So div(vo ) 0 t
第四节 质量守恒方程
2．油、气两相渗流的连续性方程 在压力P下溶有气体
地下单位体积原油 的地下原油密度 在油、气两相渗流时，溶有气体的石油经过单元地层，由 中溶解气质量
v
gradP
第三节 状态方程
渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程， 由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因 此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描 述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状 态方程”。
液体的状态方程 气体的状态方程 岩石的状态方程
第四节 质量守恒方程
根据质量守恒定律，上面两式应该相等，得到油、气两 相渗流时，油相的连续性方程：
div ( ogs gs )vo t ( ogs gs ) So 0
对于气相应包括溶解气及已分离出的自由气，在dt时间 内这两部分气体流过单元六面体地层的质量变化为： 自由气： div( g vg )dxdydzdt 溶解气：
t
dt时间流体质量总的变化为： ( ) dxdydzdt
t
第四节 质量守恒方程
显然dt时间内六面体总的质量变化应等于六面体在dt时间 内流入与流出的质量差，即：
( v x ) ( v y ) ( v z ) ( ) dxdydzdt dxdydzdt y z t x
第一节 建立数学模型的原则
2.研究各物理量的条件和状况
过程状况：是等温过程还是非等温过程； 系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝 析系统； 相态状况：是单相还是多相甚至是混相； 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流 规律，是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。
第一节 建立数学模型的原则
div( gs vo )dxdydzdt
第四节 质量守恒方程
[( gs So g S g )] dxdydzdt [ gs So (1 So ) g ]dxdydzdt t t
气相通过单元地层，质量发生了变化必然使单位地层内的 气相饱和度发生变化，因而单元地层六面体内经dt时间的 质量变化为：
第二节 运动方程
渗流服从线性规律时，渗流速度为: 其微分形式为：
K P v L
K
将上式从均质地层的稳定渗流
K dP v dL
推广到非均质地层的不稳定渗流 或写成：
K P v x x K P v y y K P v z z
3.确定未知数和其它物理量之间的关系
dP vi f A, B, dx 状态方程：物理参数和压力的关系
运动方程：速度和压力梯度的关系 Ai=fi(P，T);Bi=fi(P，T) 连续性方程：渗流速度v和坐标及时间的关系或饱和度与 坐标和时间的关系：
v= f(x，y，z，t，A，B)(对单相流体) S= f(x，y，z，t，A，B)(对两相流体)
△φ —当压力变化ΔP时的孔隙度的改变量
Vf
P
P
dP
分离变量，Cf取常数，并设P=P0时，φ = φ 0积分
0 C f ( P P0 )
不同岩石的压缩系数是不同的，一般在1.5×10-4~3×10-41/MPa之间。 在弹性变形外，会产生塑性变形，此时应考虑塑性变形状态方程
第三节 状态方程
一、液体的状态方程
液体具有压缩性，随着压力降低，体 C 积膨胀，其特性可用压缩系数来描述： L 根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时 液体质量M不变,即
1 dVL VL dP
(1)
M VL
(2)
微分上式得：
dVL
M
2
d
(3) (4)
将VL、dVL代入(1)式得：
第四节 质量守恒方程
如果是不可压缩流体(即ρ =常数)在刚性孔隙介质中流动 (φ =常数)，则
( ) 0 t
连续性方程为： ( ) div ( v ) 0 t
div( v ) 0
物理意义：六面体流出流入质量差为零，即流入六面体的 质量与流出的质量相等。它仍然是一个质量守恒方程式。 这是不考虑弹性力作用的连续性方程，由于和时间无关， 所以又称稳定渗流的连续性方程。
( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt y z x
第四节 质量守恒方程
2.单元体内质量变化
经过六面体流入与流出的质量之所以会不一样，是因为在 六面体内岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部 分质量的结果(岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的 弹性表现为液体密度的变化) 六面体内的孔隙体积： dxdydz 流体质量： dxdydz ( ) dxdydz 单位时间内流体质量变化率：
1 d CL dP
第三节 状态方程
大气压力(或 初始压力)
P0下流体 的密度
分离变量，CL取常数，并设P=P0时，ρ=ρ0积分(4)式： CL ( P P 0) (5) 0 将(5)式按麦克劳林级数展开，取其前两项已具有足够的精 确性：
e
0[1 CL ( P P0 )]
(2)
第四节 质量守恒方程
根据质量守恒定律，(1)、(2)式应该相等
( ovox ) ( ovoy ) ( ovoz ) dxdydzdt y z x
So o dxdydzdt t
vox voy voz So y z t x
第一节 建立数学模型的原则
三、建立数学模型的步骤 1.确定建立模型的目的和要求
解决的问题:①压力P的分布②速度v的分布（包括求流 量） ③ 饱和度S的分布④ 分界面移动规律。 自变量：空间和时间，(x,y,z)或(r,θ,z)和时间t 因变量：压力P和速度v；两相或多相流S分布 其它参数：地层物性参数(如渗透率K、孔隙度ф、弹 性压缩系数C、导压系数æ等)和流体的物理参数（如 粘度μ、密度ρ、体积系数B等)
(1)
第四节 质量守恒方程
油相经过六面体之所以会发生质量变化，是因为六面体内 油被水驱替所引起的结果。若在t时刻六面单元体内油的饱 和度为So，t+dt时刻油的饱和度为 S So dt
o
dt时间内饱和度变化为 S o dt t 饱和度变化引起的油相质量变化为
t
So o dxdydzdt t
第四节 质量守恒方程
二、两相渗流的连续性方程
1．油水两相渗流的连续性方程
假设：两相都是不可压缩的液体，且彼此不互相溶解和发 生化学作用， 取一个单元六面体dxdydz可对油水两相分别写出质量守恒 的连续性方程。 对油相来说，在dt时间内单元六面体流出流入的质量差为
( o vox ) ( o voy ) ( o voz ) dxdydzdt y z x
第二章 油气渗流的数学模型
建立数学模型的原则 运动方程 状态方程 质量守恒方程 数学模型的初边值条件
第一节 建立数学模型的原则
建立数学模型的基础 油气渗流数学模型的一般结构 建立数学模型的步骤
第一节 建立数学模型的原则
二、油气渗流数学模型的一般结构
(l)运动方程（所有数学模型必须包括的组成部分）。 (2)状态方程（在研究弹性可压缩的多孔介质或流体时需要包括）。 (3)质量守恒方程（又称连续性方程，它可以将描述渗流过程各个 侧面的诸类方程综合联系起来，是数学模型必要的部分）。 以上三类方程是油气渗流数学模型的基本组成部分。 (4)能量守恒方程（只有研究非等温渗流问题时才用到）。 (5)其它附加的特性方程（特殊的渗流问题中伴随发生的物理或化 学现象附加的方程。如物理化学渗流中的扩散方程等）。 (6)有关的边界条件和初始条件（是渗流数学模型必要的内容）。