二次函数y=ax^2+k的图象与性质课件
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移 11个单位得到。 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
11 2
… … …
1 2 y x 2
2
3
1 2 3 2
0
1
2
3
连线
相同
1 2 y x 1 2
1 2 y x 2
你会比较这两 个函数吗?
这两个函数的图 象的形状相同吗?
x
1 y x2 1 2
… -3 -2 -1 … …
9 2 11 2
0
1
2
3
… … …
1 2 y x 2
2
3
1 2 3 2
y ax k的图象与性质
2
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0时， y随着x的增大而增大。 y 随着 x 的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 性 y随着x的增大而增大。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
y=-x2+3
y=-x2
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
y=-x2-2
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状 相同 ，只是位置不同； 当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的 上 个单位得到，当 k 图象向 平移 k<0 时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象 |k| 向 平移 下个单位得到。 上加下减
a<0
0
1
1 9 2 2 2 3 11 3 2 2 1 2 y x 1 2
函数y=
的图象沿y轴向上 平移1个单位长度 得到.
1 2 x +1的 2 1 图象可由y= 2 x2
1 2 y x 2
函数y= x2+1的图象与
1 2 y= x 的图象的位置有 2 什么关系?
1 2
函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到. 函数y=-x2-2的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向下平移 2个单位长度得到.
列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … …
1 2 … y x 2 1 2 y x 1 … 2
列表
x … -3 -2 -1 2 0 0 1 2 2 3 … … …
1 2 … 9 y x 2 2 1 2 y x 1 … 2
1 2
1 2
9 2
列表
x … -3 -2 -1 0 0 1 1 2 3 …
x=0时,y最大=k
抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
3.试说出函数 y ax k 的图象的开口方向、
2
对称轴和顶点坐标, 并填写下表。
开口方向 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 (0 , k) (0 , k)
y ax k
2
a>0
向上 向下
1 2 试研究二次函数y x 2x 3 的图象。 2
将函数关系式配方，得 1 2 y (x 2) 1 2
将函数关系式配方，得 1 2 y (x 2) 1 2
1 2 我们设法寻求它与函数 y x 的联系。 2
我们先来看几个简单的例子。
在同一直角坐标系中，
1 2 1 2 画出函数 y x 与 y x 1的图象。 2 2
1 2 … 9 y x 2 2 2 1 2 11 … y x 1 3 2 2
这两个函数有什么 不一样的地方?
1 2 3 2
1 2 3 2
9 … 2 2 11 … 3 2
x
1 y x2 1 2
… -3 -2 -1 … …
9 2 11 2
0
1
1 2 3 2
2
3
9 2
11 2
… … …
1 2 y x 2
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
6
y=-x2+3
5
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，函数取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，函数取得最 大 值，这个值等于 k 。
y=ax2+k (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,k) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,k) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=k
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,5) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小 ， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。 （5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
2
3
1 2 3 2
0
1
2
3
描点
x
1 y x2 1 2
… -3 -2 -1 … …
9 2 11 2
0
1
1 2 3 2
2
3
9 2
11 2
… … …
1 2 y x 2
2
3
1 2 3 2
0
1
2
3
描点
x
1 y x2 1 2
… -3 -2 -1 … …
9 2 11 2
0
1
1 2 3 2
2
3
9 2
合集下载
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数y=ax^2的图象和性质课件
(3) 连线
还记得如何用 描点法画一个函数 的图像吗?
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y),再 用平滑曲线顺次连接各 点,就得到y=x2的图像.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
请画函数y=－x2的图像
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 y= － x -7 -8 -9 -10
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都 是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在 y y 空中所经过的路线. o x 这样的曲线叫做抛物线.
当x=0时,最大值为0
画出函数y=x2、y=2x2、y=
1 2
x2的图象：
顶点坐标
y=2x2
y=x2 y= 2 x2
1
a>0，开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同
只是开口 大小不同 二次项系数越大， 开口越小 顶点都是原点(0,0)
画出函数y=-x2、y=-2x2、y=-
1 2
x2的图象：
是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上 无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0.
5.二次函数的图像和性质课件
大
-1
当x=0时，y取最____值____。
02
知识精讲
平移口诀1
函数y=x2+1的图像可以由函数y=x2的图像向上平移一个单位长度得到；
函数y=x2-1的图像可以由函数y=x2的图像向下平移一个单位长度得到；
函数y=-x2+1的图像可以由函数y=-x2的图像向上平移一个单位长度得到；
函数y=-x2-1的图像可以由函数y=-x2的图像向下平移一个单位长度得到。
的图像和性质
01
情境引入
Q1：用描点法画出y=(x+3)2的图像，并与y=x2作对照
x
…
y=(x+3)2 …
x
y=x2
-6 -5
9 4
…
…
-4
1
-3
9
-3
0
-2
4
-2
1
-1
1
-1
4
0
0
0
9
1
1
…
…
2
4
当自变量偏移3个单位长
将点(1,1)向左平移3个
度时，两个函数的值相同
单位长度得(-2,1)……
3
【平移口诀1】上加下减
02
知识精讲
练一练1：根据平移口诀1，完成下列填空：
下
4
向_____平移_____个单位得到
上
8
向_____平移_____个单位得到
下
3
向_____平移_____个单位得到
上
6
向_____平移_____个单位得到
02
知识精讲
练一练2：根据练一练1平移后的图像，完成下列填空：
5
y=-2x2+3
-1
当x=0时，y取最____值____。
02
知识精讲
平移口诀1
函数y=x2+1的图像可以由函数y=x2的图像向上平移一个单位长度得到；
函数y=x2-1的图像可以由函数y=x2的图像向下平移一个单位长度得到；
函数y=-x2+1的图像可以由函数y=-x2的图像向上平移一个单位长度得到；
函数y=-x2-1的图像可以由函数y=-x2的图像向下平移一个单位长度得到。
的图像和性质
01
情境引入
Q1：用描点法画出y=(x+3)2的图像，并与y=x2作对照
x
…
y=(x+3)2 …
x
y=x2
-6 -5
9 4
…
…
-4
1
-3
9
-3
0
-2
4
-2
1
-1
1
-1
4
0
0
0
9
1
1
…
…
2
4
当自变量偏移3个单位长
将点(1,1)向左平移3个
度时，两个函数的值相同
单位长度得(-2,1)……
3
【平移口诀1】上加下减
02
知识精讲
练一练1：根据平移口诀1，完成下列填空：
下
4
向_____平移_____个单位得到
上
8
向_____平移_____个单位得到
下
3
向_____平移_____个单位得到
上
6
向_____平移_____个单位得到
02
知识精讲
练一练2：根据练一练1平移后的图像，完成下列填空：
5
y=-2x2+3
二次函数的图像和性质——y=ax^2的图像 (共14张PPT)
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例1 已知二次函数 y ＝ m －1 xm2 ＋ m 的图像开口向下．
（1）求m的值和函数表达式．
解：（1）由题意知：m－1＜0且m²＋m＝2，则m＝－2．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例2 已知二次函数y＝ax²(a≠0)的图像经过点（2，3）． 求：（1）a的值和写出解析式．
列表时自变量要 均匀和对称！
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例2 画出y＝－x2图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=-x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ...
5.2 二次函数的图像和性质(1)
请在直角坐标系中画出函数
y＝
1 2
x2
和
y＝2 x2
、
初中数学 九年级(下册)
5.2 二次函数的图像和性质（1）
5.2 二次函数的图像和性质(1)
画函数图像步骤：列表 描点 连线 研究函数性质方法：数形结合 二次函数的图像是怎样的？ 试着画一画吧！
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例1 画出函数y＝x2的图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
（2）确定图像的开口方向．
解：（1）将（2，3）代入y＝ax²（a≠0），得a＝0.75； （2）抛物线y＝0.75x²，开口向上．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
本节课我们学习了什么？
抛物 y轴 线
向上 向下
（0,0） 最低点
（0,0） 最高点
5.2 二次函数的图像和性质(2)
分别说出下列函数图像的开口方向、顶 点坐标、对称轴：
九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)
(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，
人教版九年级上册数学《二次函数y=ax2+k 的图象和性质》说课教学复习课件
知识点详解
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象。解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
知识点详解
y = x2
知识点详解
可以看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点。实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。
y = x2
练习题
3、已知 是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式。解：依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ②解②得:m1=－2, m2=1由①得:m>－1∴ m=1此时,二次函数为: y=2x2 。
（0，k）
（0，k）
二次函数"y=ax2+c"的性质
1.抛物线y＝3x2＋7可以由抛物线y＝3x2向 平移 ____个单位得到．2.抛物线y＝-3x2+1向 平移 个单位后会得到抛物线y=-3x2．3.抛物线y＝-2x2-3的开口方向 ，对称轴是_____，顶点坐标是 .
思考
抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？
抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位.
向上
向下
|k|
小结
通过描点法画出？
思考：抛物线,与抛物线y= x2 有什么关系？
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象。解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
知识点详解
y = x2
知识点详解
可以看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点。实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。
y = x2
练习题
3、已知 是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式。解：依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ②解②得:m1=－2, m2=1由①得:m>－1∴ m=1此时,二次函数为: y=2x2 。
（0，k）
（0，k）
二次函数"y=ax2+c"的性质
1.抛物线y＝3x2＋7可以由抛物线y＝3x2向 平移 ____个单位得到．2.抛物线y＝-3x2+1向 平移 个单位后会得到抛物线y=-3x2．3.抛物线y＝-2x2-3的开口方向 ，对称轴是_____，顶点坐标是 .
思考
抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？
抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位.
向上
向下
|k|
小结
通过描点法画出？
思考：抛物线,与抛物线y= x2 有什么关系？
九年级数学二次函数的图象和性质课件
(h>0)
向下平移k个单位
（k<0）
y=
2
ax
|k|
-
探究
抛物线y = a(x-h)2+k抛物线y=ax2 有什么关系？
y=ax2
向右（h＞0）或向左（h＜0）平
移|h|个单位长度
2
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
y=ax2+k
=a −h
向右（h＞0）或向左（h＜0）
平移|h|个单位长度
= a − h 2 +k
1
2
【提问】若将抛物线y= − x2 先向右平移3个单位，再向下平移2个单
思考
位后所得的图象与抛物线 = −
抛物线 =
1
−
2
+1
2
− 1与抛物线y=
1 2
− x
2
1
2
+1
2
− 1有什么关系呢？
有什么关系？
y=
1
−
2
与抛物线y=
+ 1, =
1 2
− x
2
1
−
2
−1
有什么关系？
二次函数"y=ax2+c"的性质
抛物线y = ax2+k
a>0
a<0
k>0
图象
k<0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
顶点坐标
（0，k）
（0，k）
函数的增减性
向下平移k个单位
（k<0）
y=
2
ax
|k|
-
探究
抛物线y = a(x-h)2+k抛物线y=ax2 有什么关系？
y=ax2
向右（h＞0）或向左（h＜0）平
移|h|个单位长度
2
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
y=ax2+k
=a −h
向右（h＞0）或向左（h＜0）
平移|h|个单位长度
= a − h 2 +k
1
2
【提问】若将抛物线y= − x2 先向右平移3个单位，再向下平移2个单
思考
位后所得的图象与抛物线 = −
抛物线 =
1
−
2
+1
2
− 1与抛物线y=
1 2
− x
2
1
2
+1
2
− 1有什么关系呢？
有什么关系？
y=
1
−
2
与抛物线y=
+ 1, =
1 2
− x
2
1
−
2
−1
有什么关系？
二次函数"y=ax2+c"的性质
抛物线y = ax2+k
a>0
a<0
k>0
图象
k<0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
顶点坐标
（0，k）
（0，k）
函数的增减性
九下数学课件二次函数y=ax^2的图像与性质 (课件)
初中数学苏科版版九年级下册
中物理
第5章 二次函数
5.2.1 二次函数y＝ax^2的
图像与性质
1.掌握利用描点法作出y=x2 的图像，并能根据图像认识
和理解二次函数y=x2的性质．
2.理解a对二次函数图像的影响，能说出y=ax2图像的开
口方向、对称轴和顶点坐标．
3.掌握二次函数y=ax2的性质，会指出最值与增减性.
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向上，对
称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点．
知识点二 二次函数图像的特征
1 2
1 2
2
【例2】函数 y＝ x 和 y＝2 x 、y＝ x 和 y＝ 2 x 2 的
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对
点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以
计算简单、描点方便为原则.
【归纳总结】用描点法画函数y=ax2（a ≠ 0）的图像的一般步骤
(2)描点：
一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，
一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速
准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.
4
能力提升
1 2
(2)将y＝1代入y＝ x ，得x＝±2，∴
4
点M、N的坐标分别为(－2，1)、
(2，1)，此时MN＝2－(－2)＝4.∵ △PMN是等边三角形，∴ 点P在y轴上，
且PM＝4.∴ PF＝ 42 − 22 ＝2 3.∵ 点F(0，1)，∴ 点P的坐标为
中物理
第5章 二次函数
5.2.1 二次函数y＝ax^2的
图像与性质
1.掌握利用描点法作出y=x2 的图像，并能根据图像认识
和理解二次函数y=x2的性质．
2.理解a对二次函数图像的影响，能说出y=ax2图像的开
口方向、对称轴和顶点坐标．
3.掌握二次函数y=ax2的性质，会指出最值与增减性.
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向上，对
称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点．
知识点二 二次函数图像的特征
1 2
1 2
2
【例2】函数 y＝ x 和 y＝2 x 、y＝ x 和 y＝ 2 x 2 的
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对
点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以
计算简单、描点方便为原则.
【归纳总结】用描点法画函数y=ax2（a ≠ 0）的图像的一般步骤
(2)描点：
一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，
一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速
准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.
4
能力提升
1 2
(2)将y＝1代入y＝ x ，得x＝±2，∴
4
点M、N的坐标分别为(－2，1)、
(2，1)，此时MN＝2－(－2)＝4.∵ △PMN是等边三角形，∴ 点P在y轴上，
且PM＝4.∴ PF＝ 42 − 22 ＝2 3.∵ 点F(0，1)，∴ 点P的坐标为
二次函数y=ax^2+k的图像与性质
-8
向 下 平移 |k|个单位得到。
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 可由 y=4x2的图象向 平移 11个单位得到。 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
例1、分别说下列抛物线的开口方向，对称 轴、顶点坐标、最大值或最小值各是什么 及增减性如何？。 （1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7
（3）y=2x2-1
(4) y= −2x2+3
例2 ： 按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口
方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
向 下 平移 |k|个单位得到。
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 可由 y=4x2的图象向 平移 11个单位得到。 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
例1、分别说下列抛物线的开口方向，对称 轴、顶点坐标、最大值或最小值各是什么 及增减性如何？。 （1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7
（3）y=2x2-1
(4) y= −2x2+3
例2 ： 按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口
方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
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y
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y=x2+1
y=x2 y=x2-2
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y
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y=-x2+3
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-10
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O
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x
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y=-x2 y=-x2-2
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当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
苏科版九年级下册数学 5.2 y=ax^2+k、y=a^2的图像(共19张PPT)
二次函数y＝a(x ＋ m)2（ m＜0）的图像是由二次函数 y＝ax2的图像沿 x 轴向＿右＿平移｜＿m＿｜个单位长度得到的．
二次函数y＝a(x+m)2 顶点坐标是＿（-m，0）＿ ，对称轴
是＿过（＿-m，0）与y轴平行的直线
．
1．将函数y＝2x2－2的图像先向 上 平移 2 个单 位，就得到函数y ＝ 2x2的图像，再向 右 平移 3 个
幻灯片 7
（2）描点、连线．
从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图像和y＝
x2的图像的位置有什么关系？
y
10
（3）函数y＝x2－2的图像和
9 8
y=x2的图像的位置有何关系？
7 6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
幻灯片 8
y
y=x2+1
8
6
4
2
y=x2
-10
-5
O
5
x 10
-2
y
8
6
4
y=x2
2
-10
-5
O
5
x 10
y=x2-2
-2
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
2. y＝-x2＋3， y＝-x2-2 与 y＝-x2
又有什么关系呢？ 画出草图，进行比较
函数y=-x2+3的图
象可由y=-x2的图
a>0
向上
(0 ,c)
y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时， y随着x的增大而增大。