中值定理的证明题
拉格朗日中值定理证明不等式题目
拉格朗日中值定理证明不等式题目拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了实数空间上的函数在某个区间内的导数与函数值之间的关系。
下面将通过证明一个不等式的例子来说明拉格朗日中值定理的应用。
我们来证明当$x>0$时，$1-\cos x<\frac{1}{2}x^2$。
首先，我们定义一个函数$f(x)=1-\cos x-\frac{1}{2}x^2$，我们需要证明当$x>0$时，$f(x)<0$。
由于$f(x)$是连续函数，而且$x>0$时，$f(x)$是可导函数，因此我们可以使用拉格朗日中值定理来证明。
根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点$c \in (0,x)$，使得$f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
接下来，我们先求出$f'(x)$，然后再求出$c$的取值范围，最后对$f(c)$进行估计。
首先求导得到$f'(x)=\sin x-x$。
要使$f(c)<0$，则有$f'(c)<0$。
我们来求方程$f'(c)=0$的解，即 $\sin c =c$。
这个方程的解并不容易求出来。
不过我们可以使用图像法来估计这个方程的解。
我们可以画出$f'(c)$和$y=x$在坐标系上的图像。
根据图像，我们可以发现这个方程在$x=0$和$x=π$之间有两个解：$c_1$和$c_2$。
首先我们来估计下$c_1$的取值范围。
当$x \in (0,c_1)$时，根据$f'(x)$与函数$y=x$的关系可以得到$f'(x)<x$。
进一步得到\[f'(c_1)<c_1\]\[ \sin c_1 - c_1 <0\]而当$x\in (0,\frac{\pi}{2})$时，有$\sin x>0$，因此$\sin c_1-c_1<0$。
然后我们来估计下$c_2$的取值范围。
考研：微分中值定理的证明题汇总
f ( )
唯一性： （反证法） 假设有两个点 1 , 2 (0,1) ，且 1 2 ，使得 F (1 ) F ( 2 ) 0
F ( x) 在 [0,1] 上连续且可导，且 [1 , 2 ] [0,1] F ( x) 在 [1 , 2 ] 上满足 Rolle 定理条件 必存在一点 (1 , 2 ) ，使得： F () f () 1 0
而 f (a) 0 故在 (a, a
f (a) ) 内 f ( x) 0 有唯一的实根 k
1 2 t0 t sin 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数 f (t ) 在 [0, x] 上应用拉 t t 0 0
格朗日中值定理得：
f ( x ) f ( 0 ) x0 1 x2 s i n 0 1 1 1 x x s i n f ( ) 2 s in co s x) (0 x0 x
即： cos
1
2 sin
1
x sin
1 x
( 0 x )
因0 x， 故当 x 0 时， 由m i l 2 n s i 0 0，
0
1
x 0
lim x sin
1 0 x
得： lim cos
x 0
1
0 ，即 lim cos
0
【证明】令 G( x) f (a x) f ( x) ， x [0, a] ． G( x) 在[0,a]上连续，且
G(a) f (2a) f (a) f (0) f (a) G(0) f (a) f (0)
泰勒中值定理证明题
泰勒中值定理证明题【泰勒中值定理证明题】引言：泰勒中值定理是微积分中的一个重要定理，它通过连接函数在某一点和它在一阶导数所确定的切线，来研究函数在某一区间内的性质。
本文将对泰勒中值定理进行全面评估，并展示其深度和广度，希望能为您对该定理的理解提供帮助。
1. 泰勒中值定理的基本概念1.1 定理的表述泰勒中值定理可以表述为：给定一个区间[a, b]上的连续可导函数f(x)，则在[a, b]内至少存在一点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
该定理为我们研究函数在某一区间内的变化提供了重要依据。
1.2 理解函数的导数在理解泰勒中值定理之前，我们需要明确函数的导数概念。
函数的导数描述了函数在某一点的变化率，是函数增长或减少的速度。
导数为我们揭示了函数曲线的切线和斜率的关系。
2. 泰勒中值定理的证明2.1 一阶泰勒公式的推导我们从一阶泰勒公式开始推导。
根据泰勒中值定理，我们知道f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，可以将这个表达式进一步拆解为f(b) = f(a) +f'(c)(b - a)。
2.2 使用拉格朗日中值定理为了证明泰勒中值定理，我们可以使用拉格朗日中值定理。
根据拉格朗日中值定理，对于一个连续可导的函数f(x)，在[a, b]区间内至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
将此结果代入一阶泰勒公式中，得到f(b) = f(a) + f'(c)(b - a)。
证明完毕。
3. 泰勒中值定理的应用3.1 函数曲线与切线的关系泰勒中值定理使得我们能够通过函数在某一点的导数，来了解函数曲线在该点附近的变化情况。
通过连接函数在某一点的切线，我们可以推测函数的增长或减少趋势，并进一步研究函数在其他点上的性质。
3.2 近似计算与误差分析泰勒中值定理还可用于近似计算，并进行误差分析。
通过取泰勒级数中的有限项，我们可以近似计算出函数在某一点附近的数值，而可以通过增加级数项来提高精度。
柯西中值定理证明题
柯西中值定理证明题柯西中值定理是一个非常重要的数学定理，它在微积分中有着广泛的应用。
该定理的内容可以简单地描述为：如果一个函数在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导，则存在一个点c∈(a，b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a，b]上的平均速率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明柯西中值定理，我们可以使用罗尔定理来帮助我们完成证明。
首先，我们定义一个新的函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*x。
根据柯西中值定理的假设，g(x)在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导。
接下来，我们需要证明g(x)在区间[a，b]的两个端点处取相同的函数值，也就是g(a)=g(b)。
首先，我们考虑g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*a=f(a)-f(a)+f(a)/(b-a)*a=f(a)/(b-a)*a。
然后，我们考虑g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*b=f(b)-f(b)+f(a)/(b-a)*b=f(a)/(b-a)*b。
由于f(a)/(b-a)*a=f(a)/(b-a)*b，我们可以得出g(a)=g(b)。
根据罗尔定理，由于g(x)在闭区间[a，b]上连续，并且在开区间(a，b)上可导，且g(a)=g(b)，所以存在一个点c∈(a，b)，使得g'(c)=0。
由于g'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)-（f(b)-f(a))/(b-a)=0，我们可以得出f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
综上所述，我们通过使用罗尔定理，证明了柯西中值定理的正确性。
考研数学中值定理 证明题
考研数学中值定理证明题考研数学中经常出现定理的证明题，其中中值定理是一个常见的题型。
中值定理是高等数学中一个非常重要的定理，它有着广泛的应用，在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
中值定理有两种形式：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。
其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，在下文中以罗尔中值定理为例来介绍中值定理的证明方法。
罗尔中值定理是一个非常简单的定理，它的内容是：如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，并且$f(a)=f(b)$，那么存在一个$\xi \in (a,b)$, 使得$f'(\xi)=0$。
那么该如何证明罗尔中值定理呢？下面就来介绍一下证明的过程。
证明：首先，根据$f(a)=f(b)$, 可得函数$f(x)$在$[a,b]$上至少存在一个极值点。
如果该极值点在$(a,b)$内，则此极值点即为所求的$\xi$，满足$f'(\xi)=0$；如果该极值点在$\{a,b\}$上，则此时存在一个开区间$(c,d) \subseteq (a,b)$，使得$f(x)$在$(c,d)$上可导，从而可以使用拉格朗日中值定理。
接下来，我们通过反证法来证明假设“不存在这样的$\xi$”是不成立的。
我们假设不存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。
因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$[a,b]$上有最大值和最小值，由于假设不存在$\xi$，使得$f'(\xi)=0$，因此最大值和最小值都不在$(a,b)$内。
那么最大值和最小值只能发生在$a$和$b$处，即$f(a)=f(b)$是$f(x)$的最大值或最小值。
假设$f(x)$在$[a,b]$上为最大值，则有$f(x) \leq f(a) = f(b),\forall x \in [a,b]$。
又因为$f(x)$在$(a,b)$上可导，即$\forall x \in (a,b)$，有$f'(x)$存在，所以$f(x)$在$(a,b)$上单调递减，即$\forall x_1,x_2 \in (a,b)$，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) >f(x_2)$。
微分中值定理题目
例1设()x f '在[]b a ,上存在,且()()b f a f '<',而r 为()a f '与()b f '之间的任一值,则在()b a ,内存在一点ξ,使得()r f ='ξ[7].例2设()x f 在()+∞,a 内可导,且()()A x f x f x a x ==+∞→→+lim lim ,试证:至少存在一点 ()+∞∈,a ξ,使得()0='ξf [7].例3设函数()x f 在[]b a ,上可导,且()()0_<'⋅'+b f a f ,则在()b a ,内至少存在一个ξ,使得()0='ξf [7].例4()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,且()()()b f c f a f ==,()b c a <<, 试证:至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf [2].例5设()x f 在[]1,0上有三阶导数,()()010==f f ,设()()x f x x F 3=,证明:存在 ()1,0∈ξ使得()0='''ξF .例6设()x f 在[]b a ,上可微，且()x f 在a 点的右导数()0<'+a f ，在b 点的左导数 ()0<'-b f ，()()c b f a f ==，证明：()x f '在()b a ,内至少有两个零点.例7设()x f 在R 上二次可导，()0>''x f ，又存在一点0x ，使()00<x f ，且 ()0lim <='-∞→a x f x ，()0lim >='+∞→b x f x ，证明：()x f 在R 上有且仅有两个零点. 例8()[]1,0在x f 上二次可导,()()010==f f ,试证明:存在()1,0∈ξ,使得()()()ξξξf f '-=''211[4].例9设()[]1,0在x f 上连续,在()1,0上可导, ()()010==f f ,121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .证明: 至少存在一点()1,0∈ξ使得()1='ξf .例10设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,上二次可微,连结()()a f a ,与()()b f b ,的直线段与曲线()x f y =相交于()()c f c ,,其中b c a <<.证明在()b a ,上至少存在一点ξ,使得()0=''ξf [1].例11设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()1==b f a f 试证:存在ξ, ()b a ,∈η使得 ()()[]1='+-ηηξηf f e [1].例12 设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,上二阶可微,并且()()b f a f =,证明:若存在点()b a c ,∈,使得()()a f c f >,则必存在点()b a ,,,∈ζηξ,使得()0>'ξf ,()0<'ηf ,()0<''ζf [6].例13设()x f 定义在[]1,0上,()x f '存在且()x f '单调递减,()00=f ,证明: 对于 10≤+≤≤≤b a b a ,恒有()()()b f a f b a f +≤+.例14 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,b a <≤0,()()b f a f ≠.证明:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξf b a f '+='2 [6]. 例15 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,且()0≠'x f ,试证:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξ---=''e ab e e f f ab [1]. 例16设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,证明:存在()b a ,∈ξ,使得()()()()ξξξf f ab a af b bf '+=--[1]. 例17设()[]b a x f ,在上连续()0>a ,在()b a ,可导,证明:在()b a ,内存在ξ,η,使()()ab f f ηηξ'='2[1].例18 设()[]b a x f ,在上连续,在()b a ,内可微,0>>a b ,证明:在()b a ,内存在321,,x x x ,使得()()()()33223222211ln42x f x a b a b x x f a b x x f '-='+='. (3) 例19设()x f 在()b a ,内二次可微,试用柯西中值定理证明:任意x ,()b a x ,0∈,存在ξ在x 与0x 之间,使()()()()()()2000021x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ成立[6]. (8)。
利用柯西中值定理证明题目
利用柯西中值定理证明题目柯西（Cauchy）中值定理是一个著名的数学重要定理，它的证明不仅在数学中具有重要的地位，而且在其他领域也有重要的应用。
在这篇文章中，我们将用柯西中值定理来证明一个题目。
全文让我们从柯西中值定理的定义开始。
柯西中值定理（Cauchy Intermediate Value Theorem）定义为：如果f（x）是在区间[a，b]上连续的函数，并且在a处为f（a）处小于c（它是一个数），而在b处为f（b）大于c，那么在[a，b]之间必定存在一个x0处，它满足f（x0）=c。
现在让我们来证明题目：设f（x）是任意定义在R上的单调函数，如果f（x）有任意一个根，那么f（x）在R上一定是连续的。
为了进行证明，我们首先考虑当f（x）有一个根的时候。
在这种情况下，我们可以定义一个区间[a，b]，其中a是根的位置，b是任意数。
由于f（a）=0，f（b）>0，所以由柯西中值定理，我们知道在[a，b]之间一定存在一个x0处满足f（x0）=0，这就是a处的根。
这说明，在[a，b]之间，f（x）的值由小于0的值变化为大于0的值，也就是说f（x）在区间[a，b]上存在连续性。
接下来，我们来考虑当f（x）存在两个或多个根的情况。
在这种情况下，我们可以将区间[a，b]划分为多个子区间，每个子区间内至少存在一个根，每个子区间内f（x）的值由小于0变化为大于0，也就是说，f（x）在每个子区间内也都有连续性。
因此，由以上分析，我们可以得出结论，即f（x）存在任意一个根，就说明f（x）在整个定义域R上一定是连续的。
结论综上所述，我们证明了设f（x）是任意定义在R上的单调函数，如果f（x）有任意一个根，那么f（x）在R上一定是连续的定理。
柯西中值定理的重要性不言而喻，它是我们证明本篇文章的主要理论背景。
微分中值定理的证明题660
微分中值定理的证明题1.若在上连续，在上可导，，证明：，使得：。
证：构造函数，则在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理知：，使即：，而，故。
2.设，证明：，使得。
证：将上等式变形得：作辅助函数，则在上连续，在内可导，由拉格朗日定理得：，即，即：。
3.设在内有二阶导数，且，有证明：在内至少存在一点，使得：。
证：显然在上连续，在内可导，又，故由罗尔定理知：，使得又，故，于是在上满足罗尔定理条件，故存在，使得：，而，即证4.设函数在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，，.证明：(1)在(0,1)内存在，使得．(2)在(0,1)内存在两个不同的点，【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在使得，即.（II）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是5.设在[0，2a]上连续，，证明在[0,a]上存在使得.【分析】在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。
辅助函数可如下得到【证明】令，．在[0,a]上连续，且当时，取，即有；当时，，由根的存在性定理知存在使得，，即．6.若在上可导，且当时有，且，证明：在内有且仅有一个点使得证明：存在性构造辅助函数则在上连续，且有，，由零点定理可知：在内至少存在一点，使得，即：唯一性：（反证法）假设有两个点，且，使得在上连续且可导，且在上满足Rolle定理条件必存在一点，使得：即：，这与已知中矛盾假设不成立，即：在内仅有一个根，综上所述：在内有且仅有一个点，使得7.设在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且==0，=1。
试证至少存在一个(0，1)，使=1。
分析：=1=1=x=0令()=证明：令F()=()在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，(1)=()=由介值定理可知，一个(，1)，使()=0又(0)=0=0对()在[0，1]上用Rolle定理，一个(0，)(0，1)使=0即=18.设在上连续，在内可导，且试证存在和.满足，使。
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第五讲 中值定理的证明技巧一、 考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。
2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理），了解并会用柯西中值定理。
掌握这三个定理的简单应用（经济）。
3、 了解定积分中值定理。
二、 内容提要1、 介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值. （2）零点定理设f(x)在[a 、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c ∈(a 、b)，使得f(c)=02、 罗尔定理若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在[]b a ,上连续 （2）)(x f 在),(b a 内可导 （3）)()(b f a f =则一定存在),(b a ∈ξ使得0)('=ξf 3、 拉格朗日中值定理若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在[]b a ,上连续 （2）)(x f 在),(b a 内可导则一定存在),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ4、 柯西中值定理若函数)(),(x g x f 满足:（1）在[]b a ,上连续 （2）在),(b a 内可导 （3）0)('≠x g则至少有一点),(b a ∈ξ使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--5、 泰勒公式如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到1+n 阶导数, 则当x 在),(b a 内时,)(x f 可以表示为0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和，即)())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+⋅⋅⋅+-''+-'+=其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (ξ介于0x 与x 之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点； 2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．6、 积分中值定理若f(x)在[a 、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a 、b]，使得ba⎰f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使0)(=ξf 或方程f(x)=0有根） 方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0. 思路：1）直接法2）间接法或辅助函数法例1、设)(x f 在[a,b]上连续，),,2,1(0,21n i c b x x x a i n ΛΛ=><<<<<，证明存在],[b a ∈ξ ，使得nn n c c c x f c x f c x f c f ++++++=ΛΛ212211)()()()(ξ例2、设)(,0x f a b >>在[a,b]上连续、单调递增，且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得 )(2)()(222ξξf a f b b f a =+例3、设)(x f 在[a,b]上连续且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得⎰⎰⎰==bbaadx x f dx x f dx x f ξξ)(21)()(。
例4、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，证明存在),(b a ∈ξ使得 ⎰⎰=badx x g f dx x f g ξξξξ)()()()(例5、 设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1. 证明：210x f t dt x-=⎰()在(0,1)内有且仅有一个实根。
例6、设实数n a a a ,,,21Λ满足关系式012)1(3121=--++--n a a a n n Λ，证明方程 0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n Λ，在)2,0(π内至少有一实根。
例7、（0234，6分）设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点],[b a ∈ξ使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ题型二、 验证满足某中值定理例8、验证函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤-=1,11,23)(2x xx x x f ，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的ξ题型三、 证明存在ξ, 使f n ()()ξ=0(n=1,2,…)方法：思路：例9、设)(x f 在[a,b]上可导且0)()(<''-+b f a f ，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得0)(='ξf例10、设)(x f 在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且1)3(,3)2()1()0(==++f f f f ，证明存在一个)3,0(∈ξ使得0)(='ξf例11、设)(x f 在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且12112()lim 0,2()(2)cos x f x f x dx f xπ→==⎰，证明存在)2,0(∈ξ使得0)(=''ξf题型四、 证明存在ξ, 使G f f (,(),())ξξξ'=0 方法：思路：(1) 用罗尔定理 1) 原函数法:步骤：例12、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且)),((0)(b a x x g ∈≠'，求证存在),(b a ∈ξ使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且 ⎰>=-k x k dx x f xe k f 111,)()1(证明：在(0,1)内至少存在一点ξ, 使 ).()1()(1ξξξf f --='例14、 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)⋅+<f a b(),20 g(x)在[a,b]上连续，试证对∃∈'=ξξξξ(,),()()().a b f g f 使得.例15、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且⎰⎰==1010)(,0)(dx x xf dx x f .试证：),1,0(∈∃ξ使得 )()1()(1ξξξf f -+='. [证] 令 ⎰=xdt t f x F 0)()(，则F(0)=F(1)=0. 又⎰⎰⎰⎰=∃⇒=-=-==11010110.0)(,0)()()()()(c F c dx x F dx x F x xF x xdF dx x xf于是 )1,(),,0(21c c ∈∈∃ξξ，使 0)()(21='='ξξF F ，即 .0)()(21==ξξf f设 ),(1)(x f e xx x -=ϕ 则 )1,0(),(0)()(2121⊂∈∃⇒==ξξξξϕξϕ，使得0)(='ξϕ，即 )()1()(1ξξξf f -+='.2) 常微分方程法: 适用: 步骤：例16、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且λ==)()(b f a f ，证明存在),(b a ∈ξ使得λξξ=+')()(f f例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1, 证明：对任意实数λξ,)必存在（，∈01 , 使得'--=f f ()[()]ξλξξ1(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得bf b af a b af f ()()()()--='+ξξξ例19、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得1)],()([)()(11≥'+=--n f nf b f a f a b a b n nn ξξξξ例20、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，使得 f b f a baf ()()ln ()-='ξξ例21、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，使得 f b f a b a a ab b f ()()()()--=++'2223ξξ题型五、 含有''f ()ξ(或更高阶导数)的介值问题 方法：例22、 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0, 试证至少存在一个ξ∈(,)01, 使''='-f f ()()ξξξ21例23、（012，8分）设)(x f 在)0](,[>-a a a 上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。
(2) 证明在],[a a -上至少存在一个η使得 ⎰-=''aadx x f f a )(3)(3η例24、 设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f '(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点ξ，使得'''=f ().ξ3例25、设f(x)在[－a, a]上具有三阶连续导数，且满足⎰-+='xdt t x tf x x f 02)()(，f (0)=0, 证明: 在[-a, a]内存在一点ξ，使得.)(12)(4⎰-='''aadx x f f a ξ[证] 由 ⎰⎰-+=-+='xxdu u f u x x dt t x tf x x f 0202)()()()( =⎰⎰-+xx du u uf du u f x x 02)()(，知 0)0(='f ， ⎰=''+=''xf dt t f x x f 0.0)0(,)(2)(根据泰勒公式，有332)(61)(!31)0(!21)0()0()(x f x f x f x f f x f ηη'''='''+''+'+=其中η 介于0与x 之间，x ∈-[,]11.于是,12)(61)(12434Ma dx x f dx x f ma a a a a ≤'''=≤⎰⎰--η其中M 、m 为)(x f '''（由题设可推知)(x f '''在[-a,a]上连续）在[-a, a]上的最大值、最小值. 进一步有 M dx x f am aa ≤≤⎰-)(124 故存在],[a a -∈ξ， 使得 ⎰-='''aadx x f a f )(12)(4ξ，即.)(12)(4⎰-='''a a dx x f f a ξ题型六、 双介值问题F (,,)ξηΛ=0方法：例26、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，b a <<0，求证存在),(,b a ∈ηξ使得)(2)()(b a f f +'='ηηξ例27、（051，12分）已知函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1)1(,0)0(==f f证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f（2）存在两个不同的点)1,0(,∈ςη使得1)()(=''ςηf f题型七、 综合题 例28、（011，7分）设函数)(x f 在（-1,1）内具有二阶连续导数，且0)(≠''x f ，试证 （1） 对于(-1,1)内的任意0≠x ,存在唯一的)1,0()(∈x θ使得 ()(0)(())f x f xf x x θ'=+成立（2）21)(lim 0=→x x θ例29、试证明若)(x f 在[a,b]上存在二阶导数，且0)()(='='b f a f ，则存在),(b a ∈ξ使得)()()(4)(2a f b f a b f --≥''ξ例30、设e<a<b, 求证：在(a,b)内存在唯一的点ξ，使得ae a b e b e a b ----=ln ln 110ξξ[证] F x a e ab e b x e x F a F b F a b x()ln ln ln ,()()()===⇒'=---00ξ为证唯一性，再证''>F x ()0''=-+----F x e b a a b be ae x xa b()[ln ln ]2令f x x xf x x e f a f b ()ln ()()()()=⇒'<>⇒>0g x xe g x g b g a x ()()()()=⇒'>⇒>0''>⇒'↑⇒F x F x (),()0唯一性.题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题1）反证法例30、设f(x)在[-2,2]上连续，在(-2,2)内二阶连续可导,且f x f (),(0),≤'>11. 求证存在ξ∈-(,)22, 使''=f ()ξ0[证] 反证 若对∀∈-''x f x (,),()22不变号1） ''>f x ()0, f(2)=f(0)+'⋅+''⋅∈f f (0)(),(0,)21222121ξξ ⇒-='+''>1220011(()())()(),f f f f ξ 与左端小于等于1矛盾. 2) ''<f x (),0 f(-2)=f(0)-'⋅+''⋅∈-f f (0)(),(,)212220222ξξ ---='-''122002[()()]()()f f f f ξ, 同理矛盾⇒''f x ()变号，从而结论成立.2）隐含问题例31、（2000年）设f(x)在[0,1]上连续，⎰=100)(dx x f , g(x)在[0,1]上有连续的导数且在(0,1)内0)(≠'x g ，并且⎰=10.0)()(dx x g x f 证明：至少存在两个不同的点)1,0(,21∈ξξ, 使 f f ()()ξξ120==.[证] ⎰==⇒=xF F dt t f x F 00)1()0()()( 又 ⎰⎰⎰'-==10101010)()()()()()()()(dx x g x F x F x g x dF x g dx x g x f =0)()(),1,0(0)()(10='∈∃⇒='-⎰ξξξg F dx x g x F⇒===⇒0)1()()0(F F F ξ结论.。