2019届浙江省基于高考试题的复习资料——二项式定理(解析版)

九、计数原理与古典概率

（二）二项式定理

一、高考考什么？

[考试说明]

3．了解二项式定理，二项式系数的性质。

[知识梳理]

1．二项式定理：011

()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++

++

+，其中组合数r n C 叫

做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项，其中第r +l 项1(0,1,2,

r n r r

r n T C a b r -+==⋅⋅⋅ ），会求常数项、某项的系数等

2．二项式系数的性质：

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m

n n m n C C -=；

（2）增减性与最大值：当12n r +≤

时，二项式系数C r

n 的值逐渐增大，当12

n r +≥时, C r

n 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n 为偶数时，中间一项（第2

n

＋1项）的二项式系数2n n

C 取得最大值。当n 为奇数时，中间两项（第21+n 和3

2

n +项）的二项式系数1

1

22n n n

n

C

C

-+=相等并同时取最大值。

（3）二项式系数的和：

01r

n n n

C C C ++

+2n

n n C ++=；

0213

n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅ 12n -=。

3.展开式系数的性质：若()01n n n

a a a a bx x x =++++；令()()n

f x a bx =+

则：（1）展开式的各项系数和为()1f

（2）展开式的奇次项系数和为1

[(1)(1)]2

f f --

（3）展开式的偶次项系数和为1

[(1)(1)]2

f f +-

二、高考怎么考？

[全面解读]

从考试说明来看，二项式定理主要解决与二项展开有关的问题，从考题来看，每一年均有一题，难度为中等，从未改变。命题主要集中在常数项，某项的系数，幂指数等知识点上。掌握二项式定理主要以通项为抓手，由通项可解决常数项问题、某项的系数问题，系数要注意二项式系数与展开式系数的区别。

[难度系数] ★★★☆☆ [原题解析] [2004年]

（7）若

n 展开式中存在常数项，则n 的值可以是( )

A ．8

B ．9

C ．10

D ．12

[2005年]

（5）在5

6

7

8

(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+- 的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）

A ．74

B ． 121

C ．－74

D ．－121

[2006年]

（8）若多项式21091001910(1)(1)(1),x x a a x a x a x +=+++

++++

则9a =（ ）

A ．9

B ．10

C ．-9

D ．-10 [2007年]

（6）9

1x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是（ ）

A ．36-

B ．36

C ．84-

D ．84

[2008年]

（4）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．-15 B ．85 C ．-120 D ．274 [2009年]

（4）在二项式的展开式中，含的项的系数是( ) A ． B ． C ． D ． [2011年]

（13）设二项式)0()(6

>-

a x

a x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，若4B A =，则a 的值是 。

[2012年]

（14）若将函数表示为

其中，，，…，为实数，则＝____________． [2013年]

（11）设二项式5

3)1(x

x -

的展开式中常数项为A ，则=A ． [2014年]

（5）在4

6

)1()1(y x ++的展开式中，记n

m

y x 项的系数为),(n m f ，则

=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）

A. 45

B. 60

C. 120

D. 210

[2015年] （04）（1）已知

为正整数，在

与

展开式中

项的系数相同，求 n

的值.

[2016年]

（04）（1）已知

4232100121012)(1)x x a a x a x a x +-=++++（，求2a 的值。

[2017年]

2

51()x x

-4

x 10-105-5()5

f x x =()()()()2

5

0125111f x a a x a x a x =+++++

++0a 1a 2a 5a 3a