【解密高考】届高考数学大一轮总复习 6.2 等差数列高效作业 理 新人教A版
【解密高考】2015届高考数学大一轮总复习 6.2 等差数列高效作业理 新人教A 版时间：45分钟 满分：100分 班级：________姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·抚顺六校二模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为( )A ．12B ．18C ．22D ．44解析：由S 8－S 3＝10，得(8a 1＋28d )－(3a 1＋3d )＝10，得a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝22.答案：C2．(2014·济南模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 012的值等于( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 013解析：∵S n ＝An 2＋Bn 知S nn＝An ＋B ，∴数列{S n n }是首项为S 11＝－2 012的等差数列，又S 1212－S 1010＝2，∴{S n n}的公差为1，∴S 2 0122 012＝－2 012＋(2 012－1)×1＝－1， S 2 012＝－2 012.答案：B3．(2014·汉中一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.故选C.答案：C4．(2014·湘潭二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5a 3的值为( ) A.16 B.13 C.35D.56解析：∵{a n }是等差数列，∴a 5a 3＝a 2＋a 82a 1＋a 52＝S 56a 1＋a 52×5＝56S 5S 5＝56，故选D.答案：D5．(2014·唐山期末)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n ＞0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21解析：∵a 11a 10＜－1，且S n 有最大值， ∴a 10＞0，a 11＜0，且a 10＋a 11＜0， ∴S 19＝19a 1＋a 192＝19·a 10＞0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)＜0，所以使得S n ＞0的n 的最大值为19，故选B. 答案：B6．(2014·德阳联考)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：200920102011A ．1003 B ．1005 C ．1006D ．2011解析：依题意解得，数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…，是以a 2＝1为首项，1为公差的等差数列，因此a 2010＝a 2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 2k －1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a 2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a 2009＝503，a 2011＝－503，a 2009＋a 2010＋a 2011＝1005，选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(2014·福建模拟)将正偶数按下表排成5列：那么解析：观察第3列中的偶数可以发现，从上到下依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，2 012为此数列的第252项，即可得2 012为第252行第3列．答案：252 38．(2014·滨州质检)已知数列{a n }、{b n }都是等差数列，S n 、T n 分别是它们的前n 项和，并且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝________.解析：a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝2a 12＋2a 112b 12＋2b 11＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝S 22T 22＝15525＝315.答案：3159．(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由等差数列和的特点，设S n ＝an 2＋bn .则⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋10b ＝0152a ＋15b ＝25解得a ＝13，b ＝－103，∴S n ＝13n (n －10)，nS n ＝13(n 3－10n 2)．考查函数f (x )＝x 3－10x 2(x ≥1)，f ′(x )＝3x 2－20x ， ∴f (x )极小值点为203，当n ＝6时，nS n ＝－48，n ＝7时，nS n ＝－49，∴nS n 最小值为－49.答案：－4910．(2014·广东模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，a 1＝1，a 1＋2d ＝(a 1＋d )2－4，且{a n }递增，解得d ＝2，故a n ＝2n －1.答案：2n －1三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．设数列{a n }(n ＝1,2，…)是等差数列，且公差为d ，若数列{a n }中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．(1)若a 1＝4，d ＝2，求证：该数列是“封闭数列”；(2)试判断数列a n ＝2n －7(n ∈N *)是否是“封闭数列”，为什么？解：(1)证明：a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2，对任意的m ，n ∈N *，a m ＋a n ＝(2m ＋2)＋(2n ＋2)＝2(m ＋n ＋1)＋2，令p ＝m ＋n ＋1，则有a m ＋a n ＝a p ＝2p ＋2∈{a n }．故该数列是“封闭数列”．(2)由a 1＝－5，a 2＝－3得a 1＋a 2＝－8. 令a n ＝a 1＋a 2＝－8⇒2n －7＝－8⇒n ＝－12∉N *，所以数列a n ＝2n －7(n ∈N *)不是“封闭数列”．12．(2014·山东模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .解：(1)因为{a n }是一个等差数列， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m，则9m ＋8<9n <92m＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝－81m1－81－－9m1－9＝92m ＋1－10×9m＋180.13．(2014·绵阳诊断)数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋3n－1(n ∈N *，n ≥2)，已知a 3＝95. (1)求a 1，a 2；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝13n (a n ＋t )(n ∈N *)，且{b n }为等差数列？若存在，则求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)n ＝2时，a 2＝3a 1＋32－1n ＝3时，a 3＝3a 2＋33－1＝95，∴a 2＝23.∴23＝3a 1＋8，∴a 1＝5. (2)当n ≥2时，b n －b n －1＝13n (a n ＋t )－13n －1(a n －1＋t )＝13n (a n ＋t －3a n －1－3t ) ＝13n (3n－1－2t ) ＝1－1＋2t 3n .要使{b n }为等差数列，则必须使1＋2t ＝0，∴t ＝－12，即存在t ＝－12，使{b n }为等差数列．。
第2节等差数列-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)
(-1)
Sn=na1+ 2 d.这种求和方法通常称为“倒序相加法”.
代入可得
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (m,n∈N*).
(2)若{an}是等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
a1=13.5,a12=2.5,设从冬至到夏至过程中,日晷长的变化量为d,则
2.5=13.5+(12-1)d,解得d=-1,立春日晷长为a4=13.5+3×(-1)=10.5,夏至日晷
长为a13=13.5+12×(-1)=1.5,所以一年中立春到夏至的日晷长的和为
(10.5+1.5)×10
=60.
2
Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形
石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公
差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以
S3n=S27=27×9+
27 × 26
× 9=3 402.故选C.
{3n-2}的各项为1,4,7,10,13,….观察归纳可知,两个数列的公共项为
1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列,则an=1+6(n-1)=6n-5.故前n项和
(1 + )
Sn=
2
=
(1+6-5)
=3n2-2n.
2
(方法二 不定方程法)令bn=2n-1,cm=3m-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,即
2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教A版全国用讲
§6.2 等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 知识拓展等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 题组二 教材改编2．[P46A 组T2]设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34答案 B解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.3．[P39T5]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三 易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325答案 D解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，即⎩⎨⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，所以875<d ≤325.故选D.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面． 答案 20解析 设物体经过t 秒降落到地面．物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.题型一 等差数列基本量的运算1．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题． 题型二 等差数列的判定与证明典例 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝⎛⎭⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列． 跟踪训练 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，∴1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.题型三 等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质典例 已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 21解析 因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝________.答案 6 054解析 由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0182 018＝S 11＋2 017d ＝－2 014＋2 017＝3， ∴S 2 018＝3×2 018＝6 054. 思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727 B.1914 C.3929 D.43答案 A解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大．典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2018·济南质检)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案 B解析 因为数列是等差数列，a 2＝4,2a 4＝a 2＋a 6＝4，所以a 6＝0，故选B.2．(2018·日照模拟)由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．非等差数列 答案 B解析 设新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…的第n 项是b n ，则b n ＝a n ＋a n ＋3＝2a 1＋(n －1)d ＋(n ＋2)d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ，∴b n ＋1－b n ＝2d ，∴新数列是以2d 为公差的等差数列，故选B. 3．(2017·宁德一模)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( ) A ．54 B ．50 C ．27 D ．25 答案 C解析 数列{a n }为等差数列，设公差为d ，则a 4＝a 2＋2d ，∴a 2＝3(a 2＋2d )－6，∴2a 2＋6d －6＝0，∴a 2＋3d ＝3，即a 5＝3，则S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9×a 5＝27.故选C.4．(2017·河南百校联盟模拟)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( ) A ．0 B ．－9 C ．10 D ．－10 答案 A解析 设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2，∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0，故选A.5．(2017·唐山统考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6答案 D解析 由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.6．(2017·湖南省湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032 D ．4 033答案 C解析 因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2>0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.7．(2017·安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________． 答案 24解析 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则14log a 1 010＝________.答案 －12解析 因为a 4和a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 4＋a 2 016＝4.又a 4，a 1 010，a 2 016成等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2，所以14log a 1 010＝－12.9．(2017·郑州模拟)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．答案 21解析 由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布． 10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.11．(2016·全国Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎡⎦⎤2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1； 当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3； 当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 即a n ＝n ＋2.13．(2017·郑州一模)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是______．答案 245解析 ∵2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，∴数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1＝5为公差的等差数列，∴20a 20＝1＋5×19＝96，解得a 20＝9620＝245. 14．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 ∵1a n ＋1＝1a n ＋13，∴1a n ＋1－1a n ＝13， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，13为公差的等差数列， ∴1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14.15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 答案 5解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列． ∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验符合题意．16．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________． 答案 121解析 设数列{a n }的公差为d ，由题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2， 所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12 ＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12. 又⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫1＋212n －12为单调递减数列， 所以S n ＋10a 2n ≤S 11a 21＝112＝121.。
2024届新高考一轮复习人教A版 第6章 第2讲 等差数列及其前n项和 课件(65张)
(2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么___A___叫做a与b的等差中项且 ___A_＝_a_＋_2 _b__. (3)通项公式 如 果 等 差 数 列{an} 的 首 项 为 a1 ， 公差 为 d ，那 么 通 项 公 式 为 an ＝ ____(_4_a)_1前＋__n(_项n_－_和_1_公)_d_式__：__S＝n＝a_m＋_n_a(_1＋n_－_n_nm_－2_)1d_(d_n_，__m＝∈_N_a1_*＋)_2．a_n_n.
6．(2019·北京，10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3， S5＝－10，则a5＝___0__，Sn的最小值为___－__1_0___.
[解析] 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， ∵a2＝－3，S5＝－10，
a1＋d＝－3， ∴5a1＋5×2 4d＝－10，
题组二 走进教材 2．(选修2P15例2改编)已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的 第100项为___4_8_7____.
[解析] 依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8 ＋99×5＝487.
3．(选修2P24T1改编)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝ 2，且S6＝30，则S9＝___1_2_6____.
知识点二 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则 am1＋am2＋…＋amk＝an1 ＋an2＋…＋ank.特别地，若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝__a_p_＋__a_q_. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为___k_d____. (3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)Snn为等差数列．
人教课标A高考一轮复习精品课件6.2等差数列及其前n项和
§6.2等差数列及其前n项和基础知识自主学习要点梳理1 •等差数列的定义如果一个数列列，这个常数叫做等第纟龄亓一项如果等差数列6｝的首项为引，公差为d,那公送的通项公式是____________ •3•等差中项如果____ 八暫纟魁做a与b的等差中项.4•等差数列的SwS（1） ________________________ 通项公式的推广：a n=a m+ , ________________________ （n,meN*）.（2）若｛aj为等差数列,且k+l=m+n, （JG_L.ni,nEN*）,则_________ ・丿（3）若｛%｝是等差数列，公差为d,则｛a?」也是等差数列，公差为—・（4）若｛a｝｛"｝是等差数列,贝J｛pa n+qb n｝是a k+a i=a m+a n2d等差数列项An 2+Bn, (A 2+B 2^0)设等差数列｛%｝的公差为d,其前n 项和S 产 或.Ml+陽） 6 •等差数列的前n 项和公式与函数的关系一2——n （n-l ）.s n = na 、-\ --------------- a数列｛a 」是等差数列的充要条件是其前n 项和公式（n ）是n 的二次函数或一次函数且不含常数（5）若｛召｝是等差数列，则a*, 为—的等差数列.5 •等麺列的前n 项和公式a k+m , mda k+2m ,（k ，mWN ）是公并即S 尸_E 2—n----- • + (%_ 尹7•在等差数列｛%｝中，引>0, d<0,则Sn 存在最 值;若aiV0,d>0,则Sn 存在最_值・8•等差数列与等差数列各项的和有关的性质小 (1) 若｛%｝是等差数列，贝9 也成—数列,其首项与｛%｝首项相同，公差是｛%｝公桦*・ (2) S m , S 2m , S3m 分别为｛%｝的前m 项，1沖2』项,前3m 项的和，S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m 成—数列.等差等差1 2(3)关于等差数列奇数项与偶数项的性质①若项数为勿，贝ijs偶・S奇②若项数为2n-1,则S偶二(n-1)(4)两£等差鬱誓&｝、肿｝的前n 项和Sn、Tn之间的关系为:陽+1 n基础自测1. (2009-辽宁文，3)代｝为等差数列，且a厂2a4=-1 ,a3=0,则公并d= ( A.-2 B. C. D.2解析根据题意得a7-2a4=f 1+6d-2(a1+3dj=-1,.*.aj=1 •又,.*a3=a1+2d=0J.*3= 222 •已知数列｛%｝中,a1=1,A. B.1c. 5 D・以上都不对得为等差数列.1勺+i3. （20094®建理，3）等差数列&｝的前n项和为S.,且S3=6&=4,则公差d等于（）CA.1B.C.2D.3解析设｛%｝首项为引蟄差为d,则S3=3a-|+ d=3a1+3cl=6,a3=a1+2d=4,.*.a1=0,d=2.3x2 24•已知等差数列&｝的前13项之和为39, Kija64-a7+a8等于( A.6 B.9 C.12解析由S〔3= =13a7=39得a7=3,.••a6+a7+a8=3a7=9. ]3(%+%3)2)D.18B2 2 a 5 _ 2a 5 _a^+a 9 _ 5a 3 2a 3 a x +a 59，9（% +宓）_9 %+。
2024届新高考一轮总复习人教版 第六章 第2节 等差数列 课件(40张)
3．(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列 {an}，则{an}的前 n 项和为________.
解析：令 bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则 2n－1＝3m－2，即 3m＝2n＋1，m 必 为奇．
令 m＝2t－1，则 n＝3t－2(t＝1，2，3，…). at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即 an＝6n－5. 故前 n 项和为 Sn＝n(a12＋an)＝n(1＋26n－5)＝ 3n2－2n. 答案：3n2－2n
[必记结论] 1．在公差为 d 的等差数列{an}中： (1)d＞0⇔{an}为递增数列； (2)d＝0⇔{an}为常数列； (3)d<0⇔{an}为递减数列． 2．在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成 等差数列⇔an＋1＋an－1＝2an(n≥2). 3．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数). 4．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则 Sn 存在最大值；若 a1＜0，d＞0，则 Sn 存 在最小值．
所以 a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝17＋17－6＝28. 答案：C
2．(2020·全国Ⅱ卷)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1＝－2，a2＋a6＝2，则 S10 ＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为 d，则 a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2，解得 d ＝1.所以 S10＝10×(－2)＋10× 2 9×1＝25.
答案：D
4．(选择性必修第二册 P17 例 5 改编)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 则 a2＋a8＝________.
【解密高考】2021届高考数学大一轮总温习 6.2 等差数列高效作业 理 新人教A版(1)
【解密高考】2021届高考数学大一轮总温习 6.2 等差数列高效作业 理 新人教A版时刻：45分钟 总分值：100分 班级：________姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每题6分，共36分，在以下四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(2021·抚顺六校二模)假设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，那么S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22D ．44解析：由S 8－S 3＝10，得(8a 1＋28d )－(3a 1＋3d )＝10，得a 1＋5d ＝2，那么S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝22.答案：C2．(2021·济南模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，假设S 1212－S 1010＝2，那么S 2 012的值等于( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 013解析：∵S n ＝An 2＋Bn 知S n n＝An ＋B ，∴数列{S n n }是首项为S 11＝－2 012的等差数列，又S 1212－S 1010＝2，∴{S n n}的公差为1，∴S 2 0122 012＝－2 012＋(2 012－1)×1＝－1， S 2 012＝－2 012.答案：B3．(2021·汉中一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 4≥10，S 5≤15，那么a 4的最大值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5解析：a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，那么a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.应选C.答案：C4．(2021·湘潭二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，那么a 5a 3的值为( )A.16B.13C.35D.56解析：∵{a n }是等差数列，∴a 5a 3＝a 2＋a 82a 1＋a 52＝S 56a 1＋a 5×52×5＝56S 5S 5＝56，应选D. 答案：D5．(2021·唐山期末)已知数列{a n }为等差数列，假设a 11a 10＜－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，那么使S n＞0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21解析：∵a 11a 10＜－1，且S n 有最大值，∴a 10＞0，a 11＜0，且a 10＋a 11＜0， ∴S 19＝19a 1＋a 192＝19·a 10＞0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)＜0，因此使得S n ＞0的n 的最大值为19，应选B. 答案：B6．(2021·德阳联考)如图，坐标纸上的每一个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标别离对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：202020202020A ．1003 B ．1005 C ．1006D ．2011解析：依题意解得，数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…，是以a 2＝1为首项，1为公差的等差数列，因此a 2020＝a 2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 2k －1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a 2020是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a 2020＝503，a 2020＝－503，a 2020＋a 2020＋a 2020＝1005，选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(2021·福建模拟)将正偶数按下表排成5列：那么2 012解析：观看第3列中的偶数能够发觉，从上到下依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，2 012为此数列的第252项，即可得2 012为第252行第3列．答案：252 38．(2021·滨州质检)已知数列{a n }、{b n }都是等差数列，S n 、T n 别离是它们的前n 项和，而且S n T n＝7n ＋1n ＋3，那么a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝________.解析：a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝2a 12＋2a 112b 12＋2b 11＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝S 22T 22＝15525＝315.答案：3159．(2021·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，那么nS n 的最小值为________． 解析：由等差数列和的特点，设S n ＝an 2＋bn .则⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋10b ＝0152a ＋15b ＝25解得a ＝13，b ＝－103，∴S n ＝13n (n －10)，nS n ＝13(n 3－10n 2)．考查函数f (x )＝x 3－10x 2(x ≥1)，f ′(x )＝3x 2－20x ， ∴f (x )极小值点为203，当n ＝6时，nS n ＝－48，n ＝7时，nS n ＝－49，∴nS n 最小值为－49.答案：－4910．(2021·广东模拟)已知递增的等差数列{a n }知足a 1＝1，a 3＝a 22－4，那么a n＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，a 1＝1，a 1＋2d ＝(a 1＋d )2－4，且{a n }递增，解得d ＝2，故a n ＝2n －1.答案：2n －1三、解答题(本大题共3小题，共40分，1一、12题各13分，13题14分，写出证明进程或推演步骤) 11．设数列{a n }(n ＝1,2，…)是等差数列，且公差为d ，假设数列{a n }中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，那么称该数列是“封锁数列”．(1)假设a 1＝4，d ＝2，求证：该数列是“封锁数列”；(2)试判定数列a n ＝2n －7(n ∈N *)是不是是“封锁数列”，什么缘故？解：(1)证明：a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2，对任意的m ，n ∈N *，a m ＋a n ＝(2m ＋2)＋(2n ＋2)＝2(m ＋n ＋1)＋2，令p ＝m ＋n ＋1，那么有a m ＋a n ＝a p ＝2p ＋2∈{a n }．故该数列是“封锁数列”．(2)由a 1＝－5，a 2＝－3得a 1＋a 2＝－8.令a n ＝a 1＋a 2＝－8⇒2n －7＝－8⇒n ＝－12∉N *，因此数列a n ＝2n －7(n ∈N *)不是“封锁数列”．12．(2021·山东模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m . 解：(1)因为{a n }是一个等差数列， 因此a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，那么5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，假设9m <a n <92m ， 那么9m ＋8<9n <92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1. 故得b m ＝92m －1－9m －1. 于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1) ＝9×1－81m1－81－1－9m 1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.13．(2021·绵阳诊断)数列{a n }知足a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，已知a 3＝95. (1)求a 1，a 2；(2)是不是存在一个实数t ，使得b n ＝13n (a n ＋t )(n ∈N *)，且{b n }为等差数列？假设存在，那么求出t 的值；假设不存在，请说明理由．解：(1)n ＝2时，a 2＝3a 1＋32－1n ＝3时，a 3＝3a 2＋33－1＝95，∴a 2＝23.∴23＝3a 1＋8，∴a 1＝5. (2)当n ≥2时，b n －b n －1＝13n (a n ＋t )－13n －1(a n －1＋t )＝13n (a n ＋t －3a n －1－3t ) ＝13n (3n －1－2t ) ＝1－1＋2t 3n .要使{b n }为等差数列，那么必需使1＋2t ＝0，∴t ＝－12，即存在t ＝－12，使{b n }为等差数列．。
【赢在课堂】2021届高考数学一轮复习 6.2 等差数列 理 新人教A版
第2讲等差数列基础巩固1.等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=1,a3=3,则S4等于( )A.12B.10C.8D.6【答案】C【解析】由已知得d=2,从而可得a1=-1,a4=5.故S4=8.2.已知等差数列{a n}中,a2+a8=16,a4=1,则a6的值为( ) A.15 B.17C.36D.64【答案】A【解析】根据a2+a8=16可得2a5=16,即a5=8,又a4=1,因此a6=2a5-a4=2×8-1=15.3.若等差数列{a n}的前n项和满足S20=S40,则下列结论中正确的是( )A.S30是S n中的最大值B.S30是S n中的最小值C.S30=0D.S60=0【答案】D【解析】方法一:由S20=S40,得a1=-d,故S60=60a1+d=60×d=0.方法二:由S20=S40,得a21+a22+…+a40=0,从而可知a30+a31=0.故S60==30(a30+a31)=0.4.已知数列{a n}中,a3=2,a7=1,若为等差数列,则a11=( )A.0B. C. D.2【答案】B【解析】由已知可得是等差数列的第3项和第7项,其公差d=,由此可得+(11-7)d=+4×,解之,得a11=.5.已知数列{a n}为等差数列,若<-1,且它们的前n项和S n有最大值,则使S n>0的n的最大值为( )A.11B.19C.20D.21【答案】B【解析】∵<-1,且S n有最大值,∴a10>0,a11<0,且a10+a11<0.于是S19==19a10>0,S20==10(a10+a11)<0.故使得S n>0的n的最大值为19,应选B.6.已知{a n}是正数组成的数列,a1=1,且点(,a n+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上,则a2013为( )A.2010B.2011C.2012D.2013【答案】D【解析】∵由已知得a n+1=a n+1,即a n+1-a n=1,又a1=1,∴数列{a n}是以1为首项,公差为1的等差数列.故a n=1+(n-1)×1=n,则a2013=2013.7.若{a n}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是( )A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列【答案】C【解析】方法一:设数列{a n}的公差为d,则由题意知,d=1.设c n=a2n-1+2a2n,则由上式得c n+1=a2n+1+2a2n+2,c n+1-c n=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6.方法二:利用特殊数列.令a n=n,则c n=a2n-1+2a2n=2n-1+2×2n=6n-1.故c n-c n-1=6.8.已知{a n}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项的和S10=.【答案】100【解析】根据可得于是a10=a1+9d=1+9×2=19.故S10==100.9.在数列{a n}中,若点(n,a n)在经过点(5,3)的定直线l上,则数列{a n}的前9项和S9=. 【答案】27【解析】∵点(n,a n)在定直线l上,∴数列{a n}为等差数列.故a n=a1+(n-1)·d.将(5,3)代入,得3=a1+4d=a5.故S9=(a1+a9)=9a5=3×9=27.10.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a4=1,S5=10,则当S n取得最大值时,n的值为. 【答案】4或5【解析】由题意得解之可得a1=4,d=-1.于是S n=×n=-.故当n=4或n=5时,S n最大.11.已知等差数列{a n}的前三项为a-1,4,2a,记其前n项和为S n.(1)设S k=2550,求a和k的值;(2)设b n=,求b3+b7+b11+…+b4n-1的值.【解】(1)由已知得a1=a-1,a2=4,a3=2a,∵a1+a3=2a2,∴(a-1)+2a=8,即a=3.故a1=2,公差d=a2-a1=2.由S k=ka1+d,得2k+×2=2550,即k2+k-2550=0,解得k=50或k=-51(舍去).故a=3,k=50.(2)由S n=na1+d得S n=2n+×2=n2+n.因此b n==n+1,即{b n}是等差数列,则b3+b7+b11+…+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)=.故b3+b7+b11+…+b4n-1=2n2+2n.12.已知数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,且满足2S n=+n-4.(1)求证:{a n}为等差数列;(2)求{a n}的通项公式.【解】(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).当n≥2时,有2S n-1=+n-5,又2S n=+n-4,两式相减得2a n=+1,即-2a n+1=,也即(a n-1)2=,因此a n-1=a n-1或a n-1=-a n-1.若a n-1=-a n-1,则a n+a n-1=1,而a1=3,于是可得a2=-2,这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾,因此a n-1=a n-1,即a n-a n-1=1.故{a n}为等差数列.(2)因为由(1)知a1=3,d=1,所以数列{a n}的通项公式a n=3+(n-1)=n+2,即a n=n+2.13.设等差数列{a n}的首项a1及公差d都是整数,其前n项和为S n,(1)若a11=0,S14=98,求数列{a n}的通项公式;(2)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{a n}的通项公式.解:(1)由S14=98,得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,解之可得d=-2,a1=20.因此数列{a n}的通项公式是a n=22-2n.(2)由即由①+②得-7d<11,即d>-.由①+③得13d≤-1,即d≤-.于是-<d≤-.又d∈Z,故d=-1.代入①②得10<a1≤12.又a1∈Z,所以a1=11或a1=12.故所有可能的数列{a n}的通项公式是a n=12-n和a n=13-n.拓展延伸14.在等差数列{a n}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为S n,求T n=|a1|+|a2|+…+|a n|.【解】∵由题意知a16+a17+a18=3a17=-36,即a17=-12,又a9=-36,∴d==3,首项a1=a9-8d=-36-8×3=-60.于是a n=3n-63,由a n≤0,得n≤21.当n≤21时,T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=-a1-a2-…-a n=-S n=-=(41n-n2).当n>21时,T n=|a1|+|a2|+…+|a21|+|a22|+…+|a n|=-a1-a2-…-a21+a22+a23+…+a n=S n-2(a1+a2+…+a21)=(n2-41n)-2=(n2-41n)+1260.故T n=附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
新人教版高考数学一轮总复习第六章数列6.2等差数列课件理
A.1 B. 5
3
C.2 D.3
令2a2=a1+a3,解得λ=4. 故an+2-an=4,由此可得 {a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3; {a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
1-1 (2016广西桂林中学3月月考,17,12分)已知数列{an}满足an+1= 1 (a nn ∈N*),且a1=0.
高考理数
§6.2 等差数列
知识清单
一、等差数列的有关概念 1.通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d,n∈N* . 2.等差中项
ab
如果 A= 2 ,那么A叫做a与b的等差中项. 3.前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d,则其前n项和Sn=
S 偶 a n1
b.若项数为2n-1,则S偶=(n-1)anБайду номын сангаасS奇=nan,S奇-S偶=an, S 奇 = n .
S偶 n 1
(4)若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,则 a n =S 2 n 1.
b n T 2n1
【知识拓展】 利用数形结合的思想方法解决等差数列的有关问题时应明确两点: 1.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d可变形为an=dn+(a1-d). 若d=0,则an=a1是常数函数; 若d≠0,则an是关于n的一次函数. (n,an)是直线y=dx+(a1-d)上一群孤立的点. 单调性:d>0时,{an}为单调递增数列;d<0时,{an}为单调递减数列.
第六章 §6.2 等差数列-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d 2，
所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd， 所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次 函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
思维升华
判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差 数列； (2)等差中项法：对于数列{an}，2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是 等差数列； (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差 数列； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 ⇔{an}是等差数列.
第六章
§6.2 等差数列
课标要求
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式 与前n项和公式的关系. 3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元函数的关系.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
设数列{an}的公差为d， 则 Sn＝na1＋nn－2 1d＝12dn2＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列，所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的 一次函数，则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0，
(2)(多选)(2023·郑州模拟)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5<S6，
新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：6.2 等差数列Word版含答案
6.2 等差数列 必备知识预案自诊知识梳理1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d 表示.数学语言表示为a n+1-a n =d (n ∈N *),d 为常数.(2)等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是 ,其中A 叫做a ,b 的 .(3)等差数列{a n }的通项公式:a n = ,可推广为a n =a m +(n-m )d.(4)等差数列的前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d. 2.等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n =a 1+(n-1)d 可化为a n =dn+a 1-d 的形式.当d ≠0时,a n 是关于n 的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.(2)数列{a n }是等差数列,且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).1.已知{a n }为等差数列,d 为公差,S n 为该数列的前n 项和.(1)在等差数列{a n }中,当m+n=p+q 时,a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *).特别地,若m+n=2p ,则2a p =a m +a n (m ,n ,p ∈N *).(2)a k ,a k+m ,a k+2m ,…仍是等差数列,公差为md (k ,m ∈N *). (3)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…也成等差数列,公差为n 2d. (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列. (5)若项数为偶数2n ,则S 2n =n (a 1+a 2n )=n (a n +a n+1);S 偶-S 奇=nd ;S 奇S 偶=a n a n+1.(6)若项数为奇数2n-1,则S 2n-1=(2n-1)a n ;S 奇-S 偶=a n ;S 奇S 偶=nn -1.2.若数列{a n }与{b n }均为等差数列,且前n 项和分别是S n 和T n ,则S 2m -1T 2m -1=a mb m.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.() (2)已知数列{a n }的通项公式是a n =pn+q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列.()(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n 的一次函数. ( ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n+1=a n +a n+2. ( ) (5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的. ( ) (6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数. ()2.设数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,若a6=2且S5=30,则S8等于()A.31B.32C.33D.343.(多选)(2020山东威海高三一模)等差数列{a n}的前n项和记为S n,若a1>0,S10=S20,则()A.d<0B.a16<0C.S n≤S15D.当且仅当n≥32时,S n<04.(2019全国3,理14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=.5.(2019北京,理10)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n 的最小值为.关键能力学案突破考点等差数列中基本量的求解【例1】(1)(2019全国1,理9)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=12n2-2n(2)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,a n,d,n,S n,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.对点训练1(1)设等差数列{a n}的前n项和为S n,S11=22,a4=-12,若a m=30,则m=()A.9B.10C.11D.15(2)(2019江苏,8)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.考点等差数列的判定与证明【例2】若数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n-1=0(n≥2),a1=1.2成等差数列;(1)求证:1S n(2)求数列{a n}的通项公式.变式发散(1)本例条件不变,判断数列{a n}是否为等差数列,并说明理由.”变为“S n(S n-a n)+2a n=0(n≥2),a1=2”,问题不变,试(2)将本例条件“a n+2S n S n-1=0(n≥2),a1=12求解.解题心得1.证明数列是等差数列的主要方法(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证a n-a n-1为同一常数.(n≥3,n∈N*)成立.(2)等差中项法:验证2a n-1=a n+a n-22.判定数列是等差数列常用到的结论(1)通项公式:a n=pn+q(p,q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式:S n=An2+Bn(A,B为常数)⇔{a n}是等差数列.对点训练2(2017全国1,文17)设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.考点等差数列的性质及应用(多考向探究)考向1等差数列项的性质及应用【例3】(1)在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{a n}的前9项的和S9等于()A.66B.99C.144D.297(2)(多选)在等差数列{a n}中,a na2n是一个与n无关的常数,则该常数所有可能值为()A.0B.1C.12D.-1解题心得如果{a n}为等差数列,m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q(m,n,p,q∈N*).因此,若出现a m-n ,a m,a m+n等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与a m(或其他项)有关的条件;若求a m,可由a m=12(a m-n+a m+n)转化为求a m-n,a m+n或a m-n+a m+n的值.对点训练3(2020贵州贵阳普通中学期末检测)在等差数列{a n}中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=()A.60B.56C.12D.4考向2等差数列前n项和的性质【例4】(1)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63B.45C.36D.27(2)已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=-2 014,S20142014−S20082008=6,则S2 019=.解题心得在等差数列中,S n,S2n -S n,S3n−S2n,…仍成等差数列;S nn也成等差数列.对点训练4已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=9,S99−S55=-4,则S n=.考向3等差数列前n项和的最值【例5】(2020陕西汉中高三教学质量检测)设等差数列{a n}满足a3=-9,a10=5.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最小的n的值.解题心得求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =An 2+Bn (A ,B 为常数),通过配方或借助图象求最值.(2)邻项变号法:①当a 1>0,d<0时,满足{a m ≥0,a m+1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ;②当a 1<0,d>0时,满足{a m ≤0,a m+1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .对点训练5(1)(多选)已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 6<S 7,且S 7>S 8,则( ) A.在数列{a n }中,a 1最大B.在数列{a n }中,a 3或a 4最大C.S 3=S 10D.当n ≥8时,a n <0(2)在等差数列{a n }中,a 1=29,S 10=S 20,则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A.S 15 B.S 16 C.S 15或S 16 D.S 176.2 等差数列必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)第2项 差 同一个常数 公差 (2)A=a+b2 等差中项 (3)a 1+(n-1)d考点自诊1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×2.B 由已知可得{a 1+5d =2,5a 1+10d =30,解得{a 1=263,d =-43,∴S 8=8a 1+8×72d=32. 3.ABC 因为S 10=S 20,所以a 11+a 12+…+a 19+a 20=5(a 15+a 16)=0.又因为a 1>0,所以a 15>0,a 16<0,所以d<0,S n ≤S 15,故A,B,C 正确;S 31=31(a 1+a 31)2=31a 16<0,故D 错误.故选ABC.4.4 设等差数列{a n }的公差为d.∵a 1≠0,a 2=3a 1,∴a 1+d=3a 1,即d=2a 1.∴S 10S 5=10a 1+10×92d5a 1+5×42d=100a125a 1=4.5.0 -10 在等差数列{a n }中,由S 5=5a 3=-10,得a 3=-2,又a 2=-3,公差d=a 3-a 2=1,a 5=a 3+2d=0.由等差数列{a n }的性质得当n ≤5时,a n ≤0,当n ≥6时,a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为-10.关键能力·学案突破例1(1)A (2)C (1)由题意可知,{S 4=4a 1+4×32d =0,a 5=a 1+4d =5,解得{a 1=-3,d =2.故a n =2n-5,S n =n 2-4n ,故选A .(2)(方法1)由已知得,a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3,∵数列{a n }为等差数列,∴d=a m+1-a m =1.又S m =m (a 1+a m )2=0,∴m (a 1+2)=0.∵m ≠0,∴a 1=-2, 又a m =a 1+(m-1)d=2,∴m=5.(方法2)由S m -1=-2,S m =0,S m+1=3,得a m =S m -S m -1=2,a m+1=S m+1-S m =3,∴等差数列的公差为d=a m+1-a m =3-2=1.由{a m =a 1+(m -1)d =2,S m =a 1m +12m (m -1)d =0,得{a 1+m -1=2,a 1m +12m (m -1)=0,解得{a 1=-2,m =5.(方法3)∵数列{a n }为等差数列,且前n 项和为S n ,∴数列{Snn }也为等差数列. ∴S m -1m -1+S m+1m+1=2S m m,即-2m -1+3m+1=0,解得m=5.经检验是原方程的解.故选C.对点训练1(1)B (2)16 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,依题意得{S 11=11a 1+11×(11-1)2d =22,a 4=a 1+3d =-12,解得{a 1=-33,d =7,∴a m =a 1+(m-1)d=7m-40=30,∴m=10.故选B .(2)∵{a n }为等差数列,设公差为d ,a 2a 5+a 8=0,S 9=27, ∴{(a 1+)(a 1+4d )+a 1+7d =0,①9a 1+9×82d=27,②整理②得a 1+4d=3,即a 1=3-4d , ③把③代入①解得d=2,∴a 1=-5. ∴S 8=8a 1+28d=16.例2(1)证明当n ≥2时,由a n =S n -S n-1,且a n +2S n S n-1=0,得S n -S n-1=-2S n S n-1,因为S n ≠0,所以1S n −1S n -1=2.又因为1S 1=1a 1=2,故1S n 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)解由(1)可得1S n=2n ,所以S n =12n .当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12n −12(n -1)=n -1-n 2n (n -1)=-12n (n -1). 当n=1时,a 1=12,不适合上式. 故a n ={12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.变式发散(1)解因为a n =S n -S n-1(n ≥2),a n +2S n S n-1=0,所以S n -S n-1+2S n S n-1=0(n ≥2).因为S n ≠0,所以1S n −1S n -1=2(n ≥2).又1S 1=1a 1=2,所以1S n 是以2为首项,2为公差的等差数列.所以1S n=2+(n-1)×2=2n ,故S n =12n .所以当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12n −12(n -1)=-12n (n -1), 所以a n+1=-12n (n+1).又a n+1-a n =-12n (n+1)−-12n (n -1)=-12n 1n+1−1n -1=1n (n -1)(n+1),所以当n ≥2时,a n+1-a n 的值不是常数,故数列{a n }不是一个等差数列. (2)①证明当n ≥2时,由a n =S n -S n-1且S n (S n -a n )+2a n =0,得S n [S n -(S n -S n-1)]+2(S n -S n-1)=0,即S n S n-1+2(S n -S n-1)=0,因为S n ≠0,所以1S n −1S n -1=12.又1S 1=1a 1=12,故数列1S n 是首项为12,公差为12的等差数列.②解由①可得1S n=n 2,所以S n =2n ,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=-2n (n -1). 当n=1时,a 1=2不适合上式,故a n ={2,n =1,-2n (n -1),n ≥2.对点训练2解(1)设{a n }的公比为q.由题设可得{a 1(1+q )=2,a 1(1+q +q 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n .(2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q =-23+(-1)n 2n+13.由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n ×2n+3-2n+23=2[-23+(-1)n 2n+13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.例3(1)B (2)BC (1)由等差数列的性质得a 1+a 7=2a 4,a 3+a 9=2a 6,∴a 1+a 4+a 7=3a 4=39,a 3+a 6+a 9=3a 6=27, ∴a 4=13,a 6=9,∴a 4+a 6=22,∴数列{a n }前9项的和S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 4+a 6)2=9×222=99. (2)由题意可得,因为数列{a n }是等差数列,所以设数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n-1)d ,则a 2n =a 1+(2n-1)d ,所以an a 2n=a 1+(n -1)d a 1+(2n -1)d=a 1-d+nda 1-d+2nd.因为an a 2n是一个与n 无关的常数, 所以a 1-d=0或d=0,所以a n a 2n可能是12或1.故选BC .对点训练3A ∵在等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,∴2a 5=a 3+a 7=a 2+a 8=8,解得a 5=4,∴(a 3+a 7)2-a 5=(2a 5)2-a 5=64-4=60.故选A .例4(1)B (2)8 076 (1)由{a n }是等差数列,得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列,即2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6),所以S 9-S 6=2S 6-3S 3=45,故选B .(2)由等差数列的性质可得S n n 也为等差数列.设其公差为d ,则S20142014−S 20082008=6d=6,∴d=1.故S 20192019=S11+2018d=-2014+2018=4,∴S 2019=4×2019=8076.对点训练4-n 2+10n 等差数列{a n }的前n 项和为S n ,∴Sn n =a 1+n -12d 为等差数列,公差为d2,首项为a 1. ∵a 1=9,S 99−S 55=-4, ∴-4=4×d2,解得d=-2.则S n =9n-(n -1)n2×2=-n 2+10n.例5解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=-9,a 10=5,得{a 1+2d =-9,a 1+9d =5, 解得{a 1=-13,d =2.所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-15.(2)由(1)可得S n =n (a 1+a n )2=n 2-14n=(n-7)2-49,故当n=7时,S n 取得最小值.对点训练5(1)AD (2)A (1)由于S 6<S 7,S 7>S 8,所以S 7-S 6=a 7>0,S 8-S 7=a 8<0,所以数列{a n }是递减数列,最大项为a 1,故A 正确,B 错误,D 正确;S 10-S 3=a 4+a 5+…+a 10=7a 7>0,故C 错误.(2)∵a 1=29,S 10=S 20,∴10a 1+10×92d=20a 1+20×192d ,解得d=-2,∴S n =29n+n (n -1)2×(-2)=-n 2+30n=-(n-15)2+225.∴当n=15时,S n 取得最大值.。