圆轴的扭转

第八章 圆轴的扭转工程构件一般可分为三类。

第四章已指出：杆是某一方向尺寸远大于其它二方向尺寸的构件，若杆件的轴线为直线，则称为直杆。

此外，若构件在某一方向的尺寸远小于其它二方向的尺寸，称之为板。

若构件在x 、y 、z 三个方向的尺寸具有相同的数量级，则称为块体。

本课程主要讨论直杆，这是一种最简单的构件。

如同4.4节所述，在空间任意力系的作用下，杆件截面内力的最一般情况是六个分量都不为零，其变形是很复杂的。

为了简化讨论，我们将杆的基本变形分成为三类，即拉压、扭转、弯曲，如图4.3所示。

前面已经讨论了在轴向载荷作用下杆的拉伸和压缩；现在再来研究杆的另一类基本变形，即扭转问题。

§8.1扭转的概念和实例工程中承受扭转的构件是很常见的。

如图8.1所示的汽车转向轴，驾驶员操纵方向盘将力偶作用于转向轴AB 的上端，转向轴的下端B 则受到来自转向器的阻抗力偶的作用，使转向轴AB 发生扭转。

又如图8.2中的传动轴，轮C 上作用着主动力偶矩，使轴转动；轮D 输出功率，受到阻力偶矩的作用，轴CD 也将发生扭转。

以上二例都是承受扭转的构件实例。

由于工程中承受扭转的构件大多为圆截面直杆，故称之为轴。

本章亦仅限于讨论直圆轴的扭转问题。

图8.2 传动轴图8.3所示为等截面直圆轴扭转问题的示意图。

扭转问题的受力特点是：在各垂直于轴线的平面内承受力偶作用。

如在图8.3中，圆轴AB 段两端垂直于轴线的平面内，各作用有一个外力偶M 0，此二力偶的力偶矩相等而转向相反，故是满足平衡方程的。

圆轴扭转问题的变形特点是：在上述外力偶系的作用下，圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动；任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭转角，以φ表示。

图8.3中，φAB 表示截面B 相对于截面A 的扭转角。

必须指出，工程中的传动轴，除受扭转作用外，往往还伴随有弯曲、拉伸(压缩)等其它形式的变形。

这类问题属于组合变形，将在以后研究。

§8.2 扭矩与扭矩图已知轴所传递的功率、转速，可利用6.3节提供的“功率、转速与传递的扭矩之关系”来计算作用于传动轴上的外力偶矩M 0。

M 0给出以后，即可用截面法确定扭转轴各横截面上的内力。

显然，对于承受扭转作用的轴，横截面上的内力是作用于截面上的内力偶矩，称之为扭矩。

为确定图8.4(a )所示之扭转轴内任意横截面C 上的内力，可截取左段为研究对象，如图8.4(b)所示。

截面C 上的内力(扭矩)记为M T ，由平衡方程有：M x =M T -M 0=0图8.3 扭转及扭转角(b)(c)图8.4 截面上的扭矩即得： M T =M 0若截取轴的右段为研究对象, 如图8.4(c)所示，同样可求得截面C 上的扭矩'T M =M 0。

'T M 与M T 是作用力与反作用力关系，其数值相等，转向相反，作用在不同的轴段上。

为了使截取不同研究对象所求得的同一截面上的扭矩不仅数值相等，而且符号也相同，可对扭矩符号作如下规定：采用右手螺旋法则，用四指表示扭矩的转向，大拇指的指向与截面的外法线方向相同时，该扭矩为正，反之为负。

应用此规则可知，图8.4所示截面C之扭矩为正号。

当轴上作用有两个以上的外力偶矩时，应分段计算轴的扭矩。

为了清楚地表示扭矩沿轴线的变化情况，通常以横坐标表示截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小，给出各截面扭矩随其位置而变化的图线，称为扭矩图。

扭矩图与轴力图一样，应画在载荷图的对应位置，一目了然。

例8.1 传动轴如图8.5(a )所示，已知转速n=300 r/min ，主动轮A 输入功率N pA =400kW，三个从动轮输出的功率分别为：N pB =N pC =120kW ，N pD =160kW ，试作轴的扭矩图。

解：(1)计算外力偶矩 由(6-10)式知：M (kN ∙m) =9.55N P (kW) /n (r/min) 故有：M A =9.55⨯400kW/300(r/min) =12.73 kN ∙mM B =M C =9.55⨯120 kW /300 (r/min)=3.82 kN ∙mM D =9.55⨯160 kW /(300 r/min)M T 图8.5 例8.1图=5.09 kN∙m(2)用截面法求截面扭矩BC段：沿截面1-1将轴截开，取左段为研究对象，沿正向假设截面扭矩为M T1，如图8.5(b)。

由平衡方程可知有：∑M x=M T1+M B=0得到：M T1=-M B=-3.82 kN∙mCA段：截取研究对象如图8.5(c)所示，由平衡方程可知截面扭矩M T2为：∑M x=M T2+M B+M C=0得到：M T2=-(M B+M C)=-7.64 kN∙mAD段：沿3-3截面截开后取右段为研究对象，如图8.5(d)所示。

有平衡方程：∑M x=M T3-M D=0得到：M T3=M D=5.09 kN∙m应当指出，在求以上各截面的扭矩时，采用了“设正法”，即截面扭矩按正向假设；若所得结果为负，则表示该扭矩的实际方向与假设的方向相反。

本题计算结果表明BC段及CA段扭矩为负，AD段扭矩为正。

(3)作扭矩图注意到轴各段内的扭矩均相同，则由上述结果不难作出如图8.5(e)所示之扭矩图。

可见，该轴的最大扭矩|M T|max=7.64 kN∙m，作用在CA段上。

讨论一：扭矩图的简捷画法类似于第四章所述轴力图的简捷画法，对于扭矩图，同样可以从左端开始，按扭矩符号规定标出参考正向如图8.6，图中M B为负，扭矩图向下画至3.82kN∙m；BC 段无外力偶矩作用，画水平线；C处M C与参考正向相反，扭矩图继续向下行3.82kN ∙m 至7.64kN ∙m ；CA 段无外力偶矩作用，画水平线；A 处M A 与参考正向相同，扭矩图向上行M A =12.73kN ∙m ；AD 段无外力矩作用，仍画水平线；D 处M D 与参考正向相反，扭矩图向下行M D =5.09kN ∙m ；回至零，图形封闭，满足平衡条件∑M x =0。

这样得到的结果必然是与截面法一致的。

讨论二： 对于本题所论之传动轴，若将主动轮A 与从动轮D 的位置对换，作扭矩图后可知，轴的最大扭矩在AD 段，且为|M T |max =12.73kN ∙m 。

由此可见，合理安排主、从动轮的位置，可以使轴的最大扭矩值降低。

例8.2 试作图8.7所示固定支承轴的扭矩图。

已知M B =40kN ∙m ，M C = M D =10kN ∙m 。

解：1）求固定端约束反力偶。

设固定端反力偶M A 如图，有平衡方程：∑M x =M A + M B -M C -M D =0 M A =M C +M D -M B =-20kN ∙m2) 在左端设置参考正向如图。

3）画扭矩图。

从左端开始，M A 为-20kN ∙m ，AB 段画水平线；B 处M B 为正，向上行40kN ∙m ，至+20kN ∙m ，再画水平线；C 处M C 为负，向下行10kN ∙m ；D 处M D 亦为负，再向下行10kN ∙m ，回至零。

结果如图所示。

参考正向M T 图8.6 扭矩图的简捷画法图8.7 例8.2图正向 M T (kN ∙§8.3圆轴扭转时的应力和变形8.3.1圆轴扭转的应力公式分析研究变形体静力学问题的主线，是研究力的平衡、变形的几何协调及力与变形间的物理关系。

与杆的拉伸压缩相比较，差别主要在于圆轴扭转时的变形有其特殊性。

因此，我们首先讨论圆轴扭转时的变形几何关系，找出应变的变化规律；然后再利用物理关系，找出应力分布规律；最后，根据静力平衡关系导出应力计算公式。

1.变形几何关系为建立圆轴扭转时变形几何关系，首先应通过试验观察圆轴扭转时的变形现象。

在圆轴表面作圆周线与轴向线，如图8.8(a )所示。

在轴二端施加扭矩后，圆轴发生扭转，如图8.8(b)。

由此可以观察到：各圆周线相对旋转了一个角度，但圆周线的尺寸、形状和相邻两圆周线之间的距离不变；各纵向线在小变形情况下，仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。

变形后圆轴表面的方格变成为菱形。

根据所观察到的圆轴表面变形现象，可以设想圆轴由一系列刚性平截面（横截面）组成，在扭转过程中，相邻两刚性横截面只发生相对转动。

于是可作出如下假设：圆轴的横截面变形后仍保持为平面，其形状和大小不变（半径尺寸不变且仍为直线），相邻两横截面间的距离不变。

这一假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。

这一假设是否正确，应当根据由此假设所导出的结论—圆轴扭转的应力和变形计算公式，是否符合实验结果来验证。

(a ) 变形前图8.8 扭转变形现象(b) 变形后依据上述刚性平面假设，注意到横截面间的距离不变即轴向线的长度未发生改变，于是可知扭转时圆轴横截面上只有垂直于半径方向的剪应力，而无正应力。

为了研究圆周扭转时剪应变的变化和分布规律，在图8.9(a )所示圆轴上相距为d x 的截面1-1和截面2-2间取楔形体如图8.9(b)。

在扭矩的作用下，截面2-2相对于截面1-1转动了一个微小角度dφ。

故截面2-2上的两条半径O 2c 和O 2d 都旋转了同一角度dφ，而变成为O 2c ′ 和O 2d ′；矩形a bcd 变成了平行四边形a bc ′d ′，如图8.9(b)所示。

由△a cc’和△O 2cc’可以看到，弧段'c c=rdφ=γd x ， 所以有：γ=dx rd /ϕ。

式中γ是图8.9(b)中a 、b 处直角的改变量，即半径为r 处（即轴表面处）的剪应变。

同理，在截面上任一点(距截面中心ρ处)，由图8.9(b)可给出剪应变γρ为：ρ=dx d /ϕρ式中，γρ为距中心为ρ处的剪应变；d ϕ/d x称为轴单位长度上的相对扭转角。

由刚性平面假设还可知，圆轴的横截面变形后仍保持平面，不仅形状和大小不变，半径也仍然保持为直线。

所以，在同一横截面上d ϕ/d x 为常数。

故上式表明，圆轴扭转时，横截面上各点的剪应变γρ与该点到截面中心的距离ρ成正比。

(a )图8.9 扭转变形分析22.物理关系材料的剪应力(τ)-剪应变(γ)关系同样可以由实验获得。

对于线性弹性材料，剪切虎克定律τ=G γ成立，G 为剪切弹性模量，与弹性模量E 一样，G 也是材料常数。

在线弹性物理关系下，剪应力τ与剪应变γ成正比，故横截面上任一距截面中心o 为ρ处的剪应力为：dx d G G /ϕργτρρ== （a ）上式给出了扭转圆轴横截面上的剪应力分布规律。

因为G 是材料常数，在同一横截面上d ϕ/d x 亦为常数，故截面上任意一点的剪应力τρ与该点到轴心的距离ρ成正比；由于剪应变发生在垂直于半径的平面内，故剪应力方向与半径垂直。

显然，剪应力τ在横截面上是线性分布的，在ρ=r 的外圆周上剪应力τ最大，且有：dx Grd /max ϕτ=在圆心ρ=0处，剪应力τ=0，如图8.10所示。