第三章 杆件横截面上的应力、应变分析1
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机械基础——第三章第三节 杆件的应力及强度计算
二、杆件的强度计算 （一）拉伸与压缩的强度计算
1、拉伸与压缩杆件截面上的正应力
正应力用σ表示。 σ是希腊字母，英文sigma，汉语译音为“西格玛”。
FN A
σ —— 横截面上的正应力，MPa； FN —— 横截面上的轴力，N ；
A —— 横截面的面积，mm2。
2、强度计算
max
FN A
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
例3-4 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝ 2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活 塞杆材料的许用应力[σ]＝50MPa，试求校核活塞杆的强度。 解：（1）活塞的轴力：
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
拖车挂钩
例：如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度 δ＝8 mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60 MPa，许用挤压 应力[σiy]＝100 MPa， 拖力F＝15 KN。试设计销钉的直径d。
解：（1）按剪切强度计算：
销钉的横截面积 由剪切强度公式
FQ F FQ
例：如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度 δ＝8 mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60 MPa，许用挤压 应力[σiy]＝100 MPa， 拖力F＝15 KN。试设计销钉的直径d。
ρ——横截面上任一点距圆心和距离，单位mm；
的大小与截面形状和尺寸有关，单位mm4。
Ip——横截面的极惯性矩，它表示截面的几何性质，它
上式表明，横截面上任一点处切应力的大小，与该点到 圆心的距离ρ成正比。
由上式可知：圆心处的切应力为零，同一圆周上各点切应力 相等，在横截面边缘上，ρ达到最大值R，该处切应力最大：
河海大学 材料力学 第三章 杆件横截面上的应力、应变分析第一节
点K处的应力(stress) DF p=lim pm= lim —— DA→0 DA→0 DA
p 正应力s :沿截面法向 n 切应力t :沿截面切向 s p 2= s 2 + t 2
应力单位：Pa(帕斯卡、帕) MPa(兆帕)
1 Pa = 1 N/m2 1MPa =106 Pa
注意：
t
K
s
以上分析可见，应力是受力物体内某个截面上某 一点上内力分布集度。通常情况下，物体内各点 应力是不同的，对于同一点不同方位截面上应力 亦不同。这样，应力离开它的作用点是没有意义 的，同样，离开它的作用面亦是没有意义的。
(shearing strain) 单位: rad。
四、胡克定律
s
s
du e= — dx
u
u+du
如果仅在单方向正应力s 作用下，且正应力不超过某 一限值（比例极限），则正应力与正应变成正比，即
s = Ee ——胡克定律(Hooke's law)
E ——弹性模量。(elastic modulus)
如何描述一点处的应力？
二、一点的应力状态、单元体：
K K
围绕K点取一微小的六面体，称为单元体。
六个面都表示通过同一点K的面，只是方向不同而已。
如果所取的单元体在空间方位不同，则单元体上各面 的应力分量亦不相同。
sy
y
tyz
tyx txy txz sx
x
tzy
z
sz
tzx
若从一复杂受力构件内某点取一单元体，一般 情况下单元体各面上均有应力，且每一面上同时存 在三个应力分量：一个法向分量——正应力；两个 切向分量——切应力。这样,单元体上共有9个应力 分量。
第三章_杆件横截面上的应力应变分析
3）测截面扭矩
采用全桥桥路如图。
B
R1 R3 C R9 R7
A D 测扭矩
M
ds
2
ds EW M M EW 2
1
ds
4
T E dsW p 41
弯扭组合变形时的应力测量
B Ri A Rt
4、 实验步骤
C
1.打开弯扭组合实验装置。 2.打开应变仪。 R0 R0 3.主应力测定。 D (1) 用标准电阻调零，根据应变片的灵敏系数，计算出标定 值标定。按下“测量”，拆下标准电阻。 (2) 将各应变片按半桥单臂方式接入电阻应变仪各通道，各 通道共用一片温度补偿片。转换开关打到 “切换” (3)调各通道电桥平衡。 (4)采用增量法逐级加载，每次0.1kN。0.1 kN 初载荷调零 0.2 kN , 0.3 kN, 0.4 kN 读出测量值 (5)卸载。
180°III点 R7 R8 R9 B Ri A R0 D 测主应力
2
1） 测各点主应力
在mm截面上下左右四点处贴上应变片花，由电 阻应变仪测出各点三方向应变。测量桥路采用 半桥单臂，如图。由公式可计算各点ห้องสมุดไป่ตู้应力。
45°绿线 0° 白线 -45°蓝线
Rt C R0
主方向
45 45 tan 2 0 45 45 0
主应力
1.2
1 E 1 45 45 2 1 2 2
45 0
0 45
2
弯扭组合变形时的应力测量
2）测截面弯矩
采用半桥双臂桥路如图。
B R5 A R0 D 测弯矩 R0 R11 C
第三章杆件横截面上的应力应变分析1
A( x)
x 是横截面的位置。
若杆件横截面尺寸沿轴线变化剧烈，上述式子是否适用？ 为什么？
Nothing in life is to be feared. It is only to be understood. (Marie Curie)
生活中没有什么可怕的东西，只有需要理解的东西。（居里夫人）
材料力学 Mechanics of Materials
当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布的载 荷时,杆件并非所有横截面都能保持平面,从而 产生均匀的轴向变形.这种情况下,正应力公式 不是对杆件上所有横截面都适用!
Nothing in life is to be feared. It is only to be understood. (Marie Curie)
生活中没有什么可怕的东西，只有需要理解的东西。（居里夫人）
材料力学 Mechanics of Materials
圣维南原理: 将原力系用静力等效的新力系 来替代，除了对原力系作用附近的应力分 布有明显影响外，在离力系作用区域略远 处，该影响就非常小。
有限元分析的圣维南原理
Nothing in life is to be feared. It is only to be understood. (Marie Curie)
生活中没有什么可怕的东西，只有需要理解的东西。（居里夫人）
材料力学 Mechanics of Materials
变形前
圆周线
变形后
M
圆周线
纵向线
纵向线
M
所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了同一个角度
表明:表面处存在切应变， 而且切应变相同。
变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成 了一个小菱形。
x 是横截面的位置。
若杆件横截面尺寸沿轴线变化剧烈，上述式子是否适用？ 为什么？
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生活中没有什么可怕的东西，只有需要理解的东西。（居里夫人）
材料力学 Mechanics of Materials
当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布的载 荷时,杆件并非所有横截面都能保持平面,从而 产生均匀的轴向变形.这种情况下,正应力公式 不是对杆件上所有横截面都适用!
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生活中没有什么可怕的东西，只有需要理解的东西。（居里夫人）
材料力学 Mechanics of Materials
圣维南原理: 将原力系用静力等效的新力系 来替代，除了对原力系作用附近的应力分 布有明显影响外，在离力系作用区域略远 处，该影响就非常小。
有限元分析的圣维南原理
Nothing in life is to be feared. It is only to be understood. (Marie Curie)
生活中没有什么可怕的东西，只有需要理解的东西。（居里夫人）
材料力学 Mechanics of Materials
变形前
圆周线
变形后
M
圆周线
纵向线
纵向线
M
所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了同一个角度
表明:表面处存在切应变， 而且切应变相同。
变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成 了一个小菱形。
工程力学中的杆件和梁的应力分析
工程力学中的杆件和梁的应力分析工程力学是工程学科的重要分支之一，它研究物体在受力作用下的力学性质。
在工程实践中，杆件和梁是常见的结构构件，其应力分析是工程设计和计算的基础。
本文将从杆件和梁的应力分析角度探讨工程力学中的相关知识。
一、杆件的应力分析杆件是一种细长的结构构件，承受轴向力的作用。
在杆件的静力学中，应力是一个重要参数，用于描述杆件内部受力的强度和稳定性。
杆件的应力可以分为正应力和切应力。
1. 正应力正应力是指垂直于杆件截面的作用力在该截面上的单位面积，通常用σ表示。
正应力的计算可以使用公式：σ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
正应力可以分为拉应力和压应力两种情况。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向一致时，称为拉应力。
拉应力是正值，表示杆件受拉的状态。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向相反时，称为压应力。
压应力是负值，表示杆件受压的状态。
2. 切应力切应力是指杆件截面上作用力的切向力与该截面上的单位面积之比，通常用τ表示。
切应力的计算可以使用公式：τ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
切应力主要存在于杆件的连接部分，例如螺纹连接、焊接连接等。
切应力会引起杆件的剪切变形和破坏，需要在设计过程中加以考虑。
二、梁的应力分析梁是一种用于承受弯曲力的结构构件，具有横截面的特点。
在梁的应力分析中，主要考虑的是弯矩和截面弯曲应力。
1. 弯矩弯矩是指作用在梁上的力对其产生的弯曲效应。
在工程实践中，梁通常是直线形状，因此弯矩在横截面上呈现出分布的特点。
弯矩可以通过力学平衡和弹性力学原理进行计算。
弯矩的大小与力的大小和作用点的位置有关，计算公式为：M = F * d其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到梁的某一端的距离。
2. 截面弯曲应力截面弯曲应力是指由于弯曲效应，在梁的横截面上产生的应力。
截面弯曲应力的大小与弯矩和横截面的几何形状有关，计算可以使用弯曲应力公式进行。
材料力学一
第三节 杆件变形的基本形式
杆的基本变形可分为： 轴向拉伸或压缩 : 直杆受到一对大小相等、方向相反、
作用线与轴线重合的外力作用时，杆件的变形主要是
轴线方向的伸长或缩短，这种变形称为轴向拉伸或压
缩.
F
F
F
F
剪切:杆件受到一对大小相等、方向相反、作用线相 互平行且相距很近的外力作用时，杆件的变形主要是 两部分沿外力作用方向发生料的机械性能测定（力和变形的关系，
强度指标等〕
2、验证理论和假设
3、实测：对复杂的结构、载荷难以估计的以
及检验设计要求，需要借助于试验来完成。
材料力学是固体力学的一个有机组成部分，是研
究变形固体的第一门课程，在基本概念、基本理 论和基本方法等方面为结构力学、弹性力学等奠 定了基础；同时也是机械设计、结构设计等课程 的先导课程，是工程技术人员必备的基础知识，
在材料力学中则对变形固体作如下假设：
1.连续性假设。假设物质毫无空隙地充满了整个固体。可
把某些力学量用坐标的连续函数来表示。
2.均匀性假设。假设固体内各处的力学性能完全相同。将
物体性能看作各组成部分性能的统计平均量，物体的任一部分 的力学性能都与整体的力学性能相同。
3.各向同性假设。假设固体在各个方向的力学性能完全相
同-----各向同性材料，如铸钢、铸铁、玻璃、塑料等， 还有些材料在不同的方向具有不同的力学性能，称为各向异性
材料，如木材， 还有正交各向异性材料，如胶合板等。
4.小变形假设。如果固体的变形较之其尺寸小得多，这种
变形称为小变形。研究物体的静力平衡时，可略去这种小变形， 按原始尺寸计算，在分析物体的变形规律时，不能忽略。
材料力学
第一章 绪论 第二章 杆件的内力分析 第三章 杆件横截面上的应力应变分析 第四章 杆件的变形计算 第五章 应力状态和应变状态分析 第六章 材料力学性能及实验应力分析基础 第七章 压杆稳定 第八章 杆类构件静力学设计 *第九章 能量方法初步 第十章 简单静不定问题 *第十一章 动荷载 第十二章 交变应力 附录Ⅰ 平面图形几何性质
材力网络测试题
第一章绪论判断题１、根据均匀性假设，可认为构件的应力在各点处相同。
（）２、根据连续性假设，杆件截面上的内力是连续分布的，分布内力系的合力必定是一个力。
（）３、固体材料在各个方向具有相同力学性能的假设，称为各向同性假设。
所有工程材料都可应用这一假设。
（）４、在小变形条件下，研究构件的应力和变形时，可用构件的原始尺寸代替其变形后的尺寸。
（）5、任何物体都是变形固体，在外力作用下，都将发生变形。
当物体变形很小时，就可视其为刚体。
填空题１、材料力学的任务是。
２、为保证机械或工程结构的正常工作，其中各构件一般应满足、和三方面的要求。
3、物体受力后产生的外效应是，内效应是；材料力学研究的是效应问题。
4、认为固体在其整个几何空间毫无空隙地充满了物质，这样的假设称为假设。
根据这一假设，构件的就可用坐标的连续函数表示。
5、受外力而发生变形的构件，在外力解除够后具有消除变形的这种性质称为；而外力除去后具有保留变形的这种性质为。
选择题1、根据均匀性假设，可认为构件的（）在各点处相同。
A 应力B 应变C 材料的弹性常数D 位移2、根据各向同性假设，可认为构件的（）在各方向都相同。
A 应力B 应变C 材料的弹性常数D 位移3、确定截面的内力的截面法，适用于（）。
A 等截面直杆B 直杆承受基本变形C 直杆任意变形D 任意杆件4、构件的强度、刚度和稳定性( )。
A 只与材料的力学性质有关B 只与构件的形状尺寸有关C 与A、B都有关D 与A、B都无关5、各向同性假设认为，材料沿各个方向具有相同的( )。
A 外力B 变形C 位移D 力学性能6、材料力学主要研究( )。
A 各种材料的力学问题B 各种材料的力学性能C 杆件受力后变形与破坏的规律D 各类杆中力与材料的关系7、构件的外力包括( )。
A 集中载荷和分布载荷B 静载荷和动载荷C 载荷与约束反力D 作用在物体上的全部载荷第二章杆件的内力分析判断题1、材料力学中的内力是指由外力作用引起的某一截面两侧各质点间相互作用力的合力的改变量。
清华大学材料力学范钦珊主讲 第三章 弹性杆件横截面上的 正应力分析
引言
1. 若干概念和定义
应力—分布内力在一点的集度
F1
F2
F3
Fn
引 言 若干概念和定义
应力就是单位面积上的内力‗
工程构件，大多数情形下，内力并 非均匀分布，集度的定义不仅准确而且 重要，因为“ 破坏”或“ 失效”往往 从内力集度最大处开始。
引 言 若干概念和定义
正应力和切应力
垂直于截面的应力称为“ 正应力”
关于截面几何性质的讨论
怎样判断主轴？
a a
结论与讨论 几点讨论
关于截面几何性质的讨论
y
怎样判断主轴？
a
x
a
I -I
I = x1y1
x
2
y sin 2a + I xy cos 2a
结论与讨论 几点讨论
关于截面几何性质的讨论
怎样判断主轴？
I -I
I = x y sin 2a + I cos 2a
x1 y1
EA( 0 )
- ESz (
1
rz
)
+ ESy (
1
ry
)
= FN
-ESz ( 0)
+ EIz (
1
rz
)
-
EIyz(
1
ry
)
=
Mz
ESy
( 0)
-
EIyz (
1
rz
)
+
EIy
(
1
ry
)
=
My
于是，得到待定常数
0
= FN,
EA
1
r y
= My , EIy
1
r z
= Mz EIz
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ε 1 = ε 2 = ε 3 = ......
横截面上的各点正应力亦相等， σ = Eε 横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀
思考-- 横截面上有没有切应力？ 思考-- 横截面上有没有切应力？
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τ
τ =G , γ
O
γ=
τ
G
γ
G-材料的切变模量
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生活中没有什么可怕的东西，只有需要理解的东西。（居里夫人）
材料力学 Mechanics of Materials
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材料力学 Mechanics of Materials
圣维南原理: 圣维南原理: 将原力系用静力等效的新力系 来替代， 来替代，除了对原力系作用附近的应力分 布有明显影响外， 布有明显影响外，在离力系作用区域略远 该影响就非常小。 处，该影响就非常小。
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 杆件横截面上的应力、应变分析 杆件横截面上的应力、
本章主要内容: 本章主要内容: 应力应变的概念及其相互关系 直杆轴向拉伸（压缩） 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力 圆轴扭转时横截面上的切应力 平面图形的几何性质 梁纯弯曲时横截面上的正应力 梁横力弯曲时横截面上的应力
σ max α= σ
应力集中会产生危害，也可以利用它为我们服务。 应力集中会产生危害，也可以利用它为我们服务。
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生活中没有什么可怕的东西，只有需要理解anics of Materials
解： 1.求各段的轴力，绘出轴力图如下图所示。 1.求各段的轴力 绘出轴力图如下图所示。 求各段的轴力，
生活中没有什么可怕的东西，只有需要理解的东西。（居里夫人）
材料力学 Mechanics of Materials
F1
△A上的内力平均集度为: 上的内力平均集度为:
F2
∆F pm = ∆A
当△A趋于零时，pm 的 趋于零时， 大小和方向都将趋于某一 极限值。 极限值。
F3
∆F p = lim pm = lim ∆A→0 ∆A→ 0 ∆A
材料力学 Mechanics of Materials
三、胡克定律
σx
σx = Eεx ,
Robert Hooke O
εx =
σx
E
εx
E-材料的杨氏弹性模量
试验表明，对于工程中常用 试验表明， 材料制成的杆件， 材料制成的杆件，在弹性范 围内加载时（ 围内加载时（构件只发生弹 性变形）， ），若所取单元体只 性变形），若所取单元体只 承受单方向正应力或只承受 切应力， 切应力，则正应力与线应变 以及切应力与切应变之间存 在线性关系。 在线性关系。
第二节 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力 直杆轴向拉伸（压缩）
一、横截面上正应力公式的推导 观察中间部分，拉伸变形 观察中间部分， 竖线仍然相互轴线， 后，竖线仍然相互轴线， 只是发生了平移
F
F
ε1
ε2
平截面假设: 平截面假设: 变形前为平 面的横截面变形后仍保持 平面且垂直于轴线
由上述假设， 由上述假设，拉杆的所有纵向纤维的伸长都是相同的 根据胡克定律
一、正应力和切应力
两个拉杆任意截面上 的内力相同，但是常识告 的内力相同， 诉我们， 诉我们，直径细的拉杆更 容易破坏。 容易破坏。 同样材料， 同样材料，同等内力条 件下， 件下，横截面积较大的拉杆 能承受的轴向拉力越大。 能承受的轴向拉力越大。
内力集度
应力（STRESS） 应力（STRESS）
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切应力（shearing stress） 切应力（ stress） 1GPa=1000MPa
应力单位: 牛顿/ 应力单位: 牛顿/米2 1KPa=1000Pa
帕斯卡（Pa） 帕斯卡（Pa）
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材料力学 Mechanics of Materials
第一节 应力、应变及其相互关系 应力、
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材料力学 Mechanics of Materials
应力集中因数
截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小， 截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小， 应力集中的程度就越严重。 应力集中的程度就越严重。
应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意 应力集中对脆性材料的影响严重，
2．求最大应力。 求最大应力。
σ=
FN
max
A
=
π
4
30 × 103 × 16 2 ×10 −6
= 149 MPa (压)
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有限元分析的圣维南原理
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二、应力集中的概念
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二、正应变和切应变 线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量分别称为“正应 线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量分别称为“ 切应变” 变” ( Normal Strain ) 和 “切应变”(Shearing Strain), 分别 用 ε 和 γ 表示。 表示。
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材料力学 Mechanics of Materials
当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布的载 荷时,杆件并非所有横截面都能保持平面, 荷时,杆件并非所有横截面都能保持平面,从而 产生均匀的轴向变形.这种情况下, 产生均匀的轴向变形.这种情况下,正应力公式 不是对杆件上所有横截面都适用! 不是对杆件上所有横截面都适用!
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材料力学 Mechanics of Materials
F σ= N A
σ
正应力，拉应力为“+”， 正应力，拉应力为“+”，压应力为 －” FN “轴力 A 横截面面积
生活中没有什么可怕的东西，只有需要理解的东西。（居里夫人）
σx
dx
σx
σx
u
σx
u+du
du εx = dx
τ
α
τ
β
( 直角改变量 )
γ = α + β
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得到横截面上 正应力公式为: 正应力公式为:
F N σ= A
横截面上的各点正应力亦相等， 横截面上的各点正应力亦相等， 适用条件： 适用条件： 且分布均匀 有
σ A = FN
A、弹性体，符合胡克定律； 弹性体，符合胡克定律； B、轴向拉压； 轴向拉压； C、离杆件受力区域较远处的横截面。 离杆件受力区域较远处的横截面。
由圣维南原理知，等直杆受轴向拉伸或 由圣维南原理知， 压缩时，在离开外力作用处较远的横截面上 压缩时， 的正应力是均匀分布的。但是， 的正应力是均匀分布的。但是，如果杆截面 尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟槽或 尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、 者制成阶梯时， 者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力 将急剧增大，这种现象称为应力集中 应力集中。 将急剧增大，这种现象称为应力集中。