第4章杆件横截面上的正应力分析
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杆件横截面上的应力
* N1
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
《工程力学》第4章 材料力学的基本概念
➢ 描写弹性体在各点处线变形程度的量称为线应
变或正应变”, 分别用 表示。
4.5 正应变与剪应变
(直角改变量）
➢ 在切应力作用下的微元体产生剪切变形； ➢ 剪切变形程度用微元体直角的改变量度量；
➢ 微元直角改变量称为切（或剪）应变， 用
表示。
4.5 正应变与剪应变
正负号规定
>0
<0
正应力 拉为正，压为负
32/60
4.4 杆件横截面上的应力----正应力与剪应力定义
梁
悬臂梁在集中力作用下，各个横截面上的弯矩不 相等；
固定端处的横截面上弯矩最大，该截面上各点处 内力不相等；
如何度量某点处内力的强弱程度----应力。
33/60
4.4 杆件横截面上的应力----正应力与剪应力定义
FP1 FP2
y
➢形变－－形状的改变 物 体 的 形 状 可 用 它 各 部 分 的 长 度 和 角 度 来 表 示 ， 因此，物体的形变可以归结为长度的改变和角度 的改变。
➢应变－－可分为正应变（线应变）和切应变两种。
40/60
4.5 正应变与剪应变
x
dx
x x
u
x
u+du
x
du dx
➢ 在正应力作用下的微元，沿着正应力方向产生 伸长和垂直于正应力方向产生缩短，这种变形 称为线变形；
DFR
DA
p ΔFR ΔA
x
p
lim
ΔFR
z
ΔA0 ΔA
➢极限值反映了内力在该点处的强弱程度； ➢内力在一点的强弱程度称为集度。
34/60
4.4 杆件横截面上的应力----正应力与剪应力定义
➢应力是内力在一点处的集度； ➢应力可以理解为单位面积的内力； ➢工程构件，大多数情形下，内力非均匀分布，集度 的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏”或“ 失效” 往往从内力集度最大处开始； ➢单位为Pa或MPa（1kg·f、bar） ，工程上多用 MPa。
变或正应变”, 分别用 表示。
4.5 正应变与剪应变
(直角改变量）
➢ 在切应力作用下的微元体产生剪切变形； ➢ 剪切变形程度用微元体直角的改变量度量；
➢ 微元直角改变量称为切（或剪）应变， 用
表示。
4.5 正应变与剪应变
正负号规定
>0
<0
正应力 拉为正，压为负
32/60
4.4 杆件横截面上的应力----正应力与剪应力定义
梁
悬臂梁在集中力作用下，各个横截面上的弯矩不 相等；
固定端处的横截面上弯矩最大，该截面上各点处 内力不相等；
如何度量某点处内力的强弱程度----应力。
33/60
4.4 杆件横截面上的应力----正应力与剪应力定义
FP1 FP2
y
➢形变－－形状的改变 物 体 的 形 状 可 用 它 各 部 分 的 长 度 和 角 度 来 表 示 ， 因此，物体的形变可以归结为长度的改变和角度 的改变。
➢应变－－可分为正应变（线应变）和切应变两种。
40/60
4.5 正应变与剪应变
x
dx
x x
u
x
u+du
x
du dx
➢ 在正应力作用下的微元，沿着正应力方向产生 伸长和垂直于正应力方向产生缩短，这种变形 称为线变形；
DFR
DA
p ΔFR ΔA
x
p
lim
ΔFR
z
ΔA0 ΔA
➢极限值反映了内力在该点处的强弱程度； ➢内力在一点的强弱程度称为集度。
34/60
4.4 杆件横截面上的应力----正应力与剪应力定义
➢应力是内力在一点处的集度； ➢应力可以理解为单位面积的内力； ➢工程构件，大多数情形下，内力非均匀分布，集度 的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏”或“ 失效” 往往从内力集度最大处开始； ➢单位为Pa或MPa（1kg·f、bar） ，工程上多用 MPa。
工程力学--轴向拉压杆的应力及变形
第4章 拉压杆的应力及变形
第4章 轴向拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基本假设及基本概念 4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
4.3 应力.拉压杆内的应力
4.4 轴向拉（压）杆的变形. 胡克定律 4.5 拉压超静定问题
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
4.1 材料力学的基本假设及基本概念
内力随外力的增加而加大，随外力的撤除而消
失。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
六、杆件的基本变形
(1)拉伸或压缩 外力特点: 外力的合力作用线与 杆的轴线重合。 变形特点: 杆的变形主要是轴向 伸缩伴随横向缩扩。
拉压变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
A δ1 B C B’ F δ2
3 小变形假设 δ 远小于构件的最小尺寸，所 以通过节点平衡求各杆内力时， 把支架的变形略去不计。计算 得到很大的简化。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
四、外力与内力
外力： 体积力: 按 外 力 作 用 的 表面力 方 式 连续分布于物体内部各点的力。
pа
p cos cos
2
p sin
0 0
2
sin 2
0:
0 max
45 :
90 :
45
2
45 max
90 0
若AAB = ABC = 500mm 2，ACD = 200mm 2， 求各杆段的正应力及整个杆件最大正应力| |max。
第4章 轴向拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基本假设及基本概念 4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
4.3 应力.拉压杆内的应力
4.4 轴向拉（压）杆的变形. 胡克定律 4.5 拉压超静定问题
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
4.1 材料力学的基本假设及基本概念
内力随外力的增加而加大，随外力的撤除而消
失。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
六、杆件的基本变形
(1)拉伸或压缩 外力特点: 外力的合力作用线与 杆的轴线重合。 变形特点: 杆的变形主要是轴向 伸缩伴随横向缩扩。
拉压变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
A δ1 B C B’ F δ2
3 小变形假设 δ 远小于构件的最小尺寸，所 以通过节点平衡求各杆内力时， 把支架的变形略去不计。计算 得到很大的简化。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
四、外力与内力
外力： 体积力: 按 外 力 作 用 的 表面力 方 式 连续分布于物体内部各点的力。
pа
p cos cos
2
p sin
0 0
2
sin 2
0:
0 max
45 :
90 :
45
2
45 max
90 0
若AAB = ABC = 500mm 2，ACD = 200mm 2， 求各杆段的正应力及整个杆件最大正应力| |max。
第4章应力和强度
2cm
y
xG
xG
P=1.5 kN
C 1m 2m
k
x M 1.52 3kN m
1.求形心
截面沿y轴对称，形心的x坐标在y轴上
形心的y坐标 Y形心
yi Ai 21014 213 6.5
Ai
210 213
9.76cm
2c m 15c m
10cm
2cm
bh3 12
0.12 0.183 12
0.583 104 m4
k
M I中性轴
y
3 0.583 10 4
0.06 3087 kN / m2
3087kPa
判断正应力性质： 截面弯矩为负，K点在中性轴上边
为拉应力
k
2c m 15c m
例2 求C截面 K点的正应力
10cm
D
y2 dA
0
B
y3 3
D 0
BD 3 3
计算几个矩形组合截面的惯性矩
B
b
b
I中性轴
BD3 12
2
bd 3 12
d D
B1
b1
b1
D1
d1
D2
d2
I中性轴
B1D13 3
2
b1d13 3
B2 D23 3
2
b2d
3 2
2.圆截面的回转半径和半径的不同
I R4
4
i I R A2
A R2
4.3.4 静矩
z
y
xG
xG
P=1.5 kN
C 1m 2m
k
x M 1.52 3kN m
1.求形心
截面沿y轴对称，形心的x坐标在y轴上
形心的y坐标 Y形心
yi Ai 21014 213 6.5
Ai
210 213
9.76cm
2c m 15c m
10cm
2cm
bh3 12
0.12 0.183 12
0.583 104 m4
k
M I中性轴
y
3 0.583 10 4
0.06 3087 kN / m2
3087kPa
判断正应力性质： 截面弯矩为负，K点在中性轴上边
为拉应力
k
2c m 15c m
例2 求C截面 K点的正应力
10cm
D
y2 dA
0
B
y3 3
D 0
BD 3 3
计算几个矩形组合截面的惯性矩
B
b
b
I中性轴
BD3 12
2
bd 3 12
d D
B1
b1
b1
D1
d1
D2
d2
I中性轴
B1D13 3
2
b1d13 3
B2 D23 3
2
b2d
3 2
2.圆截面的回转半径和半径的不同
I R4
4
i I R A2
A R2
4.3.4 静矩
z
材料力学第04章 杆件变形分析
桁架的变形通常用节点的位移（displacement）表示，现以 下图所示桁架为例，说明桁架节点位移的分析方法。
例4-2 桁架是由1、2杆组成，
通过铰链连接，在节点A承受 铅垂载荷F=40kN作用。已知
杆1为钢杆，横截面面积
A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa，杆2为木杆，横 截面面积A2=2.5×104mm2， 弹性模量E2=10GPa，杆2的杆 长为1m。求节点A的位移。
M (x) EI 24
d2w/dx2与弯矩的关系如图所示，坐标轴w以向上为正。由
该图可以看出，当梁段承受正弯矩时，挠曲线为凹曲线，如
图（a）所示，d2w/dx2为正。反之，当梁段承受负弯矩时， 挠曲线为凸曲线，如图（b）所示，d2w/dx2为负。可见， d2w/dx2与弯矩M的符号一致。因此上式的右端应取正号，即
于梁的高度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可
用来计算横力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量，
上式变为
1 M (x)
(x) EI
即挠曲线上任一点处的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，
而与该截面的抗弯刚度（flexural rigidity）EI成反比。
23
由高等数学可知，平面曲线w=w(x)上任一点的曲率为
15
对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆 截面轴，其扭转变形为
n
Tili
i1 Gi I Pi
式中，Ti、li、Gi与IPi分别为轴段i的扭矩、长度、剪切弹 性模量与极惯性矩，n为杆件的总段数。
16
2．圆轴扭转的刚度条件
在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多情况下对刚 度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足 相应的刚度条件。
例4-2 桁架是由1、2杆组成，
通过铰链连接，在节点A承受 铅垂载荷F=40kN作用。已知
杆1为钢杆，横截面面积
A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa，杆2为木杆，横 截面面积A2=2.5×104mm2， 弹性模量E2=10GPa，杆2的杆 长为1m。求节点A的位移。
M (x) EI 24
d2w/dx2与弯矩的关系如图所示，坐标轴w以向上为正。由
该图可以看出，当梁段承受正弯矩时，挠曲线为凹曲线，如
图（a）所示，d2w/dx2为正。反之，当梁段承受负弯矩时， 挠曲线为凸曲线，如图（b）所示，d2w/dx2为负。可见， d2w/dx2与弯矩M的符号一致。因此上式的右端应取正号，即
于梁的高度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可
用来计算横力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量，
上式变为
1 M (x)
(x) EI
即挠曲线上任一点处的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，
而与该截面的抗弯刚度（flexural rigidity）EI成反比。
23
由高等数学可知，平面曲线w=w(x)上任一点的曲率为
15
对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆 截面轴，其扭转变形为
n
Tili
i1 Gi I Pi
式中，Ti、li、Gi与IPi分别为轴段i的扭矩、长度、剪切弹 性模量与极惯性矩，n为杆件的总段数。
16
2．圆轴扭转的刚度条件
在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多情况下对刚 度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足 相应的刚度条件。
第四章杆件横截面上的剪应力(材料力学课件)
T h b2
T G hb3
1 max
表 5-1 矩形截面杆扭转时的系数
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞ α 0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333 β 0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333 γ 1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743
N ─ kW
n
─
rpm
m ─ N m
N ─ PS
n
─
rpm
m ─ N m
{m}Nm
9549 {N}kW {n} r / min
{m}Nm
7024 {N}PS {n} r / min
GB3101-93中规定的数值方程式表示方法
扭矩和扭矩图:
例： 图示传动轴，主动轮A输入功率 NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
剪切胡克定律:
CL5TU8
薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应 变成正比
G
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 胡克定律
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
工程力学中的杆件和梁的应力分析
工程力学中的杆件和梁的应力分析工程力学是工程学科的重要分支之一，它研究物体在受力作用下的力学性质。
在工程实践中，杆件和梁是常见的结构构件，其应力分析是工程设计和计算的基础。
本文将从杆件和梁的应力分析角度探讨工程力学中的相关知识。
一、杆件的应力分析杆件是一种细长的结构构件，承受轴向力的作用。
在杆件的静力学中，应力是一个重要参数，用于描述杆件内部受力的强度和稳定性。
杆件的应力可以分为正应力和切应力。
1. 正应力正应力是指垂直于杆件截面的作用力在该截面上的单位面积，通常用σ表示。
正应力的计算可以使用公式：σ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
正应力可以分为拉应力和压应力两种情况。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向一致时，称为拉应力。
拉应力是正值，表示杆件受拉的状态。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向相反时，称为压应力。
压应力是负值，表示杆件受压的状态。
2. 切应力切应力是指杆件截面上作用力的切向力与该截面上的单位面积之比，通常用τ表示。
切应力的计算可以使用公式：τ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
切应力主要存在于杆件的连接部分，例如螺纹连接、焊接连接等。
切应力会引起杆件的剪切变形和破坏，需要在设计过程中加以考虑。
二、梁的应力分析梁是一种用于承受弯曲力的结构构件，具有横截面的特点。
在梁的应力分析中，主要考虑的是弯矩和截面弯曲应力。
1. 弯矩弯矩是指作用在梁上的力对其产生的弯曲效应。
在工程实践中，梁通常是直线形状，因此弯矩在横截面上呈现出分布的特点。
弯矩可以通过力学平衡和弹性力学原理进行计算。
弯矩的大小与力的大小和作用点的位置有关，计算公式为：M = F * d其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到梁的某一端的距离。
2. 截面弯曲应力截面弯曲应力是指由于弯曲效应，在梁的横截面上产生的应力。
截面弯曲应力的大小与弯矩和横截面的几何形状有关，计算可以使用弯曲应力公式进行。
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3 N BC 4 10 6 N 12.7 10 2 m ABC π 202 106 4
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
= 6.4MPa(压)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
30
y1
Ay A
i
i
200
z y1
30 170 170 2 30 170 (139 ) 12 2
3
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A 2m P=20kN C 3m 20kNm 1m D
§4-2 梁的弯曲正应力
一、概述
第4章
杆件横截面上的正应力分析
一般平面弯曲时，梁的横截面上将有剪力和弯矩两个 内力分量。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量， 这种平面弯曲称为纯弯曲。此时由于梁的横截面上只 有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。
c
c
c
c
第4章
杆件横截面上的正应力分析
在垂直梁轴线的横力作用下，梁横截面 上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面 上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为 横向弯曲。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：先确定危险截面
故取b=43mm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。 q =10kN/m A B P=20kN C 1m D
200
170 85 30 85
E
d dx 1
12
E
y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
纯弯曲时的正应力
z
y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
E
y
z y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
z
y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
WZ-----称为梁的抗弯截面模量。
重要数据
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
矩形截面简支梁承受均布荷载作用。已知： 矩形的宽度b=30mm，均布荷载集度 q=10kN/M；梁的长度l=450mm。 求：梁最大弯矩截面上1、2两点处得正应力。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值
2m
3m
30
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：(1) 确定截面中性轴的位置，以及Iz值。
i
170
30 170 85 30 200 185 139 (mm) 30 170 30 200
200 303 Iz 200 30 (170 15 139)2 12
N ∴σ = A
— 横截面上正应力计算公式
的符号规定与N一致。
拉应力为正号的正应力。 压应力为负号的正应力。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
变截面直杆，ADE段为铜质，EBC段为钢制； 在A、B、C等4处承受轴向载荷。已知： ADEB段杆的横截面面积 A 10 10 mm , BC段杆 的横截面面积 A 510 mm ,Fp=60kN;各段杆的长 度如图所示，单位为mm。 试求：直杆横截面上的绝对值最大的正应力。
MC 10 103 3 y1 139 10 34.5Mpa 6 Iz 40.3 10
第4章
杆件横截面上的正应力分析
精品课件！
第4章
杆件横截面上的正应力分析
精品课件！
第4章
杆件横截面上的正应力分析
L max L max c 34.5MPa
C max C max B 69MPa
2 2 AB 2 2 BC
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：1.做轴力图
2.计算直杆横截面上绝对值最大 的正应力
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 2 － 3 图 (a) 所示构架的 BC 杆为直径
d=20mm的钢杆，AB杆的横截面积为540mm2，
已知 P=2kN, 试求 AB 杆和 BC 杆横截面上的
C +
B
+
–
+
10kNm
–
第4章
杆件横截面上的正应力分析
C max C max B
MB 20 103 3 y1 139 10 69MPa 6 Iz 40.3 10
比较 L max B与 L max c
L max B
L max C
MB 20 103 3 y2 61 10 30.2MPa 6 Iz 40.3 10
第4章
杆件横截面上的正应力分析
二、纯弯曲时的正应力 梁弯曲变形的平面假设
第4章
杆件横截面上的正应力分析
梁弯曲变形的平面假设
第4章
杆件横截面上的正应力分析
纯弯曲时的正应力
变形
平面假定
应变分布
物理关系
应变公式
平面假定
应力分布
第4章
杆件横截面上的正应力分析
纯弯曲时的正应力
dx yd
dx d y y dx dx
第4章
杆件横截面上的正应力分析
§4-1 轴向拉（压）杆的正应力
N— 一般地， 为位置的函数， dA组成垂直于横截面的平行力 系，其合力即为轴力
N =∫ σ dA A
第4章
杆件横截面上的正应力分析
考察杆件受力变形：
P
P
第4章
杆件横截面上的正应力分析
∴ N =∫ A σdA = σ ∫ A dA = σA
B
+
10kNm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(3) 求最大拉应力与最大压应力 分析B、C两截面（最大正负弯矩所在面） | L max || C max | B截面 | L max || C max | C截面 | C max B || C max c | 显然
20kNm
应力。
C 30 A B P
(a)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：(1) 计算各杆轴力 AB和BC均为二力杆。
设两杆均受拉力，作节点 B的受力图图
(b)，由静力平衡条件：
∑X = 0
N AB + N BC cos30 = 0
…(1) NBC n 30 - P = 0
最大拉应力与最大压应力有可能不在同一截面上。
中性轴为对称轴时， Lmax 与 Cmax 在同
一截面上，即在|M|max所在的面上。
中性轴为非对称轴时， Lmax 与 Cmax 可
能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max
所在的面上。
B P
x
(b)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
由(2)式可得
N BC
P 2 = = = 4kN (拉) sin 30 0.5
将NBC的值代入(1)，可得
N AB 3 N BC cos30 4 3.46kN (压) 2
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2)计算各杆应力
σ BC
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
= 6.4MPa(压)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
30
y1
Ay A
i
i
200
z y1
30 170 170 2 30 170 (139 ) 12 2
3
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A 2m P=20kN C 3m 20kNm 1m D
§4-2 梁的弯曲正应力
一、概述
第4章
杆件横截面上的正应力分析
一般平面弯曲时，梁的横截面上将有剪力和弯矩两个 内力分量。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量， 这种平面弯曲称为纯弯曲。此时由于梁的横截面上只 有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。
c
c
c
c
第4章
杆件横截面上的正应力分析
在垂直梁轴线的横力作用下，梁横截面 上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面 上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为 横向弯曲。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：先确定危险截面
故取b=43mm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。 q =10kN/m A B P=20kN C 1m D
200
170 85 30 85
E
d dx 1
12
E
y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
纯弯曲时的正应力
z
y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
E
y
z y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
z
y
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
WZ-----称为梁的抗弯截面模量。
重要数据
第4章
杆件横截面上的正应力分析
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杆件横截面上的正应力分析
矩形截面简支梁承受均布荷载作用。已知： 矩形的宽度b=30mm，均布荷载集度 q=10kN/M；梁的长度l=450mm。 求：梁最大弯矩截面上1、2两点处得正应力。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值
2m
3m
30
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杆件横截面上的正应力分析
解：(1) 确定截面中性轴的位置，以及Iz值。
i
170
30 170 85 30 200 185 139 (mm) 30 170 30 200
200 303 Iz 200 30 (170 15 139)2 12
N ∴σ = A
— 横截面上正应力计算公式
的符号规定与N一致。
拉应力为正号的正应力。 压应力为负号的正应力。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
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杆件横截面上的正应力分析
变截面直杆，ADE段为铜质，EBC段为钢制； 在A、B、C等4处承受轴向载荷。已知： ADEB段杆的横截面面积 A 10 10 mm , BC段杆 的横截面面积 A 510 mm ,Fp=60kN;各段杆的长 度如图所示，单位为mm。 试求：直杆横截面上的绝对值最大的正应力。
MC 10 103 3 y1 139 10 34.5Mpa 6 Iz 40.3 10
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L max L max c 34.5MPa
C max C max B 69MPa
2 2 AB 2 2 BC
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解：1.做轴力图
2.计算直杆横截面上绝对值最大 的正应力
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杆件横截面上的正应力分析
例 2 － 3 图 (a) 所示构架的 BC 杆为直径
d=20mm的钢杆，AB杆的横截面积为540mm2，
已知 P=2kN, 试求 AB 杆和 BC 杆横截面上的
C +
B
+
–
+
10kNm
–
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杆件横截面上的正应力分析
C max C max B
MB 20 103 3 y1 139 10 69MPa 6 Iz 40.3 10
比较 L max B与 L max c
L max B
L max C
MB 20 103 3 y2 61 10 30.2MPa 6 Iz 40.3 10
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二、纯弯曲时的正应力 梁弯曲变形的平面假设
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梁弯曲变形的平面假设
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纯弯曲时的正应力
变形
平面假定
应变分布
物理关系
应变公式
平面假定
应力分布
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纯弯曲时的正应力
dx yd
dx d y y dx dx
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§4-1 轴向拉（压）杆的正应力
N— 一般地， 为位置的函数， dA组成垂直于横截面的平行力 系，其合力即为轴力
N =∫ σ dA A
第4章
杆件横截面上的正应力分析
考察杆件受力变形：
P
P
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杆件横截面上的正应力分析
∴ N =∫ A σdA = σ ∫ A dA = σA
B
+
10kNm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(3) 求最大拉应力与最大压应力 分析B、C两截面（最大正负弯矩所在面） | L max || C max | B截面 | L max || C max | C截面 | C max B || C max c | 显然
20kNm
应力。
C 30 A B P
(a)
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杆件横截面上的正应力分析
解：(1) 计算各杆轴力 AB和BC均为二力杆。
设两杆均受拉力，作节点 B的受力图图
(b)，由静力平衡条件：
∑X = 0
N AB + N BC cos30 = 0
…(1) NBC n 30 - P = 0
最大拉应力与最大压应力有可能不在同一截面上。
中性轴为对称轴时， Lmax 与 Cmax 在同
一截面上，即在|M|max所在的面上。
中性轴为非对称轴时， Lmax 与 Cmax 可
能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max
所在的面上。
B P
x
(b)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
由(2)式可得
N BC
P 2 = = = 4kN (拉) sin 30 0.5
将NBC的值代入(1)，可得
N AB 3 N BC cos30 4 3.46kN (压) 2
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2)计算各杆应力
σ BC