第三章 杆件横截面上的应力
材力网络测试题
第一章 绪论
判断题
１、根据均匀性假设，可认为构件的应力在各点处相同。（ ）
２、根据连续性假设，杆件截面上的内力是连续分布的，分布内力系的合力必定是一个力。（ ）
３、固体材料在各个方向具有相同力学性能的假设，称为各向同性假设。所有工程材料都可应用这一假设。（ ）
４、在小变形条件下，研究构件的应力和变形时，可用构件的原始尺寸代替其变形后的尺寸。（ ）
5、任何物体都是变形固体，在外力作用下，都将发生变形。当物体变形很小时，就可视其为刚体。
填空题
１、材料力学的任务是 。
２、为保证机械或工程结构的正常工作，其中各构件一般应满足 、 和
三方面的要求。
3、物体受力后产生的外效应是 ，内效应是 ；材料力学研究的是 效应问题。
4、认为固体在其整个几何空间毫无空隙地充满了物质，这样的假设称为 假设。根据这一假设，构件的 就可用坐标的连续函数表示。
5、受外力而发生变形的构件，在外力解除够后具有消除变形的这种性质称为 ；而外力除去后具有保留变形的这种性质为 。
选择题
1、根据均匀性假设，可认为构件的（ ）在各点处相同。
A 应力 B 应变 C 材料的弹性常数 D 位移
2、根据各向同性假设，可认为构件的（ ）在各方向都相同。
A 应力 B 应变 C 材料的弹性常数 D 位移
3、确定截面的内力的截面法，适用于（ ）。
A 等截面直杆 B 直杆承受基本变形
C 直杆任意变形 D 任意杆件
4、构件的强度、刚度和稳定性( )。
A 只与材料的力学性质有关 B 只与构件的形状尺寸有关
C 与A、B都有关 D 与A、B都无关
第三章材料力学的基本概念第六节杆件变形的基本形式分析
第三章材料力学的基本概念
第六节杆件变形的基本形式
有下列说法，________是错误的。
A．杆件的几何特征是长度远大于横截面的尺寸
B．杆件的轴线是各横截面形心的连线
C．杆件的轴线必是直线
D．A+B+C
下列说法________是正确的。
A．与杆件轴线相正交的截面称为横截面
B．对于同一杆件，各横截面的形状必定相同
C．对于同一杆件，各横截面的尺寸必定相同
D．对于同一杆件，各横截面必相互平行
下列说法________是正确的。
A．与杆件轴线相平行的截面称为横截面
B．对于同一杆件，各横截面的形状必定相同
C．对于同一杆件，各横截面的尺寸不一定相同
D．对同一杆件，各横截面必相互平行
不管构件变形怎样复杂，它们常常是由________种基本变形形式所组成。
A．3
B．4
C．5
D．6
不管构件变形怎样复杂，它们常常是轴向拉压、________、扭转和弯曲等基本变形形式所组成。
A．位移
B．错位
C．膨胀
D．剪切
不管构件变形怎样复杂，它们常常是轴向拉压、剪切、________和________等基本变形形式所组成。
A．错位/膨胀
B．膨胀/弯曲
C．弯曲/扭转
D．扭转/位移
在一对大小相等、方向相反的沿杆件轴线的外力作用下使杆件产生伸长变化的变形，称为________。
A．弯曲变形
B．扭转变形 C．轴向拉伸变形
D．剪切变形
在一对大小相等、方向相反的沿杆件轴线的外力作用下使杆件产生缩短变化的变形，称为________。
A．弯曲变形
B．扭转变形
C．轴向压缩变形
D．剪切变形
受拉压变形的杆件，各截面上的内力为________。
A．剪力
B．扭矩
C．弯矩
D．轴力
轴力的单位是________。
A．牛顿
B．牛顿/米
C．牛顿·米
D．牛顿/米2
关于轴力，下列说法中________是正确的。
①轴力是轴向拉压杆横截面上唯一的内力；②轴力必垂直于杆件的横截面；③非轴向拉压的杆件，横截面上不可能有轴向力；④轴力作用线不一定通过杆件横截面的形心。
第三章 杆件的基本变形
第三章 杆件的基本变形
这一章主要研究材料力学的有关内容，主要研究各种构件在外
力作用下的内力和变形。在保证满足强度、刚度和稳定性的前提下，为
构件选用适宜的材料、确定合理的截面形状和尺寸，以达到即安全又经
济的目的。
材料力学的研究对象主要是“杆件”，所谓杆件是指纵向（长
度方向）尺寸远比横向（垂直于长度方向）尺寸大的多的构件，例如
柱、梁和传动轴等。杆有两个主要的几何因素，即横截面和轴线。横截
面指的是垂直于轴线方向的截面，后者即为所有横截面形心的连线。
杆件在外力作用下产生的变形，因外力作用的方式不同而有下
列四种基本形式：
（1） 轴向拉压变形；
（2） 剪切变形；
（3） 扭转变形，
（4） 弯曲变形。
在工程实际中，有些构件的变形虽然复杂，但总可以看作是由以上
几种基本变形组合而成，称为组合变形。
第1节 拉伸和压缩
在工程结构和机器中，有许多构件是轴向拉伸和压缩作用。本
节主要讨论轴向拉伸的压缩时杆的内力和变形，并对材料在受拉、压时
的力学性能进行研究，从而得出轴向拉、压杆的强度计算方法。
1、 内力与截面法
1、内力的概念
杆件在外力作用下产生变形，其内部的一部分对另一部分的作用称
为内力。显然，若外力消失，则内力也消失，外力增大，内力也增大。
但是对一定的材料来说，内力的增加只能在材料所特有的限度之内，超
过这个限度，物体就会破坏。所以，内力与强度是密切相关的。
2、截面法
设一直杆，两端受轴向拉力F作用。为了求出此杆任一截面m-m上的
内力，，我们可以假想用一个平面，沿截面m_m将杆截断，把它分成
Ⅰ、Ⅱ两部分，取Ⅰ段作为研究对象。在Ⅰ段的截面m_m上到处都作用
着内力，其合力为FN。FN是Ⅱ段对Ⅰ段的作用力，并与外力F相平衡。
由于外力F的作用线沿杆件轴线，显然，截面
m_m上的内力的合力也必然沿杆件轴线。对Ⅰ段建立平衡方程：
FN-F=0 得 FN＝F将受外力作用的杆件假想地切开用以显示内力，并以平衡条件来
确定其合力的方法，称为截面法。
机械零件的应力应变分析
§3－3机械零件的应力应变分析
一、拉（压）杆应力应变分析
（一）应力分析
前面应用截面法，可以求得任意截面上内力的总和，现在进一步分析横截面上的应力情况，首先研究该截面上的内力分布规律，内力是由于杆受外力后产生变形而引起的，我们首先通过实验观察杆受力后的变形现象，并根据现象做出假设和推论；然后进行理论分析，得出截面上的内力分布规律，最后确定应力的大小和方向。
现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线和（图3-28）。拉伸变形后，发现和仍为直线，且仍垂直于轴线，只是分别平行地移动至和。于是，我们可以作出如下假设：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。根据这个“平面假设”可知，杆件在它的任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。又因材料是均匀连续的，所以杆件横截面上的内力是均匀分布的，即在横截面上各点处的正应力都相等。若杆的轴力为，横截面积为,,于是得：
???????????????????????? (3－2)
这就是拉杆横截面上正应力的计算公式。当为压力时，它同样可用于压应力计算。规定拉应力为正，压应力为负。
例3－3? 图3-29（a）为一变截面拉压杆件，其受力情况如图示，试确定其危险截面。
解? 运用截面法求各段内力，作轴力图[图3-29（b）]：
段：????????? 段：
段：???????? 段：
根据内力计算应力，则得：
段：????????? 段： 段：
最大应力所在的截面称为危险截面。由计算可知，段和段为危险截面。
（二）、拉（压）杆的变形
杆件受轴向拉力时，纵向尺寸要伸长，而横向尺寸将缩小；当受轴向压力时，则纵向尺寸要缩短，而横向尺寸将增大。
设拉杆原长为，横截面面积为(图3-30)。在轴向拉力P作用下，长度由变为，杆件在轴线方向的伸长为, 。
实验表明，工程上使用的大多数材料都有一个弹性阶段，在此阶段范围内，轴向拉压杆件的伸长或缩短量，与轴力和杆长成正比，与横截面积成反比。即，引入比例常数则得到：
材料力学第3章-扭转
第3章 扭转
1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。
2、外力偶矩的计算
min/95491000602rKWmNeenPMPMn 式中，eM为外力偶矩。
又由截面法：eeMTMT0 T称为nn截面上的扭矩。
规定：若按右手螺旋法则把T表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T为正；反之为负。
3、纯剪切
（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 222rMrrMee••
（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。
（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变与切应力成正比。 G G为比例常数，称为材料的切变模量。
弹性模量E、泊松比和切变模量G存在关系：)1(2EG
4、圆轴扭转时的应力
（1）变形几何关系：距圆心为处的切应变为dxd
（2）物理关系：为横截面上距圆心为处的切应力。 dxdGG
（3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dAddGdATAxA2 以pI表示上式右端的积分式：dAIAp2
pI称为横截面对圆心O点的极惯性矩（截面二次极矩）
横截面上距圆心为的任意点的切应力：pIT
最大时为R，得最大切应力：pITRmax
引用记号RIWpt tW称为抗扭截面系数。则tWTmax
pI和tW的计算
（1）实心轴：3224420032DRdddAIRAp
16233DRRIWpt
（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32DdDdddAIDdAp
1拉压杆横截面上的应力
1拉压杆横截面上的应力
6.1.1 应力的概念
同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向
拉力的作用下，其杆内的轴力相同。但随拉力的增大，横
截面小的杆必定先被拉断。这说明单凭轴力F
N并不能判断
拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关，
图6-1
而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入
应力的概念。
要了解受力杆件在截面m-m上的任意一点C处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m
处截开，在截面上围绕C点取微小面积ΔA，ΔA上分布内力的合力为Δp(图6-1a)，将Δp除
以面积ΔA，即
Ap
p
m （6-1）
p
m称为在面积ΔA上的平均应力，它尚不能精确表示C点处内力的分布状况。当面积无限趋近于零时比值
Ap
的极限，才真实地反映任意一点C处内力的分布状况，即
lim
0dAdp
Ap
p
A
（6-2）
上式p定义为C点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。其方向一般既不与截面
垂直，也不与截面相切。通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量
（图6-1b），法向分量称为正应力，用
表示；切向分量称为切应力，用
表示。
将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的
两类破坏现象——拉断和剪切错动——相对应。因此，今后在强度计算中一般只计算正应力
和切应力而不计算总应力。
应力的单位为“帕”，用Pa表示。1Pa=1N/m2
, 常用单位为兆帕MPa，
1MPa=106
Pa=1MN/mm2
=1N/mm2
，1GPa=109
Pa。
6.1.2 轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力
取一等截面直杆，在其侧面作两条垂直于杆轴的直线ab和 cd，然后在杆两端施加一对
轴向拉力F使杆发生变形，此时直线ab、 cd
分别平移至a'b'、 c'd '
且仍保持为直线（图6-2a）。由此变形现象可以假设，变形前的横截面，变形后仍保持为平面，仅沿轴线产生了
大工15秋《工程力学(一)》在线作业3
大工15秋《工程力学（一）》在线作业3
一、单选题（共 5 道试题，共 20 分。）
1. 矩形截面梁的剪应力沿截面高度呈（）分布。
A. 直线
B. 双曲线
C. 正弦曲线
D. 抛物线
正确答案：D
2. 在径向均布荷载作用下，三铰拱的合理轴线为（）。
A. 圆弧线
B. 抛物线
C. 悬链线
D. 正弦曲线
正确答案：A
3. 荷载和约束条件均相同，仅刚度不同的两刚架（）。
A. 内力相同，变形不同
B. 内力和变形都相同
C. 内力不同，变形相同
D. 内力和变形都不同
正确答案：A
4. 温度变化时，静定结构（）。
A. 无位移，无内力
B. 有位移，无内力
C. 有位移，有内力
D. 无位移，有内力
正确答案：B
5. 中心受压直杆在临界力作用下，其直线形态的平衡开始丧失稳定性的现象，称为（）。
A. 屈服
B. 屈曲
C. 失稳
D. 平衡
正确答案：C
大工15秋《工程力学（一）》在线作业3
二、多选题（共 5 道试题，共 40 分。）
1. 塑性材料的梁许用拉应力等于许用压应力，故宜采用中性轴为对称轴的截面，如（）。
A. 矩形
B. T型
C. 圆形
D. 工字型
正确答案：ACD
2. 在拉弯组合变形条件下，建立杆件强度条件的主要步骤可分为（）。
A. 确定危险点 B. 计算弯矩
C. 计算危险点正应力
D. 计算剪力
正确答案：AC
3. 结构中杆件相互连接的部分称为结点。其中，刚结点的特点有（）。
A. 相互连接的杆件在连接处不能相对移动和相对转动
B. 各杆端结为整体
C. 可传递力
D. 可传递力矩
正确答案：ABCD
4. 常见的静定平面刚架按照几何组成方式可以分为三种形式，包括（）。
A. 简支刚架
B. 悬臂刚架
C. 两铰刚架
D. 三铰刚架
正确答案：ABD
5. 分布荷载是指作用在一定面积或长度上的荷载，以下属于分布荷载的是（）。
A. 结构自重
B. 风荷载
第三章应力与强度计算.
第三章 杆件的应力与强度计算
一.基本要求
1.拉伸与压缩变形
1.1熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。
1.2了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。
1.3理解许用应力、安全系数和 强度条件，熟练计算强度问题。
2.扭转变形
2.1理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。
2.2理解圆轴扭转时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。
2.3理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。
3.弯曲变形
3.1理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。
3.2理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯曲切应力强度条件。
4.剪切与挤压变形：了解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。
5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。
3.1 引言
本章讨论了拉伸或压缩、扭转变形和弯曲变形的应力和强度计算，以及剪切和挤压的实用计算。
3.2 拉压杆的应力与应变
一．轴向拉（压）杆横截面上的应力
1）平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。 根据平面假设得知，横截面上各点正应力σ相等，即正应力均匀分布于横截面上，σ等于常量。
2）由静力平衡条件确定σ的大小
由于dN=σ⋅dA，所以积分得
则
式中：σ—横截面上的正应力
FN—横截面上的轴力
A—横截面面积
此式对于过集中力作用点的横截面不适应。
3）正应力σ的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。
对于的变截面直杆，在考虑杆自重（密度ρ）时，有
FN=⎰σdA=σA Aσ=FN Aσx=FNx Ax
其中FN=P+ρAx⋅x
若不考虑自重，则FNx=P
对于等截面直杆，最大正应力发生在最大轴力处，也就是最易破坏处。而对于变截面直杆，最大正应力的大小不但要考虑FNx，同时还要考虑Ax。
例1 起吊三角架，如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为10.86cm的角钢制成，2
杆件横截面正应力计算公式
杆件横截面正应力计算公式
在工程领域中，杆件的设计和计算是非常重要的。杆件在受力作用下会产生正应力，而正应力的计算对于杆件的安全性和稳定性具有重要意义。本文将介绍杆件横截面正应力的计算公式及其应用。
杆件横截面正应力计算公式如下：
σ = P/A。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，P为作用在杆件上的力，A为杆件的横截面积。
在实际工程中，杆件通常会受到拉伸、压缩、弯曲等不同形式的受力。对于不同形式的受力，杆件横截面正应力的计算公式也会有所不同。
首先，我们来看一下杆件受拉伸力作用下的正应力计算。当杆件受到拉伸力P作用时，横截面上的正应力可以通过上述公式计算得到。在这种情况下，横截面上的正应力与拉伸力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
接下来，我们来看一下杆件受压缩力作用下的正应力计算。当杆件受到压缩力P作用时，横截面上的正应力同样可以通过上述公式计算得到。在这种情况下，横截面上的正应力也与压缩力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
此外，杆件在受力作用下还会产生弯曲。在弯曲情况下，杆件横截面上的正应力计算公式为：
σ = Mc/I。 其中，σ为杆件横截面上的正应力，M为弯矩，c为横截面上的某一点到中性轴的距离，I为横截面的惯性矩。
在弯曲情况下，横截面上的正应力与弯矩M成正比，c越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。而横截面的惯性矩I则反映了杆件抵抗弯曲变形的能力，I越大，杆件的抗弯能力越强。
综上所述，杆件横截面正应力的计算公式为σ = P/A，对于不同形式的受力，计算公式也会有所不同。在实际工程中，我们需要根据杆件受力情况选择合适的计算公式，并结合材料的力学性能参数进行计算，以保证杆件的安全性和稳定性。同时，合理设计杆件的横截面形状和尺寸，也可以有效地提高杆件的承载能力和使用寿命。希望本文对杆件横截面正应力的计算有所帮助，谢谢阅读！
材料力学笔记
材料力学（土）笔记
第三章 扭 转
1．概 述
等直杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内的力偶时，杆将发生扭转变形
若构件的变形时以扭转为主，其他变形为次而可忽略不计的，则可按扭转变形对其进行强度和刚度计算
等直杆发生扭转变形的受力特征是杆受其作用面垂直于杆件轴线的外力偶系作用
其变形特征是杆的相邻横截面将绕杆轴线发生相对转动，杆表面的纵向线将变成螺旋线
当发生扭转的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面几何形状的极对称性，就可用材料力学的方法求解
对于非圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形和横截面上的应力都比较复杂，就不能用材料力学的方法来求解
2．薄壁圆筒的扭转
设一薄壁圆筒的壁厚远小于其平均半径0r（100r），其两端承受产生扭转变形的外力偶矩eM，由截面法可知，圆筒任一横截面n-n上的内力将是作用在该截面上的力偶
该内力偶矩称为扭矩，并用T表示
由横截面上的应力与微面积dA之乘积的合成等于截面上的扭矩可知，横截面上的应力只能是切应力
考察沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，预先在圆筒表面上画上等间距的圆周线和纵向线，从而形成一系列的正方格子
在圆筒两端施加外力偶矩eM后，发现圆周线保持不变，纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持直线
薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，知识相互间绕圆筒轴线发生相对转动，因此横截面上各点处切应力的方向必与圆周相切。
相对扭转角：圆筒两端截面之间相对转动的角位移，用来表示
圆筒表面上每个格子的指教都改变了相同的角度，这种直角的该变量称为切应变
这个切应变和横截面上沿沿圆周切线方向的切应力是相对应的
由于圆筒的极对称性，因此沿圆周各点处切应力的数值相等
由于壁厚远小于其平均半径0r，故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化
薄壁圆筒扭转时，横截面上任意一点处的切应力值均相等，其方向与圆周相切
由横截面上内力与应力间的静力学关系，从而得