第八章弹性杆件横截面上正应力分析
《材料力学》第八章课后习题参考答案
解题方法与技巧归纳
受力分析
在解题前首先要对物体进行受力分析， 明确各力的大小和方向，以便后续进 行应力和应变的计算。
图形结合
对于一些复杂的力学问题，可以画出 相应的示意图或变形图，帮助理解和 分析问题。
公式应用
熟练掌握材料力学的相关公式，能够 准确应用公式进行计算和分析。
检查结果
在解题完成后，要对结果进行检查和 验证，确保答案的正确性和合理性。
压杆稳定
探讨细长压杆在压缩载荷作用下的稳定性问题。
解题方法与技巧
准确理解题意
仔细审题，明确题目要求和考查的知识点。
选择合适的公式
根据题目类型和所给条件，选用相应的公式 进行计算。
注意单位换算
在计算过程中，要注意各物理量的单位换算， 确保计算结果的准确性。
检查答案合理性
得出答案后，要检查其是否符合实际情况和 物理规律，避免出现错误。
相关题型拓展与延伸
组合变形问题
超静定问题
涉及多种基本变形的组合，如弯曲与扭转 的组合、拉伸与压缩的组合等，需要综合 运用所学知识进行分析和计算。
超静定结构是指未知力数目多于静力平衡 方程数目的结构，需要通过变形协调条件 或力法、位移法等方法进行求解。
稳定性问题
疲劳强度问题
研究细长压杆在压力作用下的稳定性问题 ，需要考虑压杆的临界力和失稳形式等因 素。
研究材料在交变应力作用下的疲劳破坏行为 ，需要了解疲劳极限、疲劳寿命等概念和计 算方法。
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重点知识点回顾
材料的力学性质
包括弹性、塑性、强度、硬度等基本概念和 性质。
杆件的拉伸与压缩
涉及杆件在拉伸和压缩状态下的应力、应变及 变形分析。
工程力学(杆件弯曲受力分析计算)
教学设计三杆件弯曲受力分析计算在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。
问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。
我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。
由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。
（公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。
（公式8.2）（公式8.3）（公式8.4）其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。
将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。
（公式8.5）分析公式8.5，其中：为截面绕Z轴的惯性矩。
公式8.5变形为8.6。
ρρρρρεyydxdx==-+=∆=dθdθdθdθy)dθ(⎰⋅=AyM dAσεσ⋅=EρεσyEE==⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=AA AyEyyEyM dAdAdA2ρρσZAIy=⎰dA2（公式8.6）将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7（公式8.7）公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。
如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。
我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。
（公式8.8）公式8.7可以化简为极值公式8.9。
（公式8.9）例题分析讲解 【例1】图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。
【解】计算悬臂梁的弯矩计算梁截面的惯性矩计算抗弯截面模量 计算各点的正应力yIW Z=m kN 6.488.130212⋅=⨯⨯=M 001067.0124.02.01233=⨯==bh I 00533.0124.02.0622=⨯==bh W Z WM Z =σZZ I E M ⋅=ρ1y I M ZZ=σ（拉）MPa 12.900533.06.48===Z Z a W M σ（压）m 9.12kN a d ⋅=-=σσ0b =σ（压）4.55MPa 0.1106700.06.48b c =⨯==y I M Z Z σ问题二，杆件弯曲横截面剪应力计算问题与弯曲正应力不同，在截面上各点的弯曲剪应力指向相同，不论是否在中性层的上侧还是下侧；在同一剪力段，同一层的各点剪应力大小相同。
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
工程力学中的杆件和梁的应力分析
工程力学中的杆件和梁的应力分析工程力学是工程学科的重要分支之一，它研究物体在受力作用下的力学性质。
在工程实践中，杆件和梁是常见的结构构件，其应力分析是工程设计和计算的基础。
本文将从杆件和梁的应力分析角度探讨工程力学中的相关知识。
一、杆件的应力分析杆件是一种细长的结构构件，承受轴向力的作用。
在杆件的静力学中，应力是一个重要参数，用于描述杆件内部受力的强度和稳定性。
杆件的应力可以分为正应力和切应力。
1. 正应力正应力是指垂直于杆件截面的作用力在该截面上的单位面积，通常用σ表示。
正应力的计算可以使用公式：σ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
正应力可以分为拉应力和压应力两种情况。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向一致时，称为拉应力。
拉应力是正值，表示杆件受拉的状态。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向相反时，称为压应力。
压应力是负值，表示杆件受压的状态。
2. 切应力切应力是指杆件截面上作用力的切向力与该截面上的单位面积之比，通常用τ表示。
切应力的计算可以使用公式：τ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
切应力主要存在于杆件的连接部分，例如螺纹连接、焊接连接等。
切应力会引起杆件的剪切变形和破坏，需要在设计过程中加以考虑。
二、梁的应力分析梁是一种用于承受弯曲力的结构构件，具有横截面的特点。
在梁的应力分析中，主要考虑的是弯矩和截面弯曲应力。
1. 弯矩弯矩是指作用在梁上的力对其产生的弯曲效应。
在工程实践中，梁通常是直线形状，因此弯矩在横截面上呈现出分布的特点。
弯矩可以通过力学平衡和弹性力学原理进行计算。
弯矩的大小与力的大小和作用点的位置有关，计算公式为：M = F * d其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到梁的某一端的距离。
2. 截面弯曲应力截面弯曲应力是指由于弯曲效应，在梁的横截面上产生的应力。
截面弯曲应力的大小与弯矩和横截面的几何形状有关，计算可以使用弯曲应力公式进行。
《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第8章 剪应力分析
2．确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力；
3．确定梁内横截面上的最大切应力；
4．画出横截面上的切应力流。
知识点：弯曲切应力公式的应用、切应力流
难度：难
解答：
1．图（a）：
kN
， kN
剪力与弯矩图如图（b）、（c）；
2．形心C位置
MPa
MPa
3． m3
MPa
4．切应力流如图（e）。
（A）下移且绕点O转动；
（B）下移且绕点C转动；
（C）下移且绕z轴转动；
（D）下移且绕 轴转动。
知识点：弯曲中心、薄壁截面梁产生平面弯曲的加载条件
难度：一般
解答：
正确答案是D。
8－19试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的。
知识点：横向弯曲时梁横截面上的切应力流、弯曲切应力分析方法
难度：难
解答：
（A）细长梁、横截面保持平面；
（B）弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布；
（C）切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面；
（D）弹性范围加载，横截面保持平面。
知识点：弯曲时梁横截面上切应力分析
难度：易
解答：
正确答案是B。
公式 推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力 则要求弯曲正应力公式成立；另外推导时在 时，应用了 沿截面宽度均匀分布假设。
难度：难
解答：
正确答案是D。
8－21简支梁受力与截面尺寸如图所示。试求N－N截面上a、b两点的铅垂方向的切应力以及腹板与翼缘交界处点c的水平切应力。
知识点：弯曲切应力公式的应用、切应力流
难度：难
解答：
FQ = 120kN，形心C位置。
材料力学作业(8-11)
第八章 应力应变状态分析一、选择或填空题1、过受力构件内任一点，取截面的不同方位，各个面上的（ ）。
A 、正应力相同，切应力不同；B 、正应力不同，切应力相同；C 、正应力相同，切应力相同；D 、正应力不同，切应力不同。
2、在单元体的主平面上（ ）。
A 、正应力一定最大；B 、正应力一定为零；C 、切应力一定最小；D 、切应力一定为零。
3、图示矩形截面悬臂梁，A-A 为任意横截面，1点位于截面上边缘，3点位于中性层，则1、2、3点的应力状态单元体分别为（ ）。
A-AA B C4、图示单元体，其最大主应力为（ ）A 、σ；B 、2σ；C 、3σ；D 、4σ。
5、下面 单元体表示构件A 点的应力状态。
6、图示单元体，如果MPa 30=ασ，则βσ=（ ） A 、100Mpa ； B 、50Mpa ； C 、20MPa ； D 、0MPa 。
(C)7、图示单元体应力状态，沿x 方向的线应变εx 可表示为（ ）A 、Eyσ； B 、)(1y x E μσσ−；C 、)(1x y E μσσ− ；D 、Gτ。
8、图示应力圆对应于单元体( )。
9、已知单元体及应力圆如图所示，σ1所在主平面的法线方向为( )。
A 、n 1；B 、 n 2；C 、n 3；D 、n4。
二、计算题1、已知应力状态如图所示，试用解析法计算图中指定截面上的正应力和切应力。
2、试画图示应力状态的三向应力圆，并求主应力、最大正应力和最大切应力。
3、边长为20mm的钢立方块置于刚性模中，在顶面受力F=14kN作用。
已知材料的泊松比为0.3，求立方体各个面上的正应力。
4、图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M=10 kN.m，Q=120 kN。
试绘出截面上1、2、3、4各点的应力状态单元体，并求其主应力。
第九章 强度理论一、选择题或填空题 1、在冬天严寒天气下，水管中的水会受冻而结冰。
根据低温下水管和冰所受力情况可知（ ）。
A 、冰先破裂而水管完好；B 、水管先破裂而冰完好；C 、冰与水管同时破裂；D 、不一定何者先破裂。
【工程力学 课后习题及答案全解】第8章弹性杆件横截面上的正应力分析习题解
习题 8-9 图
8－10 图示直角三角形截面中，A、B 分别为斜边和直角边中点，y1z1、y2 z2 为两对互 相平行的直角坐标轴。试判断下列结论中，哪一个是正确的。
— 39 —
σa
=
−175Ea Es
= −175 70 200
= −61.25 MPa（压）
8－14 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下 h 与 b 的比值：
（1）横截面上的最大正应力尽可能小； （2）曲率半径尽可能大。 解：（1） σ = M z = M z = 6M z
正确答案是 A 。 解：若用右手系，y 轴坐标朝上为正，则由 h1 = b1 得
Sz
(I)
=
3 2
b1h12
>
0
，
Sz
(II)
=
−2b1h12
<
0
若考虑正负号，则应选 A；若考虑静矩的绝对值，则应选 B。
8－7 图示矩形中 y1、z1 与 y2、z2 为两对互相平行的坐标轴。试判断下列关系式中， 哪一个是正确的。
解：变形谐调：
FNs = FNa Es As Ea Aa FNs + FNa = FP
（1） （2）
⎧ ⎪⎪FNs ⎨ ⎪⎪⎩FNa
= =
Es As Es As + Ea Aa
Ea Aa Es As + Ea Aa
FP FP
（压）
（1）
σs
=
FNs As
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工 程 力 学
若z轴和y轴均为图形的形心轴z C 和 y C ，则S y =S z = 0 ，
第 于是有
八 章
杆
件
横 惯性矩和惯性积的平行移轴公式。
截 式中的a，b的正负号由截面形心在
坐标系的象限确
面 定。
上 注意：（1）在界面对所有平行轴的惯性矩中，以对通过
的 其形心的轴的惯性矩为最小；
正
（2 )由形心轴移轴后所得的惯性积则有可能增加也
八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力
学 对图示空心矩形图形，可采用负面积法求其对z轴的惯 性矩，如
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工
程
力
学
对图示空心圆截面，可求得
第 八 章
杆
件
横
截
面
其中， = d 为内外径之比
上
D
的
正
应
力
工
程
力 3. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
正 应
（3）静矩的单位为 m 3 或 m m 3 。
力
工
程
力
形心
学 平面图形的形心—平面图形几何形状的中心。若将平
第 八 章
面图形表示为匀质等厚薄片，则它的重心与截面图形
的形心重合。设该图形的形心坐标为（z c ，y c ），则由
重心坐标公式有
杆
件
横
截
面
上
因此，已知截面的面积和其形心的坐标，可求得该截面
应 可能减少。
力
工
程
力
学
例
图示矩形截面，y C ，z C 为截面的对称轴，试求
第 截面图形对 y 1 ，z 1 轴及 y 2 ，z 1 轴的惯性矩和惯性积。
八
章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
杆
件
横
得
截
面
上
的
同理可以写出 I y1 , I y1z1 的表达式。
正
应
力
工 程 力 学
第 八 章
杆
此即为惯性矩和惯性积的转轴公式。
件
横
截
面
上
即截面图形对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐
工
程
力
学
工程力学
第
八
章
第八章
杆 弹性杆件横截面上的正应力分析
件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
• 杆件内力（轴力、扭矩剪力，弯矩）—取决于外
第
力大小。
八
章
• 杆件应力、变形—取决于内力与杆件截面的几何
形状及尺寸等几何量。
杆
• 截面图形的几何性质—与材料的；力学性质无关
件
的截面几何量：面积、形心、静矩、惯性矩、惯性
横
积、惯性半径、形心主轴和形心主惯性矩等。
截
面
上
的
正
应
力
工
程 力
§8-1 与应力分析相关的截面图形的几何性质
学
1. 静矩
第 如图所示为一具有任意形状的截面图形，设其面积为A，
八 选图示Oxy坐标系。
章
杆 件
定义
横
截 分别为图形对于z轴和y轴的静矩
面
上 （1）静矩与坐标轴的设置有关；
的 （2）静矩可正、可负可为零；
第 • 组合图形的静矩——整个图形对某一轴的静矩等于
八 各组成部分对该轴静矩的代数和。
章
若已知各个简单图形的面积为Ai，又已知各个简单
杆 图形的形心坐标为（y C i ，z C i ），
件 横
（2）
截 面
• 将式（2）代入（1），得组合图形形心位置计
上 算公式。
的
（3）
正
应
力
工 程
力 例 一矩形截面如图示，已知b,h,y1,试求有阴影线部分的面 学 积对于对称轴z的静矩。
的
对于坐标轴的静矩。
正
应
力
工 程 力 学
形心轴——通过平面图形形心的坐标轴。
第 八 章
杆
（1）
件
横
截
面 截面对其形心轴的静矩必为零；反之，若截面对某轴的 上 静矩等于零，则该轴必为截面的形心轴。
的
正
应
力
工
程
力 组合图形的静矩和形心位置
学 • 组合图形—由几个简单图形（如矩形、圆形或三角
形等规则图形）组成的图形。
工 程 力
学 例 求直径为D的圆形截面对过圆心O的正交坐标轴y 和Z的惯性矩和惯性半径。
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工
程
力 平面图形的惯性积
学
如图所示为一具有任意形状的截面图形，设其面积为 第 A。选图示Oxy坐标系。
工
程
力
学
4. 惯性矩和惯性积的转轴公式
第 八
设新坐标系 O y 1 z 1 由原坐标系 O y z 绕点O旋转 角( 角以
逆时针旋转为正)而得。
章
杆
图形上任一微面积dA在两个坐标系内的坐标(y,z)和( y 1 ,z 1 )
之间的关系为
件
横 截
(a)
面
上
(b)
的
正
应
力
工 程 力 学
第 八
章 应用三角函数关系式
八
章 定义
杆
件
横
截 为图形通过点O的一对坐标 轴（y,z）的惯性积。
面 （1）惯性积可正，可负，可为零；
上 的
（2）其单位为 m 4 或 m m 4 。
正 当y,z两坐标轴中有一根为图形的对称轴时，则其
应 惯性积 I y z =0。
力
工 程
力 组合图形的惯性矩和惯性积
学
组合图形对某一轴的惯性矩（或惯性积）等于各组合 第 图形对同一轴的惯性矩（或惯性积）之和。
面 分别为图形对于z轴和y轴的惯性半径。 上 （1）惯性半径恒为正； 的 （2）惯性半径的单位为m或mm。
正 应 力
工 程 力
学 例 求图形矩形截面对其对称轴y和z的惯性矩和惯 性半径。
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工
程
力
学
2. 平面图形的惯性矩、极惯性矩及惯性积
第 具有任意形状的截面图形的面积为A。 八 选定Oyz坐标系。
章
定义
杆 件 横 截 面
上 分别为图形对于z轴和y轴的惯性矩。
的 正 应 力
工 程 力
学 极惯性矩
第
定义
八
章
为图形对点O的极惯性矩。
杆
件
横
截 （1）惯性矩及极惯性矩与坐标设置有关；
面 （2）惯性矩及极惯性矩恒为正；
上 （3）惯性矩及极惯性矩的单位为 m 4 或 m m 4 。
的
正
应
力
工 程
力 平面图形的半径
学
将惯性矩表示为图形面积与某一长度平方的乘积，
第 八 章
定义
杆 件 横 截
学
图示为任意平面图形，其中y轴平行于 y 1 轴，
第Байду номын сангаас
Z轴平行于 z 1 轴。且
八
章
杆
件
横
截
面
上 的
应用静矩、惯性矩和惯性积的定义，得图形对 z 1 轴与 y 1
轴的惯性矩与惯性积分别为
正
应
力
工 程 力 学
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
第 八 章
杆 即有
件 横 截 面 上 的 正 应 力