杆件的横截面应力
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杆件横截面上的应力
* N1
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
河海大学 材料力学 第三章 杆件横截面上的应力、应变分析第一节
点K处的应力(stress) DF p=lim pm= lim —— DA→0 DA→0 DA
p 正应力s :沿截面法向 n 切应力t :沿截面切向 s p 2= s 2 + t 2
应力单位：Pa(帕斯卡、帕) MPa(兆帕)
1 Pa = 1 N/m2 1MPa =106 Pa
注意：
t
K
s
以上分析可见，应力是受力物体内某个截面上某 一点上内力分布集度。通常情况下，物体内各点 应力是不同的，对于同一点不同方位截面上应力 亦不同。这样，应力离开它的作用点是没有意义 的，同样，离开它的作用面亦是没有意义的。
(shearing strain) 单位: rad。
四、胡克定律
s
s
du e= — dx
u
u+du
如果仅在单方向正应力s 作用下，且正应力不超过某 一限值（比例极限），则正应力与正应变成正比，即
s = Ee ——胡克定律(Hooke's law)
E ——弹性模量。(elastic modulus)
如何描述一点处的应力？
二、一点的应力状态、单元体：
K K
围绕K点取一微小的六面体，称为单元体。
六个面都表示通过同一点K的面，只是方向不同而已。
如果所取的单元体在空间方位不同，则单元体上各面 的应力分量亦不相同。
sy
y
tyz
tyx txy txz sx
x
tzy
z
sz
tzx
若从一复杂受力构件内某点取一单元体，一般 情况下单元体各面上均有应力，且每一面上同时存 在三个应力分量：一个法向分量——正应力；两个 切向分量——切应力。这样,单元体上共有9个应力 分量。
第三章_杆件横截面上的应力应变分析
3）测截面扭矩
采用全桥桥路如图。
B
R1 R3 C R9 R7
A D 测扭矩
M
ds
2
ds EW M M EW 2
1
ds
4
T E dsW p 41
弯扭组合变形时的应力测量
B Ri A Rt
4、 实验步骤
C
1.打开弯扭组合实验装置。 2.打开应变仪。 R0 R0 3.主应力测定。 D (1) 用标准电阻调零，根据应变片的灵敏系数，计算出标定 值标定。按下“测量”，拆下标准电阻。 (2) 将各应变片按半桥单臂方式接入电阻应变仪各通道，各 通道共用一片温度补偿片。转换开关打到 “切换” (3)调各通道电桥平衡。 (4)采用增量法逐级加载，每次0.1kN。0.1 kN 初载荷调零 0.2 kN , 0.3 kN, 0.4 kN 读出测量值 (5)卸载。
180°III点 R7 R8 R9 B Ri A R0 D 测主应力
2
1） 测各点主应力
在mm截面上下左右四点处贴上应变片花，由电 阻应变仪测出各点三方向应变。测量桥路采用 半桥单臂，如图。由公式可计算各点ห้องสมุดไป่ตู้应力。
45°绿线 0° 白线 -45°蓝线
Rt C R0
主方向
45 45 tan 2 0 45 45 0
主应力
1.2
1 E 1 45 45 2 1 2 2
45 0
0 45
2
弯扭组合变形时的应力测量
2）测截面弯矩
采用半桥双臂桥路如图。
B R5 A R0 D 测弯矩 R0 R11 C
第四章杆件的横截面应力
I max
m in
I y0 z0
Iy
Iz 2
Iy
2
Iz
2
I yz2
过形心的惯性主轴称为形心惯性主轴（形心主惯性轴）。 过图形上的任何一个点，都可以找到一对相互垂直的惯性主 轴。
4-2 应力与应变的概念
m
Fi1
一. 应力
即：单位截面积上作用着的内力
ΔA ΔFn ΔFt
平均应力：
pm
ΔF ΔA
F
FN
max
FN max A
2qxl
d2
qx
l
qx
FN
x
l/2
F qxl / 2 x F
斜截面上的应力:
拉压杆任一斜截面上的
应力也是均匀分布的：
FN
p FN FN cos cos
A A
FN
正应力和切应力：
cos2 sin cos
FN
最大切应力：
45 max 45 45 / 2
经整理后
I y1
Iy
Iz 2
Iy
Iz 2
cos 2
I yz sin 2
I z1
Iy
Iz 2
Iy
Iz 2
cos 2
I yz sin 2
I y1z1
Iy
2
Iz
sin
2
I yz
cos 2
由前面的推导，可以得到
I y I z I y1 I z1 I p
平面图形A对过O点任意方向轴的惯性矩之最大、最小值
FS
于细长梁来说，由此引入的误差很小，故认为，
FS引起的横截面翘曲对变形几何关系的影响较小。
在横力弯曲时，纵向纤维互不挤压的假设也
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
第5章杆件横截面上的切应力
沿截面宽度方向均匀分布。
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
y
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
杆件横截面上的切应力分析
剪切虎克定律
当在弹性范围内加载时，剪 应力与剪应变成正比：
=G
这种线性关系称为剪切虎克定律。 G称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。
第5章
杆件横截面上的切应力分析
§5-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
第5章
杆件横截面上的切应力分析
平截面假设
圆轴扭转时，横截面保持 为平面，并且只在原地绕 轴线发生“刚性”转动。
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
已知：p=7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa， 空心圆轴内外径之比a=0.5.二轴长度想相同。求：实心轴 的直径d1和空心轴的外直径D2，确定二轴的面积比。
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章 杆件横截面上的正应力分析
§5-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
§5-2 非圆截面扭转杆的切应力
§5-3 梁横截面上的切应力
第5章
杆件横截面上的切应力分析
切应力设作用在微元左、右面上的剪 应力为 ，这两个面上的剪应力 与其作用面的乘积，形成一对力， 二者组成一力偶
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
§5-3 梁横截面上的切应力
第5章
杆件横截面上的切应力分析
杆件横截面上的应力课件
分类
根据作用力的方向与截面法线的 关系，应力可分为正应力与剪应 力。正应力是指垂直于截面的力 ，剪应力是指与截面相切的力。
杆件横截面上的应力分布
均匀分布
在均匀受力的杆件横截面上，应力分 布是均匀的。
不均匀分布
在非均匀受力的杆件横截面上，应力 分布是不均匀的，可能存在应力集中 现象。
应力对杆件性能的影响
当杆件横截面上的拉压应力达到最大 拉压应力值时，杆件发生拉压破坏。
最大弯曲应力准则
当杆件横截面上的弯曲应力达到最大 弯曲应力值时，杆件发生弯曲破坏。
校核方法与步骤
静力校核
根据杆件承受的静力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
较，判断是否满足强度要求。
动力校核
根据杆件承受的动力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
扭转变形引起的应力分析
扭转变形
当杆件受到垂直于其轴线的扭矩作用时 ，会在其横截面上产生扭转变形。扭转 变形的大小与扭矩和横截面面积有关， 计算公式为θ=T/GIP，其中T为扭矩， GIP为截面对主轴z的抗扭截面模量。
VS
扭转变形引起的切应力
在扭转变形过程中，除了扭转变形外，还 会在横截面上产生扭转变形引起的切应力 。扭转变形引起的切应力的大小与扭矩和 杆件截面的转动惯量有关，计算公式为 τ=T/It，其中It为截面对主轴t的抗扭截面 模量。
计算分析
根据建立的模型，进行计算和 分析，得出杆件横截面上的应 力分布和大小。
结果评估
将计算结果与设计规范和标准 进行对比，评估结构的应力和
安全性能。
案例分析结论与建议
结论
通过对实际工程中的杆件横截面应力问题进 行案例分析，可以得出杆件横截面上的应力 分布和大小，评估结构的应力和安全性能。
根据作用力的方向与截面法线的 关系，应力可分为正应力与剪应 力。正应力是指垂直于截面的力 ，剪应力是指与截面相切的力。
杆件横截面上的应力分布
均匀分布
在均匀受力的杆件横截面上，应力分 布是均匀的。
不均匀分布
在非均匀受力的杆件横截面上，应力 分布是不均匀的，可能存在应力集中 现象。
应力对杆件性能的影响
当杆件横截面上的拉压应力达到最大 拉压应力值时，杆件发生拉压破坏。
最大弯曲应力准则
当杆件横截面上的弯曲应力达到最大 弯曲应力值时，杆件发生弯曲破坏。
校核方法与步骤
静力校核
根据杆件承受的静力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
较，判断是否满足强度要求。
动力校核
根据杆件承受的动力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
扭转变形引起的应力分析
扭转变形
当杆件受到垂直于其轴线的扭矩作用时 ，会在其横截面上产生扭转变形。扭转 变形的大小与扭矩和横截面面积有关， 计算公式为θ=T/GIP，其中T为扭矩， GIP为截面对主轴z的抗扭截面模量。
VS
扭转变形引起的切应力
在扭转变形过程中，除了扭转变形外，还 会在横截面上产生扭转变形引起的切应力 。扭转变形引起的切应力的大小与扭矩和 杆件截面的转动惯量有关，计算公式为 τ=T/It，其中It为截面对主轴t的抗扭截面 模量。
计算分析
根据建立的模型，进行计算和 分析，得出杆件横截面上的应 力分布和大小。
结果评估
将计算结果与设计规范和标准 进行对比，评估结构的应力和
安全性能。
案例分析结论与建议
结论
通过对实际工程中的杆件横截面应力问题进 行案例分析，可以得出杆件横截面上的应力 分布和大小，评估结构的应力和安全性能。
第4章杆件横截面上的正应力分析
3 N BC 4 10 6 N 12.7 10 2 m ABC π 202 106 4
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
= 6.4MPa(压)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
30
y1
Ay A
i
i
200
z y1
30 170 170 2 30 170 (139 ) 12 2
3
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A 2m P=20kN C 3m 20kNm 1m D
§4-2 梁的弯曲正应力
一、概述
第4章
杆件横截面上的正应力分析
一般平面弯曲时，梁的横截面上将有剪力和弯矩两个 内力分量。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量， 这种平面弯曲称为纯弯曲。此时由于梁的横截面上只 有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。
c
c
c
c
第4章
杆件横截面上的正应力分析
在垂直梁轴线的横力作用下，梁横截面 上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面 上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为 横向弯曲。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：先确定危险截面
故取b=43mm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。 q =10kN/m A B P=20kN C 1m D
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
= 6.4MPa(压)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
30
y1
Ay A
i
i
200
z y1
30 170 170 2 30 170 (139 ) 12 2
3
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A 2m P=20kN C 3m 20kNm 1m D
§4-2 梁的弯曲正应力
一、概述
第4章
杆件横截面上的正应力分析
一般平面弯曲时，梁的横截面上将有剪力和弯矩两个 内力分量。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量， 这种平面弯曲称为纯弯曲。此时由于梁的横截面上只 有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。
c
c
c
c
第4章
杆件横截面上的正应力分析
在垂直梁轴线的横力作用下，梁横截面 上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面 上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为 横向弯曲。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：先确定危险截面
故取b=43mm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。 q =10kN/m A B P=20kN C 1m D
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i 1
i 1
n
n
z
Sy A
Syi
i 1 n
Ai
Ai zi
i 1 n
Ai
z
O
i 1
i 1
这种方法称为组合法 .
zC A
A1 C
A2
yC
y
y
z
例1：
求抛物线 z =hy2/b2下方面积的形心。
h
解：
A
A
d
A
b 0
h b2
y2 d y
h b2
b 0
y 2 dy
hb 3
O
y
Sz
A
yd A
b
0
h y
Iz cos2 I yz sin 2 I y sin2
Iz
1
cos 2
2
I yz
sin
2
Iy
1 cos 2
2
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2
I yz
sin 2
平面图形A对新轴系的惯性积：
I y1z1
y sin z cos y cos z sin d A
A
z2 y2 sin cos yz cos2 sin2 d A A
坐标旋转公式：
z1
z
zy11
y cos z sin y sin z cos
A
y1
z1
y1
z
O
y
y
转轴公式的推导
平面图形A对旋转后的y1轴的惯性矩：
I y1
A z12dA
y sin z cos 2 d A
A
y2 sin2 2 yz sin cos z2 cos2 d A A
b2
y2 d y
h b2
b
0
y3 d y
hb2 4
b
Sy
A
z
d
A
h
0
zb 1
z h
d
z
b
h 0
z
3
z2
h
d
z
b
h2
5
2h 2
bh2
2 5 h 10
y 3b z 3h
4
10
例2： 求图示面积的形心。 解：
z 16
16 16
1400
A 1400860 1334 828 99448 mm2 y 0
y Sz z Sy
A
A
C点是平面图形A的形心的充分必要条件： 平面图形A对过C点任意方向轴的静矩为零。
SzC=0；SyC=0。
根据静矩定义和静矩的可加性，为了简化复杂图形的形心 计算，可以将复杂图形A分为Ai ，i=1,2,…,n，则
n
n
y
Sz
Szi
i 1
Ai yi
i 1
z
A
n
Ai
n
Ai
50
O
y
860
z 1400860 700 1334 828 1334 / 2 50
1400860 1334 828
511.2 mm
二、惯性矩 , 惯性积和惯性半径
微面积元dA乘以坐标z的平方称dA对y轴的惯性矩 同样， dA对z轴的惯性矩为 dA对O点的极惯性矩为
平面图形A对两坐标轴的惯性矩 和对O点的极惯性矩分别为:
0
3
Iyz
yz d A
A
b
yd y
h z d z b2h2
0
0
4
I yC
A zC2 d A
h
2 h
2
zC2b d zC
bh3 12
C
yC
h/2
IzC
A yC2 d A
h
2 h
2
yC2h d
yC
b3h 12
O
b
y
b
h
I yCzC
A yC zC d A
2 b
yC
d
yC
且SyC=SzC=0，可得
I z y 2 A I yC
I y
z 2 A I zC
z
zC
A
对于惯性积，用同样结果可以得到
C
y
I yz yzA I yC zC
z
C
O
y
y
以上公式与计算转动惯量所用的平行轴定理非常相似。
例5：求图形对形心轴和y、z轴的惯性矩。 解： zC 2a
I yC
5a 3
一、静矩和形心
微面积 dA 乘以坐标 z 称为dA对y轴的静矩: d S y z d A 同样，dA对 z 轴的静矩为: d Sz y d A
平面图形 A 对两坐标轴的静矩为: z
Sy
zdA
A
A
dA
Sz
yd A
A
z
O
y
y
静矩是可加的, 即
n
Sz Szi ,
n
Sy Syi
i1
i1
利用计算均质板形心的公式, 可知计算几何图形形心的公式:
12
a
5a2 1.5a2
5aa3 12
5a2 1.5a2
130 12
22.5
a
4
I zC
பைடு நூலகம்
5aa3 12
5a3 a
12
130 a4 12
Iy
I yC
10a 2
2a 2
130 12
62.5
a
4
2a
I z I zC
z zC a
C
O 5a
5a
yC a y
四、 转轴公式
研究将坐标系逆时针旋转α角时，平面图形A的惯性矩 和惯性积在新、老轴系之间的变化规律。
I y I z sin cos I yz cos2 sin2
经整理后
I y1
Iy
2
Iz
Iy
Iz 2
2 h
zC
d zC
0
2
2
例 4：求圆对形心轴的惯性矩和极惯性矩。
解：
Iy
z2 d A
A
d
2r
2 r2 sin2 d d r
00
d
2 r3 d r 0
d4
64
Iz Iy
d
d4
IO Iz I y 32
z
r
O
y
三、 平行移轴公式
研究平面图形对两组相平行的轴系的惯性矩、惯性积之间 的关系。首先根据坐标平移公式
dIy z2 d A dIz y2 d A
dIp 2 d A
Iy
z2 d A
A
Iz
y2 d A
A
Ip Iy Iz z
A
惯性半径定义为：
dA
z
iy
Iy A
iz
Iz A
ip
Ip A
O
y
y
▲ 以上讨论都与转动惯量的计算方法相似。
微面积元 dA 乘以 yz 称 dA 对 yOz 轴系的惯性积：
y z
b a
y1 z1
I z
y2 d A
A
A b y1 2 d A
A b2 2by1 y12 d A
I z I y
b2 A 2bSz1 I y1 a2 A 2aSy1 I z1
z
z1
A
dA
O1
y1
a
O
y
b
针对形心轴系的平行移轴公式
取O1点为平面图形的形心， a z , b y
d I yz yz d A
z
平面图形A对坐标轴系的惯性积为
A
I yz
yz d A
A
惯性积反映平面图形对坐标轴系 z
的对称性
O
y
dA y
例 4-3 求矩形对边轴和形心轴的惯性矩。
解：
Iy
z2 d A
A
h z2b d z bh3
0
3
z
zC
b/2
Iz
y2 d A
A
b y2h d y b3h
Iz sin2 I yz sin 2 I y cos2
Iz
1
cos 2
2
I yz
sin
2
Iy
1
cos 2
2
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2
I yz
sin 2
平面图形A对旋转后的z1轴的惯性矩：
Iz1
A y12dA
y cos z sin 2 d A
A
y2 cos2 2 yz sin cos z2 sin2 d A A