工程力学第六章杆件的应力
工程力学(范钦珊-蒋永莉-税国双-著)-清华大学出版社.pdf
工程力学——课后练习题讲解教师张建平第一章静力学基础课后习题：1. P32习题1-12. P32习题1-23. P33习题1-8图a和b所示分别为正交坐标系Ox解：图（）：F分力：图与解图，两种情形下受力不同，二者的1-2a解图示压路机的碾子可以在推力或拉力作用下滚过）：θ解图第二章力系的简化课后习题：1. P43习题2-12. P43习题2-23. P44习题2-4由作用线处于同一平面内的两个力F和习题图所示一平面力系对A(30)，B(0，图示的结构中，各构件的自重都略去不计。
1图2-4解习题）中的梁∑0,F0,1m习题3-3图解：根据习题3-3第三章附加习题课后习题：1. P69习题3-52. P69习题3-63. P70习题3-74. P71习题3-135. P71习题3-143-14 图示为凸轮顶杆机构，在凸轮上作用有力偶，其力偶矩确定下列结构中螺栓的指定截面Ⅰ－Ⅰ上的内力分量，，产生轴向拉伸变形。
，产生剪切变形。
如习题4-2图所示直杆A、C、B在两端A、B处固定，在C解：首先分析知，该问题属于超静定问题，受力图如图所示：试用截面法计算图示杆件各段的轴力，并画轴力图，单解：(a)题题－3一端固定另一端自由的圆轴承受四个外力偶作用，如5-3解：将轴划分为四个截面扭矩平衡方程im m 扭矩平衡方程+m3-3扭矩平衡方程5-5 试写出图中所示各梁的剪力方程、弯矩方程图3建立坐标系并确定两个控制面，如图左侧为研究对象：−=）取根据力平衡方程和弯矩平衡方程得出4ql弯矩方程：1解建立坐标系，并取两个控制面，如图ql ql1Q。
工程力学(杆件弯曲受力分析计算)
教学设计三杆件弯曲受力分析计算在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。
问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。
我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。
由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。
（公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。
（公式8.2）（公式8.3）（公式8.4）其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。
将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。
（公式8.5）分析公式8.5，其中：为截面绕Z轴的惯性矩。
公式8.5变形为8.6。
ρρρρρεyydxdx==-+=∆=dθdθdθdθy)dθ(⎰⋅=AyM dAσεσ⋅=EρεσyEE==⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=AA AyEyyEyM dAdAdA2ρρσZAIy=⎰dA2（公式8.6）将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7（公式8.7）公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。
如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。
我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。
（公式8.8）公式8.7可以化简为极值公式8.9。
（公式8.9）例题分析讲解 【例1】图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。
【解】计算悬臂梁的弯矩计算梁截面的惯性矩计算抗弯截面模量 计算各点的正应力yIW Z=m kN 6.488.130212⋅=⨯⨯=M 001067.0124.02.01233=⨯==bh I 00533.0124.02.0622=⨯==bh W Z WM Z =σZZ I E M ⋅=ρ1y I M ZZ=σ（拉）MPa 12.900533.06.48===Z Z a W M σ（压）m 9.12kN a d ⋅=-=σσ0b =σ（压）4.55MPa 0.1106700.06.48b c =⨯==y I M Z Z σ问题二，杆件弯曲横截面剪应力计算问题与弯曲正应力不同，在截面上各点的弯曲剪应力指向相同，不论是否在中性层的上侧还是下侧；在同一剪力段，同一层的各点剪应力大小相同。
轴向拉(压)杆截面上的应力
轴向拉（压）杆截面上的应力
【解】（1）内力分析。取结点D为研究对象，其受力图如图56（b）所示，求各杆轴力：
∑Fy=0，FNBD·cos 45°－F=0，FNBD=2F=31.4 kN ∑Fx=0，－FNCD－FNBD·sin 45°=0，FNCD=－F=－22.2 kN可见， BD杆受拉，CD杆受压。 （2）求各杆的应力。 根据公式（5-2）可得
工程力学
Hale Waihona Puke 轴向拉（压）杆截面上的应力
1.1 轴向拉压杆横截面上的应力
在已知轴向拉压杆横截面轴力的情况 下，确定该横截面的应力，必须要首先了 解横截面上应力的分布规律。由于应力分 布与构件变形之间存在着一定的物理关系， 因此可以从杆件的变形特点上着手，分析 应力在横截面上的变化规律。
轴向拉（压）杆截面上的应力
现以拉杆为例，杆的横截面积为A，受轴向拉力F的作
用，如图5-7（a）所示。为了研究任意斜截面上的应力，用
一个与横截面夹角为α的斜截面m—m，将杆分成两部分
［见图5-7(b）］。用Aα表示斜截面面积，用pα表示斜截面 上的应力，Fα表示斜截面上分布内力的合力。按照研究横截 面上应力分布情况的方法，同样可以得到斜截面上各点处的
轴向拉（压）杆截面上的应力
【例5-3】
工程力学
首先取一等直杆，在其表面等间距地刻画出与杆轴线平行的 纵向线和垂直轴线的横向线，如图5-5（a）所示。当杆受到拉力 F作用时，观察变形后的杆件，发现：纵向线仍为直线，且仍与 轴线平行；横向线仍为直线，且仍与轴线垂直；横向线的间距增 加，纵向线的间距减小，变形前横向线和纵向线间相交得到的一 系列正方形都沿轴向伸长，横向缩短，变成一系列矩形，如图55（b）所示。根据观察到的变形现象和材料的连续性假设，可以 由表及里地对杆件内部变形做出如下假设：变形前为平面的横截 面，在变形后仍然保持为平面，并且垂直于轴线，只是各横截面 沿杆轴线间距增加，此即为平面假设。
工程力学复习资料
第一章 静力学基本概念思考题一、填空题1．力是物体间相互的________作用。
这种作用使物体的_________发生改变。
2．刚体是受力作用而______________________的物体。
3．从某一给定力系中，加上或减去任意____，不改变原力系对________的作用效果。
4．一力对刚体的作用效果取决于：力的____，力的____和力的____。
5．约束力的方向，总是与约束所阻碍的位移的方向________。
6．二力杆是两端与其他物体用光滑铰链连接，不计________且中间不受力的杆件。
7．分离体内各部分之间相互作用的力，称为________。
分离体以外的物体对分离体的作用力，称为________。
在受力图上只画________。
8．同一约束的约束力在几个不同的受力图上出现时，各受力图上对同一约束力所假定的指向必须________。
9．力F 在某坐标轴上的投影是 量。
10．力F 沿某坐标轴的分力是 量。
11．力偶在任何坐标轴上的投影的代数和恒等于 。
12． 是作用在刚体上的两个力偶等效的充分必要条件。
13．力偶使刚体转动的效果与 无关，完全由 决定。
二、选择题1．二力平衡条件适用的范围是 。
A ．变形体B ．刚体系统C ．单个刚体D ．任何物体或物体系2．加、减平衡力系原理适用的范围是 。
A ．单个刚体B ．变形体C ．刚体系统D ．任何物体或物体系3．作用和反作用定律的适用范围是 。
A ．只适用于刚体B ．只适用于变形体C ．只适用于物体处于平衡状态D ．对任何物体均适用4．如思考题图1.1所示的力平行四边形中，表示力F 1和F 2的合力F R 的图是 。
A ．（a ）B ．（b ）C ．（c ）D ．（d ）思考题图1.15．柔性体约束的约束力，其作用线沿柔性体的中心线 。
A ．其指向在标示时可先任意假设B ．其指向在标示时有的情况可任意假设C ．其指向必定是背离被约束物体D ．其指向点可能是指向被约束物体6．如思考题图1.2所示的某平面汇交力系中四力之间的关系是 。
昆明理工大学工程力学应力状态答案
第一章 绪论一、是非判断题1.1 材料力学的研究方法与理论力学的研究方法完全相同。
( ) 1.2 内力只作用在杆件截面的形心处。
( ) 1.3 杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和。
( ) 1.4 确定截面内力的截面法，适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。
( ) 1.5 根据各向同性假设，可认为材料的弹性常数在各方向都相同。
( ) 1.6 根据均匀性假设，可认为构件的弹性常数在各点处都相同。
( ) 1.7 同一截面上正应力σ与切应力τ必相互垂直。
( ) 1.8 同一截面上各点的正应力σ必定大小相等，方向相同。
( ) 1.9 同一截面上各点的切应力τ必相互平行。
( ) 1.10 应变分为正应变ε和切应变γ。
( ) 1.11 应变为无量纲量。
( ) 1.12 若物体各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零。
( ) 1.13 若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。
( ) 1.14 平衡状态弹性体的任意部分的内力都与外力保持平衡。
( )1.15 题1.15图所示结构中，AD 杆发生的变形为弯曲与压缩的组合变形。
( ) 1.16 题1.16图所示结构中，AB 杆将发生弯曲与压缩的组合变形。
( )二、填空题1.1 材料力学主要研究 受力后发生的 ，以及由此产生的 。
1.2 拉伸或压缩的受力特征是 ，变形特征是 。
1.3 剪切的受力特征是 ，变形特征是 。
1.4 扭转的受力特征是 ，变形特征是 。
B题1.15图题1.16图1.5 弯曲的受力特征是 ，变形特征是 。
1.6 组合受力与变形是指 。
1.7 构件的承载能力包括 ， 和 三个方面。
1.8 所谓 ，是指材料或构件抵抗破坏的能力。
所谓 ，是指构件抵抗变形的能力。
所谓 ，是指材料或构件保持其原有平衡形式的能力。
1.9 根据固体材料的性能作如下三个基本假设 ， ， 。
工程力学常用公式
公式：1、轴向拉压杆件截面正应力N F A σ=，强度校核max []σσ≤ 2、轴向拉压杆件变形Ni i iF l l EA ∆=∑3、伸长率：1100%l l l δ-=⨯断面收缩率：1100%A A Aψ-=⨯ 4、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ=5、扭转切应力表达式：T I ρρτρ=，最大切应力：max P P T T R I W τ==，44(1)32P d I πα=-，34(1)16P d W πα=-，强度校核：max max []PT W ττ=≤ 6、单位扭转角：P d T dx GI ϕθ==，刚度校核：max max []PT GI θθ=≤，长度为l 的一段轴两截面之间的相对扭转角P Tl GI ϕ=，扭转外力偶的计算公式：()(/min)9549KW r p Me n = 7、薄壁圆管的扭转切应力：202T R τπδ=8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式：cos 2sin 222x yx yx ασσσσσατα+-=+-，sin 2cos 22x yx ασστατα-=+9、平面应力状态三个主应力：'2x yσσσ+=+''2x y σσσ+='''0σ=最大切应力max '''2σστ-=±=最大正应力方位02tan 2x x yτασσ=-- 10、第三和第四强度理论：3r σ=，4r σ=11、平面弯曲杆件正应力：ZMy I σ=，截面上下对称时，Z M W σ= 矩形的惯性矩表达式：312Z bh I =圆形的惯性矩表达式：44(1)64Z d I πα=-矩形的抗扭截面系数：26Z bh W =，圆形的抗扭截面系数：34(1)32Z d W πα=- 13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力：max max *S z S Z F S F K bI Aτ== 14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力max []t t σσ≤，max []c c σσ≤（2）弯曲切应力max []ττ≤（3）第三类危险点：第三和第四强度理论15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法max []w w l l≤，max []θθ≤ 16、（1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： max max min ()N ZF M A W σσ=± （2）偏心拉伸(偏心压缩)：max min ()N ZF F A W δσσ=± （3）弯扭变形杆件的强度计算：3[]r Zσσ==≤4[]r Z σσ==≤。
工程力学终于知识点
按右手螺旋法则， 扭矩矢量沿截面外法线方
向为正；反之为负。
3、扭矩图
扭矩图——表示扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。
要求：
①扭矩图和受力图对齐； ②扭矩图上标明扭矩的大小、正负和单位。
快速作扭矩图
上上下下
四、薄壁圆筒的扭转
r0/d≥10 时，称为薄壁圆筒。
作用于杆上的合外力的作用线与杆的轴线重合。
2、变形特点
杆件产生轴向的伸长或缩短。
二、 内力·截面法·轴力和轴力图 1、内力
指截面上分布内力系的合力。
2、截面法
截面法四部曲 —截开 —取出 —代替 —平衡
3、轴力FN
沿杆轴线方向作用的内力，称为轴力。
轴力正负规定：
以使脱离体受拉为正，使脱离体受压为负。
F N3
一定为零力杆。
F N2
3
3、两杆相结，不共线，且节点 处的载荷沿其中某一杆件， 则另一杆为零力杆。
2 A 1 FN1 F N2
2
F A 1 F N1
三、重心坐标的一般公式
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
zc
Pi zi P
四、组合形体的重心
1、分割法
如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而
此法适合于求桁架部分杆件的内力。
注:
（1）所有杆件均假设受拉。 （2）每次对象只能列出三个方程。 （3）合理确定坐标方位、矩心位置及方程次序。
两种方法并不 相互独立，可 配合使用。
二、桁架零力杆的判断方法
F N2
1、两杆相结，不共线，且节点
2
处没载荷，则此两杆均为零力杆。
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡杆件受力分析是工程力学中一个重要的内容，能够帮助我们了解和计算杆件内力以及保证杆件的受力平衡。
本文将介绍杆件受力分析的基本概念和计算方法，并根据实际例子进行说明和分析。
一、杆件受力分析概述杆件，指的是工程结构中的长条形构件，常用于支撑和传递力量。
在实际应用中，杆件往往会受到多方向的力的作用，因此需要进行受力分析，计算出杆件内部的力，以保证其受力平衡。
在进行杆件受力分析时，我们需要明确以下几个概念：1. 受力点：指的是外力作用到杆件上的点，也是进行受力分析的起点。
2. 内力：指的是杆件内部存在的力，可以是拉力或压力。
3. 受力平衡：指的是杆件上所有受力的合力和合力矩为零的状态，保证了杆件受力的平衡。
二、杆件内力计算方法1. 自由体图法：自由体图法是杆件受力分析的基本方法，通过将杆件与外界切割开来，分析切割面上的受力情况，进而计算出杆件内力。
过程：选择合适的切割面，画出自由体图，分析受力平衡条件，解方程计算内力。
2. 杆件法：杆件法是将整个杆件视为一个整体，通过利用杆件的几何关系和受力条件进行计算。
过程：根据杆件的几何形状和受力情况，建立方程组求解。
三、杆件受力分析实例为了更好地理解和应用杆件受力分析的方法，下面以一个实际例子进行说明：假设有一根长度为L的杆件，一端固定在墙上，另一端悬挂一个质量为m的物体。
我们需要计算杆件的内力以及保证受力平衡。
首先，我们选择杆件的中点作为切割面，并画出自由体图。
根据受力平衡条件，我们可以得出以下方程：∑Fx = 0: T - F = 0 （水平方向受力平衡）∑Fy = 0: N - mg = 0 （竖直方向受力平衡）其中，T代表杆件的张力，F代表杆件所受悬挂物体的重力，N代表杆件与墙壁接触点的支撑力，g代表重力加速度。
通过解以上方程组，我们可以计算出T和N的数值，进而得到杆件内部的力。
根据实际情况，可以通过杆件截面积和材料的力学性质，计算出杆件的应力和变形情况。
工程力学28-压杆的临界应力
——重点
（1） P cr S时： cr 临界a应力总b图
cr
a b
s
a s b
s
s p称为中柔度杆，用经验公式求其临界应力。
（2） S 时： cr S
S 称为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。
目录
4
总结：
•压杆柔度
l μ的四种取值情况
i
i
I A
•临界柔度
P
2E P
9-
与长度、截面性质、约束条件有关
目录
4
2
2.欧拉公式的适用范围 着眼点——临界应力在线弹性内（小于比例极限）
cr
2E 2
P
2E P
P
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用欧拉公式求临界力。
3 目录
3.经验公式、临界应力总图
直线型经验公式
32. 压杆的临界应力
1.临界应力和柔度
（1）临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力
Fcr cr A （2）细长压杆的临界应力：
cr
Fcr A
2EI (E 2
即： cr
（3）柔度：
l i
2E 2
i I — 惯性半径
A
— —杆的柔度（或长细比）
P 比例极限
•临界应力
s
a s b
s 屈服极限
P
(大柔度杆) cr
2E 2
欧拉公式
S P (中柔度杆)cr a b直线公式
s (小柔度杆) cr s 强度问题
工程力学公式
公式：1、轴向拉压杆件截面正应力N F Aσ=，强度校核max []σσ≤2、轴向拉压杆件变形N i i iF l l EA ∆=∑3、伸长率：1100%l l lδ-=⨯断面收缩率：1100%A A Aψ-=⨯4、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ=5、扭转切应力表达式：T I ρρτρ=，最大切应力：m ax PPT T R I W τ==，44(1)32P d I πα=-，34(1)16P d W πα=-，强度校核：m ax m ax []PT W ττ=≤6、单位扭转角：P d T dxG I ϕθ==，刚度校核：m axm ax []PTG I θθ=≤，长度为l 的一段轴两截面之间的相对扭转角PTl G I ϕ=，扭转外力偶的计算公式：()(/m in)9549K W r p M e n =7、薄壁圆管的扭转切应力：202T R τπδ=8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式：cos 2sin 222x yx yx ασσσσσατα+-=+-，sin 2cos 22x yx ασστατα-=+9、平面应力状态三个主应力：'2x yσσσ+=+''2x yσσσ+=-，'''0σ=最大切应力m ax '''2σστ-=±=最大正应力方位02tan 2xx yτασσ=--10、第三和第四强度理论：3r σ=，4r σ=11、平面弯曲杆件正应力：ZM y I σ=，截面上下对称时，ZM W σ=矩形的惯性矩表达式：312Z bhI =圆形的惯性矩表达式：44(1)64Z d I πα=-矩形的抗扭截面系数：26Z bh W =，圆形的抗扭截面系数：34(1)32Z d W πα=-13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力：maxmax *S z S ZF S F K bI Aτ==14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力m ax []t t σσ≤，m ax []c c σσ≤ （2）弯曲切应力max []ττ≤（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法m ax []w w ll≤，m ax []θθ≤16、（1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： max max min ()N ZF M AW σσ=±（2）偏心拉伸(偏心压缩)：m ax m in ()N ZF F AW δσσ=±（3）弯扭变形杆件的强度计算：3[]r Z σσ==≤4[]r Zσσ==≤。