第六章工程力学
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工程力学第6章剪切变形剖析
Fpc A
c
பைடு நூலகம்
（挤压许用应力）
4.挤压许用应力：由模拟实验测定
塑性材料，比如钢材。许用挤压应力与材料拉 伸许用应力的关系：
[σc]=(1.7[σ]为拉伸许用应力2.0)[σ]
应用
挤压强度条件也可以解决强度计算的三类问题。当 联接件与被联接件的材料不同时，应对挤压强度较 低的构件进行强度计算。
1、校核强度：
，
，
P
P
P
b
P
(1)、 铆钉受力 外力的作用线通过铆钉群中心，故每一个铆钉受力相等；
设每一个铆钉受力为Q， Q P / 4 20KN
(2)、铆钉剪切计算 取单个铆钉进行受力分析；
Q Q
铆钉为单剪，剪切面为铆钉的横截面；
FS Q 4 99.5MPa
A d 2
铆钉满足剪切强度。
(3)挤压强度计算
钢板与铆钉的材料相同，故二者的挤压应力相等；
bs
F Abs
Q Abs
P 4 dt
125 MPa [ bs ]
接头满足挤压强度。
(4)钢板的拉伸强度计算
取上板为研究对象进行受力分析;
在每一个铆钉孔处承受Q=P/4力的作 用
轴力图
P/4 P/4
P/4 上 P
危险面
FN P/4 3P/4
P
+
位于有两个孔的截面处或者右端有一个铆钉孔的截面处；
剪切的强度计算 步骤： （1）根据构件的受力，确定剪切面。 （2）利用截面法求出剪切面上的剪力 FQ。
（3）采用实用计算方法，计算剪切面上的切应力 。
假设剪切面上，切应力均匀分布。
（4）建立剪切强度条件。
Q
工程力学 第六章：平面杆件体系的几何组成分析
瞬变体系
工 程 力 学
无多余约束的几何 不变体系变体系
几种常用的分析途径 1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。 2、如上部体系与基础用满足要求的三个约束相联可去 掉 基础，只分析上部。 3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，用链杆组 成的虚铰相连，而不用单铰相连。 4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范 围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。 5、由基础开始逐件组装 6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的 前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个等效 与外部连结等效）刚片代替它。
β
A P
A
β
Δ是微量
P N N
只有几何不变体系才 能作为建筑结构使用！！
§6.2刚片、自由度和约 束的概念
• 一、刚片 • 是指平面体系中几何形状不变的平面体。 • 在几何组成分析中，由于不考虑材料的应 变，所以，每根梁、每一杆件或已知的几 何不变部分均可视为刚片。 • 支承结构的地基也可以看做是一个刚片。
a
1、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形 状和铰的位置如何。
一根链杆可以减少 体系一个自由度，相 工 当于一个约束。！ 程 力 β 学
α
Ⅰ
1 5 3 6 4
1、2、3、4是链杆， 5、6不是链杆。
加链杆前3个自由度
加链杆后2个自由度
2、单铰： 联结 两个 刚片的铰 加单铰前体系有六个自由度 加单铰后体系有四个自由度
三刚片以三个无穷远处虚铰相连 组成瞬变体系
工 程 力 学
4、由一基本 刚片开始，逐 步增加二元体， 扩大刚片的范 围，将体系归 结为两个刚片 或三个刚片相 连，再用规 则判定。
工程力学第六章 弯曲变形
荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12
工程力学课件 第6章 轴向拉伸与压缩
σ称为正应力，τ称为剪应力。在国际单位制中，应力的单位 是帕斯卡(Pascal)，用Pa（帕）表示，1Pa＝1 N/m2。由于帕斯卡这 一单位很小，工程常用kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）来 表明。1 KPa＝103Pa，1 MPa＝106Pa，1 GPa＝109 Pa。
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
工程力学--第六章 剪切和挤压(强度和连接件的设计)
τ =FQ/Aτ≤[τ]=τb/nτ τ τ
连接件、被连接件 连接件、
剪断条件
工件、 工件、连接件
2)强度条件是一种破坏判据。判据的左端是工作状 2)强度条件是一种破坏判据。 强度条件是一种破坏判据 态下的控制参量（如应力），由分析计算给出； ），由分析计算给出 态下的控制参量（如应力），由分析计算给出； 右端则应是该参量的临界值，由实验确定。 右端则应是该参量的临界值，由实验确定。 3) 利用强度条件，可以进行 利用强度条件， 强度校核、截面设计、确定许用载荷或选材。 强度校核、截面设计、确定许用载荷或选材。 4) 强度计算或强度设计的一般方法为： 强度计算或强度设计的一般方法为：
剪切的实用计算
(1)剪力计算
以铆钉连接为例，沿剪切面切开, 取部分铆钉研究， 以铆钉连接为例，沿剪切面切开, 取部分铆钉研究，受力 如图。 如图。
双剪： 双剪：Q=P/2
一个剪切面
二个剪切面
单剪： 单剪：Q=P
强度计算
假定剪力Q均匀分布在剪切面上， 假定剪力 均匀分布在剪切面上， 均匀分布在剪切面上 以平均剪应力作为剪切面上的名义剪应 则有： 力，则有： τ=Q/A
P/A τ=Q/A =
P
剪切强度条件： 剪切强度条件： τ=Q/A≤[τ]=τb/nτ ≤τ τ
是材料剪切强度，由实验确定； τb是材料剪切强度，由实验确定；nτ是剪切安全系数。
剪断条件：对剪板、冲孔等需要剪断的情况， 剪断条件：对剪板、冲孔等需要剪断的情况，应满足
τ=Q/A>τb τ
Байду номын сангаас
功率、 功率、转速与传递的扭矩之关系：
冲 头 N Q
P=400kN d t
P N=P 落 料
工程力学第六章杆件与结构的内力计算
M
M
弯矩为正
M
M
弯矩为负
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
FA
A
MA
FA
A
MA
2Fl
lC
l
FCs
l
C MC
2Fl
FCs
MC
C
l
F
B D
FCs F FCs F
M C Fl MC Fl
M C 2Fl Fl 0
F
B
D
FDs
MD
F
DB
FDs F MD 0
1.剪力、弯矩方程：
FS FS (x) M M (x)
F
拉杆
FF
F
压杆
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
物体在受到外力作用而变形时，其内部各 质点间的相对位置将有变化。与此同时，各质 点间相互作用的力也发生了改变。相互作用力 由于物体受到外力作用而引起的改变量，就是 附加内力，简称内力。
内力分析是解决构件强度，刚度与稳定
性问题的基础。
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
图和弯矩图。
q
解： 1、求支反力
A
x
B
l
FA
FB
由对称性知： ql
FA FB 2
ql / 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
FS
FS (x)
FA
qx
ql 2
qx
ql / 2
M (x)
FA x
qx2 2
qLx 2
qx2 2
M
ql2 / 8
FS ,max
ql 2
M max
ql 2 8
例题 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该
工程力学 第6章 弹性静力学基本概念
第6章 弹性静力学的基本概念 刚体静力学研究力系的等效、简化与力系的平衡，并且应用这些基本概念和理论，分析、确定物体的受力。
刚体静力学的模型是质点和质点系以及刚体和刚体系。
弹性静力学则主要研究变形体受力后发生的变形，以及由于变形而产生的附加内力。
分析方法上，弹性静力学与理论力学刚体静力学也不完全相同。
建立在实验基础上的假定、简化计算，是弹性静力学分析方法的主要特点。
本章介绍弹性静力学的基本概念、研究方法以及弹性静力学对于工程设计的重要意义。
§6-1 弹性静力学概述 §6-2 弹性体及其理想化 ６－２－１ 各向同性与各向异性弹性体 ６－２－２ 各向同性弹性体的均匀连续性 §6-3 弹性体受力与变形特征 §6-4 应力及其与内力分量之间的关系 ６－４－１ 分布内力集度－应力 ６－４－２ 应力与内力分量之间的关系 §6-5 正应变与切应变 §6-6 线弹性材料的物性关系 §6-7工程结构与构件 §6-8 杆件变形的基本形式 §6-9 结论与讨论 ６－９－１ 关于刚体静力学模型与弹性静力学模型 ６－９－２ 关于弹性体受力与变形特点 ６－９－３ 关于刚体静力学概念与原理在弹性静力学中的 可用性与限制性 习 题 本章正文 返回总目录第6章 弹性静力学的基本概念 §６—１ 弹性静力学概述 弹性静力学(elastic statics)又称材料力学(strength of materials)，其研究内容分属于两个学科。
第一个学科是固体力学(solid mechanics)，即研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力分析(stress analysis)。
但是，弹性静力学所研究的仅限于杆、轴、梁等物体，其几何特征是纵向尺寸远大于横向尺寸，这类物体统称为杆或杆件（bars或rods）。
大多数工程结构的构件或机器的零部件都可以简化为杆件。
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
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M
D4
D 2
15103 3.14 0.14
0.1 Pa 2
76.43MPa
32
32
9
C
M IP
M
D4
D 4
15 103 3.14 0.14
0.1 Pa 4
38.21MPa
32
32
2）圆轴发生扭转时，边缘各点的剪应力最大。
max A B 76.43MPa
3.4102 rad
6
(3) 计算 A 轮相对于 B 轮的扭转角φAB。
AB
M AB LAB GIp
1000 500 103 81010 1.47 107
4.25102 rad
(4) 计算 A 轮相对于 C轮的扭转角φAC。 AB与 BC 段的扭矩不等，A轮相对于 B轮转过角度φAB，B轮 相对于 C轮转过角度φBC，二者代数和即为φAC。 于是， φAC＝φAB＋φBC＝4.25×10－2－3.4×10－2＝8.5×10－3 rad
M3
7.024
N3 n
7.024 300 =4.21KN.m 500
B
400
C
11
N1
N2
N3
A
B
C
(2) 作扭矩图。
由截面法可求得 AB 和 BC 段轴横截面上的5扭00矩， 400
分别用截面1-1，2-2将圆轴一分为二
分别取左半部分和右半部分为研究对象
假设截面上的扭矩为正
利用平衡方程 得MAB=－7.024 kN·m, MBC=－4.21 kN·m，
利用平衡方程 得MAB=1 000N·m, MBC=－500N·m，
由此可作出轴的扭矩图：
5
(2) 计算B轮相对于C轮的扭转角φBC。
由于Ipຫໍສະໝຸດ πd 4 32
π354 10-12 32
1.47107 m4
可得φBC为
BC
M BC LBC GIp
500 800 103 81010 1.47 107
试按强度条件与刚度条件选择内外径d、D。
17
例6.10 图示钢制圆轴，受力和尺寸如图(a)所示。试校核轴的
强度和刚度。 1o / m n 60MPa
18
回顾上次课的内容
最大切应力计算公式
max
M
Wp
W p Ip
D 2
抗扭截面系数
实心圆截面
IP D4 / 32 Wp D3 16
空心圆截面
IP D4 (1 4 )/32
Wp D3 (1 4 ) 16
1
回顾上次课的内容
薄壁圆筒：
t
1 10
r0
薄壁圆筒剪应力：
由此可作出轴的扭矩图：
15
(2）如扭矩图所示，危险面是AC各横截面，危险点是AC
段表面各点。
M max
3 5
mA
（3）由强度条件确定主动轮的容许转矩
max
M max WP
3 5
mA
D3
316mA
5 0.13
60 109
16
mA
5
0.13 60109 48
x
d2
3
16 M BC
16 4210 3 3.14 70106
67.4mm
13
N1
A 500
T (kNm)
–7.024
N2 B
400
–4.21
N3
（4） 由刚度条件可知
C
Ip
d 4
32
M 180
G [ ]
d2
4
32
M BC 180
G [ ]
(rad/m)
dx GI p
d M 180 (/m)
dx GI p
3、刚度条件
max
M max GI p
(rad/m)
max
M max 180 GI p
(/m)
3
回顾上次课的内容
4 刚度的三种计算 ① 校核刚度：
M max
N
m
19.63kN
m
所以容许转矩为：
mA 19.63kN m
16
例6.9 某空心钢轴，内外直径之比 0.8 ,传递功率 P 60kW ,
转速 n 250 转/分，单位长度允许扭转角 0.8o / m, 60106 KN.m G=80GPa
（3）两端截面的相对扭转角：
M L GI P
15103 1.2
80109 0.14
2.29102 (rad )
1.31
32
10
例6.7 传动轴，n = 500 r / min，输入N1 = 500 马力， 输出
N2 = 200马力及 N3 = 300马力，G=80GPa ，[ ]=70M Pa，
7
例6.5 求杆的扭矩图
解 (1) 作扭矩图。
由截面法可求得 AB 和 BC 段轴横截面上的扭矩，
分别用截面1-1，2-2将圆轴一分为二 分别取左半部分和右半部分为研究对象 假设截面上的扭矩为正
利用平衡方程 得MAB=6KN·m, MBC=－4KN·m，
由此可作出轴的扭矩图：
8
例6.6 图示钢质圆轴，D 100mm, L 1.2m, M 15kN m
由此可作出轴的扭矩图：
M
x
(kNm)
–7.024
– 4.21 12
（3） 由强度条件可知
Wp
d13
16
M AB
[ ]
d1'
3
16 M
AB
16 7024 3 3.14 70106
80mm
N1 A
500
M
(kNm) –7.024
N2 B
400
–4.21
N3 C
材料的切变模量 G＝80 Gpa。 试求：（1）n-n截面上A、B、C三点的剪应力数值及
其方向（保留n-n截面左段）；（2）最大剪应力 max
（3）两端截面的相对扭转角。
解（1）扭转圆轴上各点的剪应力应在各自的 横截面内，垂直于所在的“半径”，与扭矩 的转向一致，如图(c)所示。
A
B
M IP
M
2 r02
t
*强度的三种计算： ① 校核强度： ② 设计截面：
max
M max Wp
[ ]
Wp
M max
[ ]
Wp
实 空： ：1DD633（116
4）
③ 求许可载荷： M max Wp[ ]
2
回顾上次课的内容
2、单位扭转角
d
M
GI p
② 设计截面
Ip
M max
G[ ]
③ 求许可载荷：
M max GI p[ ]
4
例6.4 一等直钢制传动轴如图 (a)所示，材料的切变模量 G＝80 GPa。试计算扭转角φBC、φBA和φAC。
解 (1) 作扭矩图。
由截面法可求得 AB 和 BC 段轴横截面上的扭矩，
分别用截面1-1，2-2将圆轴一分为二 分别取左半部分和右半部分为研究对象 假设截面上的扭矩为正
轮转矩之比mB
mC
2 3
，轴径
D 100mm
60 106 KN.m
试按强度条件确定主动轮的容许转矩 mA
解 (1) 作扭矩图。
由截面法可求得 AB 和 AC 段轴横截面上的扭矩，
分别用截面1-1，2-2将圆轴一分为二
分别取左半部分和右半部分为研究对象
假设截面上的扭矩为正
利用平衡方程 得MAB=mB=2/5mA, MAC =-mC =-3/5mA，
32 4210180 4 3.142 80109 1
74.4mm
d1
4
32
M AB 180
G [ ]
32 7024180 4 3.142 80 109 1 84mm
d1 84mm , d2 75mm 14
例6.8 图示钢制传动轴，A为主动轮，B、C为从动轮，两从动
[ ]=1º/m ，试确定：①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？
N1
N2
N3
A
解 (1) 外力偶矩计算。
作用在 A、B、C 轮上的外力偶矩分别为：
500
M1
7.024
N1 n
7.024 500 =7.024KN.m 500
M2
7.024
N2 n
7.024 200 =2.81KN.m 500