工程力学第六章(重心)
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工程力学第六章(重心)
R2
12
4、实验法
工程中的一些形状复杂和质量分布不均匀的物体，重 心是难以计算的，这时可用实验法确定重心。
1）悬挂法：
求一个物体的重心，由于悬挂点 给物体的力和物体受的重力满足 二力平衡条件，重心必在过悬挂 点的铅直线上。 可以画一经过重心的直线，更换 悬挂点。
F
C
F
C
可以画另一经过重心的直线。 用这种方法，可以求出直线的交 点既为重心，如图所示。
i 1
n
l
z zC Pi i x P yi
i
连续体
x
yC
xC
xc
xdl
l
l
yc
ydl
l
l
zc
zdl
l
l
7
二、确定重心方法
1、查表法
对于均质物体，或有对称轴，对称中心的物体的重心在相应对称轴 ，对称中心上。如圆锥，圆柱重心在其轴线上，球体重心在其几何中心 上。简单形体的重心可以由工程手册查出。也可以进行计算.
1
§ 6-3 重心
一、重心坐标公式
一个物体可以看成是许多微小部分构成。 重力作用于物体的每个微小部分。 如图，每个微小物体的重力视为空间平行力系。整个物体 的重力是这个空间力系的合力。 物体无论如何放置，其合力作用线都通过物体上一个确 z 定点。这一点称为物体的重心。 平行力系合力为：
P Pi
yC
C
y
1 yC h 3 h 3 xC a 5
z
r
C
3 zC r 8
zC
z
y
a
C
x
h
C
yC
b
3 yC b 8
工程力学 第六章：平面杆件体系的几何组成分析
瞬变体系
工 程 力 学
无多余约束的几何 不变体系变体系
几种常用的分析途径 1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。 2、如上部体系与基础用满足要求的三个约束相联可去 掉 基础，只分析上部。 3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，用链杆组 成的虚铰相连，而不用单铰相连。 4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范 围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。 5、由基础开始逐件组装 6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的 前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个等效 与外部连结等效）刚片代替它。
β
A P
A
β
Δ是微量
P N N
只有几何不变体系才 能作为建筑结构使用！！
§6.2刚片、自由度和约 束的概念
• 一、刚片 • 是指平面体系中几何形状不变的平面体。 • 在几何组成分析中，由于不考虑材料的应 变，所以，每根梁、每一杆件或已知的几 何不变部分均可视为刚片。 • 支承结构的地基也可以看做是一个刚片。
a
1、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形 状和铰的位置如何。
一根链杆可以减少 体系一个自由度，相 工 当于一个约束。！ 程 力 β 学
α
Ⅰ
1 5 3 6 4
1、2、3、4是链杆， 5、6不是链杆。
加链杆前3个自由度
加链杆后2个自由度
2、单铰： 联结 两个 刚片的铰 加单铰前体系有六个自由度 加单铰后体系有四个自由度
三刚片以三个无穷远处虚铰相连 组成瞬变体系
工 程 力 学
4、由一基本 刚片开始，逐 步增加二元体， 扩大刚片的范 围，将体系归 结为两个刚片 或三个刚片相 连，再用规 则判定。
大学工程力学重点知识点总结—期末考试、考研必备!!
工程力学重点总结—期末考试、考研必备！！第一章静力学的基本概念和公理受力图一、刚体P2刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。
力的三要素：大小、方向、作用点。
平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。
二、静力学公理1、力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。
2、二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。
3、加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。
（1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
（2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
4、作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。
5、刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。
三、约束和约束反力1、柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体。
2、光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力。
3、光滑圆柱铰链约束：①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定。
4、链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。
第六章 重心
S
S
理论力学电子教案：张建辉制作
理论力学：第一章 静力学
第6节 空间汇交力系和空间力偶系
6.3确定刚体重心的几种方法
1 对于匀质、具有对称性的刚体,重心在对称 轴、对称面、或对称中心上.采用查表法
(参见书中简单几何形体的形心,注意坐标轴向)
2 求形状复杂的物体的重心时，可采用 组合法或实验法。 (1)分割法：可将物体分割为几个简单形状 的物体，而这些简单形状物体的重心是易于 确定或是已知的，则整个物体重心可用坐标 公式求出。
在力学和工程技术问题中，物体的重心位 置具有重要意义，例如高速旋转机械的均衡运 转．飞机的稳定飞行都会涉及重心的问题．因 此，在机械、航空、水利或土建等的设计中， 以及有些静力学计算中都常需确定物体重心的 位置。
理论力学电子教案：张建辉制作
理论力学：第一章 静力学
第6节 空间汇交力系和空间力偶系
6.1 平行力系中心
第6节 空间汇交力系和空间力偶系
例6· 2 半径为R的圆面有一圆孔,孔的半径为r， 两圆中心的距离OO1＝a，求图形的重心位置。 解: 将图形看作由两部分组成，取坐标系OXY 如图所示，它们的面积和重心坐标分别为:
理论力学电子教案：张建辉制作
理论力学：第一章 静力学
第6节 空间汇交力系和空间力偶系
理论力学：第一章 静力学
第6节 空间汇交力系和空间力偶系
第六章 重心
内容:
⑴ 本章首先从平行力系中心导出重心 和形心坐标的普遍公式． ⑵ 然后着重从工程应用的角度来讨论 重心和形心的求法．
理论力学电子教案：张建辉制作
理论力学：第一章 静力学
第6节 空间汇交力系和空间力偶系
重心的概念: 在地球表面附近的物体，每一 微小部分都受到重力的作用，由于物体与地球 中心间的距离远大于物体各部分间的距离，因 而各部分所受的重力,通常可认为组成空间平行 力系。这个由物体各部分重力组成的空间平行 力系的合力的作用点就是物体的重心。
S
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理论力学：第一章 静力学
第6节 空间汇交力系和空间力偶系
6.3确定刚体重心的几种方法
1 对于匀质、具有对称性的刚体,重心在对称 轴、对称面、或对称中心上.采用查表法
(参见书中简单几何形体的形心,注意坐标轴向)
2 求形状复杂的物体的重心时，可采用 组合法或实验法。 (1)分割法：可将物体分割为几个简单形状 的物体，而这些简单形状物体的重心是易于 确定或是已知的，则整个物体重心可用坐标 公式求出。
在力学和工程技术问题中，物体的重心位 置具有重要意义，例如高速旋转机械的均衡运 转．飞机的稳定飞行都会涉及重心的问题．因 此，在机械、航空、水利或土建等的设计中， 以及有些静力学计算中都常需确定物体重心的 位置。
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理论力学：第一章 静力学
第6节 空间汇交力系和空间力偶系
6.1 平行力系中心
第6节 空间汇交力系和空间力偶系
例6· 2 半径为R的圆面有一圆孔,孔的半径为r， 两圆中心的距离OO1＝a，求图形的重心位置。 解: 将图形看作由两部分组成，取坐标系OXY 如图所示，它们的面积和重心坐标分别为:
理论力学电子教案：张建辉制作
理论力学：第一章 静力学
第6节 空间汇交力系和空间力偶系
理论力学：第一章 静力学
第6节 空间汇交力系和空间力偶系
第六章 重心
内容:
⑴ 本章首先从平行力系中心导出重心 和形心坐标的普遍公式． ⑵ 然后着重从工程应用的角度来讨论 重心和形心的求法．
理论力学电子教案：张建辉制作
理论力学：第一章 静力学
第6节 空间汇交力系和空间力偶系
重心的概念: 在地球表面附近的物体，每一 微小部分都受到重力的作用，由于物体与地球 中心间的距离远大于物体各部分间的距离，因 而各部分所受的重力,通常可认为组成空间平行 力系。这个由物体各部分重力组成的空间平行 力系的合力的作用点就是物体的重心。
工程力学终于知识点
三、扭转轴的内力 扭矩 ——T 扭矩的正负规定：
按右手螺旋法则， 扭矩矢量沿截面外法线方
向为正；反之为负。
3、扭矩图
扭矩图——表示扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。
要求：
①扭矩图和受力图对齐； ②扭矩图上标明扭矩的大小、正负和单位。
快速作扭矩图
上上下下
四、薄壁圆筒的扭转
r0/d≥10 时，称为薄壁圆筒。
作用于杆上的合外力的作用线与杆的轴线重合。
2、变形特点
杆件产生轴向的伸长或缩短。
二、 内力·截面法·轴力和轴力图 1、内力
指截面上分布内力系的合力。
2、截面法
截面法四部曲 —截开 —取出 —代替 —平衡
3、轴力FN
沿杆轴线方向作用的内力，称为轴力。
轴力正负规定：
以使脱离体受拉为正，使脱离体受压为负。
F N3
一定为零力杆。
F N2
3
3、两杆相结，不共线，且节点 处的载荷沿其中某一杆件， 则另一杆为零力杆。
2 A 1 FN1 F N2
2
F A 1 F N1
三、重心坐标的一般公式
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
zc
Pi zi P
四、组合形体的重心
1、分割法
如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而
此法适合于求桁架部分杆件的内力。
注:
（1）所有杆件均假设受拉。 （2）每次对象只能列出三个方程。 （3）合理确定坐标方位、矩心位置及方程次序。
两种方法并不 相互独立，可 配合使用。
二、桁架零力杆的判断方法
F N2
1、两杆相结，不共线，且节点
2
处没载荷，则此两杆均为零力杆。
按右手螺旋法则， 扭矩矢量沿截面外法线方
向为正；反之为负。
3、扭矩图
扭矩图——表示扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。
要求：
①扭矩图和受力图对齐； ②扭矩图上标明扭矩的大小、正负和单位。
快速作扭矩图
上上下下
四、薄壁圆筒的扭转
r0/d≥10 时，称为薄壁圆筒。
作用于杆上的合外力的作用线与杆的轴线重合。
2、变形特点
杆件产生轴向的伸长或缩短。
二、 内力·截面法·轴力和轴力图 1、内力
指截面上分布内力系的合力。
2、截面法
截面法四部曲 —截开 —取出 —代替 —平衡
3、轴力FN
沿杆轴线方向作用的内力，称为轴力。
轴力正负规定：
以使脱离体受拉为正，使脱离体受压为负。
F N3
一定为零力杆。
F N2
3
3、两杆相结，不共线，且节点 处的载荷沿其中某一杆件， 则另一杆为零力杆。
2 A 1 FN1 F N2
2
F A 1 F N1
三、重心坐标的一般公式
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
zc
Pi zi P
四、组合形体的重心
1、分割法
如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而
此法适合于求桁架部分杆件的内力。
注:
（1）所有杆件均假设受拉。 （2）每次对象只能列出三个方程。 （3）合理确定坐标方位、矩心位置及方程次序。
两种方法并不 相互独立，可 配合使用。
二、桁架零力杆的判断方法
F N2
1、两杆相结，不共线，且节点
2
处没载荷，则此两杆均为零力杆。
工程力学--第六章 剪切和挤压(强度和连接件的设计)
τ =FQ/Aτ≤[τ]=τb/nτ τ τ
连接件、被连接件 连接件、
剪断条件
工件、 工件、连接件
2)强度条件是一种破坏判据。判据的左端是工作状 2)强度条件是一种破坏判据。 强度条件是一种破坏判据 态下的控制参量（如应力），由分析计算给出； ），由分析计算给出 态下的控制参量（如应力），由分析计算给出； 右端则应是该参量的临界值，由实验确定。 右端则应是该参量的临界值，由实验确定。 3) 利用强度条件，可以进行 利用强度条件， 强度校核、截面设计、确定许用载荷或选材。 强度校核、截面设计、确定许用载荷或选材。 4) 强度计算或强度设计的一般方法为： 强度计算或强度设计的一般方法为：
剪切的实用计算
(1)剪力计算
以铆钉连接为例，沿剪切面切开, 取部分铆钉研究， 以铆钉连接为例，沿剪切面切开, 取部分铆钉研究，受力 如图。 如图。
双剪： 双剪：Q=P/2
一个剪切面
二个剪切面
单剪： 单剪：Q=P
强度计算
假定剪力Q均匀分布在剪切面上， 假定剪力 均匀分布在剪切面上， 均匀分布在剪切面上 以平均剪应力作为剪切面上的名义剪应 则有： 力，则有： τ=Q/A
P/A τ=Q/A =
P
剪切强度条件： 剪切强度条件： τ=Q/A≤[τ]=τb/nτ ≤τ τ
是材料剪切强度，由实验确定； τb是材料剪切强度，由实验确定；nτ是剪切安全系数。
剪断条件：对剪板、冲孔等需要剪断的情况， 剪断条件：对剪板、冲孔等需要剪断的情况，应满足
τ=Q/A>τb τ
Байду номын сангаас
功率、 功率、转速与传递的扭矩之关系：
冲 头 N Q
P=400kN d t
P N=P 落 料
工程力学第六章杆件与结构的内力计算
M
M
弯矩为正
M
M
弯矩为负
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
FA
A
MA
FA
A
MA
2Fl
lC
l
FCs
l
C MC
2Fl
FCs
MC
C
l
F
B D
FCs F FCs F
M C Fl MC Fl
M C 2Fl Fl 0
F
B
D
FDs
MD
F
DB
FDs F MD 0
1.剪力、弯矩方程：
FS FS (x) M M (x)
F
拉杆
FF
F
压杆
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
物体在受到外力作用而变形时，其内部各 质点间的相对位置将有变化。与此同时，各质 点间相互作用的力也发生了改变。相互作用力 由于物体受到外力作用而引起的改变量，就是 附加内力，简称内力。
内力分析是解决构件强度，刚度与稳定
性问题的基础。
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
图和弯矩图。
q
解： 1、求支反力
A
x
B
l
FA
FB
由对称性知： ql
FA FB 2
ql / 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
FS
FS (x)
FA
qx
ql 2
qx
ql / 2
M (x)
FA x
qx2 2
qLx 2
qx2 2
M
ql2 / 8
FS ,max
ql 2
M max
ql 2 8
例题 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
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工程力学中的重心是指物体所受重力的合力作用点。文档首先介绍了重心坐标公式，用于计算物体的重心位有对称性的物体，可以直接查出或计算得出重心位置；组合法是将复杂形状物体分割成简单形状物体，利用重心坐标公式进行计算；负面积法则是针对物体或薄板内切去一部分的情况，切去部分取负值进行计算。文档还通过例题详细展示了如何应用这些方法进行重心计算，包括分割物体、计算各部分面积和坐标、利用公式求解等步骤。这些方法和例题有助于读者深入理解和掌握工程力学中的重心计算。