材力第4章弹性杆件横截面上的切应力分析
第4章 拉伸、压缩1234
σbc
σbc >>σbt
目 录
三、其它常用材料力学性能简介
（一）其它金属材料力学性能简介
σ
高强钢 低合金钢 低碳钢
σ0.2
02％ .
铝合金 黄铜
条件屈服极限： 条件屈服极限 σ0.2
ε
第六节 轴向拉伸和压缩时杆件的强度计算
一、极限应力 许用应力 安全因数 失效－构件不能正常工作。如发生断裂、塑性变形、弹性 构件不能正常工作。如发生断裂、塑性变形、 构件不能正常工作 大变形过大或稳定性不足等， 大变形过大或稳定性不足等，都将导致构件失效。 构件失效时的最小应力， 构件失效时的最小应力，称为极限应力 σ0
F
F
m
F
一截为二， 一截为二， 去一留一， 去一留一，
m
FN =F FN =F
平衡求力。 平衡求力。
F
三、轴力和轴力图
轴向拉( 轴向拉(压)时，其内力与杆轴线重合，称为轴力, 其内力与杆轴线重合，称为轴力, 用FN表示。 表示。 轴力符号规则：与截面外法线方向一致时为正； 轴力符号规则：与截面外法线方向一致时为正；否则为 负。 正的轴力表示拉伸，负的轴力表示压缩。 正的轴力表示拉伸，负的轴力表示压缩。 表示压缩
第二节 拉伸与压缩时横截面上的内力
一、内力的概念 物体内部各部分因相对位置改变而引起的 相互作用力。 相互作用力。 由于是载荷作用引起的内力称为附加内力，简称内力。 由于是载荷作用引起的内力称为附加内力，简称内力。 附加内力 内力 内力引起变形，起着传递外力的作用， 内力引起变形，起着传递外力的作用，随着 外力而改变,并与外力平衡。 外力而改变,并与外力平衡。 二、计算内力的截面法 （1）截面法
10
x
工程力学(静力学与材料力学)横弯剪应力
7.4.2 挤压的 实用计算
接触构件材料不同时，以低的 为准
挤压的概念
挤压（Bearing）：联接和被 联接件接触面相互压紧的现象 称“挤压”。下图就是铆钉孔 被铆钉压成长圆孔的情况。
精确理论复杂，采用工程算法， 假定挤压力均匀分布。
Bearing stress :塑性材料的许用挤压应力，一般 1.7~2.0 [б]
A *
x
Mzy, Iz
dx
dMzy Iz
其中
第7章B 弯曲
A*
强度(2)－应 F N d F N ´F N d x 0
力分析与强 度计算
FN * xdA, dFN * dxdA
A*
弯曲剪 A*
dFN*
应力分析
dxdA
A*
d x
dM z y Iz
1 dMz ydAFQSz*
Iz dx A*
第7章B 弯曲 强度(2)－应 力分析与强度
计算
弯曲强度计算
基于最大正应力的强度条件
与拉、压杆的强度设计相类似，工程设计中，为了保证梁具有足够 的安全裕度，梁的危险截面上的最大正应力必须小于许用应力，许用应力等 于s或b除以一个大于 1 的安全因数。于是有
m
a
x
s
ns
m
a x
b
nb
上述二式就是基于最大正应力的梁弯曲强度计算准则，又称为弯 曲强度条件，式中[]为弯曲许用应力；ns和nb分别为对应于屈服强度和强 度极限的安全因数。
q
8 kNm
C
A
B
FRA
FQ k N
FRB
22
x
M kNm
18 1800 16.2
x
单辉祖材力-4(第四章 扭转)
最大切应力发生在簧丝截 面内侧，其值为:
max max
d 8 FD 1 3 2D d
当D >> d 时, 略去 剪力的影响和簧圈 曲率的影响: 当D / d < 10 时, 或计 算精度要求较高时,须 考虑剪力和簧圈曲率 的影响:
max max
8 FD 3 d
8 FD 4 m 2 3 d 4 m 3
d
mD
§4-5 等直圆轴扭转时的变形•刚度条件
Ⅰ、扭转时的变形 ——两个横截面的相对扭转角 Me Me
a T O1 A b T O2 d b
a
D D' dx
扭转角沿杆长的变化率 d T d x GI p 相距d x 的微段两端截面间 相对扭转角为 T d dx GI p
即该轴满足强度条件。
14
例 实心圆截面轴Ⅰ和空心圆截面轴Ⅱ (= d2/D2 =0.8) 的材料、扭转力偶矩 Me 和长度l 均相同。试求在 两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1 之比以及两轴的重量比。 Me Me Ⅰ (a) l
d
Me D2 (b) l
d1
Ⅱ
Me
2
πd πD 4 W W 1 解 p1 p2 16 16 ： T1 M e 16 M e 1,max Wp1 Wp1 πd13 Me 16 M e T2 2,max 3 1 4 Wp 2 Wp 2 πD2
首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩 解 ： M M M M4 1 3 2 1 2 3 A
1
B
3
2
C
3
D
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9kN m 300 3 150 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78kN m 100 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37 kN m 300
材料力学第四章平面弯曲
得
∫ A ydA =0
M
dA
z
y z ζdA
My
横截面对中性轴 zdA 的面积矩为零， A 中性轴过形心。 E yzdA 0
A
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
E I E 2 ∫ AσdA· z ∫ A y dA = Mz= y = ρ ρ 1 Mz = EIz —— 梁的弯曲刚度 中性层曲率公式 EI ρ z
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz
max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁 中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4
第四章应力与应变关系
（4-3a）
广义虎克定律
在小变形条件下，应变分量都是微量，(a)式在应变 为零附近做Taylor展开后，忽略2阶以上的微量，例如
对 ， 可x 得：
x (f1)0(f1x)0x (f1y)0y (f1z)0z
( f1
yz
)0yz
(f1zx)0zx
(f1xy)0xy
广义虎克定律 展开系数表示函数在其对应变分量一阶导数在应变分 量等于零时的值，而 实( f 1 际) 0 上代表初应力，由于无初应 力假设 等于( f 1零) 0 。 其它分量类推，那么在小变形情况下应力与应变关系 式简化为：
3 t 2 3
和 称 为拉梅(Lame)弹性常数，简称拉梅常数
各向同性体的广义虎克定律
(三)最后通过坐标变换，进一步建立任意正交坐标系应 力与应变关系
在各向同性弹性体中，设 o为x y任z 意正交坐标系，它
的三个轴与坐标系 应O力12主3 轴的方向余弦分别为 、 (l1 ',m1和',n1 ') (l2，',m因2 ',n为2 ')1，(2l3，',m33 ',轴n3是') 主轴，主轴方向的 剪应变和剪应力等于零。 根据转轴时应力分量变换公式得
系O123各轴的方向余弦，知:
l1 n3 cos180 1 m2 cos0 1 l2 l3 m1 m3 n1 n2 cos90 0
各向同性体的广义虎克定律
因此新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该等
于零，且因各向同性时，弹性系数C41，C42和C43应
该不随方向面改变，故取 x, y分, z别为1′，2′和3′轴，同
上式作为虎克定律在复杂受力情况下的一个推广， 因此称为广义虎克定律。式中系数Cm n(m ,n1,是2, ,6) 物质弹性性质的表征，由均匀性假设可知这些弹性性 质与点的位置无关，称为弹性常数。上式也可以写成 矩阵形式
第四章材料力学性能
K C / H a
H E
0.4
0.129 c a
3 2
第四章 金属的断裂韧度 §3影响断裂韧性KIC的因素 一、内因（材料因素） 1）晶粒尺寸 晶粒愈细，晶界总面积愈大， 裂纹顶端附近从产生一定尺寸 的塑性区到裂纹扩展所消耗 的 能量也愈大，因此KIC 也愈高。 2）合金化 固溶使得KIC 降低； 弥散分布的第二相数量越多， 其间距越小， KIC 越低； 第二相沿晶界网状分布，晶界 损伤， KIC 降低；
KⅠ越大，则应力场各应力分量 也越大。 Ⅰ型裂纹应力场强度因子的一般 表达式为:
KⅠ Y a
§1线弹性条件下的金属断裂韧度 对于Ⅱ、Ⅲ型裂纹
KⅡ Y a
KⅢ Y a
Y 裂纹形状系数， 一般Y =l-2
当σ和a单独或共同增大时，KI 和裂纹尖端的各应力分量随之增 大,当KI增大到临界值时，也就是 说裂纹尖端足够大的范围内应力 达到了材料的断裂强度，裂纹便 失稳扩展而导致断裂。
1 2 3 2 5 2
W
2 7
W
9 2
§2断裂韧性KⅠC的测试 H、E、a、c分别是材料的维氏硬 度、弹性模量、压痕对角线与裂 纹 的长度； 在正方形压痕的四角，沿辐射方 Ф为约束因子（ Ф ≈3）。 通过压痕法求一系列的c，a值， 向出现 裂纹。 按上式的通式 若选用荷载适当，在压痕对角线 0.4 V K / H a H E u c a C 方向的抛面接近半圆形。一般要 求c≥2.5a。 以lna和lnc为变量进行拟合，求 根据压痕断裂力学理论，处于平 得u、V值； 衡状态的压痕裂纹尖端的残余应 应用所得u、V值于待测的同类材 力强度因子在数值上等于材料的 料上，再测a、c值，并利用已知 断裂韧性。 的H、E，可求得KIC 。
材料力学经典练习题(按章节汇总)
第一章 绪论一、是非判断题1.1 内力只作用在杆件截面的形心处。
( ) 1.2 杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和。
( ) 1.3 材料力学的研究方法与理论力学的研究方法完全相同。
( )1.4 确定截面内力的截面法，适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。
( ) 1.5 同一截面上各点的切应力τ必相互平行。
( ) 1.6 根据各向同性假设，可认为材料的弹性常数在各方向都相同。
( ) 1.7 同一截面上正应力σ与切应力τ必相互垂直。
( ) 1.8 同一截面上各点的正应力σ必定大小相等，方向相同。
( ) 1.9 根据均匀性假设，可认为构件的弹性常数在各点处都相同。
( ) 1.10 应变分为正应变ε和切应变γ。
( ) 1.11 应变为无量纲量。
( ) 1.12 若物体各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零。
( ) 1.13 平衡状态弹性体的任意部分的内力都与外力保持平衡。
( ) 1.14 若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。
( )1.15 题1.15图所示结构中，AD 杆发生的变形为弯曲与压缩的组合变形。
( ) 1.16 题1.16图所示结构中，AB 杆将发生弯曲与压缩的组合变形。
( )二、填空题1.1 拉伸或压缩的受力特征是 ，变形特征是 。
1.2 材料力学主要研究 受力后发生的 ，以及由此产生的 。
1.3 剪切的受力特征是 ，变形特征是 。
B题1.15图题1.16图1.4 扭转的受力特征是 ，变形特征是 。
1.5 构件的承载能力包括 ， 和 三个方面。
1.6 弯曲的受力特征是 ，变形特征是 。
1.7 组合受力与变形是指 。
1.8 所谓 ，是指材料或构件抵抗破坏的能力。
所谓 ，是指构件抵抗变形的能力。
所谓 ，是指材料或构件保持其原有平衡形式的能力。
1.9 根据固体材料的性能作如下三个基本假设 ， ， 。
材力习题册参考答案1
材力习题册参考答案(1第一章绪论一、选择题1．根据均匀性假设，可认为构件的在各处相同。
A．应力B．应变 C．材料的弹性系数D．位移2．构件的强度是指，刚度是指，稳定性是指。
A．在外力作用下构件抵抗变形的能力 B．在外力作用下构件保持原有平衡状态的能力 C．在外力作用下构件抵抗强度破坏的能力3．单元体变形后的形状如下图虚线所示，则A点剪应变依次为图(a) ，图(b)，图(c) 。
A．0 B．2r C．r D． 4.下列结论中( C )是正确的。
A．内力是应力的代数和； B．应力是内力的平均值；C．应力是内力的集度； D．内力必大于应力；5. 两根截面面积相等但截面形状和材料不同的拉杆受同样大小的轴向拉力，它们的应力是否相等。
A．不相等； B．相等； C．不能确定；6．为把变形固体抽象为力学模型，材料力学课程对变形固体作出一些假设，其中均匀性假设是指。
A. 认为组成固体的物质不留空隙地充满了固体的体积；B. 认为沿任何方向固体的力学性能都是相同的；C. 认为在固体内到处都有相同的力学性能；D. 认为固体内到处的应力都是相同的。
二、填空题1.材料力学对变形固体的基本假设是连续性假设，均匀性假设，各向同性假设。
2．材料力学的任务是满足强度，刚度，稳定性的要求下，为设计经济安全的构件- 1 -提供必要的理论基础和计算方法。
3．外力按其作用的方式可以分为表面力和体积力，按载荷随时间的变化情况可以分为静载荷和动载荷。
4．度量一点处变形程度的两个基本量是应变ε和切应变γ。
三、判断题1．因为构件是变形固体，在研究构件平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。
2．外力就是构件所承受的载荷。
3．用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任一部分进行平衡计算。
4．应力是横截面上的平均内力。
5．杆件的基本变形只是拉(压)、剪、扭和弯四种，如果还有另一种变形，必定是这四种变形的某种组合。
6．材料力学只限于研究等截面杆。
四、计算题1．图示三角形薄板因受外力作用而变形，角点B垂直向上的位移为，但AB和BC仍保持为直线。
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第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。
（A ）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B ）等截面圆轴；（C ）等截面圆轴与椭圆轴；（D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。
正确答案是 A 。
解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。
4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。
设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。
试判断下列结论的正确性。
（A ）max 1τ＞max 2τ；（B ）max 1τ＜max 2τ；（C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ；（D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。
正确答案是 C 。
解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。
4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。
关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。
（A ）234)1(α-； （B ）)1()1(2234αα--； （C ）)1)(1(24αα--； （D ）)1/()1(2324αα--。
正确答案是 D 。
解：由max 2max 1ττ=得 )1(π16π1643231α-=D M d M x x即 31421)1(α-=D d（1）)1(222212121α-==D d A A W W （2）（1）代入（2），得2324211)1(αα--=W W4-4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。
圆轴尺寸如图所示。
圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。
关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。
正确答案是 C 。
解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21γγ=，因212G G =，由剪切胡克定律得交界面上：212ττ=。
4-5 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN ·m 。
试求：习题4-4图习题4-5图1．轴横截面上的最大切应力； 2．轴横截面上半径r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉r = 15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
解：1．7.7006.0π1610316π333PPmax 1=⨯⨯⨯====d T W T W MxτMPa2． 4π2d π2d 4pp1rI M I M A M xxrA r⋅=⋅⋅=⋅=⎰⎰ρρρρτρ∴%25.6161)6015(161632π4π24π244444p 4==⨯==⋅==dr d r I r MM xr3． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==43pmax 2)21(116πdTW Mxτ4-6 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D 、壁厚均为δ，横截面上的扭矩均为T = M x 。
试： 1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力2max π2DMx δτ≈2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力DMxπ32max δτ≈3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。
解：1．δττD D A D M Axπ2d 2⋅⋅=⋅=⎰∴ 2π2DMx δτ=即：2max π2D Mx δτ=2．由课本（8－18）式 DMD MhbM xx x π3π33222max δδτ=⋅==4-7 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。
设实心轴半径为R 0，空心圆轴的内、外半径分别为R 1和R 2，且R 1/R 2 = n ，二者所承受的外扭转力偶矩分别为T s 和T h 。
若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：22hs 11nn T T +-=解：由已知长度和质量相等得面积相等：)(ππ212220R R R -=（1）2π16π30s 3s max R T d T ⋅==τ（2）)1(16)2(π432hmax n R T -=τ（3）由（2）、（3）式)1(4323hs n R R T T -=（4）习题4-7解图习题4-6图τ(a-1)(b-1) (a-2) maxmaxτ (b-2)习题4-9图(a)由（1） 212220R R R -= 代入（4）∴22222324232432232122hs 11)1)(1()1(1)1()1()(nn n n n nn n R R R T T +-=+--=--=--=4-8 图示三杆受相同的外扭转力偶作用。
已知T = 30N ·m ，且最大切应力均不能超过60MPa 。
试确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重量。
解：63m a x a 106016π⨯≤=d M x τ4.2910π60300161060π163636a =⨯⨯=⨯⨯≥T d mm 63b3b121m a x a 1060208.0⨯≤===dMdc M hbc Mxx x τ9.28m 02886.01060208.030036b ==⨯⨯≥d mm63c21m a x c 10602246.0300⨯≤⨯==d hbc Mx τ66.21m 02166.01060246.0230036c ==⨯⨯⨯≥d mm三者长度相同，重量之比即为面积之比。
816.0)02886.002942.0(4π4π22b2aba ===d d A A724.0)02166.002942.0(8π)(8π24π22c a 2c2aca ====d d d d A A∴127.1:1:816.0::c b a =A A A 1:887.0:724.0=4-9 直径d = 25mm 的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm 、壁厚δ=1.25mm 的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6N ·m 时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。
假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa 。
试：1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。
解：设轴受T = 73.6N ·m 时，相对扭转角为0ϕ， 且1p 0d d GI T x=ϕ （1）T 撤消后，管受相对扭转角2ϕ，则轴受相对扭转角201ϕϕϕ-=，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统平衡。
021ϕϕϕ=+ （2）2p 1p 1p GI l M GI l M GI Tl x x '+= （3） x x M M '= （4）∴ T I I I M x p21p 2p +=（5）2p2p12p 2p p2p12p max h D I I T W I I I TW Mx⋅+=⋅+==τ（6）1212441p 105.3834910)25(32π32π--⨯=⨯==d I12124444p21039392210)755.72(13275π)2(132π--⨯=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=D D D I δm 4将I p1、I p2值代入（6）得习题4-8图(a) (b) (c) (d) 习题4-14图管：38.610)3939225.38349(102756.73123max h =⨯+⨯⨯=--τMPa轴：86.21105.38349)3939225.38349(103939222256.732d )(2d 1232p 1p 1p 2p 1p max s =⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅+⋅=⋅=--I I I T I I Mxτ MPa4-10 关于弯曲切应力公式)/(*Q z z bI S F =τ应用于实心截面的条件，有下列论述，试分析哪一种是正确的。
（A ）细长梁、横截面保持平面；（B ）弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布； （C ）切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面； （D ）弹性范围加载，横截面保持平面。
正确答案是 B 。
解：公式)(*Q z z bI S F =τ推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力x σ则要求弯曲正应力公式成立；另外推导时在∑=0x F 时，应用了τ沿截面宽度均匀分布假设。
4-11 试判断梁横截面上的切应力作用线必须沿截面边界切线方向的依据是： （A ）横截面保持平面； （B ）不发生扭转；（C ）切应力公式应用条件； （D ）切应力互等定理。
正确答案是 D 。
4-12 槽形截面悬臂梁加载如图示。
图中C 为形心，O 为弯曲中心。
关于自由端截面位移有下列结论，试判断哪一种是正确的。
（A ）只有向下的移动，没有转动； （B ）只绕点C 顺时针方向转动；（C ）向下移动且绕点O 逆时针方向转动；（D ）向下移动且绕点O 顺时针方向转动。
正确答案是 D 。
4-13 等边角钢悬臂梁，受力如图所示。
关于截面A 的位移有以下论述，试分析哪一种是正确的。
（A ）下移且绕点O 转动； （B ）下移且绕点C 转动； （C ）下移且绕z 轴转动； （D ）下移且绕z '轴转动。
正确答案是 D 。
4-14 试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的。
正确答案是 A 。
4-15 四种不同截面的悬臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如图所示，图中O 为弯曲中心。
试分析哪几种情形下可以直接应用zz xI y M /-=σ和)/(*Q z zbI S F =τ计算横截面上的正应力和切应力。
（A ）仅（a ）、（b ）可以；（B ）仅（b ）、（c ）可以； （C ）除（c ）之外都可以； （D ）除（d ）之外都不可能。
正确答案是 D 。
习题4-12图习题4-13图习题4-16图qBR(a)z(d)z(e)习题4-17图4-16 梁的受力及横截面尺寸如图 所示。
试：1．绘出梁的剪力图和弯矩图；2．确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力；3．确定梁内横截面上的最大切应力； 4．画出横截面上的切应力流。
解：1．图（a ）：0=∑A M 04248R =⋅+⨯⨯-B F q 18R =B F kN0=∑y F ，22R =A F kN 剪力与弯矩图如图（b ）、（c ）； 2．形心C 位置mm 45.552060220801102060602080102080=⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=d46232323m m10855758.755.54206012206055.48020 12802045.452080122080⨯=⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=z I3m a x m a x 1045.55-+⨯⨯=zI M σ11410855758.71045.55102.16633=⨯⨯⨯⨯=--MPa 1331055.64 3maxmax=⨯⨯=--zI MσMPa3． 9*max 1085287245.3545.352045.452080-⨯=⨯⨯+⨯⨯=z S m 394.1110855758.7102010852871022 6393*maxQ max =⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---zz I S F δτMPa4．切应力流如图（e ）。