2021年高考高三数学一轮复习之 函数及其表示答案
时，f(x)＋f
x－1 2
＝(x＋1)＋
x－1＋1 2
，
原不等式化为 2x＋3>1，解得－1<x≤0，
2
4
当
0<x≤1时，f(x)＋f
x－1 2
＝2x＋
x－1＋1 2
，
2
原不等式化为 2x＋x＋1>1，该式恒成立， 2
当
x>1时，f(x)＋f 2
x－1 2
1
＝2x＋2x－2，
1
又 x>12时，2x＋2x－12>22＋20＝1＋ 2>1 恒成立，
聊城一中 2018 级高三数学一轮复习学案 4 答案
第二章 函数、导数及其应用
编制：韩朋林
第 1 讲 函数及其表示
辨析感悟：（1）√（2）×（3）×（4）√（5）√（6）√ (7) √(8) ×
例 1(1)C (2) 3 （3）[0,1) 解析：由 0≤2x≤2，得 0≤x≤1，又 x－1≠0，即 x≠1， 2
(3)当 x∈(－1,1)时，有 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
以－x 代替 x 得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去 f(－x)得，
f(x)＝2lg(x＋1)＋1lg(1－x)，x∈(－1,1)．
3
3
【训练 3】(1)2x2－4x＋3 (2)－xx＋1 2
2
2
2 2x
编制：韩朋林
所以 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=5.
3. [0,3)解析：因为函数 y＝ ax＋1 的定义域为 R，所以 ax2＋2ax＋3＝0 无实数解， ax2＋2ax＋3
即函数 y＝ax2＋2ax＋3 的图象与 x 轴无交点．当 a＝0 时，函数 y＝3 的图象与 x 轴无交点；当 a≠0
x
x
1，0<1<1， xx
对于②，f
1 x
＝1＋x＝f(x)，不满足；对于③，f x
1 x
＝
0，1＝1， x
－x，1>1， x
1
1，x>1， x
即 f x ＝ 0，x＝1，
－x，0<x<1，
1 故 f x ＝－f(x)，满足．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
∴－1≤a＜1. 2
x＋3 7 解析 代表人数与该班人数的关系是除以 10 的余数大于 6，即大于等于 7 时要增加一名，故 y＝ 10 .
2
【训练 1】(1) 3,1 (2)(－∞，2) （3）D
例 2 解析
(1)f
5 6
＝3×5－b＝5－b，
62
若5－b<1，即 b>3时，
2
2
则f
f
5 6
＝f
5－b 2
＝3
5－b 2
－b＝4，
解得 b＝7，不合题意舍去. 8
若5－b≥1，即 2
b≤3，则 2
5
22－b＝4，解得
b＝1. 2
(2)当
x≤0
【自主体验】1.②③
2.
因为 f(x)=
2x
+sin
1
x,所以 f(-x)= 2x 1 -sin
x=
2x 1
-sin
x,故
f(x)+f(-x)=2,
2
则有 f(2)+f(-2)=2,f(1)+f(-1)=2,而 f(0)=
+sin 0=1,
20 1
聊城一中 2018 级高三数学一轮复习学案 4 答案
所以 0≤x＜1，即 g(x)的定义域为[0,1)．
1
3
变式答案：[ ，1)∪(1， ]
2
2
解析 由函数 y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]，得函数 y＝f(x)的定义域为[1,3]，
1≤2x≤3， 1 3
1
3
令
得 ≤x≤ 且 x≠1，∴g(x)的定义域为[ ，1)∪(1， ]．
x－1≠0，
2
2
2
∴x2＞10，即 x＞ 10或 x＜－ 10，∴x＞ 10.
答案 1
(1，2)∪( 10，＋∞)
8 解析 由已知得 0<a<1，则 f(a)＝ a，f(a＋1)＝2a， 所以 a＝2a，解得 a＝1或 a＝0(舍去)，
4
－1，＋∞
综上可知，不等式的解集为 4
.
－1，＋∞ 答案 (1)D (2) 4
训练 2 解析 (1)由题意知 f(1)＝12＋2＝3，
因此 f[f(1)]＝f(3)＝3＋ 1 ＝4. 3－2
答案 (1)C (2)C
例 3. (1)令2＋1＝t，由于 x＞0，∴t＞1 且 x＝ 2 ，
x
t－1
∴f(t)＝lg 2 ，即 f(x4)＝2(4－1)＝6. 答案 C
9 解析 f(1)＝2e0＝2，f(f(1))＝f(2)＝log3(4－1)＝1.当 x＜2 时，f(x)＞2 即 ex－1＞1＝e0， ∴x＞1，∴1＜x＜2.当 x≥2 时，f(x)＞2 即为 log3(x2－1)＞2＝log332，
t－1
x－1
(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又 f(0)＝c＝3.
∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
4a＝4， ∴
a＝1， ∴
4a＋2b＝2，
b＝－1，
∴f(x)＝x2－x＋3.
时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得 0<a<3.综上所述，a 的取值范围是[0,3)．
4.f(x)＝2 x＋1 5.C 33
解析
1－2a>0， 要使函数 f(x)的值域为 R，需使
ln 1≤1－2a＋3a，
a<1， ∴2
a≥－1，
即 a 的取值范围是[－1，1)． 2
6. ①③
1
解析 对于①，f(x)＝x－1，f x ＝1－x＝－f(x)，满足；
2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业4函数及其表示含解析苏教版
第二章 函数、导数及其应用课时作业4 函数及其表示一、选择题1．下列所给图象是函数图象的个数为( B)A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.2．函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg (x ＋1)的定义域为( B )A ．(－1,3]B ．(－1,0)∪(0,3]C ．[－1,3]D ．[－1,0)∪(0,3]解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得x ∈(－1,0)∪(0,3]．故选B.3．如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( D ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，得a ＝2.故选D.4．下列函数满足f (log 32)＝f (log 23)的是( C ) A ．f (x )＝2x ＋2－xB ．f (x )＝x 2＋2xC ．f (x )＝x 2＋1xD ．f (x )＝x －1x ＋1解析：由于log 32＝1log 23，故问题等价于满足f (x )＝f (1x )的函数．对于A 选项，f (1x )＝21x＋2－1x ≠f (x )，不符合题意．对于B 选项，f (1x )＝1x 2＋2x ≠f (x )，不符合题意．对于C 选项，f (x )＝x ＋1x ，f (1x )＝1x ＋x ＝f (x )，符合题意．对于D 选项，f (1x )＝1x －11x ＋1＝1－x1＋x ≠f (x )，不符合题意．故选C.5．(2020·广东华南师大附中月考)已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数g (x )＝f (2x －1)ln (1－x )的定义域是( B )A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(0,1]解析：由题意，函数f (x )的定义域为[－1,1]，即－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1，又g (x )满足1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0,1)，故选B.6．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( A ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，故f (x )＝4x －1，则f (a )＝4a －1＝6，解得a ＝74.7．已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝( C ) A.98 B ．94C.92D ．9解析：∵f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，∴f (3)＝2f ⎝⎛⎭⎫32＝2×⎝⎛⎭⎫322＝92. 8．(2020·山东聊城一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－f (x －2)，x >2，e x －1＋x 2，x ≤2，则f (2 019)＝( C ) A ．2 B ．1eC ．－2D ．e ＋4解析：因为当x >2时，f (x )＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，故f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，因此当x >2时，函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2 019)＝f (3＋4×504)＝f (3)＝－f (1)，又当x ≤2时，f (x )＝e x －1＋x 2，所以f (2 019)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.故选C.二、填空题9．(2020·湖南郴州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a log 3x ，x >0，1－x ，x ≤0，若f (f (－2))＝－2，则a ＝－2.解析：f (f (－2))＝f (3)＝a ＝－2.10．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝2x ＋7. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ，所以ax ＋5a ＋b ＝2x＋17对任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.11．(2020·河南南阳月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，则不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]．解析：由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，当x >0时，令3＋log 2x ≤5， 即log 2x ≤2＝log 24，解得0<x ≤4； 当x ≤0时，令x 2－x －1≤5， 即(x －3)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤3， ∴－2≤x ≤0.∴不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]． 12．函数y ＝x 2x 2－x ＋1的值域是⎣⎡⎦⎤0，43. 解析：若x ＝0，则y ＝0；若x ≠0， 则y ＝1⎝⎛⎭⎫1x 2－⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝1⎝⎛⎭⎫1x －122＋34∈⎝⎛⎦⎤0，43. 故所求值域为⎣⎡⎦⎤0，43. 13．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为[－2,0]∪(4,60]．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]． 三、解答题14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式．(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图．15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1<x <0，2x ，x ≥0.若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( D ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：由题意得a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a ， 解得a ＝14，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝8，当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，不成立．故选D.16．(2020·贵州六盘水调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)，2x ＋2(x <0)，若f (t ＋1)>f (2t －4)，则t 的取值范围是(－∞，5)．解析：如图，画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)，2x ＋2(x <0)的大致图象，可知函数f (x )是增函数，若f (t ＋1)>f (2t －4)，则只需要t ＋1>2t －4，解得t <5.17．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2. (1)求f (2)，f (3)，f (4)的值． (2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2 014)f (2 013)＋f (2 016)f (2 015)＋f (2 018)f (2 017)的值． 解：(1)因为∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2，所以f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4，f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8， f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)方法1：由(1)知f (2)f (1)＝2，f (4)f (3)＝2，f (6)f (5)＝2，…，f (2 018)f (2 017)＝2，故原式＝2×1 009＝2 018.方法2：对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，故f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2 018)f (2 017)＝2，故原式＝2×1 009＝2 018.。
(2021年整理)高三数学一轮复习练习题--函数及其表示有详细答案
高三数学一轮复习练习题--函数及其表示有详细答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高三数学一轮复习练习题--函数及其表示有详细答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时作业（二)函数及其表示A 级1．函数y＝错误!的值域为（）A．R B．错误!C。
错误!D．错误!2．(2012·江西卷)下列函数中,与函数y＝错误!定义域相同的函数为（）A．y＝错误!B．y＝错误!C．y＝x e x D．y＝错误!3．(2012·杭州模拟）设函数f(x）＝错误!，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝( ）A．－3 B．±3C．－1 D．±14．(2012·安徽卷）下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x）的是（)A．f(x)＝｜x｜B．f（x)＝x－｜x｜C．f(x)＝x＋1 D．f（x）＝－x5．已知函数f（x)＝错误!，则f（2 013)＝( ）A．2 010 B．2 011C．2 012 D．2 0136．函数f（x）＝错误!的定义域为________．7．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f（1）＝f(2）＝0，则f（－1)＝________。
8．图中的图象所表示的函数的解析式f(x)＝________.9．（2012·珠海模拟)若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数F（x）＝1－2f（x＋3）的值域是________．10．已知函数f（x)＝2x－1,g（x)＝错误!，求f（g(x)）和g（f（x））的解析式．11．设x≥0时,f(x)＝2；x〈0时，f（x)＝1，又规定：g(x）＝3f x－1－f x－22(x〉0）,试写出y＝g(x)的解析式，并画出其图象．B 级1．已知函数f（x)满足f(x）＋2f(3－x）＝x2,则f(x)的解析式为( )A．f(x）＝x2－12x＋18 B．f（x)＝13x2－4x＋6C．f(x）＝6x＋9 D．f(x）＝2x＋32．(2012·枣庄模拟）对于实数x，y，定义运算x*y＝错误!,已知1］2)的序号为________．(填写所有正确结果的序号)①错误!*错误!②－错误!*错误!③－3错误!＊2错误!④32＊(－2错误!)3．规定[t]为不超过t的最大整数，例如［12.6］＝12,［－3.5]＝－4,对任意实数x，令f1（x）＝［4x]，g(x)＝4x－［4x]，进一步令f2（x)＝f1[g（x）]．（1）若x＝716，分别求f1（x）和f2（x)；(2)若f1(x）＝1，f2(x）＝3同时满足,求x的取值范围．详解答案课时作业(二)A 级1．D ∵x2＋2≥2，∴0〈错误!≤错误!.∴0<y≤错误!.2．D 函数y＝错误!的定义域为｛x｜x≠0}，选项A中由sin x≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A 不对；选项B中x＞0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为｛x|x≠0}，故选D。
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第6讲 函数及其表示
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第6讲函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．➢考点1 函数的概念[名师点睛]（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同1．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（2）（3）C ．（1）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足. 故选：C.2．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，()f x ，()g x 是同一函数的是（ ）A ．()2f x x =，()4g x x =B ．()2log a f x x =，()2log a g x x =C ．()4121x x f x -=-，()21x g x =+D ．()11f x x x --()11g x x x --【答案】D 【解析】解：对于A 选项，()2f x x =的定义域为R ，()4g x x =的定义域为[)0,∞+，故不满足；对于B 选项，()2log a f x x =的定义域为{}0x x ≠，()2log a g x x =的定义域为()0,∞+，故不满足；对于C 选项，()4121x x f x -=-的定义域为{}0x x ≠，()21xg x =+的定义域为R ，故不满足；对于D 选项，()f x ，()g x 的定义域均为{}1，对应关系均为0y =，故是同一函数.故选：D [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =f (x )的图象与直线1x =的交点个数（ ） A ．至少1个B ．至多1个C ．仅有1个D ．有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】若1不在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =没有交点， 若1在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =有1个交点， 故选：B.2．（2022·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y =x -1和y =211x x -+B ．y =x 0和y =1C ．f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2D ．f (xg (x 【答案】D 【解析】对于A ，函数y =x -1定义域是R ，函数y =211x x -+定义域是(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，A 不是；对于B ，0y x =定义域是(,0)(0,)-∞+∞，函数y =1定义域是R ，B 不是；对于C ，()2f x x =和()2(1)g x x =+对应法则不同，C 不是；对于D ，f (x和g (x (0,)+∞，并且对应法则相同，D 是.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．1y =与0y x =B ．y x =与2y =C ．22log y x =与22log y x =D ．1ln 1xy x+=-与()()ln 1ln 1y x x =+-- 【答案】D 【解析】对于A ：1y =定义域为R ，0y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确；对于B ：y x =定义域为R ，2y =的定义域为{}|0x x ≥，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确；对于C ：22log y x =的定义域为{}|0x x >，22log y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确； 对于D ：由101xx +>-可得()()110x x +-<，解得：11x -<<，所以1ln 1x y x+=-的定义域为{}|11x x -<<，由1010x x +>⎧⎨->⎩可得11x -<<，所以函数()()ln 1ln 1y x x =+--的定义域为{}|11x x -<<且()()1ln 1ln 1ln1xy x x x+=+--=-，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确， 故选：D.➢考点2 函数的定义域[典例]1．（2022·北京·模拟预测）函数()()=-的定义域是_______．lg2f x x【答案】1[,2)2- 【解析】 由题意可得，21020x x +≥⎧⎨->⎩，解之得122x -≤<则函数()()lg 2f x x =-的定义域是1[,2)2- 故答案为：1[,2)2-2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的定义域是[0,8]，则函数()g x =义域是（ ）A ．(1,32)B ．(1,2)C ．(1,32]D ．(1,2] 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =的定义域是[0,8]， 所以04802,,12101x x x x x ≤≤≤≤⎧⎧∴∴<≤⎨⎨->>⎩⎩.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（ ）A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题设，若1t x =+，则(1,1)t ∈-，∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-，故其定义域为(0,1). 故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(12,0)-B ．(12,0]-C ．1(,)3+∞D ．1(,]3-∞ 【答案】B 【解析】∵()f x =的定义域为R ，∴只需分母不为0即可，即230ax ax +-≠恒成立， （1）当0a =时，30恒成立，满足题意，（2）当0a ≠时，24(3)0a a ∆=-⨯-<，解得120a -<<， 综上可得120a -<≤. 故选：B. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =13x -的定义域为（ ） A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3，＋∞)D ．(3，＋∞)【答案】C 【解析】要使函数y =13x -有意义，则 所以x x -≥-≠⎧⎨⎩23030，解得32x ≥且3x ≠，所以函数y =13x -的定义域为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪(3，＋∞). 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）函数y 22x ππ-≤≤)的定义域是（ ）A ．,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,26ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．,02π⎡-⎫⎪⎢⎣⎭D ．,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A由题意，得512sin 0log (12sin )022x x x ππ⎧⎪->⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩，则1sin 212sin 122x x x ππ⎧<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩，即sin 022x x ππ≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，∴[,0]2x π∈-.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)=-y f x 的定义域为[]1,3，则函数()3log y f x =的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．[]1,9C ．[]0,2D ．[]0,9 【答案】B 【解析】由[]1,3x ∈，得[]10,2x -∈， 所以[]3log 0,2x ∈，所以[]1,9x ∈． 故选：B ．4．（2022·全国·高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数()Jzzx x 定义域为[211,985]，则函数 ()shuangyiliu x (2018)(2021)Jzzx x Jzzx x =+的定义域为（ ）A ．211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．211985,20212018⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．211985,20182018⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．211985,20212021⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由抽象函数的定义域可知，21120189852112021985x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得21198520182021x， 所以所求函数的定义域为211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =R ，则m 的取值范围是（ ）A ．12m -<<B ．12m -<≤C ．12m -≤≤D ．12m -≤< 【答案】C 【解析】由题意得：()()231104m x m x +-++≥在R 上恒成立.10m +=即1m =-时，()f x =10m +≠时，只需()()2101310m m m +>⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩， 解得：12m -<≤， 综上：1,2m ，故选：C .6．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数()f x =___________.【答案】(,0]-∞【解析】解：由1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，所以0x ≤，所以函数的定义域为(,0]-∞，故答案为：(,0]-∞7．（2022·全国·高三专题练习）函数y =的定义域是R ，则a 的取值范围是_________． 【答案】[)0,4【解析】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立． ①当0a =时，则10>恒成立，0a ∴=符合题意；②当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<．综上可得04a ≤<，∴实数a 的取值范围为[)0,4． 故答案为：[)0,4.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =R ，则a的范围是________． 【答案】[1,5) 【解析】当1a =时，()1f x =，即定义域为R ；当1a ≠，要使()f x 的定义域为R ，则2()(1)(1)10g x a x a x =-+-+>在x ∈R 上恒成立，∴()()210{1410a a a ->∆=---<，解得15a <<， 综上，有15a ≤<， 故答案为：[1,5)➢考点3 函数解析式[典例]1.(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为________________．(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．【答案】(1)f(x)＝x2－1(x≥1)(2)f(x)＝x2－x＋3(3)f(x)＝2x【解析】(1)方法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1.因为x＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3， 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. 所以⎩⎨⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x .2．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f (x )的解析式． （1）f (x )是一次函数，且满足f (f (x ))=4x －3；（2）已知f (x )满足2f (x )+f (1x)=3x ，求f (x )的函数解析式．（3）已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)． 【解】（1）因为f (x )是一次函数，所以设()()0f x kx b k =+≠，所以()()()2f f x k kx b b k x kb b =++=++，又因为f (f (x ))=4x －3，所以243k x kb b x ++=-，故243k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩或23k b =-⎧⎨=⎩，所以()21f x x =-或()23f x x =-+；（2）将1x 代入()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此()()123132fx f x x ff x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得()()120f x x x x=-≠. (3)令x ＝0，得f (－y )＝f (0)－y (－y ＋1)＝1＋y 2－y=()()21y y -+-+，所以f (y )＝y 2＋y ＋1，即f (x )＝x 2＋x ＋1.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()()2211x f x x x =≠-+B ．()()2211xf x x x =-≠-+ C ．()()211x f x x x =≠-+D ．()()211x f x x x =-≠-+ 【答案】A 【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+ ，所以()()222112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 所以()()2211xf x x x =≠-+，故选：A. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ﹣1）＝x 2+2x ﹣3，则f （x ）＝（ ） A ．x 2+4x B ．x 2+4C ．x 2+4x ﹣6D ．x 2﹣4x ﹣1 【答案】A【解析】()()()22123141f x x x x x -=+-=-+-，所以()24f x x x =+.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且2()2()f x f x x x +-=-，则()f x =（ ）A ．223x x +B ．223x x +C ．2223x x+D ．23x x +【答案】D【解析】令x 为x -，则2()2()f x f x x x -+=+， 与2()2()f x f x x x +-=-联立可解得，2()3x f x x =+．故选：D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是一次函数，满足()()98f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =- C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 【答案】AD 设()f x kx b =+，由题意可知()()()298f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以298k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得32k b =⎧⎨=⎩或34k b =-⎧⎨=-⎩，所以()32f x x =+或()34f x x =--. 故选：AD.5．（2022·山东济南·二模）已知函数2()23f x x x =--+，则(1)f x +=______． 【答案】24x x -- 【解析】解：因为2()23f x x x =--+，所以()()22(+1)+12+143f x x x x x =--+-=-，(1)f x +=24x x --.故答案为：24x x --.6．（2022·全国·高三专题练习）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x =_________【答案】23x +或29x --. 【解析】因为()f x 为一次函数，所以设()()0f x kx b k =+≠，所以()()()()21f f x f kx b k kx b b k x b k =+=++=++⎡⎤⎣⎦， 因为()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，所以()2149k x b k x ++=+恒成立， 所以()2419k b k ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：23k b =⎧⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩，所以()23f x x =+或()29f x x =--， 故答案为：23x +或29x --.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数)25f x =+，则()f x 的解析式为_______【答案】()()212f x x x =+≥【解析】2t +=，则2t ≥，且()22x t =-， 所以()()()2224251f t t t t =-+-+=+，()2t ≥所以()()212f x x x =+≥，故答案为：()()212f x x x =+≥.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数f (x )对x ≠0的一切实数都有f (x )＋2f (2020x)＝3x ，则f (x )＝_________. 【答案】4040()f x x x=- 【解析】 因为()202023f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，可得()2020232020x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()()2020232020232020f x f x x x f f x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得4040()f x x x=-. 故答案为：4040()f x x x=-. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()323f x f x x --=，则()f x =___________.【答案】3x【解析】因为()()323f x f x x --=，所以()()323f x f x x --=-，同除以2得()()31322f x f x x --=-，两式相加可得()33322f x x =，即()3f x x =.故答案为：3x .10．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()f x 是二次函数且(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，求()f x ；（2）已知1()2(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，求()f x .【解】（1）∵f （x ）为二次函数，∴f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵f （0）＝c ＝2，∵f （x +1）﹣f （x ）＝x ﹣1，∴2ax +a +b ＝x ﹣1，∴a 12=，b 32=-， ∴f （x ）12=x 232-x +2． （2）∵()12f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，①，∴f （1x ）+2f （x ）1x=，② ①-②×2得：﹣3f （x ）＝x 2x-， ∴2()(0)33xf x x x =-≠➢考点4 分段函数1．（2022·广东梅州·二模）设函数()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，则()()22log 6f f -+=（ ） A ．2B ．6C ．8D ．10 【答案】B 【解析】 解：因为()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，所以()()2log 61222log 83,log 623f f --====，所以()()22log 66f f -+=. 故选：B.2．（2022·山东潍坊·模拟预测）设函数()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()8f =（ ）A ．10B ．9C ．7D ．6【答案】C 【解析】因为()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()()()()()()()812913107f f f f f f f =====.故选：C.3．（2022·浙江省江山中学高三期中）已知[]1,1∈-a ，函数()()()22sin 2, 21,π⎧⎡⎤-≤⎪⎣⎦=⎨-++>⎪⎩x a x a f x x a x a x a 若()() 1=f f a ，则=a _______.【答案】1-或34【解析】()()()01f f a f ==,当01a ≤≤时，()()0sin 21π=-=f a ，得14a k =--，故34a =；当10a -≤<时，()201f a ==，故1a =-.故答案为：34a =或1a =-.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知0a >，且1a ≠，函数()()2log 21,0,0a xx x f x a x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()12f f -=，则=a ___________，()4f x ≤的解集为___________.【答案】∞⎛- ⎝⎦【解析】①由题可知，()()()()121log 212a f f f a a ---==+=，则2221a a -=+，即4220a a --=，解得22a =，故a =②当0x 时，())2214f x x=+，解得602x；当0x <时，()4x f x =恒成立.故不等式的解集为∞⎛- ⎝⎦.∞⎛- ⎝⎦. [举一反三]1．（2022·山东·济南一中高三阶段练习）已知函数()()21,13,1xx f x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩,则()9f =（ ） A ．2B ．9C ．65D ．513 【答案】A 【解析】()09(93)(6)(3)(0)212f f f f f =-====+=,故选：A2．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()()1,221,2xx f x f x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则()2log 12f =（ ）A ．13B ．6-C ．16D ．3- 【答案】A 【解析】因为()2log 31,2∈，则()22log 122log 33,4=+∈，所以()()()()22log 31log 322211log 122log 3log 3223f f f -⎛⎫=+==== ⎪⎝⎭，故选：A.3．（2022·安徽安庆·二模）已知函数()()()lg ,10R 10,01axx x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩且()12f =，则()41log 310f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（ ） A．1-．1-．1．1【答案】A【解析】∵()1102a f ==，∴lg 2a =,由()()()lg ,10R 10,01ax x x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩，知()()lg ,102,01x x x f x x ⎧--≤<=⎨≤≤⎩. 于是()241log 3log log 32411log 3lg 2121211010f f ⎛⎫--=-=--=--=- ⎪⎝⎭故选:A4．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦___________. 【答案】-2【解析】因为()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()()22323log 32f f f ---===-⎡⎤⎣⎦ 故答案为：-25．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增， ()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<，又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立； ③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-； ()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-， ()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 6．（2022·浙江省临安中学模拟预测）设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则=a __________，1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】146 【解析】 若01a <<，则112a <+<，由()()1f a f a =+，得()211a a =+-，即24a a =， 解得：0a =（舍去）或14a =；若1a ≥，由()()1f a f a =+，得()()21211a a -=+-，该方程无解.综上可知，14a =，()()142416f f a =⎛⎫ =⎪-⎝=⎭ 故答案为：14； 67．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知函数，则()()1f f =___________；方程()1f x =的解集为___________． 【答案】 1 {1,e}【解析】()()()()11e e,1e lne 1f f f f =====，()1,1e 10x x f x x ≤=⇒=⇒=， ()1,1ln 1e x f x x x >=⇒=⇒=， {}0,e .x ∴∈故答案为：1；{}0,e .8．（2022·浙江·高三专题练习）已知()23log ,1,,1,x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()(2)f f -=______；若()1f x <，则x 的取值范围是______.【答案】 3 ()1,2-【解析】因为()32(2)8f -=--=， ()()()328l g 8o 3f f f ∴-===，当1x <时，()31f x x =-<，得11x -<<，当1≥x 时，()2log 1f x x =<，得12x ≤<， 故x 的取值范围是()1,2-故答案为：3；()1,2-.9．（2022·浙江浙江·二模）设a ∈R ，函数33(0)()log (0)ax x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．则(9)f =________；若1273f f ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 2 [)3,∞-+【解析】3(9)log 92f ==， 311log 133f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由()31132733a f f f -⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a -≤，所以3a ≥- 故答案为：2；[)3,∞-+。
高考数学一轮复习：函数与方程(Word版,含解析)
函数与方程基础练一、选择题1．[2021·河南濮阳模拟]函数f (x )＝ln2x －1的零点所在区间为( )A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(0,1)D ．(1,2)2．函数f (x )＝x 2＋ln x －2021的零点个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．03．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B ．C ．(1,2) D ．(2,3)4．[2021·四川绵阳模拟]函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)5．[2021·大同调研]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]二、填空题6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 7．[2021·新疆适应性检测]设a ∈Z ，函数f (x )＝e x ＋x －a ，若x ∈(－1,1)时，函数有零点，则a 的取值个数为________．8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，求m 的取值范围．能力练11．[2021·天津部分区质量调查]已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B.⎝⎛⎭⎫34，1C.⎝⎛⎭⎫34，2D.⎝⎛⎭⎫32，212．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤01x ，x >0，若方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4－23)B ．(4－23，4＋23)C ．(0,4－23]D ．(0,4－23)13．[2021·山西省六校高三阶段性测试]函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(－15≤x ≤10)的图象与函数y＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2图象的所有交点的横坐标之和为______．参考答案：1．解析：由f (x )＝ln2x －1，得函数是增函数，并且是连续函数，f (1)＝ln2－1<0，f (2)＝ln4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f (x )的零点位于区间(1,2)上，故选D.答案：D2．解析：由题意知x >0，由f (x )＝0得ln x ＝2021－x 2，画出函数y ＝ln x 与函数y ＝2021－x 2的图象(图略)，即可知它们只有一个交点．故选C.答案：C3．解析：设f (x )＝e x －(x ＋2)，则f (1)＝－0.28<0，f (2)＝3.39>0，故方程e x －x －2＝0的一个根在区间(1,2)内．故选C.答案：C4．解析：由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C 项． 答案：C5．解析：h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，即方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f (x )的图象和直线y ＝－x ＋a ，如图所示，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点，则有a >1，故选B.答案：B 6．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－127．解析：根据函数解析式得到函数f (x )是单调递增的．由零点存在性定理知若x ∈(－1,1)时，函数有零点，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)>0⇒1e －1<a <e ＋1，因为a 是整数，故可得a 的可能取值为0,1,2,3.答案：48．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点．令f (x )＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0,1]．答案：(0,1]9．解析：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0,1)．10．解析：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2. (2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)>0，g (2)<0，g (4)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋m >0，2－2m <0，10－4m >0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，52. 11．解析：假设a <b <c ，通过作图可得a ∈⎝⎛⎭⎫－12，0，b ＋c ＝2，所以a ＋b ＋c ∈⎝⎛⎭⎫32，2，故选D 项．答案：D12．解析：方程f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根可化为函数y ＝f (x )与y ＝a (x ＋3)的图象有四个不同的交点，易知直线y ＝a (x ＋3)恒过点(－3,0)，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合函数图象，可知a >0且直线y ＝a (x ＋3)与曲线y ＝－x 2－2x ，x ∈[－2,0]有两个不同的公共点，所以方程x 2＋(2＋a )x ＋3a ＝0在[－2,0]上有两个不等的实数根，令g (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋3a ，则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2＋a )2－12a >0－2<－2＋a 2<0g (0)＝3a ≥0g (－2)＝a ≥0，解得0≤a <4－23，又a >0，所以实数a 的取值范围是(0,4－23)，故选D.答案：D 13．解析：函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5(x ∈R )的图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2，当x ＝－1时，y ＝0，当x ≠－1时，易知函数y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2＝5x ＋1＋1x ＋1在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且当x ∈(－1，＋∞)时，y ＝5(x ＋1)x 2＋2x ＋2的最大值为52，函数图象关于点(－1,0)对称．对于函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π5x ＋π5，当x ＝0时，y ＝5sin π5>5sin π6＝52，所以在(－1,0)内两函数图象有一个交点．根据两函数图象均关于点(－1,0)对称．可知两函数图象的交点关于点(－1,0)对称，画出两函数在[－15,10]上的大致图象，如图，得到所有交点的横坐标之和为－1＋(－2)×3＝－7.答案：－7。
2021高考数学一轮复习第1讲函数及其表示学案含解析.doc
第二章函数、导数及其应用第1讲函数及其表示[考纲解读] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(重点)3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.1．函数及有关概念(1)函数的概念设A，B是□01非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的□02任意一个数x，在集合B中都有□03唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作□04y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的□05定义域；与x的值相对应的y值叫做□06函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的□07值域．(3)函数的三要素：□08定义域、□09对应关系和□10值域．(4)相等函数：如果两个函数的□11定义域和□12对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有□01解析法、□02图象法和□03列表法．3．分段函数(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的□01对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(2)分段函数的相关结论①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的□02并集，值域等于各段函数的值域的□03并集．1．概念辨析(1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( ) (2)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．小题热身 (1)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)答案 C解析 由⎩⎨⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3，所以已知函数的定义域为⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞)． (2)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1答案 B解析 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．(3)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f [f (1)]的值为( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2 答案 C解析 f (1)＝21－4＝－2，f [f (1)]＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2.(4)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________，值域是________，其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．(图中，曲线l 与直线m 无限接近，但永不相交)答案 [－3,0]∪[1,4) [1，＋∞) [1,2)∪(5，＋∞)解析 观察函数y ＝f (x )的图象可知，f (x )的定义域为[－3,0]∪[1,4)，值域是[1，＋∞)，当y ∈[1,2)∪(5，＋∞)时，只有唯一的x 值与之对应．(5)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________. 答案5x ＋1x 2(x ≠0) 解析 令t ＝1x ，则t ≠0，x ＝1t ，f (t )＝⎝⎛⎭⎫1t 2＋5·1t ＝5t ＋1t 2.所以f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．题型一 函数的定义域1．函数y ＝lg (2－x )12＋x －x 2＋(x －1)0的定义域是( )A ．{x |－3＜x ＜1}B ．{x |－3＜x ＜2且x ≠1}C ．{x |0＜x ＜2}D ．{x |1＜x ＜2}答案 B解析要使函数解析式有意义，须有⎩⎨⎧2－x ＞0，12＋x －x 2＞0，x －1≠0，解得⎩⎨⎧x ＜2，－3＜x ＜4，x ≠1，所以－3＜x ＜2且x ≠1.故已知函数的定义域为{x |－3＜x ＜2且x ≠1}．2．函数f (x )的定义域是[2，＋∞)，则函数y ＝f (2x )x －2的定义域是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得⎩⎨⎧2x ≥2，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2，所以函数y ＝f (2x )x －2的定义域是[1,2)∪(2，＋∞)．3．(2020·安阳三校联考)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4]答案 D解析 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎨⎧m ＞0，m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上可得，0≤m ≤4.1.函数y ＝f (x )的定义域2.抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．如举例说明2中f (x )的定义域是[2，＋∞)，f (2x )中x 应满足2x ≥2.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域. 3.已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．如举例说明3.(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围.1.函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为( )A.[1,10] B ．[1,2)∪(2,10] C.(1,10] D ．(1,2)∪(2,10]答案 D解析要使原函数有意义，则⎩⎨⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.2.(2020·东北师大附中摸底)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1 B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，32 D.⎣⎡⎦⎤1，32 答案 C解析由题意得⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12，32. 3.已知函数y ＝1kx 2＋2kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________.答案 [0,3)解析 当k ＝0时，y ＝13，满足条件；当k ≠0时，由⎩⎨⎧ k ＞0，4k 2－12k ＜0，得0＜k ＜3.⎩⎨⎧k <0，4k 2－12k <0，无解.综上，0≤k ＜3.题型二 求函数的解析式1.已知f ⎝⎛⎭⎫2x －1＝lg x ，则f (x )＝________. 答案 lg2x ＋1(x >－1) 解析 令t ＝2x －1，则由x >0知2x －1>－1，x ＝2t ＋1，所以由f ⎝⎛⎭⎫2x －1＝lg x ，得f (t )＝lg 2t ＋1(t >－1)，所以f (x )＝lg2x ＋1(x >－1). 2.已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2，则f (x )＝________. 答案 x 2－2(x ≥2或x ≤－2)解析 因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 且当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2，所以f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2).3.已知f (x )是二次函数且f (0)＝5，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案12x 2－32x ＋5 解析 因为f (x )是二次函数且f (0)＝5， 所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0). 又因为f (x ＋1)－f (x )＝x －1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋5－(ax 2＋bx ＋5)＝x －1，整理得(2a －1)x ＋a ＋b ＋1＝0，所以⎩⎨⎧2a －1＝0，a ＋b ＋1＝0，解得a ＝12，b ＝－32，所以f (x )＝12x 2－32x ＋5.4.已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 答案 2x －1x(x ≠0)解析 因为2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①所以将x 用1x 替换，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x ，② 由①②解得f (x )＝2x －1x (x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x (x ≠0).求函数解析式的四种方法1.若函数f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x ＋3，则函数f (x )的解析式为________. 答案 f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3，∴f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.2.已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则函数f (x )的解析式为________. 答案 f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 解法一：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，且x ＋1≥1.∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).解法二：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)．代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1).题型三 分段函数角度1 求分段函数的函数值1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 5x ，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫125等于( ) A.4 B.14 C ．－4 D ．－14答案 B解析 f ⎝⎛⎭⎫125＝log 5125＝－2，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫125＝f (－2)＝14. 角度2 分段函数与方程、不等式的综合问题2.设函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ＋a ，x <1，2x ，x ≥1，若f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫23＝4，则实数a ＝( ) A.－23B ．－43C.－43或－23D ．－2或－23答案 A解析 因为23<1，所以f ⎝⎛⎭⎫23＝4×23＋a ＝a ＋83. 若a ＋83≥1，即a ≥－53时，2a ＋83 ＝4，即a ＋83＝2⇒a ＝－23>－53(成立)；若a ＋83<1，即a <－53时，则4a ＋323＋a ＝4，即a ＝－43>－53(舍去)，综上a ＝－23.3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C.(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎨⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)．故选D.1.求分段函数的函数值 (1)基本步骤①确定要求值的自变量属于哪一区间. ②代入该区间对应的解析式求值. (2)两种特殊情况①当出现f [f (a )]的形式时，应从内到外依次求值．如举例说明1.②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．如举例说明2，求出f ⎝⎛⎭⎫23后再求f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫23要分类讨论. 2.解分段函数与方程或不等式综合问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围.1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －2，x ≤1，－lg x ，x >1，则f [f (－4)]＝________.答案 －1解析 f [f (－4)]＝f (16－4－2)＝f (10)＝－1.2.函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )≤a ，则实数a 的取值范围是________.答案 [－1，＋∞)解析 当a ≥0时，由f (a )＝12a －1≤a ，解得a ≥－2，所以a ≥0；当a <0时，由f (a )＝1a ≤a ，解得－1≤a ≤1且a ≠0，所以－1≤a <0.综上所述，实数a 的取值范围是[－1，＋∞).3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.答案 －34解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不符合题意．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意.。
2021高三数学(理)一轮复习专练4函数及其表示含解析
2021高三数学（理）人教版一轮复习专练4函数及其表示含解析专练4函数及其表示命题范围：函数的概念及其表示、映射、函数的对应法则、函数的定义域、值域．[基础强化]一、选择题1．已知集合A到集合B的映射f：（x，y)→(x＋2y，2x－y）,在映射f下对应集合B中元素(3，1)的A中元素为(）A．(1,3) B．（1，1）C．（3，1）D．（5,5)2．下列各组函数中，表示同一函数的是（)A．f（x）＝|x｜,g（x)＝错误!B．f（x）＝错误!,g（x）＝（错误!)2C．f（x)＝x2－1x－1，g(x）＝x＋1D．f（x）＝x＋1·错误!，g(x）＝错误!3．已知函数f（错误!＋1）＝x＋1,则函数f(x)的解析式为（）A．f(x）＝x2B．f（x）＝x2＋1（x≥1)C．f(x）＝x2－2x＋2(x≥1）D．f（x)＝x2－2x（x≥1)4．函数y＝错误!的定义域为（)A．(－∞，1］B．［－1，1]C．［1,2）∪(2，＋∞）D。
错误!∪错误!5．若函数y＝f（x）的定义域为［1,2 019］,则函数g（x）＝错误!的定义域为（）A．［0，2 018］B．［0,1）∪(1，2 018］C．(1,2 018] D．[－1,1)∪(1，2 018]6．[2020·葫芦岛一中测试]已知f(x）是一次函数,且f［f(x)］＝x＋2，则函数f(x)＝()A．x＋1 B．2x－1C．－x＋1 D．x＋1或－x－17．[2020·邢台一中测试]如图所表示的函数解析式为(）A．y＝错误!｜x－1｜,0≤x≤2B．y＝错误!－错误!|x－1|,0≤x≤2C．y＝32－|x－1|,0≤x≤2D．y＝1－|x－1｜，0≤x≤28．已知函数f（x)＝错误!若f(a）＋f(1)＝0，则实数a的值等于（)A．－4 B．－1C．1 D．49．已知函数f(x）＝－x2＋4x，x∈[m，5］的值域是［－5，4]，则实数m的取值范围是(）A．（－∞,－1) B．（－1,2]C．[－1，2］D．［2，5]二、填空题10．函数f（x)＝错误!的定义域为________．11．[2020·广东珠海测试］已知函数f（x）＝错误!且f(a)＝－3，则f（6－a)＝________。
2021高考一轮复习 第四讲 函数及其表示
2021高考一轮复习 第四讲 函数及其表示一、单选题(共11题；共55分)1．（5分）若定义在R 的奇函数f(x)在 (−∞,0) 单调递减，且f(2)=0，则满足 xf(x −1)≥0 的x 的取值范围是（ ） A ．[−1,1]∪[3,+∞) B ．[−3,−1]∪[0,1] C ．[−1,0]∪[1,+∞)D ．[−1,0]∪[1,3]2．（5分）已知函数 f(x)={x 3,x ⩾0,−x,x <0.若函数 g(x)=f(x)−|kx 2−2x| (k ∈R) 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−12)∪(2√2,+∞)B ．(−∞,−12)∪(0,2√2)C ．(−∞,0)∪(0,2√2)D ．(−∞,0)∪(2√2,+∞)3．（5分）已知函数 f(x)={lgx,x ≥1−lg(2−x),x <1， g(x)=x 3 ，则方程 f(x)=g(x −1) 所有根的和等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．（5分）设函数 y =f(x) 在R 上有意义，对给定实数N ，定义函数 f N (x)={f(x),f(x)≤NN,f(x)>N，则称函数 f N (x) 为 f(x) 的“孪生函数”，若给定函数 f(x)=2−x 2 ， N =−1 ，则 y =f N (x) 的值域为（ ） A ．[1,2]B ．[−1,2]C ．(−∞,1]D ．(−∞,−1]5．（5分）已知函数 f(x)=1−x 2 ， g(x)=msin(π6x)+2−m(m >0) ，若存在 x 1,x 2∈[0,1] ，使得 f(x 1)≥g(x 2) 成立，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．[1,4)C ．[1,+∞)D ．(0,4)6．（5分）已知函数 f(x)={log 2x,x >03x ,x ≤0，则 f[f(14)] 的值是（ ） A ．14B ．4C ．19D ．√37．（5分）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y =x 2−1x−1 与 y =x +1B ．y =1 与 y =x 0C ．y =√x 2−1 与 y =x −1D ．y =x 与 y =log a a x (a >0且a ≠1)8．（5分）已知函数f （x+2）＝x 2，则f （x ）等于（ ）A ．x 2+2B ．x 2-4x+4C ．x 2-2D ．x 2+4x+49．（5分）函数 f(x) 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．f(x)=x 2−12xB ．f(x)=2x (|x|−1)C ．f(x)=|ln|x||D ．f(x)=xe x −110．（5分）设函数 f(x)={x 2−2(x ≥2)log 2x(x <2)，若 f(m)=7 ，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．-3D ．311．（5分）下列与函数 y =1√x定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．y =2log 2xB ．y =log 2(12)xC ．y =log 21xD ．y =x 14二、填空题(共7题；共7分)12．（1分）函数 f(x)=1x+1+lnx 的定义域是 ． 13．（1分）函数f （x ）= √e x −1 的定义域为 。
2021年高考数学一轮总复习 1.2函数及其表示课时作业 文(含解析)新人教版
2021年高考数学一轮总复习 1.2函数及其表示课时作业文（含解析）新人教版一、选择题1．(xx·嘉兴调研)设集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是( )A. B.C. D.解析：利用函数的定义，要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A中函数的定义域是[－2,0)，C中任一x∈[－2,2)对应的值不唯一，D中的值域不是N，故选B.答案：B2．已知f：x→－sin x是集合A(A⊆[0,2π])到集合B＝{0，12}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有( )A．4个B．5个C．6个D．7个解析：由－sin x＝0，得sin x＝0.又x∈[0,2π]，故x＝0或π或2π；由－sin x＝12，得sin x＝－12 .又x ∈[0,2π]，故x ＝7π6或11π6.选B. 答案：B3．(xx·江西卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥0，2－x，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14 B.12 C ．1D ．2 解析：因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1， 解得a ＝14.答案：A4．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：在2f (x )－f (－x )＝3x ＋1①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，∴f (x )＝x ＋1. 答案：B5．图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1| (0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1| (0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1| (0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1| (0≤x ≤2)解析：取x ＝1，则y ＝32，只有B 、C 满足．取x ＝0，则y ＝0，在B 、C 中只有B 满足，所以选B.答案：B6．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系，用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为y ＝[x ＋310]．答案：B 二、填空题7．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则函数f (3)＝________.解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：118．(xx·浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝__________.解析：当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＞0，f (f (a ))＜0，显然不成立；当a ＞0时，f (a )＝－a 2，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，则a ＝±2或a ＝0，故a ＝ 2.答案： 29．(xx·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ex －1，x ＜1，x 13 ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x的取值范围是__________．解析：当x＜1时，由e x－1≤2得x≤1＋ln2，∴x＜1；当x≥1时，由x 13≤2得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是x≤8.答案：(－∞，8]三、解答题10．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)＞2x＋5.解析：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1＞2x＋5，即x2－3x－4＞0，解得x＞4或x＜－1.故原不等式解集为{x|x＞4或x＜－1}．11．函数f(x)对一切函数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝x(x＋2y＋1)成立，且f(1)＝0，(1)求f(0)的值；(2)试确定函数f(x)的解析式．解析：(1)令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y＝0，则f(x)－f(0)＝x(x＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x＋1)＋f(0)＝x(x＋1)－2＝x2＋x－2.12．已知函数f(x)＝满足f(c2)＝9 8 .(1)求常数c的值；(2)解不等式f(x)＞28＋1.解析：(1)因为0＜c＜1，所以c2＜c，由f(c2)＝98，即c3＋1＝98，c＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，0＜x ＜122－4x＋1，12≤x ＜1由f (x )＞28＋1得，当0＜x ＜12时， 解得24＜x ＜12， 当12≤x ＜1时，解得12≤x ＜58， 所以f (x )＞28＋1的解集为{x |24＜x ＜58}．32889 8079 聹 39140 98E4 飤k31103 797F 祿 29679 73EF 珯35652 8B44 譄 33697 83A1 莡732804 8024 耤27531 6B8B 残Kj。
2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：第二章 第1讲 函数及其表示 Word版含答案
第1讲函数及其表示一、知识梳理1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．[注意]函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．二、习题改编1．(必修1P23练习T2改编)下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )答案：C2．(必修1P18例2改编)下列哪个函数与y ＝x 相等( ) A ．y ＝x 2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x )3答案：D一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( )(2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (4)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区(1)对函数概念理解不透彻； (2)解分段函数不等式忽视范围．1．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B.对于A.函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B.定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C.函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x <1，3x －5，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为 ．解析：当x <1时，|x |≥1，所以x ≥1或x ≤－1. 所以x ≤－1；当x ≥1时，3x －5≥1，所以x ≥2.所以x ≥2；所以x 的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)函数的定义域(多维探究) 角度一求函数的定义域(2020·辽宁鞍山一中一模)函数f (x )＝14－x 2＋ln(2x ＋1)的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，2 B.⎣⎡⎭⎫－12，2 C.⎝⎛⎦⎤－12，2 D.⎝⎛⎭⎫－12，2 【解析】 要使函数f (x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2>0，2x ＋1>0，解得－12<x <2.所以函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，2.故选D. 【答案】 D求函数定义域的两种方法连接，而应该用并集符号“∪”连接．角度二 已知函数的定义域求参数若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是 ．【解析】 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0， 解得0<m ≤4. 综上可得0≤m ≤4. 【答案】 [0，4]已知函数定义域求参数取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．1．函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，2) C ．(0，2)D ．[1，2]解析：选B.要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0，解得1<x <2. 所以函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1，2)． 2．如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选D.因为－2x ＋a >0， 所以x <a 2，所以a2＝1，所以a ＝2.3．(2020·山东安丘质量检测)已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋8－2x的定义域为( )A ．[0，3]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，3]解析：选A.由题意，可知x 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，8－2x ≥0，解得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0，3]，故选A.函数的解析式(师生共研)(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为 ．(2)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为 ． (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )的解析式为 ． 【解析】 (1)(换元法)令2x ＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x .【答案】(1)f(x)＝lg2x－1(x＞1)(2)f(x)＝x2－x＋3(3)f(x)＝2x 求函数解析式的4种方法1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝ ． 解析：法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝ ．解析：因为－1≤x ≤0，所以0≤x ＋1≤1，所以f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．答案：－12x (x ＋1)分段函数(多维探究) 角度一 求分段函数的函数值(1)(2020·合肥一检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( ) A ．－12B ．2C ．4D ．11(2)(2020·山西太原三中模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1（x ≥2），log 2x （0<x <2），若f (m )＝3，则f ⎝⎛⎭⎫52－m ＝ ．【解析】 (1)因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C.(2)当m ≥2时，m 2－1＝3，所以m ＝2或m ＝－2(舍)； 当0<m <2时，log 2m ＝3，所以m ＝8(舍)． 所以m ＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫52－m ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 【答案】 (1)C (2)－1分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度二 分段函数与方程、不等式问题(1)(一题多解)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)【解析】 (1)法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1， 所以f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ， 所以a ＝14.此时f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1＞1，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6，故选C.法二：因为当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数， 当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数， 又f (a )＝f (a ＋1)， 所以a ＝2(a ＋1－1)， 所以a ＝14.所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝6.(2)法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.法二：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)． 故选D.【答案】 (1)C (2)D有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：选B.由题意得f ⎝⎛⎭⎫43＝2×43＝83. f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23＝43. 所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝4.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D.当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为a 2＋a －3a >0，解得a >2.当a <0时．不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为－a 2－2a <0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．3．(2020·安徽安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1<x <0，2x ，x ≥0.若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ ．解析：由题意得a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a .解得a ＝14，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝8，当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，无解． 答案：8核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．(2020·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3； ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④【解析】 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.【答案】 C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解.1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．2．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ； 以上三个函数中， 是“优美函数”．解析：由条件(1)，得f (x )是R 上的奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调递减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”．答案：②[基础题组练]1．函数y ＝1ln （x －1）的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(1，2)∪(2，＋∞)D ．(1，2)∪[3，＋∞)解析：选C.由ln(x －1)≠0，得x －1>0且x －1≠1.由此解得x >1且x ≠2，即函数y ＝1ln （x －1）的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B.74C.43D ．－43解析：选B.令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.3．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x ≤0），f （x －3）（x >0），则f (5)的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．0D.12解析：选D.f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝12.故选D.4．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( ) A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)解析：选C.f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝ ，函数f (x )的值域是 ．解析：因为f (2)＝12，所以f (f (2))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－12－2＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0，1)， 当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， 所以f (x )∈[－3，＋∞)． 答案：－52[－3，＋∞)6．若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤27．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是 ．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－（x －1）2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4，2]． 答案：[－4，2] 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0. (2)f (x )的图象如图所示．[综合题组练]1．(2020·海淀期末)下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x（x >0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.①y ＝3－x 的定义域与值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x （x >0）的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.2．(创新型)设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.3．(2020·宁夏银川一中一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x＋1，x ≤0，－x ，x >0，则f (x ＋1)－9≤0的解集为 ．解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧2－x＋1，x ≤0，－x ，x >0，所以当x ＋1≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，2－（x ＋1）－8≤0，解得－4≤x ≤－1；当x ＋1>0时，⎩⎨⎧x >－1，－x ＋1－9≤0，解得x >－1.综上，x ≥－4，即f (x ＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)． 答案：[－4，＋∞)4．(创新型)设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x －1；③f (x )＝ln(2x ＋3)；④f (x )＝2sin x －1. 其中是“美丽函数”的序号有 ．解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x 都存在着y ，使x 所对应的函数值f (x )与y 所对应的函数值f (y )互为相反数，即f (y )＝－f (x )．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.答案：②③。
2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解3-1函数的概念及其表示（含答案）
2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解3-1 函数的概念及其表示（含答案）专题3.1 函数的概念及其表示【考纲解读与核心素养】1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 5．高考预测：（1）分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．（2）函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.6.备考重点：（1）理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法；（2）以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.【知识清单】1．函数的概念函数两个集合A，B 设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【典例剖析】高频考点一 函数的概念【典例1】（2020·洪洞县第一中学高三期中（文））下面各组函数中是同一函数的是（ ）A ．y =y =B ．2y =与y x=C ．y =与y =D ．()221f x x x =--与()221g t t t =--【答案】D 【解析】因为选项A 中，对应关系不同，选项B 中定义域不同，对应关系不同，选项C 中，定义域不同，选项D 中定义域和对应法则相同，故选D.【典例2】在下列图形中，表示y 是x 的函数关系的是________．【答案】①②【解析】由函数定义可知，自变量x 对应唯一的y 值，所以③④错误，①②正确．【规律方法】函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．【变式探究】1.x R ∈，则()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A.()2f x x =，()g x = B.()1f x =，()()1g x x =-C.()f x =，()g x =D.()293x f x x -=+， ()3g x x =-【答案】C【解析】A 中:()g x =2x x =≠;B 中:()()()110g x x x =-=≠;C 中：，()f x =1,0{ 1,0x x >=-< ，()g x = 1,0{ 1,0x x >=-<；D 中： ()()29333x f x x x x -==-≠-+,因此选C.2.（2018届江西省检测考试（二））设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（）A. B.C.D.【答案】B【解析】因为定义域为，所以舍去A;因为值域为，所以舍去D;因为对于定义域内每一个x 有且只有一个y 值，所以去掉C ；选B.【易混辨析】1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．2.从图象看，直线x=a 与图象最多有一个交点.高频考点二：求函数的定义域【典例3】（2019·江苏高考真题）函数y =_____.【答案】[1,7]-.【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【典例4】（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]- ，则(21)y f x =-的定义域是（ ）A ．[0,52]B ．[1,4]-C ．[5,5]-D ．[3,7]-【答案】A 【解析】因为函数(1)y f x =+定义域是[2,3]-所以114x -≤+≤所以1214x -≤-≤，解得：502x ≤≤故函数(21)y f x =-的定义域是[0,52]故选：A【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是()A.[]0,2 B.1[1]3， C.[-15]，D.无法确定【答案】C 【解析】由已知02x ≤≤，1315x ∴-≤-≤，即函数()f x 的定义域是[-15]，，故选：C ．【规律方法】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【变式探究】1.（2019·山东省章丘四中高三月考）函数1()lg(1)f x x =+的定义域为（ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]【答案】C【解析】1011()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪=+⇒+≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩故答案选C2．（2020·福建省福州第一中学高三）已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f x g x x =-的定义域为（）A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C 【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f x g x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩ 解得01x ≤<故答案为C【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．高频考点三：求函数的解析式【典例6】（2019·天津南开中学高一期中）设函数()f x满足1()11xf xx-=++，则()f x的表达式为（）A．2211xx-+B．221x+C．21x+D．11xx-+【答案】C 【解析】设11xtx-=+，则11txt-=+，所以12()111tf tt t-=+=++，所以2()1f xx=+，故选C．【典例7】（2019·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知二次函数()2f x ax bx c=++，满足()02f=，()()121 f x f x x+-=-.（1）求函数()f x的解析式；（2）求()f x在区间[]1,2-上的最大值；（3）若函数()f x在区间[],1a a+上单调，求实数a的取值范围.【答案】（1）()222f x x x=-+；（2）5；（3）(][),01,-∞⋃+∞.【解析】（1）由()02f=，得2c=，由()()121f x f x x+-=-，得221ax a b x++=-，故221aa b=⎧⎨+=-⎩，解得12ab=⎧⎨=-⎩，所以()222f x x x =-+.（2）由（1）得：()()222211f x x x x =-+=-+，则()f x 的图象的对称轴方程为1x =，又()15f -= ，()22f =，所以当1x =-时()f x 在区间[]1,2-上取最大值为5.（3）由于函数()f x 在区间[],1a a +上单调，因为()f x 的图象的对称轴方程为1x =，所以1a ≥或11a +≤，解得：0a ≤或1a ≥，因此a 的取值范围为：(][),01,-∞⋃+∞.【规律方法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1(f x 或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．5.应用题求解析式可用待定系数法求解．【变式探究】1.（2018届安徽省安庆市第一中学）已知单调函数，对任意的都有，则()A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】设，则，且，令，则，解得，∴，∴．2．（2020·江苏省高三专题练习）已知2()(1)()2f x f x f x +=+，(1)1f =，（x N +∈），()f x =__________．【答案】21x +【解析】()()()212f x f x f x +=+11111111(1)1(1)(1)()2()(1)222x x x f x f x f x f +⇒=+⇒=+-⨯=+-⨯=⇒+()21f x x =+高频考点四：求函数的值域【典例8】（2019·浙江省镇海中学高一期中）函数()()10f x x x x =+<的值域为（）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞+∞ C ．(],2-∞-D ．R【答案】C 【解析】当0x <时，0x ->，()12f x x x ⎛⎫∴=---≤-=- ⎪⎝⎭（当且仅当1x x -=-，即1x =-时取等号），()f x ∴的值域为(],2-∞-.故选：C .【典例9】（2020·甘肃省武威十八中高三期末（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()112x x e f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是__________【答案】{}1,0-依题意()111111221x x x e f x e e +-=-=-++，由于11x e +>，故11112212x e -<-<+，即()f x 的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是{}1,0-.故填：{}1,0-.【典例10】（2020·辽河油田第二高级中学高二月考）函数()f x x=的值域是________________．【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】函数()f x x=+，令0t t =≥则21122x t =-，则()2211112222f t t t t t =+-=+-()21112t =+-，0t ≥.由二次函数性质可知，在[)0,t ∈+∞内单调递增，所以当0t =即12x =-时取得最小值，最小值为12-，因而()1,2x f ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【规律方法】函数值域的常见求法：(1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．(2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）(4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )；若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．dx ＋c ③形如y ＝x ＋(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数kx y ＝x ＋(k ＞0)的单调减区间为(0，]，单调增区间为[，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋(k ＞0，x ＞0)叫k x k k k x 做对勾函数，其图象的转折点为(，2)，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．k k *(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．高频考点五：分段函数及其应用【典例11】（2019·永济中学高一月考）已知5,6()(2),6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(3)f 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】(3)(32)(52)752f f f =+=+=-=故选：A【典例12】（2018届湖北省5月）设函数，若，则实数的值为（ ）A.B.C. 或D.【解析】因为，所以所以选B.【典例13】（2018年新课标I 卷文）设函数，则满足的x 的取值范围是（ ）A.B.C.D. 【答案】D 【解析】将函数的图象画出来，观察图象可知会有，解得，所以满足的x 的取值范围是，故选D.【典例14】（2020·上海高三）若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.【变式探究】1.（2020·辽宁省高三二模（理））设函数21log (2),1(),1x x x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则(2)(ln 6)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】由题意，函数21log (2),1(),1x x x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则ln 62(2)(ln 6)1log [2(2)]1269f f e -+=+--+=++=.故选：C.2.（2020·浙江省高三二模）已知函数()231,0,2,0,x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩若存在唯一的整数x ，使得()()0x f x a ⋅-<成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a ≤≤B ．01a ≤<或28a <≤C ．28a <≤D ．11a -<<或28a <≤【答案】B【解析】如图所示，画出函数()f x 图像，当0x >时，()()0x f x a ⋅-<，即()f x a <，故()()12f a f <≤，即23131a -<≤-，即28a <≤；当0x =时，易知不满足；当0x <时，()()0x f x a ⋅-<，即()f x a >，故()01a f ≤<-，即()011a f ≤<-=.综上所述：01a ≤<或28a <≤.故选：B.3.（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________．【答案】.【解析】由，得或，得或，即得取值范围是，故答案为.4．（2020·江苏省高三月考）已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f fa⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.【易错提醒】因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．。