概率统计与数学期望
高中数学备课教案概率与统计中的期望与方差
高中数学备课教案概率与统计中的期望与方差高中数学备课教案主题：概率与统计中的期望与方差导语：概率与统计是数学中的一个重要分支，它帮助我们理解随机事件的发生规律，并能够对未知事件进行预测。
在本次备课教案中，我们将重点关注概率与统计中的期望与方差，深入探讨其概念、计算方法和实际应用。
1. 期望的概念和计算方法1.1 期望的定义期望是一种统计指标，常用于衡量一个随机变量的平均取值水平。
1.2 期望的计算方法（这里可以根据教学需要，结合具体题型讲述计算方法，例如离散型随机变量的期望计算公式、连续型随机变量的期望计算公式等）1.3 期望的实际应用（这里可以介绍期望在实际问题中的应用，如游戏中的期望值、股票投资中的期望收益等）2. 方差的概念和计算方法2.1 方差的定义方差是衡量一个随机变量的取值偏离其期望值的程度。
2.2 方差的计算方法（这里可以介绍方差的计算公式及其推导过程，例如离散型随机变量的方差计算公式、连续型随机变量的方差计算公式等）2.3 方差的实际应用（这里可以介绍方差在实际问题中的应用，如风险评估中的方差、品质控制中的方差等）3. 期望与方差的联系3.1 期望与方差的关系期望和方差是概率与统计中两个重要的概念，它们在一定程度上反映了随机事件的特征。
3.2 期望和方差的计算方法比较（这里可以比较期望和方差的计算方法，分析它们的异同点，并结合具体例题进行讲解）3.3 期望与方差的实例分析（这里可以通过一个具体的实例，让学生理解期望和方差的联系和应用，如某种产品销售量的期望和方差，通过分析期望和方差可以得到该产品的销售趋势等）结语：概率与统计中的期望和方差是数学中重要的概念和工具，在实际应用中具有广泛的意义。
通过本节课的学习，学生将深入了解期望和方差的概念和计算方法，并能够将其运用到实际问题中。
希望本教案能够帮助学生更好地掌握概率与统计中的期望和方差知识，并提升他们的数学思维能力和应用能力。
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
概率论与数理统计第一节随机变量的数学期望
2. 连续型随机变量函数的数学期望的求法：
(1)设X的概率密度为f ( x)，则Y g( X )的数学期望为：
EY E[g( X )] g( x) f ( x)dx.
(2) 设( X，Y )的概率密度为f ( x，y)，则Z g( X，Y )的数学期望为：
EZ E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy.
0
1 3
.
(3)
E(X 2)
x2 f ( x)dx
1 2x3dx
0
1 2
x4
1 0
1 2
.
2. 连续型随机变量函数的数学期望的求法：
(1)设X的概率密度为f ( x)，则Y g( X )的数学期望为：
EY E[g( X )] g( x) f ( x)dx.
(2) 设( X，Y )的概率密度为f ( x，y)，则Z g( X，Y )的数学期望为：
0
0
(
xex
)
0
exdx
0
1
e x
0
1
.
(3) 正态分布N(, 2)的数学期望
设X服从正态分布，其概率密度为：
f (x)
1
( x )2
e
2 2
,
x ,
2
则 EX .
证明：E( X )
xf ( x)dx
＋
x
( x )2
e 2 2 dx
2
令t
x
1
(t
)e
t2 2
dt
甲： 环数 8
9 10 乙： 环数 8
9 10
P 0.4 0.2 0.4
P 0.2 0.5 0.3
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
高中数学知识点总结及公式大全概率与统计中的期望与方差计算与应用
高中数学知识点总结及公式大全概率与统计中的期望与方差计算与应用高中数学知识点总结及公式大全：概率与统计中的期望与方差计算与应用概率与统计是高中数学中的重要分支，它是数学与现实生活相结合的一门学科。
在概率与统计中，期望与方差是举足轻重的两个概念。
本文将为您总结概率与统计的基本概念、公式以及期望和方差的计算与应用。
一、基本概念1. 概率：指事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示。
概率的范围在0和1之间，0表示不可能事件，1表示必然事件。
2. 随机变量：将样本空间中每一个样本赋予一个实数值的函数，通常用大写字母X表示。
3. 概率分布：描述随机变量各个取值的概率情况的函数。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布。
二、常用公式1. 期望：用来描述随机变量平均取值的大小。
对于离散随机变量X，期望的计算公式为E(X) = Σ(x·P(X=x))，其中x为随机变量的取值，P(X=x)为该取值的概率。
对于连续随机变量X，期望的计算公式为E(X) = ∫(x·f(x))dx，其中f(x)为概率密度函数。
2. 方差：用来描述随机变量取值的离散程度。
对于离散随机变量X，方差的计算公式为Var(X) = Σ((x-E(X))^2·P(X=x))；对于连续随机变量X，方差的计算公式为Var(X) = ∫((x-E(X))^2·f(x))dx。
三、期望与方差的计算1. 期望的计算方法：a. 对于离散随机变量：根据期望的计算公式，计算每个取值的概率乘以相应取值的结果，然后将这些结果相加即可。
b. 对于连续随机变量：根据期望的计算公式，计算每个取值的概率密度函数乘以相应取值的结果，然后对这些结果进行积分即可。
2. 方差的计算方法：a. 对于离散随机变量：先计算每个取值与期望的差的平方乘以相应取值的概率，然后将这些结果相加即可。
b. 对于连续随机变量：先计算每个取值与期望的差的平方乘以相应取值的概率密度函数，然后对这些结果进行积分即可。
概率论与数理统计课件数学期望EX
Mathematical Expectation 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 7 1 2 2 1 1 90 85 80 75 60 7 7 7 7 7 79.3
1 所以 k 2
1 xdx k 4 2k 1 2
3 1
f X ( x)
f ( x , y )dy
1 xydy 2 x 2 1
3
1
所以
2 x f X ( x) 0
x [0,1] 其它
y [1, 3] 时
fY ( y )
连续型随机变量
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则
若广义积分 X 的数学期望
xf ( x )dx 绝对收敛, 则称此积分为
即
E( X )
x f ( x)dx
数学期望的计算
例 已知随机变量X的密度函数为
1 f ( x) 1 x 2 0
1
（３）另解
E( X )
3
xf ( x , y )dxdy
3 1
1
0
1
dx
1
1 x xydy 2
1
无需求 边缘分布密度函数
0
2 x 2 xdx 3
E (Y )
1
yf ( x , y )dxdy
高二数学概率与统计中的期望与方差的应用
高二数学概率与统计中的期望与方差的应用概率与统计作为数学的重要分支之一，在高中数学课程中占据着重要的地位。
而其中的期望与方差更是概率与统计中的重要概念，具有广泛的应用价值。
本文将探讨高二数学概率与统计中的期望与方差的应用。
一、期望的应用期望是指一个随机变量所有可能取值的加权平均值。
在实际生活中，期望有许多应用。
首先，期望可以用来计算平均值。
例如，在一次掷骰子的实验中，骰子有6个面，每个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6，每个数字出现的概率相等。
那么，掷一次骰子，出现的数字的期望就是(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。
这意味着在多次重复的实验中，出现的数字的平均值接近于3.5。
其次，期望可以用来评估投资的回报率。
假设某股票有两种可能的收益，收益1的概率为0.6，收益2的概率为0.4，对应的收益分别为100元和200元。
那么，这只股票的期望收益就是0.6 * 100 + 0.4 * 200 = 160元。
这意味着在多次投资中，每次投资的平均回报为160元。
此外，期望还可以应用于赌博的分析。
例如，在轮盘赌中，轮盘共有36个数字，其中18个为红色，18个为黑色。
假设赌徒每次下注5元，并且下注的数字与轮盘最终停在的数字相同，则赌徒获胜，获得10元的收益；反之，输掉下注的5元。
那么，赌徒在一次下注中的期望收益就是(18/36 * 10) + (18/36 * (-5)) = 0元。
这意味着在多次下注中，赌徒每次下注的平均回报为0元。
二、方差的应用方差是衡量随机变量离其期望值有多远的统计量。
在实际问题中，方差也有着广泛的应用。
首先，方差可以用来度量一个样本的离散程度。
例如，在某考试中，某班级的学生总成绩对应的随机变量为X，其期望值为E(X)，方差为Var(X)。
在这个班级中，学生的总成绩越分散，说明学生之间的差异越大，方差就越大。
而方差越小，则说明学生的总成绩越接近平均水平，差异性越小。
其次，方差可以用于风险评估。
概率论与数理统计第四章 第一节 数学期望
第四章 随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可.例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩.第一节 数学期望教学目标：掌握数学期望的概念，以及其性质与计算。
教学重点：数学期望的概念、性质及计算。
教学难点：数学期望的计算 教学内容：一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征, 它对评判事物、作出决策等具有重要作用. 定义 设X 是离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i如果∑∞=1i ii p x 绝对收敛, 则定义X 的数学期望(又称均值)为 .)(1∑∞==i ii p x X E二、连续型随机变量的数学期望定义 设X 是连续型随机变量, 其密度函数为)(x f ,如果⎰∞∞-dx x xf )(绝对收敛, 定义X 的数学期望为 .)()(⎰∞∞-=dx x xf X E三、 随机变量函数的数学期望设X 是一随机变量, )(x g 为一实函数,则)(X g Y =也是一随机变量, 理论上, 虽然可通过X 的分布求出)(X g 的分布, 再按定义求出)(X g 的数学期望)]([X g E . 但这种求法一般比较复杂. 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.定理1 设X 是一个随机变量, )(X g Y =,且)(Y E 存在, 则（1） 若X 为离散型随机变量, 其概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i则Y 的数学期望为.)()]([)(1∑∞===i i i p x g X g E Y E（2） 若X 为连续型随机变量, 其概率密度为)(x f , 则Y 的数学期望为.)()()]([)(⎰∞∞-==dx x f x g X g E Y E注: (i)定理的重要性在于:求)]([X g E 时, 不必知道)(X g 的分布, 只需知道X 的分布即可. 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便;(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形, 即有定理2 设),(Y X 是二维随机向量, ),(Y X g Z =,且)(Z E 存在, 则 （1）若),(Y X 为离散型随机向量, 其概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i则Z 的数学期望为,),()],([)(11∑∑∞=∞===j i ij j i p y x g Y X g E Z E（2） 若),(Y X 为连续型随机向量, 其概率密度为),(y x f 则Z 的数学期望为.),(),()],([)(⎰⎰∞∞-∞∞-==dx y x f y x g Y X g E Z E四、数学期望的性质1. 设C 是常数, 则;)(C C E =2．若k 是常数，则);()(X kE kX E =3. );()()(2121X E X E X X E +=+4. 设Y X ,独立, 则)()()(Y E X E XY E =;注: (i) 由)()()(Y E X E XY E =不一定能推出Y X ,独立，例如，在例10中，已计算得 49)()()(==Y E X E XY E ， 但 81}0{},431{,0}0,1{=======Y P X P Y X P ，显然}0{}1{}0,1{=⋅=≠==Y P X P Y X P 故X 与Y 不独立(ii) 这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形.例题选讲：离散型随机变量的数学期望例1 (讲义例1) 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为21,X X , 它们的分布律分别为,8.02.002101i p X1.03.06.02102ip X试评定他们的成绩的好坏.例2 (讲义例2) 某种产品的每件表面上的疵点数服从参数8.0=λ的泊松分布, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元; 疵点数大于1个不多于4个为二等品, 价值8元; 疵点数超过4个为废品. 求:(1) 产品的废品率; (2) 产品价值的平均值.连续型随机变量的数学期望例3(讲义例3) 已知随机变量X 的分布函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=4,140,4/0,0)(x x x x x F , 求).(X E例4 (讲义例4) 设随机变量,127)(),(~=X E x f X 且⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f求a 与b 的值, 并求分布函数)(x F . 随机变量函数的数学期望例5 (讲义例5) 设),(Y X 的联合概率分布为:求).(),(),(XY E Y E X E例 6 (讲义例6) 设随机变量X 在],0[π上服从均匀分布, 求)(),(sin 2X E X E 及.)]([2X E X E -例7 设)(),(2X E X E 均存在，证明222)]([)()]([X E X E X E X E -=-. 例8 （二项分布的数学期望）若),,(~p n b X 求).(X E 数学期望的性质例9 (讲义例9) 一民航送各车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X 表示停车的次数, 求E (X ) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).课堂练习1. 设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏, 假定游戏的规则不公正, 以致两人获胜的概率不等,甲为p , 乙为q ,,q p >1=+q p . 为了补偿乙的不利地位, 另行规定两人下的赌注不相等, 甲为a , 乙为b , b a >. 现在的问题是: a 究竟应比b 大多少, 才能做到公正?2. 某种新药在400名病人中进行临床试验有一半人服用，一班人未服，经过5天后，有210人痊愈，其中190人是服了新药的.试用概率统计方法说明新药的疗效.3. 把数字n ,,2,1 任意地排成一列, 如果数字k 恰好出现在第k 个位置上, 则称为一个巧合, 求巧合个数的数学期望.课后作业： P83 T 5、8、9。
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概率统计与数学期望
作者：汪元忠
来源：《课程教育研究·学法教法研究》2018年第36期
【摘要】随着人类社会的进步，科学技术的发展，经济全球化的日益进程，数学在生活中的应用越来越广，生活中的数学无处不在.而数学中的一个非常重要的分支——概率统计，在众多领域内扮演着越来越重要的角色，取得越来越广泛的应用。
正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯所说：概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为”。
【关键词】概率统计数学期望
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）36-0117-01
数学期望在解数学题和实际生活中的一些应用，通过围绕数学期望在证明一些数学不等式、分析彩票中奖概率、医学普查及投资等实际问题中的应用，进一步揭示概率统计中数学期望与数学本身及实际生活的密切联系，为应用概率知识解决实际问题，数学模型的建立，学科知识的迁移奠定一定的理论基础。
概率统计的分支学科—数学期望的应用尤为广泛，随着科学技术的发展与计算机的普及，它已广泛地应用于各行各业，成为研究自然科学，社会现象，处理工程和公共事业的有力工具，下面浅谈数学期望在实际生活中的一些应用：
数学期望在商品出售获利方面的应用：按节气出售的某种节令商品，每售出1斤可获利a 元，过了节气处理剩余的这种商品，每售出1斤净亏损b元。
设商店在季度内这种商品的销量是一随机变量，在区间内服从均匀分布。
为使商店所获利润的数学期望最大，问该商店应进多少货？
分析如下：设t表示进货数，进货t所获利润记为Y，则Y是随机变量，
令=0，得驻点t=由此可知，该店应进公斤商品，才能使利润的数学期望最大。
数学期望在医学普查中的应用：某地区的群众患有肝炎的概率为0.004左右，假若要对该地区5000人经行肝炎感染的普查，问用分组检验方法是否比逐个检查减少了次数？
分析如下：设将这5000人分成5000/K组，每组k人，每人所需检验的次数为随机变量，则的概率分布为：
每人平均所需检验次数的期望为：
当K=2，3，4……时，EX，即每人平均所需次数小于1。
这比逐次检查的次数要少。
并且由数学分析中的知识可知当K取16时，最小。
即将5000人大致分为每组16人检验时，检验所需次数最少。
数学期望在商家举行的免费抽奖中的应用：袋中有大小相同的球20个、10个10分、10个5分，从中摸出10个球，摸出的10个球分数之和即为中奖分数，获奖如下；
一等奖 100分，家电一件，价值2500元；二等奖 50分，家电一件，价值1000元；
三等奖 95分，洗发精8瓶，价值176元；四等奖 55分，洗发精4瓶，价值88元；
五等奖 60分，洗发精2瓶，价值44元；六等奖 65分，牙膏一盒，价值8元；
七等奖 70分，洗衣粉一袋，价值5元；八等奖 85分，香皂一块，价值3元；
九等奖 90分，毛巾一条，价值2元；十等奖 75分与85分为优惠奖，仅收成本22元，将得到洗发精一瓶。
分析如下：表面上看整个活动对顾客有利，一等奖到九等奖是白得的，只有十等奖收费，也仅收成本费。
事实上，用概率知识分析一下：摸出10个球的分值只有11种情况，用X表示摸奖者获得的奖励金额数，一等奖即得分100分，对应事件P（X=2500）=，X取值2500，1000，176，88，44，8，5，3，2，-22，概率可依次得出，其概率分布为：
E（X）==-10.098，表明商家在平均每一次抽奖中获得10.098元钱，而平均每个抽奖者将花10.098元钱来享受这种免费抽奖，却没机会获得大奖。
数学期望在彩票双色球中的应用：“双色球”是一种联合发行销售的“乐透型”福利彩票。
它采用计算机网络发行销售，定期电视开奖。
“双色球”由中国福利彩票发行管理中心统一组织发行，在全国销售。
这种彩票摇奖球分为红色、蓝色两种，故命名为“双色球”。
一等奖：7个号码相符（6个红色球号码和1个蓝色球号码）（红色球号码顺序不限）；
二等奖：6个红色球号码相符；三等奖：5个红色球号码和1个蓝色球号码相符；
四等奖：5个红色球号码或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符；
五等奖：4个红色球号码或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符；
六等奖：1个蓝色球号码相符（有无红色球号码相符均可）。
下面是各等奖的中奖概率的计算，双色球中头奖的概率：×16=（33×32×31×30×29×28）/（6×5×4×3×2）×16=17721088双色球中头奖的概率为p（1）=1/17721088
双色球二等奖的概率为：p（2）=1/=1/（（33×32×31×30×29×28）/（6×5×4×3×2）
=1/1107568
双色球三等奖的概率为：p（3）=1/ （×16）=1/（（33×32×31×30×29）×16/
（5×4×3×2×1））=1/3797376 ......
总之，知识来源于人类的实践活动，又反过来运用到改造世界的实践活动中，其价值也就在于此。
上面知识例举了概率在实际问题中应用的几个小片段，然而，作为一门独立的学科，数学期望的足迹可以说已经深入到每一个领域，在实际问题中的应用随处可见。
只要我们善于把握，善于挖掘，善于用数学期望知识来解决问题，就能使它在实际生活中发挥更多作用。
本文通过探讨数学期望这一随机变量的一些重要数学特征在数学问题及实际问题中的一些应用来使大家对数学期望有更深的了解。