人教版八年级数学下册 16.1 二次根式 课件
a 10, 00..0044,, a a2 , 2 ,
5,
aa , , 3 8 .
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
什么条件？ 解 ： 由 x -1 ≥ 0 ， 得 x ≥ 1 。
问 ： 将 式 子 x -1 改 为 1 -x ， 则 字 母 x 的 取 值 必 须 满足什么条件呢？
?
参考图1-2,完成以下填空:
1149a765
22__ 2___; 72__7___; 1 2 2__ 12___.
一般地,二次根式有下面的性质:
a
a2 a(a 0 )
快
速 判
1 32___3___,2 722__72____,3 2132__2___13 ___,
引 例 ： |a - 1 |+ ( b + 2 ) 2 = 0 , 则 a =
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解 ： ∵ a+2 ≥ 0、 |3b-9|≥ 0、 (4-c) 2≥ 0，
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。
一 ( 2 )( 2 ) 2 2
起 来
(3) (
2 ) 2 -2
分 辨
(4)
( 2 ) 2 |-2|=2
( 5 ) 2 2 |2|=2
(6) (2)2 -|-2|=-2
( a)2与 a2有区别吗 ?
2
比较分析 a 和 a 2
2
a
a2
根号a的平方 根号下a平方
零 的 算 术 平 方 根 是 0。 负 数 有 没 有 算 术 平 方 根 ？ 没有
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
6、
x-1 x-2
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性 质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
原b 式 c aa b c b c a 3 b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系 这个知识点上，特别要应用好。
先开方,后平方 先平方,后开方
a≥0 a
a取全体实数 ∣a∣
例3、化简及求值：
(1) 2 4
(2)
a4
(3) a 2 b 2 (a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 其中a= 3
(5) (1 2)2 ( 21)2
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1 ( -1<x<3 )
解：原式= (x3)2 (x1)2 =|x-3|+|x+1|
二次根式
1.二次根式的概念
正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质： 0有一个平方根就是它0；
负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a 2 与| a | 有什么关
系?当 a 0 时, a2 _a___; ;当a 0 时, a2 ___a_.
一般地,二次根式有下面的性质:
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 aa(aa(a0） 0)
大 家
(1 )( 2 ) 2 2
它必须具备如下特点： 1、 根 指 数 为 2； 2、 被 开 方 数 必 须 是 非 负 数 。
想 一 想 ： 10 、 -5 、 3 8 5 3 、 (-2)2 a (a＜ 0﹚ 、 a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
∵-1<x<3 , ∴x-3＜0 , x+1>0 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4
思考：若(m4)2 4m, 则m的取值范围_是 ________
1.若 (1x)2 1x,则x的取值范围为 ( A )
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数 2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
ab c
(ab)2(bc)2ca
3.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
(bca)2 + (cab)2 - (bca)2
解： b c 原 a c a 式 b b c a
a,b,c是三角形三, 边 bca0,c(ab) 0,b(ca) 0
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解 ： 由 x-2≥ 0， 且 x-3≠ 0, 得 x≥ 2 且 x≠ 3。
想 一 想 ：假 如 把 题 目 改 为 ：要 使
x-2 x-1
有意义，
字 母 x 的 取 值 必 须 满 足 什 么 条 件 ？ x≥2
想 一 想 ： 一 个 正 数 的 算 术 平 方 根 是 正数。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1, 0.04; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数
1.二次根式的概念
a (a ≥ 0 )表 示 非 负 数 a 的 算 术 平 方 根 ，
形 如 a (a ≥ 0 )的 式 子 叫 做 二 次 根 式 。
断
4
25
5 ________,5
232_____23___
归纳
一般地，
( a)2 a（a≥0）
2 2 _ 2_ _ ,
5 2 _ 5_ _ ,
0 2 _ _0_ ,
| 2 | _2_ _ ; | 5 | _ 5_ _ ; | 0 | _ _0_ .
5,
aa , , 3 8 .
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
什么条件？ 解 ： 由 x -1 ≥ 0 ， 得 x ≥ 1 。
问 ： 将 式 子 x -1 改 为 1 -x ， 则 字 母 x 的 取 值 必 须 满足什么条件呢？
?
参考图1-2,完成以下填空:
1149a765
22__ 2___; 72__7___; 1 2 2__ 12___.
一般地,二次根式有下面的性质:
a
a2 a(a 0 )
快
速 判
1 32___3___,2 722__72____,3 2132__2___13 ___,
引 例 ： |a - 1 |+ ( b + 2 ) 2 = 0 , 则 a =
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解 ： ∵ a+2 ≥ 0、 |3b-9|≥ 0、 (4-c) 2≥ 0，
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。
一 ( 2 )( 2 ) 2 2
起 来
(3) (
2 ) 2 -2
分 辨
(4)
( 2 ) 2 |-2|=2
( 5 ) 2 2 |2|=2
(6) (2)2 -|-2|=-2
( a)2与 a2有区别吗 ?
2
比较分析 a 和 a 2
2
a
a2
根号a的平方 根号下a平方
零 的 算 术 平 方 根 是 0。 负 数 有 没 有 算 术 平 方 根 ？ 没有
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
6、
x-1 x-2
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性 质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
原b 式 c aa b c b c a 3 b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系 这个知识点上，特别要应用好。
先开方,后平方 先平方,后开方
a≥0 a
a取全体实数 ∣a∣
例3、化简及求值：
(1) 2 4
(2)
a4
(3) a 2 b 2 (a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 其中a= 3
(5) (1 2)2 ( 21)2
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1 ( -1<x<3 )
解：原式= (x3)2 (x1)2 =|x-3|+|x+1|
二次根式
1.二次根式的概念
正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质： 0有一个平方根就是它0；
负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a 2 与| a | 有什么关
系?当 a 0 时, a2 _a___; ;当a 0 时, a2 ___a_.
一般地,二次根式有下面的性质:
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 aa(aa(a0） 0)
大 家
(1 )( 2 ) 2 2
它必须具备如下特点： 1、 根 指 数 为 2； 2、 被 开 方 数 必 须 是 非 负 数 。
想 一 想 ： 10 、 -5 、 3 8 5 3 、 (-2)2 a (a＜ 0﹚ 、 a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
∵-1<x<3 , ∴x-3＜0 , x+1>0 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4
思考：若(m4)2 4m, 则m的取值范围_是 ________
1.若 (1x)2 1x,则x的取值范围为 ( A )
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数 2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
ab c
(ab)2(bc)2ca
3.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
(bca)2 + (cab)2 - (bca)2
解： b c 原 a c a 式 b b c a
a,b,c是三角形三, 边 bca0,c(ab) 0,b(ca) 0
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解 ： 由 x-2≥ 0， 且 x-3≠ 0, 得 x≥ 2 且 x≠ 3。
想 一 想 ：假 如 把 题 目 改 为 ：要 使
x-2 x-1
有意义，
字 母 x 的 取 值 必 须 满 足 什 么 条 件 ？ x≥2
想 一 想 ： 一 个 正 数 的 算 术 平 方 根 是 正数。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1, 0.04; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数
1.二次根式的概念
a (a ≥ 0 )表 示 非 负 数 a 的 算 术 平 方 根 ，
形 如 a (a ≥ 0 )的 式 子 叫 做 二 次 根 式 。
断
4
25
5 ________,5
232_____23___
归纳
一般地，
( a)2 a（a≥0）
2 2 _ 2_ _ ,
5 2 _ 5_ _ ,
0 2 _ _0_ ,
| 2 | _2_ _ ; | 5 | _ 5_ _ ; | 0 | _ _0_ .
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人教版八年级下册 16.1 二次根式 课件(共16张PPT)
叫做二次根式。
注意：为了方便起见，我们—个数的算术平方根也叫
做二次根式。如 3 ,
1 2
a 1
是不是二次根式？
不是，它是二次根 式的代数式.
形如 a a 0 的式子叫做二次根
式
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数，也可以是式 3.形式上含有二次板号
4. a 0, a 0 （双重非负性）
本节课我们学习了很多新知识,你能谈谈自 己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。
1、 二次根式的定义：像 b 3 a2 2500
表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫 做二次根式。 2、 二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方 数大于或等于零。 3、 求二次根式的值：用数值代替二次根式里的字母。
谢谢观赏
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟
16.1 二次根式
什么是平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做
a的平方根
什么叫算术平方根？ 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
用 a 0a 0 表示
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为 ___a_2___2_5_0_0__ 米。
为
圆形的下球体在平面图上的面积为s,则半径为
s
____________
b+3
1.如图所示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是___b____3__
b3 s
a2 2500
1、都表示算术平方根 2、根各代数式的共同特 点是什么？
定义：像
b3 、
a2 2500 、
s
这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式
下列各式中哪些是二次根式?
人教版数学八年级下册 16.1 二次根式(共20张PPT)
拓展探究
04
总结与反思
总结与反思
谢谢！
第十六章 二次根式
16.1章前引言及二次根式
1. 理解二次根式的定义，并会用此定义判断 一个根式是否为二次根式； 2. 会运用二次根式中被开方数的非负性，求 被开方数中字母的取值范围； 3. 会运用二次根式的非负性解决简单的问题。
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从 而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位： km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间 存在近似关系 r = 2 Rh ，其中地球半径R≈6 400 km． 如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们 的传播半径之比是 观察 2 Rh 、r =
1
2 Rh 1 2 Rh2
2 Rh2
2 Rh
的特点？
02
知识建构
二次根式概念
二次根式概念
二次根式概念
二次根式概念
二次根式概念双重非负性
二次根式概念双重非负性
03
题组练习，深化提高
题组一 二次根式的判定
题组一 二次根式的判定
题组二 二次根式有意义
题组二 二次根式有意义
题组三 二次根式的双重非负性
新版人教版八年级下16.1二次根式课件.ppt
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3_____x____0
∵
2x+6≥0 -2x＞0
2
什么启示?
(a≥0)
? 一般地,二次根式有下面的性质:
a 2 a (a 0) 1149a765
a
快 速 判
1
2
3 __3____,2
2 7
2
2
___7___,
3
2
1 3
2
__2__1____, 3
断
2
4
2
5 ___5_____,5
2 3
_____2___. 3
3页例2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3_____x____0
∵
2x+6≥0 -2x＞0
2
什么启示?
(a≥0)
? 一般地,二次根式有下面的性质:
a 2 a (a 0) 1149a765
a
快 速 判
1
2
3 __3____,2
2 7
2
2
___7___,
3
2
1 3
2
__2__1____, 3
断
2
4
2
5 ___5_____,5
2 3
_____2___. 3
3页例2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数） 的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
人教版八年级数学下册课件：16.1.1二次根式(共21张PPT)
∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x y=23=8
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3在实数
范围内有意义？
解 由 x 3 ，0 得 x 。3 当 x 3时，式子 x 3在实数范围内有意义。
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式在 实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5； （3） 3 。x
16.1 二次根式
知识回顾
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。 4、 7 表示什么？ 表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
2n2 1,
2n2 1, ×
2n 1 ×
在实数范围内,负数没有平方根
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3___x___0
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 有a1 意义,那么A(a,
) a
在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号
4.a≥0, a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
人教版八年级下册16.1.1《二次根式》二次根式的概念课件
m m2
2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
解得m≥2且m≠-2，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 x2 6xm都有意 义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
二5的次算根术式平的方被根开是方_数__非_.负
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 二一((12))次般若(3根 地)二(5式，次)(的如7根)实果均式质一不是个是表数二示的次一平有根个方意式非等义. 负于，数a求，（m那的或么取式x 这值）个范1的数围算叫．术做平a方的根平.方根.
即求(二x+次3根)2式+m中-字9≥母0.的取值范围的基本依据2：
（）
一定是二次根式的有
（）
解：由题意得x2+6x+m≥0，
3个
B.
解：∵被开方数需大于或等于零，
16.1.1 二次根式的概念 4 已知y=
,求3x+2y的算术平方根.
解：∵被开方数需大于或等于零，
一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式.
问题2 这些式子有什么共同特征？
注意：a可以是数，也可以是式.
x＞2 B.
一定是二次根式的有 (本2)节无课论主x取要任学何习实了数二，次代根数式式的定义及被开方数都的有取意值义范，围求.m的取值范围．
(若2)式无子论为x取分任式何，实应数同，时代考数虑式分母不为零. 都有意义，求m的取值范围．
一(2)个无正论数x取有任两何个实平数方，根代；数式
都有意义，求m的取值范围．
人教版八年级下册：16.1二次根式课件(共35张PPT)(课件精选)
教师教学说课
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1
二次根式
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2
.
二次根式的两个基本特征：
① 含有二次根号“
”
②被开方数为非负数
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3
掌握二次根式有意义的条件
x 1
如何确定字母 的值,使含有 二次根式的式 子在实数范围 内有意义？
①被开方数大于或 等于零； ②分母中有字母时， 要保证分母不为零。
28
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29
１．下列各式一定是二次根式的有__________
① 5 ② m ③ m2 1 ④ x2 2x 2
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30
x＞3 1．函数y= 1
中，自变量x的取值范围是_______
x-3
2.(2006郴州市课改实验区)要使二次根式 2 x 6 无意义,应满足的条件 是( B ）
(5)(3 6 )2
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12
掌握并应用二次根式的基本性质
例2.计算: (6)(2 1 )2 2
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13
掌握并应用二次根式的基本性质
填空:
(1)( 13)2 ___1__3__
3
(2)(
3 )2 7
___7____
(3)( 8)2 ( 2)2 _1_0____
(4)( a2 b2 )2 a__2 ___b_2
置如图所示，化简 (1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1 课件在线
26
2．二次根式的 基本性质
1.二次根式的基本 性质
当a≥0时，
a2 a ( a )2 a
a (a≥0)
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1
二次根式
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2
.
二次根式的两个基本特征：
① 含有二次根号“
”
②被开方数为非负数
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3
掌握二次根式有意义的条件
x 1
如何确定字母 的值,使含有 二次根式的式 子在实数范围 内有意义？
①被开方数大于或 等于零； ②分母中有字母时， 要保证分母不为零。
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１．下列各式一定是二次根式的有__________
① 5 ② m ③ m2 1 ④ x2 2x 2
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30
x＞3 1．函数y= 1
中，自变量x的取值范围是_______
x-3
2.(2006郴州市课改实验区)要使二次根式 2 x 6 无意义,应满足的条件 是( B ）
(5)(3 6 )2
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掌握并应用二次根式的基本性质
例2.计算: (6)(2 1 )2 2
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掌握并应用二次根式的基本性质
填空:
(1)( 13)2 ___1__3__
3
(2)(
3 )2 7
___7____
(3)( 8)2 ( 2)2 _1_0____
(4)( a2 b2 )2 a__2 ___b_2
置如图所示，化简 (1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1 课件在线
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2．二次根式的 基本性质
1.二次根式的基本 性质
当a≥0时，
a2 a ( a )2 a
a (a≥0)
2023-2024学年人教版八年级数学下册课件16.1 二次根式第2课时 算术平方根及化简
=____=
ቊ
− < 0 .
典例分享
例 实数，，在数轴上的位置如图16.1-1所示，化简：
2 − − +
+ 2.
图16.1-1
[答案] 解 由图16.1-1可知， < −1， > 1，−1 < < 0，所以
+ > 0， − < 0.
所以 2 = −，− − = − ，
2−
2
+
−4
2
= 2，求的取值.
解：原式= − 2 + − 4 ，
当 < 2时，原式= 2 − + 4 − = 6 − 2 = 2，解得 = 2
（舍去）；
当2 ≤ < 4时，原式= − 2 + 4 − = 2，等式恒成立；
当 ≥ 4时，原式= − 2 + − 4 = 2 − 6 = 2，解得 = 4.
8.计算：
6
（1） 36 =___.
（2）
5
2
5
=___.
（3） −
2
0.5
=____.
1
−
=____.
3
（5）
（6）
（7）
（8）
2
3
2
−5
2
=__.
9
2
5
=___.
2−3
2− 3
2
3− 2
=_______.
2 023
2+ 3
2 024
− 2− 3
=__________.
人教版八年级数学下册课件
第十六章 二次根式
人教版八年级数学下册16.1《二次根式》课件(共23张PPT)
C. a＞-2或a≠ 0
【解析】选D.要使式子
D. a≥-2且a≠ 0
a2 a
有意义，须同时
满足a+2≥0，a≠0两个条件，解两个不等式
可得a≥-2且a≠0 。
巩固提高：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围 （1） (
3 2x )
2
（2） (1 x) 2
3 (1). 3 2 x 0 x (2).x为全体实数 2 (3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
⑶
1 2
2
⑵
16
x ( x 0)
a9
a 2a 2 ⑷
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
2．下列式子一定是二次根式的是（ A．
）
2
x 2
4. a≥0, a ≥0
( 双重非负性)
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
从左看到右;从上看到下
看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
用带有根号的式子填空，看看结果有什么特点：
1.面积为3的正方形的边长为—— 3。 2.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
人教版八年级数学下册课件16.1 二次根式
练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？
二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的 算术平方根是二次根式．
例1 当x 是怎样的实数时， x+2 在实数范围内有 意义？
解：要使 x+2 在实数范围有意义， 必须 x+2≥0， ∴ x≥ -2．
∴ 当x≥-2时， x+2在实数范围内有意义．
思考 当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意 义？ x3 呢？
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
把形如 3， S， 65 ， h 用来表示一个非负数的 5
算术平方根的式子，叫做二次根式．
二次根式：
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2．
练习1 指出下列哪些是二次根式？
（1） 5 ； √ （2） -3 ； （3）3 21； （4） x2+1 ；√ （5） a-2（a ≥ 2）；√ （6） a-b（a＜ b）．
2Rh2
简这个式子吗？ 式子 2Rh1 表示什么？公式中 r= 2Rh 中的
2Rh2
r= 2Rh 表示什么意义？
问题（1） ：
面积为3 的正方形的边长为____3___，
面积为S 的正方形的边长为____S___．
提出问题： 上述问题（1）中式子你是怎么得到？得到的两个
式子有什么不同？
问题（2） ： 一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为
探究1
2
2
1 3
2
=
2
4
2
0
2 17
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 有（ 2）2 = 2.