均值不等式及其应用 PPT
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均值不等式课件
在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式，表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用
人教B版高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第2课时课件
新知探究
【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列数学 实验： （1）任取多组三个正教a，b，c，计算 a b c 和 3 abc 运后，比较它
3 们的大小，总结出一般规律；
（2）对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．
一般地，a1 a2 n
等号成立．
an ≥ n a1a2
2
2
新知探究
例4 （1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； （2）已知a，b，c为正实数，求证： a2b2 b2c2 c2a2 ≥abc； abc （3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
证明： （1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 三个不等式相加即能得证；
情境与问题
复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下 均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样 的问题？
如果a，b都是正数，那么 a b ≥ ab ，当且仅当a＝b时，等号成 2
立．利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等．
问题：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？
新知探究
问题2 我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利 用 a b ≥ ab（a，b都是正数），也可使用a＋b≥ 2 ab ．
2 你还有哪些变形呢？
(a b)2 ≥ 4ab ，ab ≤ ( a b)2． 2
新知探究
例1
已知ab＞0，求证：ba
a b
≥2，并推导出等号成立的条件．
证明：因为ab＞0，所以 b 0 ，a 0 ， ab
根据均值不等式，得 b a ≥ 2 b a 2 ，即 b a ≥ 2 ，
《均值不等式及其应用》PPT教学课件 等式与不等式(第2课时均值不等式的应用)
＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
23
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24
当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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25
法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2 ＝3＋2ab＋ab≥3＋2 2，
40
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41
课时分层 作 业
点击右图进入…
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32
[解] 设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为
2
126000×0x104＝10
800 x.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋10 x800＝560＋48x＋22x5. 当 x＋22x5取最小值时，y 有最小值．
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33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
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38
2．若实数 a，b 满足 a＋b＝2，则 ab 的最大值为( )
A．1
B．2 2
C．2
D．4
新教材人教B版必修第一册 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 课件(29张)
解析：∵a，b，c>0，∴利用均值不等式可得ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b， ca2＋a≥2c，∴ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋ c，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
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第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
归纳提升：利用均值不等式证明不等式的注意点： (1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立． (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使 用． (3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不 等式的条件．
1．无附加条件的不等式的证明 典例 1 已知 a，b，c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
思路探究：由条件中 a，b，c>0 及待证不等式的结构特征知，先用 均值不等式证ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c，再进行证明即可．
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第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
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第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
归纳提升：求实际问题中最值的一般思路 1．读懂题意，设出变量，列出函数关系式． 2．把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题． 3．在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不 等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学 习的函数的单调性求解． 4．正确地写出答案．
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第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
2．有附加条件的不等式的证明 典例 2 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋b1)≥9.
思路探究：本题的关键是把分子的“1”换成 a＋b，由均值不等式即可 证明．
人教B版高中数学必修第一册第2章2-2-4第1课时均值不等式课件
3．“x＞0，y＞0”是“yx＋xy≥2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [若x＞0，y＞0，则xy＞0，yx＞0，此时yx＋xy≥2 分性成立．
yx·xy＝2，充
若
y x
＋
x y
≥2，易知x＝y＝－1时满足不等式，但不满足x＞0，y＞
点)
01
必备知识·情境导学探新知
知识点1 知识点2 知识点3
如图，是第 24 届国际数学家大会的会标．它依 据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦 图”进行设计，颜色的明？
知识点一 重要不等式 对任意实数 a，b，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号 成立．
9 8
[因为a＞0，b＞0，所以2a＋
1 b
＝3≥2
1b，即a＝34，b＝23时，等号成立，所以ab≤98.]
2a b
，当且仅当2a＝
回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试比较不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab的区别与联系． [提示] (1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是 不同的．前者要求 a，b 是实数即可，而后者要求 a，b 都是正实数(实 际上后者只要 a＞0，b＞0 即可)．
1.若 x2＋y2＝4，则 xy 的最大值是( )
A．12
B．1
C．2
D．4
C [xy≤x2＋2 y2＝2，当且仅当 x＝y 时取“＝”．]
知识点二 算术平均值与几何平均值
a＋b
给定两个正数 a，b，数 2 称为 a，b 的算术平均值；数 ab 称 为 a，b 的几何平均值．
知识点三 均值不等式 1．均值不等式：如果 a，b 都是正数，那么a＋2 b≥ ab，当且仅 当 a＝b 时，等号成立． 2．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形 的面积最大．
人教B版高中数学必修第一册 2-2-4《均值不等式及其应用》课件PPT
2 +2
值.
另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足
任何一次等号成立的字母取值存在且一致.
微思考
应用两个重要结论时,要注意哪些事项?
提示:应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取
得相等的值.即“一正二定三相等”.
即时训练
.
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为
1
1
1
1
解析:因为 x,y>0,且 x+4y=1,所以 xy=4x·
4y≤4 × 4(x+4y)2=16,当且仅
1
1
1
1
2
2
8
16
当 x=4y= ,即 x= ,y= 时,等号成立.所以 xy 的最大值为 .
1
答案:16
1.对均值不等式的理解
例1 (1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
答案:B
2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(
)
A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值
C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0
解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab
的最大值为2,最小值为-2.
即
,
反思感悟 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意
以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
2.2.4均值不等式及其应用课件高一上学期数学人教B版
>
c>d
同向
5
同向可加性
6
同向同正可乘性
a>b>0 ⇒ac bd
>
c>d>0
同向
7
可乘方性
a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥2)
同正
8
可开方性
a>b>0⇒ > (n∈N，n≥2)
同正
9
可倒性
a>b⇒
同号
左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的
会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图
关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已
知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证
明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本
不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
(1 + x)(3-x) ≤
1+x+3-x
2
,
和定积
最大
3. 补“1”法
解
1 9
已知 x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求 x＋y 的最小值.
1 9
∵x>0，y>0，x ＋y ＝1，
1 9
y 9x
∴x＋y＝ x ＋y (x＋y)＝x＋ y ＋10
y 9x
≥6＋10＝16， 当且仅当 ＝ ，
已知 x>0 时，求 y= x ＋4x 的最小值,
并说明 x 为何值时 y 取最小值。
解
∵x>0，∴
c>d
同向
5
同向可加性
6
同向同正可乘性
a>b>0 ⇒ac bd
>
c>d>0
同向
7
可乘方性
a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥2)
同正
8
可开方性
a>b>0⇒ > (n∈N，n≥2)
同正
9
可倒性
a>b⇒
同号
左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的
会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图
关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已
知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证
明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本
不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
(1 + x)(3-x) ≤
1+x+3-x
2
,
和定积
最大
3. 补“1”法
解
1 9
已知 x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求 x＋y 的最小值.
1 9
∵x>0，y>0，x ＋y ＝1，
1 9
y 9x
∴x＋y＝ x ＋y (x＋y)＝x＋ y ＋10
y 9x
≥6＋10＝16， 当且仅当 ＝ ，
已知 x>0 时，求 y= x ＋4x 的最小值,
并说明 x 为何值时 y 取最小值。
解
∵x>0，∴
人教B版高中数学必修第一册2.2.4《均值不等式及其应用》课件
换法 解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表
达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商
二、提升新知·注重综合
题型二
利用均值不等式求最值
变式训练
1．[直接利用均值不等式求最值]已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值
为
A．16
( B )
B．25
C．9
解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
++
++
++
(2) + + =
+
+
=+
+
+
+
+
+
⩾ + + + = ，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
二、提升新知·注重综合
题型一
用均值不等式证明不等式
方法总结
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等
1．判断正误
(1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立． ( × )
(2)若a，b同号，则 + ≥2.
(3)若a>0，b>0，则ab≤
+
恒成立．
(4)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 .
( √ )
( × )
达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商
二、提升新知·注重综合
题型二
利用均值不等式求最值
变式训练
1．[直接利用均值不等式求最值]已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值
为
A．16
( B )
B．25
C．9
解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
++
++
++
(2) + + =
+
+
=+
+
+
+
+
+
⩾ + + + = ，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
二、提升新知·注重综合
题型一
用均值不等式证明不等式
方法总结
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等
1．判断正误
(1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立． ( × )
(2)若a，b同号，则 + ≥2.
(3)若a>0，b>0，则ab≤
+
恒成立．
(4)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 .
( √ )
( × )
均值不等式及其应用ppt课件
2
2
2
ab
即 2
0，
ab ．
而且，等号成立时，当且仅当 ( a b ) 2 0 ，即a＝b．
值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正
实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比
67
如
2
42 一定是正确的．
均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还
可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它
4
y 4x
y 4x
y
4 ，当且仅当 y 4 x ，即 x 2 ， y 8 时等号成立，所以 x 4 .
4 min
又x
y
m2 3m 有解，所以 m2 3m 4 ，解得 m 1 或 m 4 .故选 D.
4
6.某批救灾物资随 41 辆汽车从某市以 v km / h 的速度匀速直达灾区，已知两地公
用来展示校友的书画作品.它的左、右两侧及顶部和底部都留有宽为 2 米的自由
C)
活动区域，如图所示，则整个书画展区域（大矩形）的最小面积是(
A.360 平方米
B.384 平方米
C.361 平方米
D.400 平方米
解析：设小矩形的一边长为 x 米，其邻边长为 y 米，整个书画展区域（大矩形）
的面积为 S 平方米.由 x 0 ， y 0 及 xy 225 ，得 S ( x 4)( y 4) xy 4 y 4 x
1
4
B.4
C.
1
2
D).
D.2
解析： a 0 ，b 0 ， 4 2a b 2 2ab （当且仅当 2a b ，即 a 1 ，b 2 时
均值不等式及其应用-高一数学教学课件(人教B版2019必修第一册)
2.2.4 均值不等式 及其应用
引入新课
要做一段周长为200米的的栅栏，如何使其面积最大？
新知讲解
思考：一般地，对于任意实数 x、y，我们有
x2 y2 2xy ，当且仅当 x=y 时等号成立.
你能给出它的证明吗？
证明: x2 y2 - 2xy = x;0 ,当 x y 时，等号成立．
sin x
有同学这样解0 x ,sin x 0, 4 0,
sin x
y sin x 4 2 sin x 4 4
sin x
sin x
所以, y sin x 4 最小值为4. sin x
反思：研究函数
最值的处理思路是：
（1）可以用基本不等式求解；（2）不能用基本不等式时就用单 调性求解。
因为 OD CD ， 所以 a b ab 2
当且仅当 C 与 O 重合，即 a b 时，等号成立．
D
ab
2
ab
O
C
B
例 1 设 a, b 均为正数，证明不等式
ab
1
2
1
.
ab
证明 因 a, b 均为正数，由基本不等式，可知
11 a b
1
2
ab
也即
ab
1
2
1
，当且仅当 a
b 时，等号成立．
（1）求x，y的函数关系式，并求x的取值范围； （2）问框架的横边长x为多少时用料最省？
x y
反思：根据图形，建立总长L(米）与横边长x(米）之间的函数 关系式，再用数学方法（本例用基本不等式）求最小值，解题 过程中要关注x的取值范围对问题解答的影响。
实际问题 数学问题 实际问题
小结
1.基本不等式的定义和应用; 2. 均值不等式链
引入新课
要做一段周长为200米的的栅栏，如何使其面积最大？
新知讲解
思考：一般地，对于任意实数 x、y，我们有
x2 y2 2xy ，当且仅当 x=y 时等号成立.
你能给出它的证明吗？
证明: x2 y2 - 2xy = x;0 ,当 x y 时，等号成立．
sin x
有同学这样解0 x ,sin x 0, 4 0,
sin x
y sin x 4 2 sin x 4 4
sin x
sin x
所以, y sin x 4 最小值为4. sin x
反思：研究函数
最值的处理思路是：
（1）可以用基本不等式求解；（2）不能用基本不等式时就用单 调性求解。
因为 OD CD ， 所以 a b ab 2
当且仅当 C 与 O 重合，即 a b 时，等号成立．
D
ab
2
ab
O
C
B
例 1 设 a, b 均为正数，证明不等式
ab
1
2
1
.
ab
证明 因 a, b 均为正数，由基本不等式，可知
11 a b
1
2
ab
也即
ab
1
2
1
，当且仅当 a
b 时，等号成立．
（1）求x，y的函数关系式，并求x的取值范围； （2）问框架的横边长x为多少时用料最省？
x y
反思：根据图形，建立总长L(米）与横边长x(米）之间的函数 关系式，再用数学方法（本例用基本不等式）求最小值，解题 过程中要关注x的取值范围对问题解答的影响。
实际问题 数学问题 实际问题
小结
1.基本不等式的定义和应用; 2. 均值不等式链
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答案：B
利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适 当变形处理。
题型二 利用基本不等式求最值【教材 P73 例 1】 例 2 已知 x>0，求 y＝x＋1x的最小值，并说明 x 为 何值时 y 取得最小值。
【解析】因为 x>0，所以根据均值不等式有 x＋1x≥2 x·1x＝2， 其中等号成立当且仅当 x＝1x，即 x2＝1，解得 x＝1 或 x＝－1（舍）。 因此 x＝1 时，y 取得最小值 2。
均值不等式及其应用
最新课程标准： 掌握基本不等式 ab≤a＋2 b（a，b≥0）。结合具体实 例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。
知识点一 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公 式
1．数轴上两点之间的距离公式 一般地，如果 A（a），B（b），则线段 AB 的长为_A_B_＝_|_a_－_b_|。 2．中点坐标公式 如果线段 AB 的中点 M 的坐标为 x.若 a<b，如图所示，
答案：D
4．已知 x，y 都是正数。 （1）如果 xy＝15，则 x＋y 的最小值是________。 （2）如果 x＋y＝15，则 xy 的最大值是________。
解析：（1）x＋y≥2 xy＝2 15，即 x＋y 的最小值是 2 15；当且仅当 x＝y＝ 15时取最小值。
（2）xy≤x＋2 y2＝1252＝2425， 即 xy 的最大值是2245。 当且仅当 x＝y＝125时 xy 取最大值。 答案：（1）2 15 （2）2245
即若 a>0，b>0，且 ab ＝P，P 为定值，则 a ＋b≥2 P，
当且仅当 a ＝b 时等号成立。
【基础自测】
1．已知 a，b∈R，且 ab>0，则下列结论恒成立 的是（ ）
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 ab
C．1a＋1b>
2 ab
D．ba＋ab≥2
解析：对于 A，当 a＝b 时，a2＋b2＝2ab，所以 A 错误；对于 B，C，虽然 ab>0，只能说明 a，b 同号， 当 a，b 都小于 0 时，B，C 错误；对于 D，因为 ab>0，
状元随笔 基本不等式 ab≤a＋2 b（a，b∈R＋）的
应用：
（1）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，
即若 a>0，b>0，且 a
＋b＝M，M
为定值，则
M ab≤ 4
2
，
当且仅当 a＝b 时等号成立。即：a ＋b＝M，M 为定值
时，（ab）max＝M4
2
。
（2）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，
1．举反例、基本不等式⇒逐个判断。 2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断。 【答案】（1）B
（2）给出下列命题： ①若 x∈R，则 x＋1x≥2； ②若 a<0，b<0，则 ab＋a1b≥2； ③不等式yx＋xy≥2 成立的条件是 x>0 且 y>0。其中正 确命题的序号是________。
【解析】（2）只有当 x>0 时，才能由基本不等式得
教材反思 1．利用基本不等式求最值的策略
2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系， 然后代入代数式转化为函数的最值求解。有时会出现多 元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解。 特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要 忽视等号成立的条件。
所以ba>0，ab>0，所以ba＋ab≥2 ba·ab，即ba＋ab≥2 成立。 答案：D
2．若 a>1，则 a＋a－1 1的最小值是（
）
A．2
B．a
C．a2－a1
D．3
解析：a>1，所以 a－1>0，
所以
a
＋
1 a－1
＝
a
－
1
＋
1 a－1
＋
1≥2
a－1 ·a－1 1＋1＝3。
当且仅当 a－1＝a－1 1即 a＝2 时取等号。
第1课时 基本不等式
题型一 对基本不等式的理解【经典例题】
例 1 （1）下列不等式中，不正确的是（ ） A．a2＋b2≥2|a||b| B．ab2≥2a－b（b≠0） C．ab2≥2ba－1（b≠0） D．2（a2＋b2）≥（a＋b）2
Байду номын сангаас
【解析】（1）A 中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以 A 正确。由 a2＋b2≥2ab，得 a2≥2ab－b2。B 中，当 b<0 时，ab2≤2a－b，所以 B 不正确。C 中，b≠0，则ab2≥2ba－ 1，所以 C 正确。D 中，由 a2＋b2≥2ab，得 2（a2＋b2） ≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2，所以 D 正确。
到 x＋1x≥2 x·1x＝2，故①错误；当 a<0，b<0 时，ab>0， 由基本不等式可得 ab＋a1b≥2 ab·a1b＝2，故②正确； 由基本不等式可知，当yx>0，xy>0 时，有yx＋xy≥2 yx·xy＝ 2 成立，这时只需 x 与 y 同号即可，故③错误。
基本不等式的两个关注点 （1）正数：指式子中的 a，b 均为正数， （2）相等：即“＝”成立的条件。 【答案】（2）②
跟踪训练 1 设 0<a<b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
D．
a＋b ab<a< 2 <b
解析：0<a<b⇒a2<ab<b2⇒a< ab<b,0<a<b⇒2a<a＋ b<2b⇒a<a＋2 b<b，又 ab<a＋2 b，所以 a< ab<a＋2 b<b。
答案：D
3．下列不等式中，正确的是（ ）
A．a＋4a≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．
a＋b ab≥ 2
D．x2＋x32≥2 3
解析：a<0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b ＝1，a2＋b2<4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab<a＋2 b， 故 C 错误；由基本不等式可知 D 项正确。
则 M 为__x＝__a_＋2__b_。
知识点二 基本不等式
（1）重要不等式：对于任意实数 a、b，都有 a2＋ b2_a_＝_b_2ab，当且仅当____≥____时，等号成立。
（2）基本不等式： ab_≤___a＋2 b（a>0，b>0），当 且仅当___a_＝_b___时，等号成立。其中a＋2 b和 ab分别叫 做正数 a，b 的__算__术_平__均__数___和__几__何__平_均 __数___。
利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适 当变形处理。
题型二 利用基本不等式求最值【教材 P73 例 1】 例 2 已知 x>0，求 y＝x＋1x的最小值，并说明 x 为 何值时 y 取得最小值。
【解析】因为 x>0，所以根据均值不等式有 x＋1x≥2 x·1x＝2， 其中等号成立当且仅当 x＝1x，即 x2＝1，解得 x＝1 或 x＝－1（舍）。 因此 x＝1 时，y 取得最小值 2。
均值不等式及其应用
最新课程标准： 掌握基本不等式 ab≤a＋2 b（a，b≥0）。结合具体实 例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。
知识点一 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公 式
1．数轴上两点之间的距离公式 一般地，如果 A（a），B（b），则线段 AB 的长为_A_B_＝_|_a_－_b_|。 2．中点坐标公式 如果线段 AB 的中点 M 的坐标为 x.若 a<b，如图所示，
答案：D
4．已知 x，y 都是正数。 （1）如果 xy＝15，则 x＋y 的最小值是________。 （2）如果 x＋y＝15，则 xy 的最大值是________。
解析：（1）x＋y≥2 xy＝2 15，即 x＋y 的最小值是 2 15；当且仅当 x＝y＝ 15时取最小值。
（2）xy≤x＋2 y2＝1252＝2425， 即 xy 的最大值是2245。 当且仅当 x＝y＝125时 xy 取最大值。 答案：（1）2 15 （2）2245
即若 a>0，b>0，且 ab ＝P，P 为定值，则 a ＋b≥2 P，
当且仅当 a ＝b 时等号成立。
【基础自测】
1．已知 a，b∈R，且 ab>0，则下列结论恒成立 的是（ ）
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 ab
C．1a＋1b>
2 ab
D．ba＋ab≥2
解析：对于 A，当 a＝b 时，a2＋b2＝2ab，所以 A 错误；对于 B，C，虽然 ab>0，只能说明 a，b 同号， 当 a，b 都小于 0 时，B，C 错误；对于 D，因为 ab>0，
状元随笔 基本不等式 ab≤a＋2 b（a，b∈R＋）的
应用：
（1）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，
即若 a>0，b>0，且 a
＋b＝M，M
为定值，则
M ab≤ 4
2
，
当且仅当 a＝b 时等号成立。即：a ＋b＝M，M 为定值
时，（ab）max＝M4
2
。
（2）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，
1．举反例、基本不等式⇒逐个判断。 2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断。 【答案】（1）B
（2）给出下列命题： ①若 x∈R，则 x＋1x≥2； ②若 a<0，b<0，则 ab＋a1b≥2； ③不等式yx＋xy≥2 成立的条件是 x>0 且 y>0。其中正 确命题的序号是________。
【解析】（2）只有当 x>0 时，才能由基本不等式得
教材反思 1．利用基本不等式求最值的策略
2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系， 然后代入代数式转化为函数的最值求解。有时会出现多 元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解。 特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要 忽视等号成立的条件。
所以ba>0，ab>0，所以ba＋ab≥2 ba·ab，即ba＋ab≥2 成立。 答案：D
2．若 a>1，则 a＋a－1 1的最小值是（
）
A．2
B．a
C．a2－a1
D．3
解析：a>1，所以 a－1>0，
所以
a
＋
1 a－1
＝
a
－
1
＋
1 a－1
＋
1≥2
a－1 ·a－1 1＋1＝3。
当且仅当 a－1＝a－1 1即 a＝2 时取等号。
第1课时 基本不等式
题型一 对基本不等式的理解【经典例题】
例 1 （1）下列不等式中，不正确的是（ ） A．a2＋b2≥2|a||b| B．ab2≥2a－b（b≠0） C．ab2≥2ba－1（b≠0） D．2（a2＋b2）≥（a＋b）2
Байду номын сангаас
【解析】（1）A 中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以 A 正确。由 a2＋b2≥2ab，得 a2≥2ab－b2。B 中，当 b<0 时，ab2≤2a－b，所以 B 不正确。C 中，b≠0，则ab2≥2ba－ 1，所以 C 正确。D 中，由 a2＋b2≥2ab，得 2（a2＋b2） ≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2，所以 D 正确。
到 x＋1x≥2 x·1x＝2，故①错误；当 a<0，b<0 时，ab>0， 由基本不等式可得 ab＋a1b≥2 ab·a1b＝2，故②正确； 由基本不等式可知，当yx>0，xy>0 时，有yx＋xy≥2 yx·xy＝ 2 成立，这时只需 x 与 y 同号即可，故③错误。
基本不等式的两个关注点 （1）正数：指式子中的 a，b 均为正数， （2）相等：即“＝”成立的条件。 【答案】（2）②
跟踪训练 1 设 0<a<b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
D．
a＋b ab<a< 2 <b
解析：0<a<b⇒a2<ab<b2⇒a< ab<b,0<a<b⇒2a<a＋ b<2b⇒a<a＋2 b<b，又 ab<a＋2 b，所以 a< ab<a＋2 b<b。
答案：D
3．下列不等式中，正确的是（ ）
A．a＋4a≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．
a＋b ab≥ 2
D．x2＋x32≥2 3
解析：a<0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b ＝1，a2＋b2<4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab<a＋2 b， 故 C 错误；由基本不等式可知 D 项正确。
则 M 为__x＝__a_＋2__b_。
知识点二 基本不等式
（1）重要不等式：对于任意实数 a、b，都有 a2＋ b2_a_＝_b_2ab，当且仅当____≥____时，等号成立。
（2）基本不等式： ab_≤___a＋2 b（a>0，b>0），当 且仅当___a_＝_b___时，等号成立。其中a＋2 b和 ab分别叫 做正数 a，b 的__算__术_平__均__数___和__几__何__平_均 __数___。