强度、刚度、稳定性解读

弯曲梁的横截面上 正应力
横力弯曲时横截面上的正应力 在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不
但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正 应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大， 足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
Wz
Iz ymax
D4 (1 4 ) / 64
D/2
D3
32
(1 4 )
弯曲切应力
1. 矩形截面梁的弯曲切应力109
y h， 2
即横截面上、下边缘各点处：
0
y =0，即中性轴上各点处：
max
3 2
FQ bh
3 FQ 2A
2. 工字形截面梁的弯曲切应力111 腹板上的切应力
b 为腹板厚度
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为抗弯截面系数。它与截面的Байду номын сангаас何形状有关，单位为m3。
抗弯截面系数106
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
bh2 6
对于直径为 D 的圆形截面
Wz
Iz ymax
D4 / 64
D/2
D 3
32
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
横向线(mm、nn): 仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。
平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变形后
的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。 单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
弯曲正应力公式的推导103-105 梁横截面上的弯矩
直接导出弯曲正应力
变形的几何关系 物理关系 静力关系
τ 沿壁厚均匀分布，方向与圆周相切。
最大剪应力仍发生在中性轴上，其值为
m
ax
2
*
FQ A
梁的强度条件115
1、梁的正应力强度条件：
2、梁的切应力强度条件：
max
满足弯曲正应力强度条件的梁，一般都能满足剪应力的强 度条件。因而可不对切应力进行强度校核
必须进行剪应力的强度校核的情况： (1) 梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷；以致梁
弯曲应力与强度计算
1 梁弯曲时横截面上的正应力 2 弯曲切应力 3 梁的强度计算 4 提高弯曲强度的措施
横弯曲和纯弯曲102
平面弯曲时梁的横截面上有两 个内力分量：弯矩和剪力。
例如：AC和DB段。梁在垂直 梁轴线的横向力作用下，横截 面将同时产生弯矩和剪力。这 种弯曲称为横力弯曲简称横弯 曲。
例如：CD段。梁在垂直梁轴 线的横向力作用下，横截面上 只有弯矩没有剪力。称为纯弯 曲。
弯曲时横截面上的正应力105
MZ: 横截面上的弯矩 y: 所求应力点到中性轴的距离 IZ: 截面对中性轴的惯性矩
中性轴
m
n
z
o
o
dA
mn
y
dx
P105横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
因此，合理的横截面形状应该是截面面积 A 较小，而弯曲截 面系数 W 较大。我们可以用比值 W 来衡量截面形状的合理性。
A
所以，
另外，截面是否合理，还应考虑材料的特性。 对抗拉和抗压强度相等的材料制成的梁，宜采用中性轴为其 对称轴的截面，例如，工字形、矩形、圆形和环形截面等。
对抗拉和抗压强度不相等的材料制成的梁，由于抗压能力强 于抗拉能力，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面。
提高弯曲强度的措施
一、 合理安排梁的受力情况 合理安排作用在梁上的荷载，可以降低梁的最大弯矩。从 而提高梁的强度
1、使集中力分散
2、减小跨度
二、 合理选择截面
当弯矩值一定时，横截面上的最大正应力与弯曲截面系数成 反比，即弯曲截面系数W，越大越好。另一方面，横截面面积越 小，梁使用的材料越少，自重越轻，即横截面面积A，越小越好。
可解决三方面问题：
（1）强度校核； （2）设计截面尺寸； （3）计算许可载荷。
提高弯曲强度的措施119
按强度条件设计梁时，主要是根据梁的弯曲正应力强度条件
max
M max W
由上式可见，要提高梁的弯曲强度，即降低最大正应力，可以从
两个方面来考虑，一是合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩
Mmax 的数值；二是采用合理的截面形状，以提高抗弯截面系数W 的数值。充分利用材料的性能。
的弯矩较小，而剪力很大。 (2) 焊接或铆接的工字梁，如果腹板较薄而截面高度很大，
以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时，对腹板应进 行剪应力强度校核。
(3) 经焊接、铆接或胶合而成的组合梁，一般需对焊缝、铆 钉或胶合面进行剪应力强度校核。
按强度条件设计梁时，强度条件
max
M max W
这种截面沿轴线变化的梁，称为变截面梁。例如：阶梯轴、 鱼腹梁等。
从弯曲强度考虑，理想的变截面梁应该使所有截面上的最大 弯曲正应力均相同，且等于许用应力，即
max
M W
(x) (x)
这种梁称为等强度梁。
弯曲变形与刚度
对这类截面，应使最大拉应力和最大压应力同时接近材料的 许用拉应力和许用压应力。
三、合理设计梁的外形（等强度梁） 在一般情况下，梁的弯矩沿轴线是变化的。因此，在按最大
弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在的截面外，其余截面 的材料强度均未能得到充分利用。
为了减轻梁的自重和节省材料，常常根据弯矩的变化情况， 将梁设计成变截面的。在弯矩较大处，采用较大的截面；在弯矩 较小处，采用较小的截面。
中性轴的概念103 设想梁由平行于轴线的众多纵 向纤维组成，弯曲时一侧纵向 纤维伸长，一侧纵向纤维缩短， 总有一层既不伸长也不缩短， 称为中性层：
中性轴：中性层与梁的横截面的交线。 垂直于梁的纵向对称面。
纯弯曲的基本假设：103
实验观察变形 纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧
缩短，凸侧伸长。
纯弯曲的基本假设：
Iz 可查表 Sz max
max
FQ Iz b
Sz max
可近似写为 max
FQ bh
3. 圆形截面梁的弯曲剪应力110
在y =0处，即中性轴上各点处：
max
y max
4 3
FQ
R2
4 FQ 3A
4. 薄壁圆环形截面梁的弯曲剪应力110 因为薄壁圆环的壁厚 t 远小于平均半径 R ，故可以认为剪应力