第8章 静电场中的导体与电介质..

第八章静电场中的导体与电介质问题8-1 有人说：“某一高压输电线的电压有500kV，因此你不可与之接触”。

这句话是对还是不对？维修工人在高压输电线路上是如何工作的？解这种说法不正确，可以利用空腔导体的静电屏蔽原理，使维修工人穿上导电性能良好的屏蔽服，电场不会深入到人体，从而可以保证维修工人的安全。

8-2将一个带电小金属球与一个不带电的大金属球相接触，小球上的电荷会全部转移到大球上去吗？解不会。

带电小金属球与不带电的大金属球相接触后会达到静电平衡，内部电场强度为零。

若小球上的电荷全部转移到大球上去，则两球组成的整体内部电场强度不可能为零。

8-3 在高压电器设备周围，常围上一接地的金属栅网，以保证栅网外的人安全，试说明其道理。

解这是利用空腔导体的静电屏蔽作用。

金属栅网就是一个金属壳体，将栅网接地，栅网外部将不受栅网内部电场的影响。

8-4在绝缘支柱上放置一闭和的金属球壳，球壳内有一人，当球壳带电并且电荷越来越多时，他观察到的球壳表面的电荷面密度、球壳内的场强是怎样的？当一个带有跟球壳相异电荷的巨大带电体移近球壳时，此人又将观察到什么现象？此人处在球壳内是否安全？解带电金属球壳由于静电平衡，电荷分布于球壳表面，当电荷越多，球壳表面的电荷面密度增大，球壳内场强为零。

当带有异号电荷的巨大带电体移近球壳时，会发生放电现象，由于静电屏蔽作用，球壳空间电场不受外部空间场强的影响，所以人处于球壳内不会有危险。

8-5电介质的极化现象和导体的静电感应现象有些什么区别？解导体的静电感应现象是在外电场作用下导体中的自由电荷作定向运动而使自由电荷重新分布；电介质的极化现象是在外电场的作用下介质表面产生极化电荷。

二者有着实质的区别，静电感应所产生的电荷是导体内部的自由电荷，而极化现象中出现在介质表面上的电荷则是束缚电荷；而且它们形成的方式也不同，静电感应是导体内部自由电荷的运动，而极化实质是电介质内部电偶极矩的产生。

8-6 在下列情况下，平行平板电容器的电势差、电荷、电场强度和所贮的能量将如何变化。

（1）断开电源，并使极板间距加倍，此时极板间为真空；（2）断开电源，并使极板间充满相对电容率r 2.5ε=的油；（3）保持电源与电容器两极相连，使极板间距加倍，此时极板间为真空；（4）保持电源与电容器两极相连，使极板间充满相对电容率r 2.5ε=的油。

解 设最初平行平板电容器的电容为C 、电势差为U 、电荷为Q 、电场强度为E 、所贮的能量为e W ，我们可以根据C s d ε=、C Q U =、E Q s =、e 12W QU =等来判断不同情况下各物理量的变化.（1）断开电源，极板间距加倍即d 变为2d ，电荷Q 不变，电场强度E 不变，电势差2U ，所贮的能量增为e 2W .（2）断开电源，并使极板间充满相对电容率r 2.5ε=的油，电荷Q 不变，电场强度E 减为r E，电势差减少为r U ε，所贮的能量减少为e r W ε.（3）保持电源与电容器两极相连，使极板间距加倍，极板间为真空，电容器电容变为原来的一半，电势差不变，电荷减少为原来的一半，电场强度减少为原来的一半，所贮的能量也减少为原来的一半.（4）保持电源与电容器两极相连，极板间充满相对电容率r 2.5ε=的油，电容器的电容为原来的r ε倍，即2.5C ，电势差不变，电荷增为原来的r ε倍，所贮的能量增加为原来的r ε倍.8-7 一平行板电容器被一电源充电后，将电源断开，然后将一厚度为两极板间距一半的金属板放在两极板之间，试问下述各量如何变化？（1）电容；（2）极板上面电荷；（3）极板上的电势差；（4）极板间的电场强度；（5）电场的能量。

解 设极板间距为d ，断开电源后电容器带电为Q ，插入金属板达到静电平衡后，金属板与电容器极板相对应的两表面分别带上大小为Q 的异种感应电荷。

此时的电容器可以看作是两个带电为Q 、间距为4d 的平行板电容器的串联。

则插入金属板后的电容为02s d ε，即为原来的两倍；极板上电荷不变；极板上的电势差为原来的12；极板内除金属板内电场强度为零，剩余空间场强不变；电场能量减少为原来的12.8-8 如果圆柱形电容器的内半径增大，使两柱面之间的距离减为原来的一半，此电容器的电容是否增大为原来的两倍？解 不是.圆柱形电容器电容 0r B A2ln lC R R εεπ=,其中B R 为外半径，A R 为内半径，设两柱面间距为d ，即B A R R d -=，当两柱面之间的距离减为原来的一半，即B A 2R R d -=，此时2C C '≠.8-9 （1）一个带电的金属球壳里充满了均匀电介质，外面是真空，此球壳的电势是否等于0r 14QRεεπ？为什么？（2）若球壳内为真空，球壳外是无限大均匀电介质，这时球壳的电势为多少？Q 为球壳上的自由电荷，R 为球壳半径，r ε为介质的相对电容率。

解 （1）此时球壳内的电势等于014QRεπ；（2）若均匀电介质充满球壳外空间，球壳电势为0r 14Q Rεεπ.8-10 把两个电容各为1C 和2C 的电容器串联后进行充电，然后断开电源，把它们改成并联，问它们的电能是增加还是减少？为什么？解 两电容器串联后电容器等效电容为1212C C C C +，小于之前两电容器的电容，并联后两电容器的等效电容为12C C +，大于之前电容器的电容，可见两电容器并联后的等效电容大于串联后的等效电容，又因为充电后断开电源，串联与并联的两种情况电容器电荷总量Q 不变，由2e 12Q W C=可知，改为并联之后电能减少。

习题8-1 一真空二极管，其主要构件是一个半径41 5.010m R -=⨯的圆柱型阴极和一个套在外、半径为32 4.510m R -=⨯的同轴圆筒型阳极。

阳极电势比阴极电势高300V ，阴极和阳极的长均为22.510m L -=⨯.假设电子从阴极射出时的初速度为零,求:(1)该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（2）电子刚从阴极射出时所受的力。

解 由于二极管内圆柱半径远远小于圆柱长（1R L <<），所以可将两极看作两无限长同轴圆柱面，两极之间的电场呈轴对称分布。

（1）电子从阴极射出，初速度为零，经过两极电场受到电场力的作用，到达阳极时所获得的动能等于电场力所作的功，即电势能的减少，所以17k P 4.810J E E eV -=-==⨯ 此时，电子所具有的速度为711.0310m s v -==⨯⋅（2）由高斯定理可知，两极间距离中心轴为r 的一点处电场强度为 02r rλε=-πE e 两极间的电势差为 22112001ln 22R R R R R V d dr r R λλεε=⋅=--ππ⎰⎰E r = 其中负号表示阴极电势比阳极电势低.由上可知，阴极附近的电场强度为 211ln r V R R R =E e其中300V V =-所以电子刚从阴极射出时所受的电场力为 144.3710N r e -=-⨯F E =e8-2 一导体球半径为1R ，外罩一半径为2R 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为0V ，求此系统的电势和电场分布。

解 假设内球带电量为q ，当达到静电平衡后，两球电荷分布如图所示，由于导体球壳电荷分布呈球对称，我们可以取半径为r 同心球面为高斯面。

由高斯定理0sd qε⋅=∑⎰ E S 可得此系统各区域的电场分布为()10E r =1r R <()2204q E r rε=π 12R r R <<()3204q QE r r ε+=π 2r R >利用电势与电场强度的积分关系，可得各区域电势分布如下： 当1r R <时12121123()R R rrR R V r d d d d ∞∞=⋅=⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰⎰E l E l E l E l010244q QR R εε=+ππ当12R r R <<时22223()R rrR V r d d d ∞∞=⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰E l E l E lq00244q Qr R εε=+ππ 当2r R >时330()4rrq QV r d d rε∞∞+=⋅=⋅=π⎰⎰E l E l 又由题意可得，内球的电势为0V ，即10010244q QV V R R εε==+ππ所以内球带电量为 101024R q RV Q R ε=π- 将q 值带入到各区域电场、电势表达式中可得 当1r R <时 10E =，10V V =； 当12R r R <<时 101222024RV R Q E r R r ε=-π， ()1102024r R Q RV V r R rε-=+π； 当2r R >时 ()2110322024R R Q RV E r R r ε-=+π，()21103024R R Q RV V r R rε-=+π.8-3 在两块面积均为S 且相互平行带电薄导体板A 、B 之间，平行插入两块不带电薄导体板C 、D[如图（a ）]，其中A 和C 、C 和D 、D 和B 的间距均为3d ，已知C 、D 未插入时，A 、B 之间的电势差为U .(1) 分析各导体板上的电荷分布，求各区域的电场强度和电势差AC U 、CD U 、DB U ；（2）用导线将C 、D 相连后[如图（b ）]，将导线撤去，再求（1）；（3）最后用导线将A 、B 相连[如图（c ）]，然后断开，再求（1）.（a ）A C D Bq -q q-q （b ） A C D B 1q 1q - 2q - 2q 1q 1q -（c ）解 (1)根据静电平衡条件，设板A 内表面带电为q ，则平衡后电荷分布如（a ）所示，各板间电场为匀强电场且电场强度相同。

所以有3AB CD DB U U U U ===123UE E E E d ====00SUq S E S d εσε===（2）用导线将C 、D 相连后断开，则0CD U =，此时电荷分布如图（b ）所示。

由于C 、D 板电势相等，所以C 、D 之间电场强度为零，既20E =. 由静电平衡知，A 与C 、 D 与B 相对的表面电荷分布不变，所以这两个区域内的电势与场强分布不变，即13AC DB U U U == 13U E E d==(3) 用导线将A 、B 相连后断开，则0AB U =，静电平衡后电荷分布如图（c ）所示。

由于导体板C 、D 分别所带的电荷仍不变，即012SUq q q dε+== （1）又因为A 、B 电势差为零，即1210000333AB q q q d d dU S S S εεε=-+= （2） 由（1）（2）式可得013Sq U dε=，0223Sq U dε=所以C 、D 之间的电场强度与电势差为 223U E d =-，29CD U U =- A 与C 、D 与B 之间的电场强度和电势差分别为 133U E E d ==， 19AC DB U U U ==8-4 如图所示,在真空中将半径为R 的金属球接地，在与球心O 相距为r （r R >）处放置一点电荷q ，不计接地导线上电荷的影响，求金属球表面上的感应电荷总量。