2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：第三章 3.2 第1课时一元二次不等式的解法 Word版含解析

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必修五3.2.2 一元二次不等式恒成立及其应用

3．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤： (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题．思考：解一元二次不等式应用题的关键是什么？
此不等式等价于(x－4)x－23≥0 且 x－23≠0，解得 x<32或 x≥4，
∴原不等式的解集为xx<32或x≥4
.
[规律方法] 1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
思考：x－1>0 在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式 x－1>0 的解集有什么关系？
[提示] x－1>0 在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数 y＝x－1 在区间 [2,3]上的图象恒在 x 轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式 x－1>0 的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式 x－1>0 的解集的子集．
要使对任意 a∈[－3,1]，y<0 恒成立，只需满足gg－1<30<，0，即 x2－2x＋4<0， x2－10x＋4<0. 因为 x2－2x＋4<0 的解集是空集，所以不存在实数 x，使函数 y＝x2＋2(a－2)x＋4 对任意 a∈[－3,1]，y<0 恒成立．
例 3、已知 f(x)＝x2＋ax＋3－a，若 x∈[－2,2]，f(x)≥0 恒成立，求 a 的取值范围.

数学人教A版必修五第三章 3.2 第2课时分式不等式

第2课时一元二次不等式及其解法(二)学习目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一分式不等式的解法一般的分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0；g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 知识点二一元二次不等式恒成立问题一般地，“不等式f (x )>0在区间[a ，b ]上恒成立”的几何意义是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象全部在x 轴上方．区间[a ，b ] 是不等式f (x )>0的解集的子集．恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ； k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min .知识点三含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R 还是∅.在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论．1．由于x －5x ＋3>0等价于(x －5)(x ＋3)>0，故y ＝x －5x ＋3与y ＝(x －5)(x ＋3)图象也相同．( × )2．x 2＋1≥2x 等价于(x 2＋1)min ≥2x .( × )3．对于ax 2＋3x ＋2>0，当a ＝1时与a ＝－1时，对应的不等式解集不能求并集．( √ ) 4．(ax ＋1)(x ＋1)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x ＋1)>0.( × )题型一分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，⎩⎭(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 反思感悟分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f (x )g (x )>0(<0)或f (x )g (x )≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可．跟踪训练1 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12，∴－3<x <－12， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.⎩⎭题型二不等式恒成立问题例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 引申探究把例2(2)改为：对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围．解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5， m (x 2－x ＋1)－6<0. 设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.则g (m )是关于m 的一次函数且斜率 x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0. ∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0，即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52，∴x 2－x －1<0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52，即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.反思感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．跟踪训练2 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求实数m 的取值范围．解构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2)．由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.题型三含参数的一元二次不等式例3 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 解当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0， ∵a <0，∴1a <1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1. 当a ＝0时，不等式可化为－x ＋1<0，解集为{x |x ＞1}．当a ＞0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 当0<a <1时，1a ＞1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，1a <1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 综上，当a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 反思感悟解含参数的一元二次不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．跟踪训练3 解关于x 的不等式(x －a )(x －a 2)<0.解当a <0或a ＞1时，有a <a 2，此时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当0<a <1时，有a 2<a ，此时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解．综上，当a<0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a<x<a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a＝0或a＝1时，解集为∅.穿针引线解高次不等式观察下列不等式解集与图象的关系．猜想第三个不等式的解集.对于函数f(x)＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)…(x－x n)，不妨设x1<x2<x3<…<x n.其图象有两个特点：①当x＞x n时，x－x1＞0，x－x2＞0，…，x－x n＞0，∴f(x)＞0.该区间内f(x)图象在x轴上方．②从x轴右上方开始，f(x)的图象每穿过一个零点，就从x轴一侧到另一侧变化一次．根据这个原理，只要画出f(x)示意图(穿针引线)，即可得到f(x)＞0(或f(x)<0)的解集．如第三个不等式解集为(0,1)∪(2，＋∞)．在此过程中，y轴可省略不画．典例解不等式x－1x(x＋1)＞0.解x－1x(x＋1)＞0即x(x－1)(x＋1)＞0，穿针引线：解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．[素养评析]穿针引线法的发现归功于从简单到复杂，从具体到一般的观察，发现问题，提出命题，这就是逻辑推理素养中的归纳.1．若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2答案 D解析由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2. 2．不等式x －1x －2≥0的解集为( )A ．[1,2]B ．(－∞，1]∪[2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 答案 D解析由题意可知，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x >2或x ≤1.3．不等式3x ＋1≥1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,2]B ．[－1,2]C ．(－∞，2]D ．(－1,2]答案 D解析 ∵3x ＋1≥1，∴3x ＋1－1≥0，∴3－x －1x ＋1≥0，即x－2x＋1≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，故－1<x≤2.4．若不等式x2＋x＋k<0在区间[－1,1]上恒成立，则实数k的取值范围是．答案(－∞，－2)解析x2＋x＋k<0，即k<－(x2＋x)在区间[－1,1]上恒成立，即k<[－(x2＋x)]min.当x＝1时，[－(x2＋x)]min＝－2.∴k<－2.5．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.解方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a<x<－1}；②当a＝－1时，原不等式的解集为∅；③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1<x<a}．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min . 3．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不等根(Δ>0)，两相等实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、选择题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 答案 A解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≠0，(x －1)(2x ＋1)≤0，解得－12<x ≤1.∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1.2．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 答案 C解析由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3， ∴m 的最大值为－3.3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4] D ．[0,4]答案 D解析当a ＝0时，ax 2－ax ＋1<0无解，符合题意．当a <0时，ax 2－ax ＋1<0解集不可能为空集．当a ＞0时，要使ax 2－ax ＋1<0解集为空集，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，a ∈[0,4]．4．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <a 或x >1a B.{}x | x >aC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >a 或x <1a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 答案 A 解析 ∵a <－1，∴a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a >0. 又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a或x <a .∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a . 5．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32 D ．∅ 答案 A解析因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B ，C ，D ，故选A.6．若关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2，依题意得f (1)<0，即1＋a 2－1＋a －2<0， ∴a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.7．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则实数x 的取值范围是( ) A ．1<x <3 B ．x <1或x >3 C ．1<x <2 D ．x <1或x >2答案 B解析设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝x 2－3x ＋2>0，g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 8．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(0,2) C ．(－3,0) D ．(－1,3) 考点 “三个二次”间对应关系的应用题点由“三个二次”的对应关系求参数值答案 A解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0，解得0<m ≤1.二、填空题9．不等式5－xx ＋4≥1的解集为．答案 ⎝⎛⎦⎤－4，12 解析因为5－x x ＋4≥1等价于1－2xx ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋4)≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.10．若不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)≥0的解集是∅，则实数a 的取值范围是．答案 (－1,0]解析当a ＝0时，－2≥0，解集为∅，满足题意；当a ≠0时，a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋4a (a ＋2)<0，解得－1<a <0.综上可知，a 的取值范围是(－1,0]．11．(2018·上饶模拟)当x ＞0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则实数a 的最小值为．答案－2解析当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立，当Δ＝a 2－4＞0时，有f (0)＝1＞0，若要原不等式恒成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2<0，解得a ＞2，所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 三、解答题12．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，求实数a 的取值范围．解当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，4(a －2)2－4(a －2)·(－4)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a 2<4，解得－2<a <2.当a －2＝0时，－4<0恒成立，综上所述，－2<a ≤2.13．已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解方法一由题意可得a <0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系得⎩⎨⎧ba＝－(α＋β)<0， ①ca ＝αβ＞0， ②∵a <0,0<α<β， ∴由②得c <0，则cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋ac ＞0.①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β<0. 由②得a c ＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根．又∵0<α<β， ∴0<1β<1α，∴不等式x 2＋b c x ＋ac ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1β或x ＞1α，即不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1β或x ＞1α. 方法二由题意知a <0，∴由cx 2＋bx ＋a <0，得c a x 2＋ba x ＋1＞0.将方法一中的①②代入，得αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0，即(αx －1)(βx －1)＞0. 又∵0<α<β， ∴0<1β<1α.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1β或x ＞1α.14．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，则实数k 的取值范围为．答案 [－3,2)解析 ∵－2是2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解，∴2(－2)2＋(2k ＋5)(－2)＋5k ＝k －2<0.∴k <2，－k >－2>－52，∴2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝(x ＋k )(2x ＋5)<0的解集为⎝⎛⎭⎫－52，－k ，又x 2－x －2>0的解集为{x |x <－1或x >2}， ∴－2<－k ≤3，∴k 的取值范围为[－3,2)． 15．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0. 解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2.①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a <2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2. 综上，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .。

2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：第一章 1.1.2 余弦定理

[课时作业] [A 组基础巩固]1．△ABC 中，a 2＝bc ，则角A 是( ) A ．锐角 B ．钝角 C ．直角D ．60°解析：由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ＝(b －c )2＋bc2bc >0，∴A <90°.答案：A2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定解析：由正弦定理，a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 22ab <0，即cos C <0，∴C >90°.答案：A3．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154B.34C.31516D.1116解析：由正弦定理：6a ＝4b ＝3c ，∴b ＝32a ，c ＝2a ，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－94a 2(2a )2＝1116. 答案：D4．在△ABC 中，B ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin A ＝( )A.1010B.103C.31010D.55解析：在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝2＋9－6＝5， ∴AC ＝5，由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，解得sin A ＝31010.答案：C5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A.518B.34C.32D.78解析：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，∴等腰三角形腰的长为2a .设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a ＝78.答案：D6．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：设边长为5,7,8的对角分别为A ，B ，C ，则A <B <C . ∴cos B ＝52＋82－722×5×8＝12.∴cos(A ＋C )＝－cos B ＝－12，∴A ＋C ＝120°. 答案：B7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：∵b ＋c ＝7，∴c ＝7－b . 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4. 答案：48．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________.解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.答案：349．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解析：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°. a ＋c ＝8，ac ＝15，则a ，c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，求bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值．解析：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)．同理ac cos B ＝12(a 2＋c 2－b 2)，ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)．∴bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612.[B 组能力提升]1．如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．由增加长度决定解析：设直角三角形的三条边分别为a ，b ，c ，c 为直角边，设同时增加长度k ，则三边长变为a ＋k ，b ＋k ，c ＋k (k >0)，最大角仍为角C ，由余弦定理 cos C ＝(a ＋k )2＋(b ＋k )2－(c ＋k )22(a ＋k )(b ＋k )＝a 2＋2ak ＋k 2＋b 2＋2bk ＋k 2－c 2－2ck －k 22(a ＋k )(b ＋k )＝2k (a ＋b －c )＋k 22(a ＋k )(b ＋k )>0，∴新三角形为锐角三角形．答案：A2．(2015·高考广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( ) A. 3 B ．2 C ．2 2D ．3解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋()232－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得：b ＝2或b ＝4，因为b <c ，所以b ＝2，故选B. 答案：B3．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )，则A ＝________. 解析：由已知：a 2－c 2＝b 2＋bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，由余弦定理：cos A ＝－12，∴A ＝120°.答案：120°4．若2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边长，则实数a 的取值范围是________．解析：因为2a ＋1，a,2a －1是三角形的三边长，所以{ 2a ＋aa －1>0，解得a >12，此时2a ＋1最大，要使2a ＋1，a,2a －1是三角形的三边长，还需a ＋2a －1>2a ＋1，解得a >2.设最长边2a ＋1所对的角为θ，则θ>90°，所以cos θ＝a 2＋(2a －1)2－(2a ＋1)22a (2a －1)＝a (a －8)2a (2a －1)<0，解得12<a <8.综上可知实数a 的取值范围是(2,8)．答案：(2,8)5.如图所示，△ABC 中，AB ＝2，cos C ＝277，D 是AC 上一点，且cos ∠DBC ＝5714.求∠BDA 的大小．解析：由已知得cos ∠DBC ＝5714，cos C ＝277，从而sin ∠DBC ＝2114，sin C ＝217， ∴cos ∠BDA ＝cos(∠DBC ＋C ) ＝5714·277－2114·217＝12， ∴∠BDA ＝60°.6．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求内角A 的大小；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值．解析：(1)∵cos A ＝2cos 2A2－1，又2cos 2A2＋cos A ＝0，∴2cos A ＋1＝0， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12.∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×(－12)，化简，得c 2＋2c －8＝0，解得c ＝2或c ＝－4(舍去).。

【人教A版】2017-2018学年数学必修五优化练习：第二章 2.5 第3课时数列的通项公式 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝3n ＋1C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n －1 答案：C2．数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.( )A ．2n ＋1－3B ．2n －3C ．2n ＋3D ．2n －1－3 解析：a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴此数列是以a 1＋3为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝(1＋3)×2n －1，即a n ＝2n ＋1－3.答案：A3．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，则通项公式是( ) A ．a n ＝12nB ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12nD ．a n ＝12n ＋1 解析：设|2n －1·a n |的前n 项和为T n ，∵数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，∴T n ＝n 2，∴2n －1a n ＝T n －T n －1＝n 2－n －12＝12， ∴a n ＝122n －1＝12n ，经验证，n ＝1时也成立，故a n ＝12n .故选C. 答案：C4．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝⎛⎭⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3nn ＋2B ．a n ＝n ＋23nC ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝(n ＋2)3n 解析：a n ＝13a n －1＋⎝⎛⎭⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)⇔a n ⎝⎛⎭⎫13n ＝a n －1⎝⎛⎭⎫13n －1＋1，即b n ＝a n ⎝⎛⎭⎫13n ，则数列{b n }为首项b 1＝a 113＝3a 1＝3，公差为1的等差数列，所以b n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，所以a n ＝n ＋23n . 答案：B5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)，∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a n a n －1＝－1(n ≥2)．故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.答案：a n ＝3·(－1)n －1 6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________.解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －3)＋(2n －5)＋…＋1＋1＝(n －1)(2n －3＋1)2＋1＝n 2－2n ＋2. 答案：n 2－2n ＋27．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n ＝________.解析：由a n ＝3a n －1＋2，得a n ＋1＝3(a n －1＋1)(n ≥2)．∵a 1＝2，∴a 1＋1＝3≠0，∴数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＋1＝3·3n －1＝3n ，即a n ＝3n －1.答案： 3n －18．已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 1＝________，数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，由(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1得a n a n －1＝n －1n ＋1，故a 3a 1＝a 2a 1·a 3a 2＝13×24＝16. a n ＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n －1a n －2·a n a n －1·a 1＝13×24×35×…×n －2n ×n －1n ＋1×2＝1×2n (n ＋1)×2＝4n (n ＋1).又a 1＝2满足上式，故a n ＝4n (n ＋1)(n ∈N *)答案：16 a n ＝4n (n ＋1)(n ∈N *) 9．已知数列{a n }满足：S n ＝1－a n (n ∈N *)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，求{a n }的通项公式．解析：∵S n ＝1－a n ，①∴S n ＋1＝1－a n ＋1，②②－①得a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ，∴a n ＋1＝12a n ，(n ∈N *)又n ＝1时，a 1＝1－a 1，∴a 1＝12.∴a n ＝12·(12)n －1＝(12)n (n ∈N *)．10．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1·a n ，求a n .解析：由题意知a n ≠0，因为a n ＋1＝nn ＋1·a n ，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1，故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·12·23＝23n .[B 组能力提升]1．已知数列{a n }满足a 1＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，则a n 为() A ．a n ＝1n (n ＋1) B ．a n ＝1n (n －1)C ．a n ＝nn ＋1 D ．a n ＝n －1n ＋1解析：∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，①∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝ (n －1)2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，②①－②得a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1.即a na n －1＝n －1n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×46×…×n －2n ×n －1n ＋1.即a n a 1＝2n (n ＋1)，又a 1＝12，∴a n ＝1n (n ＋1)，当n ＝1时，a 1＝11×(1＋1)＝12成立， ∴a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)．答案：A2．已知{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，则{a n }的通项公式为a n ＝( )A.1nB ．(n n ＋1)n －1 C.1n ＋1D ．(n n ＋1)n 解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0. ∴(a n ＋1＋a n )·[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0.∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0.∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，即a n ＋1＝n n ＋1a n . ∴a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·23·12·a 1＝1n(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1n 也成立，∴a n ＝1n. 答案：A3．对于数列{a n }，满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n ＋1＋n ，则a n ＝________. 解析：∵a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ，∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)，即a n ＝n (n ≥2)，将n ＝1代入也成立，∴a n ＝n .答案：n4．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析：数列{na n }的前n 项和为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)．① 其前n －1项和为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)n (n ＋1)．②①－②，得na n ＝n (n ＋1)[(n ＋2)－(n －1)]＝3n (n ＋1)，即a n ＝3n ＋3.当n ＝1时也满足上式．故a n ＝3n ＋3.答案：3n ＋35．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：法一：因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0.所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)．所以数列{a n ＋1}是等比数列．法二：由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0.∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)， ∴{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)可知a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.6．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列；(2)设c n ＝a n 3n －1，求证：{c n }是等比数列．证明：(1)由S n ＋1＝4a n ＋2得S n ＝4a n －1＋2，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(4a n ＋2)－(4a n －1＋2)＝4a n －4a n －1(n ≥2)，即a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，∴b n ＝2b n －1(n ≥2，n ∈N *)，又b 1＝a 2－2a 1＝3，∴{b n }是以3为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＋1－2a n ＝b n ＝3·2n －1，于是有a n －21a n －1＝3·2n －2，21a n －1－22a n －2＝3·2n －2，22a n －2－23a n －3＝3·2n －2，…2n －2a 2－2n －1a 1＝3·2n －2.将以上n －1个等式叠加得a n－2n－1a1＝(n－1)·3·2n－2，∴a n＝3(n－1)2n－2＋2n－1a1＝(3n－1)·2n－2(n≥2，n∈N*)，＝2n－2，又n＝1时也满足此式，∴c n＝a n3n－1∴{c n}是等比数列，公比是2.。

2017-2018学年高中数学人教A版必修五习题：第3章不等式 3-1 第2课时含答案精品

第三章 3.1 第2课时A 级基础巩固一、选择题1．已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是导学号 68370660( C )A ．a >bB ．a ＝bC ．a <bD ．a ，b 的大小无法确定[解析] a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m ，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1，因为m ＋1＋m >m ＋m －1>0，所以a <b ．2．已知a 、b 、c 、d 均为实数，有下列命题 ①若ab ＜0，bc －ad ＞0，则c a －db ＞0；②若ab ＞0，c a －db ＞0，则bc －ad ＞0；③若bc －ad ＞0，c a －db＞0，则ab ＞0．其中正确命题的个数是导学号 68370661( C ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 [解析] ①∵ab ＜0，∴1ab＜0，又∵bc －ad ＞0∴1ab ·(bc －ad )＜0即c a －db ＜0，∴①错；②∵ab ＞0，c a －db ＞0，∴ab (c a －db )＞0，即：bc －ad ＞0， ∴②正确；③∵c a －db ＞0∴bc －ad ab ＞0，又∵bc －ad ＞0∴ab ＞0∴③正确．3．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则导学号 68370662( C )A ．a 1，∵a >0，∴b >a ．a c ＝5ln22ln5＝ln32ln25＝log 2532>1．∵c >0，∴a >c ，∴b >a >c ．故选C ．4．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是导学号 68370663( C )A ．(－π，π)B ．(0，π)C ．(－π，0)D ．{0}[解析] ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，又－π2<α<π2，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0．故选C ．5．如果a ＞0，且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，那么导学号 68370664( A ) A ．M ＞N B ．M ＜NC ．M ＝ND ．M 、N 的大小无法确定 [解析] M －N ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝ log a a 3＋1a 2＋1，若a >1，则a 3>a 2，∴a 3＋1a 2＋1>1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ，若0<a <1，则0<a 3<a 2，∴0<a 3＋1<a 2＋1，∴0<a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ，故选A ．6．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是导学号 68370665( A )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1D ．12[解析] 本题可用特值法：令a 1＝0．1，a 2＝0．9；b 1＝0．2，b 2＝0．8．则A 中a 1b 1＋a 2b 2＝0．74；B 中a 1a 2＋b 1b 2＝0．25；C 中a 1b 2＋a 2b 1＝0．26，故最大值为A ．二、填空题7．已知a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0，则a d 与bc 的大小关系是．导学号 68370666[解析] ∵c ＞d ＞0，∴1d ＞1c ＞0，∵a ＞b ＞0，∴a d ＞bc＞0，∴a d＞b c． 8．已知2b <a <－b ，则ab 的取值范围为__(－1,2)__．导学号 68370667[解析] ∵2b <a <－b ， ∴2b <－b ．∴b <0，∴1b <0．∴－b b <a b <2b b ，即－1<ab<2．三、解答题9．已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc ．导学号 68370668 [解析] ∵a >b ，c >0，∴ac >bc ．∴－ac <－bc ．又e >f ，即f <e ，∴f －ac <e －bc ．10．已知a ＞0，b ＞0，a ≠b ，n ∈N 且n ≥2，比较a n ＋b n 与a n－1b ＋ab n－1的大小．导学号 68370669[解析] (a n ＋b n )－(a n －1b ＋ab n －1)＝a n －1(a －b )＋b n －1(b －a )＝(a －b )(a n －1－b n －1)，(1)当a ＞b ＞0时，a n －1＞b n －1，∴(a －b )(a n －1－b n －1)＞0，(2)当0＜a ＜b 时，a n －1＜b n －1，∴(a －b )(a n －1－b n －1)＞0，∴对任意a ＞0，b ＞0，a ≠b ，总有(a －b )(a n －1－b n －1)＞0．∴a n ＋b n ＞a n －1b ＋ab n －1．B 级素养提升一、选择题1．若a 、b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是导学号 68370670( D ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b <0[解析] 解法一：由a ＋|b |<0知，a <0,0≤|b |<－a ， ∴b 2<a 2，∴a 2－b 2>0； ∵|b |≥b ，∴a ＋b ≤a ＋|b |<0； ∵|b |≥－b ，∴a －b ≤a ＋|b |<0；∵－a >|b |≥b ，∴(－a )3>b 3，∴a 3＋b 3<0． ∴A 、B 、C 错，D 正确．解法二：取a ＝－2，b ＝±1，易知a －b <0，a 3＋b 3<0，a 2－b 2>0，排除A 、B 、C ，故选D ． 2．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是导学号 68370671( C ) A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD ．2a ＋b a ＋2b >ab[解析] 解法一：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a ，故选C ．解法二：(特值法)令a ＝2，b ＝1，排除A 、D ，再令a ＝12，b ＝13，排除B ． 3．已知函数f (x )＝x 3，x 1、x 2、x 3∈R ，x 1＋x 2<0，x 2＋x 3<0，x 3＋x 1<0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值导学号 68370672( B )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能[解析] ∵f (x )＝x 3是单调递增函数，x 1<－x 2，x 2<－x 3，x 3<－x 1，∴f (x 1)<f (－x 2)，f (x 2)<f (－x 3)，f (x 3)<f (－x 1)，又∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)<－f (x 2)，f (x 2)<－f (x 3)，f (x 3)<－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)<0，f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 3)＋f (x 1)<0 ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0．二、填空题4．若a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式a b >cd >0和ad <bc 都成立的一组值(a 、b 、c 、d )是__(2,1，－1，－2)__(只要举出适合条件的一组值即可)．导学号 68370673[解析] 由a b >c d >0知，a 、b 同号，c 、d 同号，且a b －c d ＝ad －bcbd >0．由ad <bc ，得ad －bc <0，所以bd <0．所以在取(a 、b 、c 、d )时只需满足以下条件即可： ①a 、b 同号，c 、d 同号，b 、d 异号；②ad <bc ．令a >0，b >0，c <0，d <0，不妨取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，则d <bc a ＝－12，取d ＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．5．设a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则p ＝b a ，q ＝ab ，r ＝b ＋m a ＋m ，s ＝a ＋n b ＋n 的大小顺序是__p ＜r ＜s ＜q __．导学号 68370674[解析] 解法一：取a ＝4，b ＝2，m ＝3，n ＝1，则p ＝12，q ＝2，r ＝57，s ＝53则p ＜r ＜s ＜q (特值探路)．解法二：p －r ＝b a －b ＋m a ＋m ＝(b －a )ma (a ＋m )＜0，∴p ＜r ．∵a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0∴a ＋m ＞b ＋m ＞0．a ＋n ＞b ＋n ＞0， ∴b ＋m a ＋m ＜1，a ＋nb ＋n＞1，∴r ＜s ．或r －s ＝b ＋m a ＋m －a ＋n b ＋n ＝(b －a )(b ＋a ＋m ＋n )(a ＋m )(b ＋n )＜0．∴r ＜s ．s －q ＝a ＋n b ＋n －a b ＝(b －a )·nb (b ＋n )＜0，∴s ＜q ．∴p ＜r ＜s ＜q ．三、解答题6．如果30＜x ＜42,16＜y ＜24．分别求x ＋y 、x －2y 及xy 的取值范围. 导学号 68370675[解析] 46＜x ＋y ＜66；－48＜－2y ＜－32， ∴－18＜x －2y ＜10；∵30<x <42，124＜1y ＜116，∴3024＜x y ＜4216，即54＜x y ＜218． C 级能力拔高1．(1)已知c ＞a ＞b ＞0．求证：a c －a ＞bc －b ；导学号 68370676(2)已知a 、b 、m 均为正数，且a ＜b ，求证：a ＋m b ＋m ＞ab ．[解析] (1)∵c ＞a ＞b ＞0∴c －a ＞0，c －b ＞0，⎭⎪⎬⎪⎫由a ＞b ＞0⇒1a ＜1b c ＞0⇒c a ＜c b⎭⎪⎬⎪⎫⇒c －a a ＜c －b b c －a ＞0 c －b ＞0⇒a c －a ＞bc －b ． (2)证法一：a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )，∵0＜a ＜b ，m ＞0，∴m (b －a )b (b ＋m )＞0，∴a ＋m b ＋m ＞ab ．证法二：a ＋m b ＋m ＝a ＋b ＋m －b b ＋m ＝1＋a －b b ＋m ＝1－b －ab ＋m ＞1－b －a b ＝ab．证法三：∵a 、b 、m 均为正数，∴要证a ＋m b ＋m ＞a b ，只需证(a ＋m )b ＞a (b ＋m )，只需证ab ＋bm ＞ab ＋am ，只要证bm ＞am ，要证bm ＞am ，只需证b ＞a ，又已知b ＞a ， ∴原不等式成立．2．设a ＞0，a ≠1，t ＞0比较12log a t 与log a t ＋12的大小．导学号 68370677[解析] 12log a t ＝log a t ，∵t ＋12－t ＝t －2t ＋12＝(t －1)22，∴当t ＝1时，t ＋12＝t ；当t ＞0且t ≠1时．t ＋12＞t ．∵当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＞log a t ＝12log a t ．当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t ．∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴当t ＞0且t ≠1时，log a 1＋t 2＜log a t ＝12log a t ，当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t ．综上知，当t ＝1时，log a 1＋t 2＝12log a t ；当t ＞0且t ≠1时，若a ＞1则log a 1＋t 2＞12log a t ；若0＜a ＜1则log a 1＋t 2＜12log a t ．。

人教A版数学必修五同步配套课件：第三章不等式3.2第2课时

• 『规律总结』 1.对于不等号一端为0的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
• 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分(一般不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
〔跟踪练习2〕解下列不等式： (1)xx＋－13≥0；(2)5xx＋＋11<3.
• ∴2a－a2>－3，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.即a的取值范围为(－1,3)．
• 1．已知不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，则a、C b 的值等于 ( )
• A．a＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
• C[．解析a＝] －由二1，次不b等＝式2与对应二D次．方a程＝的－关系2，知，b＝1和1b是方程ax2＋3x－2＝
∴原不等式的解为{x|x≤－2，或0≤x<3}．
(2)
2x2－5x＋1 3x2－7x＋2
≤1⇔
2x2－5x＋1－3x2＋7x－2 3x2－7x＋2
≤0⇔
－x2＋2x－1 3x2－7x＋2
≤0⇔
3xx22－－27xx＋＋12≥0⇔
x－123x－1x－2≥0，① 3x－1x－2≠0.②
①式中三个根为13，1,2，其中1为二重根．
[解析] 56x2－ax－a2＞0可化为 (7x－a)(8x＋a)＞0. ①当a＞0时，－a8＜a7，∴x＞a7或x＜－a8； ②当a＜0时，－a8＞a7， ∴x＞－a8或x＜a7；
③当a＝0时，x≠0. 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|x>a7或x<－a8}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a<0时，原不等式的解集为{x|x>－a8或x<a7}．

【人教A版】2017-2018学年数学必修五优化练习：第二章 2.5 第4课时数列求和 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．在等差数列{a n }中，a 9＋a 11＝10，则数列{a n }的前19项和为( )A ．98B ．95C ．93D ．90解析：S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 9＋a 11)2＝19×102＝95. 答案：B2．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( ) A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析：由a n ＋1a n ＝－13，由a 2＝－43，∴a 1＝4， ∴S n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n ，令n ＝10得S 10＝3(1－3－10)．答案：C3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 解析：由a 5a 2＝q 3＝142＝18知q ＝12，而新的数列{a n a n ＋1}仍为等比数列，且公比为q 2＝14. 又a 1a 2＝4×2＝8，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝323(1－4－n )．答案：C4．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( )A.14B.512C.34D.712解析：依题意b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前10项和为S 10＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫111－112＝12－112＝512，故选B. 答案：B5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101B.99101C.99100D.101100解析：由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3， ∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A. 答案：A6．数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{1a n}的前10项和为________．解析：由题意得：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋n －1＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，所以1a n ＝2(1n －1n ＋1)，S n ＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1，S 10＝2011. 答案：20117．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝________. 解析：∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，k ∈N *，∴S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.答案：－1 0078．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和为________．解析：该数列的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，而a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1·(1－2n )1－2＝2n －1. ∴S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2·(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n . 答案：2n ＋1－2－n 9．已知{a n } 为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .∵a 3＝－6，a 6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2.∴a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，∵b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，∴－8q ＝－24，∴q ＝3，∴{b n }的前n 项和S n ＝b 1(1－q n )1－q ＝－8(1－3n )1－3＝4(1－3n )． 10．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0.∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n .(2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1. ∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.[B 组能力提升]1．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为( ) A.2n 2n ＋1 B.2n n ＋1C.n ＋2n ＋1D.n 2n ＋1解析：该数列的通项为a n ＝2n (n ＋1)，分裂为两项差的形式为a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，令n ＝1,2,3，…，则S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：B2．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为( ) A.n 3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n 6n ＋4D.n ＋1n ＋2 解析：∵a n ＝1(3n －1)·(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝13⎣⎡⎝⎛⎭⎫12－15＋⎝⎛⎭⎫15－18＋⎝⎛⎭⎫18－111＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2 ＝13×3n 2(3n ＋2)＝n 6n ＋4. 答案：B3．已知点⎝⎛⎭⎫sin n π2，a n ＋2π4在直线l ：y ＝－2x ＋2π4＋22上，则数列{a n }的前30项的和为________．解析：点⎝⎛⎭⎫sin n π2，a n ＋2π4在直线l ：y ＝－2x ＋2π4＋22上，∴a n ＝22－2sin n π2，sin n π2的最小正周期为4，取值是1,0，－1,0的循环，∴数列{a n }的前30项和S 30＝30×22－2[7×(1＋0－1＋0)＋1＋0]＝59 2. 答案：59 24．设f (x )＝12x ＋2，则f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝________. 解析：f (x )＝12x ＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x 2＋2·2x ＝12·2x 2＋2x， ∴f (x )＋f (1－x )＝1＋22·2x 2＋2x＝22，即f (x )＋f (1－x )是一个定值．∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝6×22＝3 2. 答案：3 25．(2016·高考全国Ⅱ卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解析：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2. (2)因为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，1≤n <10，1，10≤n <00，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.6．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝1.所以a n＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得b n＝2n＋n.所以b1＋b2＋b3＋...＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋...＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋...＋210)＋(1＋2＋3＋ (10)＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.。

2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：综合检测

综合检测时间：120分钟　满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }是等比数列，a 3＝，a 6＝2，则公比q ＝( )14A ．－ B ．－212C ．2D.12解析：＝q 3＝8，∴q ＝2.a 6a 3答案：C2．若a 、b 为实数，则下面一定成立的是( )A ．若a ＞b ，则a 4＞b 4B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2D ．若a ≠|b |，则a 2≠b 2解析：a ＞|b |⇔a 2＞b 2.答案：C3．下列命题中正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B ．a >b ⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a >b 解析：选项A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；选项B 中，当a ＝0，b ＝－1时a >b ，但a 2b 2，但a 0，∴a 5＝4，∴a 2·a 5·a 8＝a ＝64，故选D.35答案：D5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋ac ，则角B 的大2小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：由已知得a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝＝＝.又0°<B <180°，所2a 2＋c 2－b 22ac2ac2ac 22以B ＝45°.答案：A6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6 B ．7C ．8D ．9解析：∵{a n }是等差数列，∴a 4＋a 6＝2a 5＝－6，即a 5＝－3，∴d ＝＝＝2，故{a n }是首项为－11的递增数列，所有的非正项之和最小．a 5－a 15－1－3＋114∵a 6＝－1，a 7＝1，∴当n ＝6时，S n 取得最小值．答案：A7．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝，AC ＝4，则AC 边上的高为( )13A. B.322332C.D ．3323解析：由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cosA ，可得13＝9＋16－2×3×4×cosA ，得cosA ＝.∵A 为△ABC 的内角，∴A ＝，∴AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×＝.12π332332答案：B8．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )A ．80≤a ＜125 B ．80＜a ＜125C ．a ＜80D ．a ＞125解析：由5x 2－a ≤0，得－≤x ≤.而5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，所以4≤a5a5＜5，所以80≤a ＜125.a5答案：A9．若实数x ，y 满足不等式组Error!且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )A ．－2 B ．－1C ．1D ．2解析：作出可行域．如图中阴影部分所示．由Error!得A .(1＋3m－1＋2m ，5－1＋2m )平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值．即＋＝9，解得m ＝1.1＋3m－1＋2m 5－1＋2m 答案：C10．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形解析：由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1，故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1，即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C.答案：C11．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2，则＋的最大值为( )31x 1y A ．2 B.32C ．1D.12解析：∵2＝a ＋b ≥2，∴ab ≤3.3ab 由a x ＝b y ＝3得x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴＋＝＋＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 33＝1.故选C.1x 1y 1log a 31log b 3答案：C12．数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n ＋1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，满足a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＋2＞a n ＋2a n ＋3(n ∈N *)，则( )A ．0＜q ＜B ．0＜q ＜1＋221＋52C ．0＜q ＜D ．0＜q ＜－1＋22－1＋52解析：∵{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列，∴a n a n ＋1＝(a 1a 2)·q n －1，∴(a 1a 2)·q n －1＋(a 1a 2)·q n ＞(a 1a 2)·q n ＋1，∴1＋q ＞q 2，∴q 2－q －1＜0，∴0＜q ＜.1＋52答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．不等式≤x 的解集是________．1x 解析：≤x 等价于x －≥0，1x 1x 即≥0，所以不等式的解集为{x |－1≤x <0或x ≥1}．x 2－1x答案：{x |－1≤x <0或x ≥1}14．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，那么数列{a n }的前6项和S 6＝________.解析：设公比为q ，由题意，得Error!解得a 1＝1，q ＝2，所以S 6＝＝＝63.a 1(1－q 6)1－q1－261－2答案：6315.如图，△ ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝2，点D 在BC 边上，3∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由余弦定理得：cos C ＝＝＝，AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC4＋12－42×2×2332∴∠C ＝30°.在△ADC 中由正弦定理，得＝，ADsin C ACsin ∠ADC∴＝.故AD ＝.AD 122222答案：216. 不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切x ∈R 恒成立．若a ＋2＝0，显然不成立；若a ＋2≠0，则Error!⇔Error!⇔Error!⇔a >2.答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且＝.sin Csin B 35(1)求AC ；(2)求角A .解析：(1)由正弦定理，得＝，ACsin B ABsin C ∴＝＝.ABAC sin C sin B 35∴AC ＝＝5.5×33(2)由余弦定理，得cos A ＝＝＝－.AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC9＋25－492×3×512又0°<A <180°，∴A ＝120°.18．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求实数a ，b 的值；(2)当c >2时，解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解析：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1，a >0，由根与系数的关系，得Error!解得Error!(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }．19．(12分)设二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ∈N *)有两个实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：是等比数列；{an －23}(3)当a 1＝时，求数列{a n }的通项公式．76解析：(1)由根与系数的关系，得α＋β＝，αβ＝，代入6α－2αβ＋6β＝3，并化简，an ＋1an 1an 得a n ＋1＝a n ＋.1213(2)证明：因为a n ＋1＝a n ＋，1213所以a n ＋1－＝.2312(an －23)因此，数列是公比为的等比数列．{an －23}12(3)当a 1＝时，a 1－＝，所以是首项为，公比为的等比数列．762312{an －23}1212所以a n－＝·n －1＝n，2312(12)(12)故a n＝＋n.23(12)20.(12分)要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm)，能使整个矩形广告面积最小．解析：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝20 000，所以b ＝，20 000a广告的高为(a ＋20)cm ，宽为(3b ＋30)cm(其中a >0，b >0)，广告的面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30)＝30(a ＋2b )＋60 600＝30＋60 600(a ＋40 000a)≥30×2＋60 600a ·40 000a＝12 000＋60 600＝72 600.当且仅当a ＝，40 000a即a ＝200时等号成立，此时b ＝100.故当广告矩形栏目的高为200 cm ，宽为100 cm 时，可使整个矩形广告的面积最小．21．(13分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin 22C ＋sin 2C ·sinC ＋cos 2C ＝1，且a ＋b ＝5，c ＝.7(1)求角C 的大小；(2)求△ABC 的面积．解析：(1)∵sin 22C ＋sin 2C ·sin C ＋cos 2C ＝1，∴4sin 2 C ·cos 2 C ＋2sin 2 C ·cos C ＋1－2sin 2 C ＝1，即2sin 2 C (2cos 2 C ＋cos C －1)＝0.∴2sin 2 C (2cos C －1)(cos C ＋1)＝0.∵在△ABC 中，sin C ≠0，cos C ＞－1，∴cos C ＝，∴C ＝.12π3(2)∵cos C ＝＝＝，b 2＋a 2－c 22ab(a ＋b )2－c 2－2ab2ab12∴＝，∴ab ＝6.25－72ab 32∴S △ABC ＝ab sin C ＝×6×＝.12123233222．(13分)已知各项均为正数的数列{a n }，满足a －a n ＋1a n －2a ＝0(n ∈N *)，且a 1＝2.2n ＋12n (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·log a n ，若b n 的前n 项和为S n ，求S n ；12(3)在(2)的条件下，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值．解析：(1)∵a －a n ＋1a n －2a ＝0，2n ＋12n ∴(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－2a n )＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋1＋a n >0，∴a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，所以数列{a n }是以2为公比的等比数列．∵a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由(1)及b n ＝a n log a n 得，b n ＝－n ·2n ，12∵S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，∴S n ＝－2－2·22－3·23－4·24－…－n ·2n ①∴2S n ＝－22－2·23－3·24－4·25－…－(n －1)·2n －n ·2n ＋1②②－①得，S n ＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2.2(1－2n )1－2(3)要使S n ＋n ·2n ＋1>50成立，只需2n ＋1－2>50成立，即2n ＋1>52，∴使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.。

2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：第三章 3.3.2 简单的线性规划问题

[课时作业][A 组　基础巩固]1．在△ABC 中，三顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及其边界上运动，则m ＝y －x 的取值范围为( )A ．[1,3] B ．[－3,1]C ．[－1,3]D ．[－3，－1]解析：直线m ＝y －x 的斜率k 1＝1≥k AB ＝，且k 1＝1＜k AC ＝4，∴直线经过点C (1,0)时m 23最小，为－1，经过点B (－1,2)时m 最大，为3.答案：C2．若变量x 、y 满足约束条件Error!，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由约束条件作出可行域如图所示，由图可知，目标函数在点A 处取得最小值．联立Error!，解得Error!，∴A (0,1)，所以z ＝2x －y 在点A 处取得最小值为2×0－1＝－1.答案：A3．已知x ，y 满足Error!且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )A ．2B ．9C ．3D ．010解析：由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0.答案：D4．已知变量x ，y 满足Error!则x 2＋y 2的取值范围是( )A ． [13,40]B ．[13,40)C ．(13,40)D ．(13,40]解析：作出可行域如图阴影部分所示．x 2＋y 2可以看成点(0,0)与点(x ，y )距离的平方，结合图形可知，点(0,0)与可行域内的点A (2,3)连线的距离最小，即x 2＋y 2最小，最小值为13；点(0,0)与可行域内的点B (2,6)连线的距离最大，即x 2＋y 2最大，最大值为40.所以x 2＋y 2的取值范围为[13,40]．答案：A5．已知▱ABCD 的三个顶点为A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)，点(x ，y )在▱ABCD 的内部，则z ＝2x －5y 的取值范围是( )A ．(－14,16)B ．(－14,20)C ．(－12,18)D ．(－12,20)解析：如图，由▱ABCD 的三个顶点A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)可知D 点坐标为(0，－4)，由z ＝2x －5y 知y ＝x －，25z 5∴当直线y ＝x －过点B (3,4)时，25z 5z min ＝－14.当直线y ＝x －过点D (0，－4)时，z max ＝20.25z 5∵点(x，y)在▱ABCD的内部不包括边界，∴z的取值范围为(－14,20)．答案：B6．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．解析：设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z＝5x＋3y.由题意得Error!可行域如图阴影所示．由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：277．若x，y满足约束条件Error!，则z＝3x＋y的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：3x＋y＝0，平移直线l0，当直线l：z＝3x＋y过点A时，z取最大值，由Error!解得A(1,1)，∴z＝3x＋y的最大值为4.答案：48．已知x，y满足约束条件Error!则x2＋y2的最小值是________．x2＋y2解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由Error!得A(1,2)，所以|AO|2＝5.答案：59．已知实数x，y满足Error!(1)求不等式组表示的平面区域的面积；(2)若目标函数为z ＝x －2y ，求z 的最小值．解析：画出满足不等式组的可行域如图所示：(1)易求点A 、B 的坐标为：A (3,6)，B (3，－6)，所以三角形OAB 的面积为：S △OAB ＝×12×3＝18.12(2)目标函数化为：y ＝x －z ，作图知直线过A 时z 最小，可得A (3,6)，1212∴z min ＝－9.10．某工厂制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解析：设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，依题意Error!钢板总面积z ＝2x ＋3y .作出可行域如图所示．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，最小．由方程组Error!得Error!.所以，甲、乙两种钢板各用5张．[B 组　能力提升]1．设O 为坐标原点，A (1,1)，若点B (x ，y )满足Error!则·取得最小值时，点B 的个数OA → OB → 是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个解析：如图，阴影部分为点B (x ，y )所在的区域．∵·＝x ＋y ，OA → OB → 令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2.答案：B2．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4.那么a 2＋b 2的取值范围是( )A ．(，)B ．(，16)4516545C ．(1,16) D ．(，4)165解析：原不等式组等价为Error!，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，a 2＋b 2表示区域内的动点P (a ，b )到原点距离的平方，由图象可知当P 在D 点时，a 2＋b 2最大，此时a 2＋b 2＝42＝16，原点到直线a ＋2b －2＝0的距离最小，即d ＝＝，所以|－2|1＋2225a 2＋b 2＝d 2＝，即a 2＋b 2的取值范围是<a 2＋b 2<16，选B.4545答案：B3．已知实数x ，y 满足不等式组Error!目标函数z＝y －ax (a ∈R)．若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是________．解析：如图所示，依题意直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于A (1,3)，此时取最大值，故a ＞1.答案：(1，＋∞)4．给定区域D ：Error!令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D ，如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点A (0,1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值．而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：65．已知Error!(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝的范围．y ＋1x ＋1解析：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A (1,3)、B (3,1)、C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝.92(2)z ＝表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，因为y －(－1)x －(－1)k QA ＝2，k QB ＝，12故z 的范围为.[12，2]6．已知－1＜x ＋y ＜3，且2＜x －y ＜4，求2x ＋3y的范围．解析：在直角坐标系中作出直线x ＋y ＝3，x ＋y ＝－1，x －y ＝4，x －y ＝2，则不等式组Error!表示的平面区域是矩形ABCD 区域内的部分．设2x ＋3y ＝z ，变形为平行直线系l ：y ＝－x ＋.23z 3由图可知，当l 趋近于A 、C 两点时，截距趋近于最大值与最小值，即z 趋近于最大值与z 3最小值．由Error!求得点A (，)．5212所以z ＜2×＋3×＝.5212132由Error!求得点C (，－)．3252所以z ＞2×＋3×(－)＝－.325292所以－＜2x ＋3y ＜.92132。

2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：第三章章末优化总结

章末检测(三) 不等式时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式(x ＋3)2<1的解集是( ) A ．{x |x >－2} B ．{x |x <－4} C ．{x |－4<x <－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}解析：原不等式可化为x 2＋6x ＋8<0，解得－4<x <－2. 答案：C2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b ＋c B ．ac >bc C.c 2a －b>0 D.c 2a －b≥0 解析：∵a >b ，∴a －b >0，c 2≥0 ∴c 2a －b ≥0. 答案：D3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N 解析：因为M －N ＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，所以M >N ，故选A. 答案：A4．已知关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28<0的解集为{x |－7<x <－1}，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为不等式mx 2＋8mx ＋28<0的解集为{x |－7<x <－1}，所以－7，－1是方程mx 2＋8mx ＋28＝0的两个根，且m >0，所以⎩⎨⎧－7－1＝－8m m，－7×(－1)＝28m，∴m ＝4.答案：D5．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．15解析：x ，y 为正数，(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4xy ≥9，当且仅当y ＝2x 等号成立，选B. 答案：B6．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32D ．3解析：可行域为如图所示的阴影部分，可知z ＝x －y 在点A (0，3)处取得最小值，∴z 最小值＝－3.答案：A7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －3)>10，x 2＋7x ＋12≤0的解集为( )A ．[－4，－3]B ．[－4，－2]C ．[－3，－2]D ．∅解析：⎩⎪⎨⎪⎧ －2(x －3)>10x 2＋7x ＋12≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －3<－5(x ＋3)(x ＋4)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－2－4≤x ≤－3⇒－4≤x ≤－3. 答案：A8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1解析：∵x 2y 2≤⎝⎛⎭⎫x 2＋y 222＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，∴(1－xy )(1＋xy )＝1－x 2y 2≥34.∴x 2y 2≥0，∴34≤1－x 2y 2≤1.答案：B9．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－4 B ．a ≥－4 C ．a ≥－12D ．a ≤－12解析：令y ＝2x 2－8x －4(1≤x ≤4)，则y ＝2x 2－8x －4在x ＝4时取得最大值－4，∴当a ≤－4时，2x 2－8x －4≥a 在1≤x ≤4内有解．答案：A10．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6D ．8解析：∵a ，b 是实数， ∴2a >0,2b >0，于是2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝223＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2.答案：B11．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元积(单位：亩)分别为( ) A ．50,0 B ．30,20 C ．20,30D ．0,50解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y . 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.表示的可行域如图，易求得点A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)．平移直线x ＋0.9y ＝0，可知当直线经过点B (30,20)，即x ＝30，y ＝20时，z 取得最大值，且z max ＝48.故选B. 答案：B12．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x >0，y >0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为( )A.256B.94 C ．1D ．4解析：作出可行域如图阴影部分所示(不包括坐标轴边界上的点)．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋1b z .因为a >0，b >0，所以－a b <0，作直线l 0：y ＝－abx 并向上平移，数形结合知，当l 0平移至过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0，x －y ＋2＝0得点A 的坐标为(8,10)，即z max ＝8a ＋10b ＝40，得a 5＋b4＝1，于是⎝⎛⎭⎫5a ＋1b ⎝⎛⎭⎫a 5＋b 4＝54＋⎝⎛⎭⎫5b 4a ＋a 5b ≥54＋214＝94⎝⎛⎭⎫当且仅当5b 4a ＝a 5b 时取“＝”.∴⎝⎛⎭⎫5a ＋1b min ＝94.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．函数y ＝2－x －4x (x >0)的值域为________．解析：当x >0时，y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤2－2x ×4x＝－2. 当且仅当x ＝4x ，x ＝2时取等号．答案：(－∞，－2]14．不等式x ＋1x ≤3的解集为________．解析：x ＋1x ≤3⇔x ＋1－3x x ≤0，即2x －1x ≥0，∴x ＜0或x ≥12.答案：(－∞，0)∪[12，＋∞)15．已知不等式x 2－ax －b <0的解集为(2,3)，则不等式bx 2－ax －1>0的解集为________．解析：方程x 2－ax －b ＝0的根为2,3. 根据韦达定理得：a ＝5，b ＝－6，所以不等式为6x 2＋5x ＋1<0，解得解集为⎝⎛⎭⎫－12，－13. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，－13 16. 设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤10，2x ＋y ≥3，0≤x ≤4，y ≥1表示的平面区域，则D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是________．解析：画出可行域，由图知最优解为A (1,1)，故A 到x ＋y ＝10的距离为d＝4 2.答案：4 2三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知f (x )＝x 2＋2x ＋2a －a 2，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围．解析：设g (x )＝x 2＋2x .因为f (x )>0，所以x 2＋2x >a 2－2a .只要使g (x )在[1，＋∞)上的最小值大于a 2－2a 即可．因为g (x )＝x 2＋2x 在[1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝3.所以a 2－2a <3，解此一元二次不等式，得－1<a <3. 所以实数a 的取值范围是(－1,3)． 18．(12分)已知f (x )＝x 2－(a ＋1a )x ＋1，(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a ＞0，解关于x 的不等式f (x )≤0.解析：(1)当a ＝12时，有不等式f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，∴(x －12)(x －2)≤0，∴不等式的解集为{x |12≤x ≤2}．(2)∵不等式f (x )＝(x －1a )(x －a )≤0，当0＜a ＜1时，有1a ＞a ，不等式的解集为{x |a ≤x ≤1a}；当a ＞1时，有1a ＜a ，不等式的解集为{x |1a ≤x ≤a }；当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}．19．(12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？解析：设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图阴影部分所示．而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y (目标函数)，可联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，得交点B (1.5,0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大． 20．(12分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．解析：(1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25. (2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k >66或k <－66.所以k <－66. 即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－66.21．(13分)某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和．(注：f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额) (1)从第几年开始获利？(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂； ②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．问哪种方案最合算？为什么？解析：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，则f (n )＝50n －⎣⎡⎦⎤12n ＋n (n －1)2×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)获利就是要求f (n )>0，所以－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利． (2)①年平均利润＝f (n )n ＝40－2⎝⎛⎭⎫n ＋36n ≤16. 当且仅当n ＝6时取等号，故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－2(n －10)2＋128. 当n ＝10时，f (n )max ＝128.故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)．故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案． 22．(13分)设函数f (x )＝x ＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的最小值．解析：(1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋ax ＋1，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，∵x ∈[0，＋∞)， ∴x ＋1>0，2x ＋1>0，∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值．此时，f (x )min ＝22－1. (2)当0<a <1时，f (x )＝x ＋1＋ax ＋1－1. 若x ＋1＋ax ＋1≥2a ，则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号，此时x ＝a －1<0(不合题意)，因此，上式等号取不到．设x 1>x 2≥0，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋1－x 2－a x 2＋1＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤1－a(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1>x 2≥0，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>1，x 2＋1≥1. ∴(x 1＋1)(x 2＋1)>1，而0<a <1. ∴a(x 1＋1)(x 2＋1)<1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (0)＝a .。

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[课时作业]
[A组基础巩固]
1．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则()
A．M∩N＝∅B．M∩N＝M
C．M∪N＝M D．M∪N＝R
解析：M＝{x|0<x<1}，N＝{x|－2<x<2}，
∴M∩N＝M.故选B.
答案：B
2．不等式x2－2x－5>2x的解集是()
A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1}
C．{x|－1<x<5} D．{x|－1≤x≤5}
解析：由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0.
因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．
答案：B
3．不等式x(2－x)＞3的解集是()
A．{x|－1＜x＜3}B．{x|－3＜x＜1}
C．{x|x＜－3或x＞1} D．∅
解析：将不等式化为标准形式x2－2x＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x(2－x)＞3的解集为∅.
答案：D
4．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为()
A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7}
B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7}
C．{x|x≤－2或x>3}
D．{x|x<－2或x≥3}
解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或3<x≤7}．
答案：A
5．若0＜t ＜1，则不等式(x －t )(x －1t
)＜0的解集为( ) A ．{x |1t
＜x ＜t } B ．{x |x ＞1t 或x ＜t } C ．{x |x ＜1t
或x ＞t } D ．{x |t ＜x ＜1t
} 解析：∵0＜t ＜1，∴1t ＞1，∴t ＜1t
， ∴(x －t )(x －1t )＜0⇔t ＜x ＜1t
. 答案：D
6．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．解析：由⎩⎨⎧ －12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，
∴a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.
答案：－14 7．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个实根，则实数m 的取值范围是________．
解析：由Δ＝(m －3)2－4m ≥0可得m ≥9或m ≤1.
答案：m ≤1或m ≥9
8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：当x ≥0时，f (x )＞f (1)＝3，即x 2－4x ＋6＞3，解得0≤x ＜1或x ＞3；当x <0时，f (x )>f (1)＝3，即x ＋6>3，解得－3<x <0.故f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
9．解不等式0≤x 2－x －2≤4.
解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－x －2≥0，
x 2－x －2≤4，解x 2－x －2≥0，得x ≤－1或x ≥2；
解x 2－x －2≤4，得－2≤x ≤3.
所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}．
10．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x <－2或x >－12，求ax 2－bx ＋c >0的解集．解析：由题意，－2，－12
是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，且a <0，故⎩⎨⎧
－2＋⎝⎛⎭⎫－12＝－b a (－2)×⎝⎛⎭⎫－12＝c a
，
解得a ＝c ，b ＝52c . 所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，
解得12
<x <2. 即不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |12<x <2. [B 组能力提升]
1．已知不等式x 2－2x －3＜0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为
( )
A ．3
B ．－1
C ．2
D ．3或－1
解析：∵x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3，
∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0.
∴a 4＝3或－1.
答案：D
2．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为
( )
A ．(0,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1,2) 解析：根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故这个不等式的解集是(－2，1)．
答案：B
3．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则 k 的取值范围是________．
解析：由题意可知k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.又k ≠0，∴k 的取值范围是k ≥4或k ≤2且k ≠0.
答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)
4．设0(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则a 的取值范围为________．
解析：原不等式化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0.
①当a ≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a >1时，b 1－a <x 4的解集为{x |x <1或x >b }，
(1)求a ，b ；
(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.
解析：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得
⎩⎨⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝2. 所以{
a ＝1，
b ＝2.
(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.
①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为
{x |2<x <c }；
②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为
{x |c <x <2}；
③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.
综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；
当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；
当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.
6．关于x 的不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－x －2＞0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0 的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．
解析：由x 2－x －2＞0，可得x ＜－1或x ＞2.
∵⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－x －2＞0，
2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52
，若－ k ＜－52
，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；若－52
＜－k ，则应有－2＜－k ≤3， ∴－3≤k ＜2.
综上，所求的k 的取值范围为－3≤k ＜2.。