水务工程大学物理第四章功和能

§4-6 机械能守恒定律
质点系的动能定理： 其中
W内 W外 Ek 2 Ek1
W内 W保内 W非保内
W外 W保内 W非保内 Ek 2 Ek1
W保内 E p 2 E p1
W外 W非保内 Ek 2 Ep 2 Ek1 Ep1
§4-5 由势能求保守力
保守力与势能的积分关系： 保守力与势能的微分关系： 因为：
W E p
dW dE p
dW F dr Fx dx Fy dy Fz dz
EP EP dE p dx dy dz x y z E p
所以：
Fx
0
0
θ
例 一球形容器落入水中，其刚接触水面时， 其速度为 v0 。设此容器在水中所受的浮力与重力相 等，水的阻力为 f=-kv ,求阻力所做的功。
解：如图，取坐标 Ox 向 下为正。由功的定义，水的 阻力做的功为
O
v0
W f F dr kvdx
由题意：
F浮 f
rb
（3）弹性力的功
m
F
m
o
x1
由胡克定律：
x2 x2 W F dx kxi dxi kxdx
x1 x1
F kxi
a x2
x
x
b
弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关， 而与弹性变形的过程无关。
1 2 1 2 W kx1 kx2 2 2
m处时，此
解：
dW F dr Fx dx Fy dy
W Fx dx Fy dy
x0 y0 x1 y1
Fx ( x1 x0 ) Fy ( y1 y0 )
3(2 0) 5(3 0)
9 J
例、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如 果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作 了多少功？
dr
a
a
b
Fr ds
F
dv Fr ma m dt dv dW Fr ds m ds mvdv dt
总功： W dW 质点的动能定理：


v2
v1
1 2 2 mvdv m( v2 v1 ) 2
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
1 2 1 2 W mv2 mv1 Ek 2 Ek1 2 2
b a
x
mgza mgzb 重力做功仅取决于质点的始、末位置za
和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力作功 设质量为M的质点固 定，另一质量为m的质点 在M 的引力场中从a点运 动到b点。 Mm
a
dr F r d r ra
c
a
r dr
b
F G0
（ 1）
P
F浮 P， 则 F f ma,
即
代入（1）得
定义动能 ： 合外力的功
初动能
末动能
合外力的功等于其动能的增量，难道这只是巧合？
§4-2 动能定理 1．质点动能定理 动能：
1 2 Ek mv 2
单位：（J）
设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点 元功：
dW F dr F cos a ds
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力所作的功 。
F dr cos a = F. dr
d ra

b
a
F
在直角坐标系中
F Fx i Fy j Fz k
W
b a a
r xi yj zk
b F dr Fx i Fy j Fz k dxi dyj dzk
§4-1 功
一 功和功率
功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力 对空间积累作用。
功的定义： 力在位移方向上的 投影与位移大小的 乘积。
z
r
O
F

F
r1
x
y
1. 恒力的功
W F r cos a F r
a
Δr
F
F
即功等于力和位移的点积。
2. 变力的功
元功： dW = 功：
质点系的动能定理：
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统的总动能。
例 已知质量m=1.0Kg的物体连在1m长的绳子一端。从 0=30º 处静止下落. 求10º 时,小球的速率v 解:小球在任意时刻受重力P与拉力T. 外力作功 W F dr T dr P dr 0 T dr 0 P dr P cos ds T 且 cos = sin, ds = - ld W P cos ds mg sin ds dr mgl sin d 代积分上下限
W mgl sin d mgl (cos cos 0 ) P 0 1 2 1 2 W mgl (cos cos ) mv mv 0 由动能定理 0 2 2

因为 v0=0
v 2 gl (cos cos 0 )
代入数据 l =1m, 0=30º , =10º 所以
W ( E P 2 E P 1 ) Δ E P
保守力做功在数值上等于系统势能的减少。 设空间2处为势能的零点，则1处的势能为：
E p1
r2
r1
F dr
结论： 空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点
移动到势能零点时保守力做的功。
说明： （1）势能是一个系统的属性。 （2）势能是位置的单值函数。 （3） 势能的大小只有相对的意义，相对 于势能的零点而言。 （4）势能的零点可以任意选取。 重力势能： E p mgh （地面（h = 0）为势能零点） 1 2 （弹簧自由端为势能零点） 弹性势能： E p kx 2 Mm （无限远处为势能零点） 引力势能： E p G0 r （5）引入势能的一个重要目的是为了 简化保守力做功的计算。
保守力：
作功与路径无关，只与始末位置有关的力。
与保守力相对的称为耗散力，如摩擦力。 保守力的特点： 保守力沿任何闭合路径作功等于零。
F dr 0
根据保守力做功的特点，可以引入只和位 置有关的物理量---势能
势能 由保守力作功:
重力的功: Wab (mgzb mgza )
E p x
Fy
E p y
Fz p E p E p F i j x y z
结论：
k
保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系 统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向 指向势能降低的方向。
F 6 t 解： a 3t m 2
两边积分：
v t
dv a dt dv adt 3t dt
3 2 v t 0 dv 0 3tdt 2 3 2 dx dx vdt t dt v 2 dt 2 3 2 9 42 36 J W F dx 6t t dt t 0 2 4 0
' r
r
r0
W W f W f f r f r0 ' ' f r r0 f r0 f r


以汽车为参考系
' 物体m和斜面相对汽车的位移分别为r 和零，则
' W Wf Wf f r f 0 ' f r
a 时，dW 0，力做负功。
功不仅和力的大小、方向、始末位置有 关，还和具体路径有关，即功是过程量。
功的几何意义：
示功图
F (x)
功在数值上等于示功图 曲线下的面积。
F
0 x1 dx x2 x
功和参考系有关，具有相对性。
举 例
加 速 运 动
f
以车厢为参考系，摩擦力不做功。以地面为 参考系，摩擦力做功。一般情况下，通常约定 以地面为参考系。
一对相互作用力的功与参考系无关。
f
f
a
设f 和f 分别为作用在物体 m和斜面上的摩擦力， 由牛顿第三定律： f f
以地面为参考系：
汽车相对地面的位移为 物块相对车的位移为
r0
' r
物块相对地面的位移为
则这一对力的功为
' r r r0
例 有一单摆，用一水平力作用于m使其缓慢上升。当θ
由0增大到θ0时，求: 此力的功。 解： F T mg 0
F T mg d θ dW F dr (T mg ) dr Lθ T mg dr dr m mg cos( / 2 )ds mg sin ds mgL sin d F mg W mgL sin d mgL(1 cos 0 )
Mm Mm 万有引力的功： W [( G0 ) (G0 )] rb ra
弹性力的功：
EP为物体的势能, 三种势能为：
1 2 1 2 W ( kx2 kx1 ) 2 2 重力势能 EP mgz
弹性势能
1 2 E P kx 2
Mm 引力势能 EP G0 r
可写为统一的一般形式
2．质点系的动能定理
一个由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。 质点的动能定理：
Wi外 Wi内 E k 2i E k1i