(部编本人教版)【精品资料】中考数学高分一轮复习教材同步复习第四章三角形课时18解直角三角形及其应用权
人教版中考数学一轮复习课件第四章 第2课时 三角形的有关概念及性质
重要 线段 中线
高线
图形
性质
结论
BD＝__D_C_
1.中线将三角形分割成等底同
高(即面积相等)的两个三角 形,即S△ABD＝S△ACD＝ 12S△ABC； 2．三角形三条中线的交点,
叫做这个三角形的重心
AD⊥__B_C__, 即∠ADB＝ ∠ADC＝90°
1.高线不一定在三角形内,遇 到高线问题应注意分类讨论； 2．三角形三条高线的交点, 叫做这个三角形的垂心
A．1.7
B．1.8
C．2.2
D．2.4
2．如图,△ABC中,AB＝4,AC＝3,AD,AE分别是其角平分线和中线, 过点C作CG⊥AD于点F,交AB于点G,连接EF,则线段EF的长为( A)
A. 1
B．1
C. 7
D．7
2
2
3．如图,在△ABC中,∠C＝90°,AD平分∠BAC交CB于点D,过点D作
DE⊥AB,垂足恰好是边AB的中点E.若AD＝3 cm,则BE的长为( A)
A. 3 3 cm
2
C．3 2 cm
B．4 cm D．6 cm
【问题情境1——示例】 1．为了探究三角形内角和,把∠B和∠A剪下后拼在一起,请你用量角器量 一量,∠BCD＝____1_8_0___°,所以∠A＋∠B＋∠ACB＝_____1_8_0__°.
1.三角形三个内角的和等于180°；特别地,当有一个内角是 90°时,其余的两个内角互余
2.三角形的外角和等于360°
3.三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三 角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角
三角形的 边角关系 同一个三角形中,等角对等边,大角对大边
状元笔记：三角形的外角通常和三角形的内角、平行线一起考查,在解题时 要注意一个外角和与它不相邻的两个内角之间的关系
人教版中考数学决胜一轮复习第4章三角形
人教版中考数学决胜一轮复习第4章三角形第四章三角形第1课时角、相交线与平行线1．如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是( B)A．认B．真C．复D．习2．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( C)A B C D3．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°.要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( B)A．10° B．20°C．50° D．70°4．如图，下列说法错误的是( C)A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若∠1＝∠2，则a∥cC．若∠3＝∠2，则b∥cD．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c5．如图，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是( D )A ．∠BAO 与∠CAO 相等B ．∠BAC 与∠ABD 互补 C ．∠BAO 与∠ABO 互余 D ．∠ABO 与∠DBO 不等6．(原创题)若∠α＝42°30′，则∠α的余角的度数是__47.5__°.7．(原创题)如图，直线AB ，CD 相交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，过点O 作射线ON ⊥OM .若∠AOM ＝35°，则∠CON 的度数为__55或125__°.8．(原创题)如图，点D 是线段AB 的中点，点C 是线段AD 的中点，CD ＝1 cm ，若点P 是直线AB 上的一点，当BP ＝2 cm 时，AP 的长为__2或6__cm.9．如图，点E 是AD 延长线上一点，如果添加一个条件，使BC ∥AD ，则可添加的条件为__答案不唯一，如∠C ＝∠CDE 等__.(任意添加一个符合题意的条件即可)10．如图，将矩形ABCD 折叠，折痕为EF ，BC 的对应边B ′C ′与CD 交于点M ，若∠B ′MD ＝50°，则∠BEF 的度数为__70__°.11．一个角的余角是这个角的补角的13，求这个角的度数．解：设这个角为x°，则余角为(90－x )°，补角为(180－x )°，由题意得，(90－x )＝13(180－x )，解得x ＝45，即这个角为45°. 12．如图，∠AOB ＝40°，OP 平分∠AOB ，点C 为射线OP 上一点，作CD ⊥OA 于点D ，在∠POB 的内部作CE ∥OB ，求∠DCE 的度数．解：∵∠AOB ＝40°，OP 平分∠AOB ，∴∠AOP ＝∠POB ＝20°.∵CD ⊥OA ，∴∠ODC ＝90°，∴∠DCP ＝∠ODC ＋∠AOP ＝110°.∵CE∥OB ，∠PCE ＝∠POB ＝20°.∴∠DCE ＝∠DCP ＋∠PCE ＝130°.13．取一张长方形的纸片，按如图的方法折叠，然后回答问题．AE 与EF 垂直吗？为什么？解：AE 与EF 垂直．理由如下：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB′，∠2＝∠FEC′.∵∠1＋∠AEB ＋∠2＋∠FEC ＝180°，∴2(∠AEB′＋∠FEC′)＝180°，∴∠AEB′＋∠FEC′＝90°，即∠AEF ＝90°，故AE 与EF 垂直．14．(改编题)如图，从①∠1＝∠2、 ②∠C ＝∠D 、 ③∠A ＝∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，写出一个正确的命题，并给出证明．你选的条件是：__________，结论是：__________.解：答案不唯一，如选条件：①②，结论：③.证明：如图所示，当∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB∥EC ，∴∠D ＝∠4.∵∠C ＝∠D ，∴∠4＝∠C ，∴DF∥AC ，∴∠A ＝∠F.15．如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，∠C ＝∠DAC ．(1)尺规作图：作∠ADB 的平分线，交AB 于点E (保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，求证：DE ∥AC ． 解：(1)如图：(2)证明：∵∠ADB ＝∠C ＋∠DAC ，∠C ＝∠DAC ，∴∠ADB ＝2∠C ．∵DE 是∠ADB 的平分线，∴∠ADB＝2∠BDE，∴∠BDE＝∠C，∴DE∥AC．第2课时三角形及其性质1．下列图形中，∠1一定大于∠2的是( C)A B C D2．长度分别为2,7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是( C)A．4 B．5C．6 D．93．已知△ABC的三边长分别为4,4,6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( B) A．3条B．4条C．5条D．6条4．如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD的大小为( D)A．3 B．4C．4.8 D．55．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是( B)A．20° B．35°C．40° D．70°6．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE ⊥AC于点E，则PD＋PE的长是( A)A．4.8 B．4.8或3.8C．3.8 D．57．为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C ＝90°，BC ＝3，D 在BC 上且BD ＝AC ＝1.通过计算可得5＋1__>__10.(选填“>”“<”或“＝”)8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股“章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＋AB ＝10，BC ＝3，求AC 的长．如果设AC ＝x ，则可列方程为__x 2＋9＝(10－x )2__.9．(改编题)如图，三角形纸片ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点E 为AB 中点．沿过点E 的直线折叠，使点B 与点A 重合，折痕EF 交BC 于点F .已知EF ＝32，则BC 的长是__32__.10．(改编题)等腰三角形ABC 中，∠A ＝80°，求∠B 的度数．解：若∠A 为顶角，则∠B ＝(180°－∠A )÷2＝50°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝180°－2×80°＝20°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝80°；故∠B ＝50°或20°或80°.11．(改编题)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D 点，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，求证：BF ＝2DE .证明：过D 作DG ⊥AC 于G.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ，CD ＝DB ．又DE ⊥AB ，DG ⊥AC 于G ，∴DG ＝DE.∵BF ⊥AC ，DG ⊥AC ，∴DG∥BF.又CD ＝DB ，∴CG ＝GF ，∴BF＝2DG ＝2DE.12．如图，已知AC ⊥BC ，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连接DC ，DB ．求线段DB 的长度．解：∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，∴△CAD 是等边三角形．∴CD ＝AC ＝4，∠ACD ＝60°，过点D 作DE ⊥BC 于E.∵AC ⊥BC ，∠ACD ＝60°，∴∠BCD ＝30°.在Rt△CDE 中，CD ＝4，∠BCD ＝30°，∴DE ＝12CD ＝2，CE ＝23，∴BE ＝3.在Rt △DEB 中，由勾股定理得DB ＝7.13．在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答．．．．．．．．．．．．．．．过程．．.解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，∴CD ＝14－x.由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，∴152－x 2＝132－(14－x )2，解得x＝9，∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84.14．(2018·重庆)如图，直线AB ∥CD ，△EFG 的顶点F ，G 分别落在AB ，CD 上，GE 交AB 于点H ，GE 平分∠FGD ．若∠EFG ＝90°，∠E ＝35°，求∠EFB 的度数．解：∵在△EFG 中，∠EFG ＝90°，∠E ＝35°，∴∠FGH ＝90°－35°＝55°.∵GE 平分∠FGD ，∴∠FGH ＝∠HGD ＝55°.∵AB∥CD ，∴∠HGD ＝∠FHG ＝55°.∵∠FHG 是△EFH 的外角，∴∠FHG ＝∠EFB ＋∠E.∴∠EFB ＝∠FHG －∠E ＝55°－35°＝20°.15．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD ＝AD ，DG ＝DC ，E ，F 分别是BG ，AC 的中点． (1)求证：DE ＝DF ，DE ⊥DF ； (2)连接EF ，若AC ＝10，求EF 的长．(1)证明：∵AD ⊥BC 于D ，∴∠BDG ＝∠ADC ＝90°，∵BD ＝AD ，DG ＝DC ，∴△BDG≌△ADC (SAS )，∴BG ＝AC ．∵AD ⊥BC 于D ，E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ，DF ＝12AC ，∴DE ＝DF.∵DE ＝DF ，BD ＝AD ，BE ＝AF ，∴△BDE≌ △ADF (SSS )，∴∠BDE ＝∠ADF ，∴∠EDF ＝∠EDG ＋∠ADF ＝∠EDG ＋∠BDE ＝∠BDG ＝90°，∴DE ⊥DF.(2)解：如图所示：∵AC ＝10，∴DE ＝DF ＝12AC ＝12×10＝5.∵∠EDF ＝90°，∴EF ＝DE 2＋DF 2＝52＋52＝52.第3课时全等三角形1．根据下列已知条件，能画出唯一确定的△ABC的是( C)A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝62．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能．．判定△POC≌△POD的选项是( D)A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD3．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( C)A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是__答案不唯一，如AB＝ED__(只需写一个，不添加辅助线)．5．如图，已知直线l1∥l2∥3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的边长为__5__.6．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点A 1.画出一个格点△A 1B 1C 1，并使它与△ABC 全等且A 与A 1是对应点．略7．(2018·泰州)如图，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝DB ，AC ，DB 相交于点O .求证：OB ＝OC ．证明：在Rt△ABC 和Rt△DCB中⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AC ，CB ＝BC ，∴Rt△ABC≌Rt△DCB (HL )，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴BO ＝CO.8．(改编题)如图，五边形ABCDE 中有一正三角形ACD ，若AB ＝DE ，BC ＝AE ，∠E ＝115°，求∠BAE 的度数．解：∵正三角形ACD ，∴AC ＝AD ，∠ACD ＝∠ADC ＝∠CAD ＝60°，∵AB ＝DE ，BC ＝AE ，∴△ABC≌△AED ，∴∠B ＝∠E ＝115°，∠ACB ＝∠EAD ，∠BAC ＝∠ADE ，∴∠ACB ＋∠BAC ＝∠BAC ＋∠DAE ＝180°－115°＝65°，∴∠BAE ＝∠BAC ＋∠DAE ＋∠CAD ＝65°＋60°＝125°.9．(改编题)如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，连接AC ．已知AC ＝6，求四边形ABCD 的面积．解：过点A 作AE ⊥AC 交CD 的延长线于点E ，∵∠BAD ＝90°，∴∠EAD ＝∠CAB ．在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADC ＋∠B ＝180°.又∠ADC ＋∠ADE ＝180°，∴∠ADE ＝∠B ．在△ADE 和△ABC 中，∵∠EAD ＝∠CAB ，AB ＝AD ，∠ADE ＝∠B ，∴△ADE ≌△ABC ，故四边形ABCD 的面积等于△ACE 的面积，即四边形ABCD 的面积＝12AC ×AE ＝12×6×6＝18.10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OC 的中点，连接BE ，DF .(1)根据题意，补全原形； (2)求证：BE ＝DF . (1)解：如图所示；(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ，∴OB ＝OD ，OA ＝OC ．又∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点，∴OE ＝12OA ，OF ＝12OC ，∴OE ＝OF.∵在△BEO 与△DFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OF ，∠BOE ＝∠DOF ，OB ＝OD ，∴△BEO≌△DFO (SAS )，∴BE ＝DF.11．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE )，且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN .(1)求证：OM ＝ON ；(2)若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠DAO ＝45°，∠OBA ＝45°，∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°，∵∠EOF ＝90°，∠AOB ＝90°，∴∠AOM ＝∠BON ，∴△OAM≌△OBN (ASA )，∴OM ＝ON ；(2)如图，过点O 作OH ⊥AD 于点H ，∵正方形的边长为4，∴OH ＝HA ＝2，∵E 为OM 的中点，∴HM ＝4，则OM ＝22＋42＝25，∴MN ＝2OM ＝210.12．已知：如图①，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°.易知：DB ＝DC ．(1)探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC．(2)应用：如图③，四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC ＝__________.(用含a的代数式表示)(1)证明：在AB边上取点E，作∠AED＝∠C．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．∵AD ＝AD，∠AED＝∠C，∴△ACD≌△AED(AAS)，∴DC＝DE.∵∠C＋∠B＝180°，∠AED＝∠C，∠AED＋∠DEB＝180°，∴∠DEB＝∠B，∴DE＝DB，∴DB＝DC；(2)应用：2a.第4课时 解直角三角形1．在∠A ，∠B 都是锐角的△ABC 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B －222＝0，则∠C 的度数是( C )A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°2．△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方体边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列选项中，错误．．的是( C )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝13．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠BED 的正切值等于( D )A ．255B ．255C ．2D ．124．一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( D )A ．4sin θ 米2B ．4cos θ 米2C ．(4＋4tan θ) 米2D ．(4＋4tan θ) 米25．在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos ∠B ＝22，则BC 边长为( D ) A ．7 B ．8 C ．8或17D ．7或176．如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为__1__.7．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；sin(α－β)＝sin αcos β－cosαsin β.例如sin 90°＝sin(60°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin 15°的值是__6－24__. 8．(原创题)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋|tan 60°－2|＋2cos 30°.解：原式＝4＋2－3＋2×32＝6－3＋3＝6. 9．如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长； (2)sin ∠ADC 的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵cos C ＝22，∴∠C ＝45°，在Rt△ACE 中，CE ＝AC·cos C ＝1，∴AE ＝CE ＝1，在Rt△ABE 中，tan B ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3，∴BC＝BE ＋CE ＝4；(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝2，∴DE ＝CD －CE ＝1，∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC＝45°，∴sin ∠ADC ＝22. 10．如图，有一个三角形的钢架ABC ，∠A ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2(3＋1)m.请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m 的圆形门？解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ．在Rt△ABD 中，∠ABD ＝90°－∠A ＝60°，则AD ＝tan ∠ABD ×BD ＝3BD ；在Rt△BCD 中，∠C ＝45°，∴CD ＝BD ．∴AC ＝AD ＋CD ＝3BD ＋BD ＝(3＋1)BD ＝2(3＋1)，解得：BD ＝2＜2.1.故工人师傅搬运此钢架能通过这个直径为2.1 m 的圆形门．11．如图，已知△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC ＝34.(1)求边AC 的长；(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD DB的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E.在Rt△AEB 中，∠AEB ＝90°，tan ∠ABC ＝AE BE ＝34，设AE ＝3x ，BE ＝4x ，根据勾股定理，得AB ＝5x ＝5，则x ＝1，∴AE ＝3，BE ＝4，∴CE ＝BC －BE ＝5－4＝1.在Rt△AEC 中，∠AEC ＝90°，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝32＋12＝10；(2)如图BC 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于F ，则BF ＝CF ＝12BC ＝2.5，∴EF ＝FC －EC＝2.5－1＝1.5.∵∠AEC ＝∠DFC ＝90°，∴DF ∥AE ，∴AD DB ＝EF FB ＝1.52.5＝35.12．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌CD ．她在A 点测得标语牌顶端D 处的仰角为42°，测得隧道底端B 处的俯角为30°(B ，C ，D 在同一条直线上)，AB ＝10 m ，隧道高6.5 m(即BC ＝6.5 m)，求标语牌CD 的长(结果保留小数点后一位)．(参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，3≈1.73)解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，依题意有∠DAE ＝42°，∠BAE ＝30°.在Rt△AEB 中，BE ＝12AB ＝12×10＝5(m )，AE ＝AB ×cos ∠BAE ＝10×cos 30°＝10×32＝53(m )．在Rt△DAE中，∵tan ∠DAE ＝DE AE，∴DE ＝53×tan 42°≈5×1.73×0.90＝7.785(m )．∴CD ＝DE ＋BE －BC ＝7.785＋5－6.5≈6.3(m )．∴标语牌CD 的长约为6.3 m.13．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11 m ，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A ＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18 m ，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tan α＝6，tan β＝34，求灯杆AB 的长度．解：过点B 作BF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点A 作AG ⊥AF ，交BF 于点G ，则FG ＝AC ＝11.由题意得∠BDE ＝α，tan ∠β＝34.设BF ＝3x ，则EF ＝4x ，在Rt△BDF 中，∵tan ∠BDF ＝BFDF ，∴DF ＝BF tan ∠BDF＝3x 6＝12x ，∵DE ＝18(m )，∴12x ＋4x ＝18(m )．∴x ＝4(m )．∴BF ＝12(m )，∴BG ＝BF －GF ＝12－11＝1(m )，∵∠BAC ＝120°，∴∠BAG ＝∠BAC －∠CAG ＝120°－90°＝30°.∴AB ＝2BG ＝2(m )，∴灯杆AB 的长度为2 m.。
中考数学高分一轮复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 课时14 相交线与平行线课件
变式：如图，过⊙O 外一点 P 作⊙O 的切线 PA、PB，A，B 为 切点，C 为劣弧 AB 上一点，设∠APB＝α. 求证：∠ACB＝90°＋12α. 答案：连结 AO、BO，∵PA、PB 为⊙O 的切线，
∴∠AOB＋∠P＝180°，∵∠AOB＝180°－α， 在优弧 AB 上取一点 E，则∠AEB＝12(180°－α)， ∵∠AEB＋∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝180°－∠AEB＝90°＋12α.
2.2 切线长定理
切线长定理
例 1 已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA，PB 为⊙O 的 切线，A 和 B 是切点，BC 是直径． 求证：AC∥OP.
解答反案思析：：：如由连图直结，径A连，B，结马根A上B据.考PA切虑，“线PB直长分径定别所理切对得⊙的O到圆于P周AA，＝角BP是，B直，角”， ∠∴由P切AAP＝线O＝P长B∠，定∠B理PAO马P，O上＝从想∠而到BP得O与，O之∴P⊥有OP关A⊥B的，AB一再，些又根性∵据质B直C，为径问⊙所题O 直就径不， 对∴难A解的C⊥决圆A．周B，角∴是AC直∥角OP得. ∠CAB＝90°，所以 AC∥OP.
又∵反A∵D思、OD：B平C切、分C线∠D 长为AD⊙定C，O理的∴和切DO由线⊥，此AE∴衍，O同生D 平理的分C一O∠⊥些ABD相EC，，关C∵O性＝A12∠E∠，OAGODECC＝，⊥∠∠BEFDO，CGO＝结921合0∠°圆BC，的D，∴其∴四他∠边性O形DC质O＋F进∠EG行D是CO相矩＝关形90．°， 的计算证明．
切线长定理的应用
例 2 如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AD、
BC、CD 为⊙O 的切线，切点分别是 A、B、
E，则有以下结论：(1)CO⊥DO；
中考数学高分一轮复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 课时16 全等三角形课件
12/10/20421
• 【注意】(1)“ASS”和“AAA”不能判定两个三角形全等；(2)一般三角形 全等的判定方法也适用于直角三角形，而“HL”只适用于直角三角形全 等的判定；(3)证明三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置 上．
12/10/20521
• 【易错提示】AAA和ASS不能判定两个三角形全等．
直角及直角边
斜边
“HL”
只适合直角三角形
12/10/20921
• 4．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上， 添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是 ( D )
• A．PC⊥OA，PD⊥OB • B．OC＝OD • C．∠OPC＝∠OPD • D．PC＝PD
12/10/201021
∠AED＝∠B， ∴△AED≌△EBC(ASA)． (2)∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC. ∵AD∥EC, ∴四边形AECD是平行四边形， ∴CD＝AE. ∵AB＝6，∴CD＝12AB＝3.
12/10/202021
• 本题考查全等三角形的判定与性质．证明两条线段或两个角相等，常 用的方法是证明这两条线段或这两个角所在的三角形全等．当所证的 线段或角，不在两个全等三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造 全等三角形．它的解题步骤是：先证全等，再利用全等三角形性质解 题．
• 如图1，△ABC与△A′B′C′的三个角都相等，但△ABC和△A′B′C′不全等． • 如图2，在△ABC和△ABC′中，AB＝AB，AC＝AC′，∠B＝∠B，但△ABC
和△ABC′不全等．
12/10/20621
图1
图2
• 【夯实基础】
• 2．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B 与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，∠DEC＝ ( D )
中考数学高分一轮复习 第一部分 教材同步复习 第四章
3
• 【夯实基础】
• 1．下列图形是三角形的C 是
()
4
知识点二 三角形的边角关系
• 1．三角形的三边关系(判断能否构成三角形的
重要依据)
大于
小于
• 三角形的两边之和①180°________第三边，三角 形的两边之差②__互_余_____第三边．
中点，常连接邻
中位 形 两 边 中 ___平__行_____于第三 ∥○24 __B_C__，DE＝○25 _2_B__C__ 边中点，利用中
线
边，并等于
点的线段
位线的性质求
○23 _第_三__边_的__一__半_____
解
11
五线 定义
性质
图示与运算
备注
垂直平分线上任意 如图，DE 是边 BC 的中垂线，外心：三角形三
交 ， 顶 点 ___三_边____的距离相等，这 为角平分线，则有∠1＝ 三角形三边的
与交点之 间的线段
个交点叫三角形的⑯ ___内_心____
⑰__∠__2 ___＝12∠BAC
距离相等
8
五线 定义
性在△ABC 中，AD 为
BC 边上的中线，则有 BD＝⑳ 重心：三角
经 过 线 段 一点，到线段两端 则有 DE⊥BC，BE＝EC＝○26 条 边 的 垂 直 平
中点并且 点的距离相等．三 1
分线相交于一
中垂 垂 直 于 这 角形三边垂直平分 ___2_B_C____，DB＝○27 __D_C____ 点 ， 该 点 叫 外
线
条线段的 线的交点到三角形
心，并且这一点
人教版中考数学一轮复习课件第4章 第17讲 相似三角形
2.平行线分线段成比例
文字语言 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所 得的对应线段成比例
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
图形
2.如图，AB∥CD∥EF，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则DF的长是( A ) A.4.5 B.5 C.2 D.1.5
3.相2 临沂)如图，在△ABC 中，DE∥BC，ADDB＝23，若 AC＝6，则 EC＝( C )
A.65 C.158
B.152 D.254
考点2 相似三角形的判定与性质 3.(2022贵阳)如图，在△ABC中，D是边AB上的点，∠B＝∠ACD， AC∶AB＝1∶2，则△ADC与△ACB的周长比是( B ) A.1∶ 2 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
综上所述，当BP的长为2，12或5.6时，以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似．
【解题小结】两个三角形“相似”，由于对应的顶点未确定，需进行分类讨论；两个
三角形“∽”，则不用分类．
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2 cm，D为BC的中
点．若动点E以1 cm/s的速度从点A出发，沿着A→B的方向运动．设点E的运动时间为
5.位似图形
(1)概念：两个多边形相似，且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个
图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似分同侧位似(如图1)和异侧
位似(如图2).
(2)位似与坐标：如果以原点为位似中心，位似比为k，则：
图1：A(x，y)→A′(kx，ky)
图2：A(x，y)→A′(－kx，－ky)
易错点突破
8.(一线三直角模型)如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，
中考数学一轮教材复习-第四章 三角形 平行四边形与多边形
是
72
度.
（第五章 四边形和多边形）
考点1 多边形(10年1考)
1-1 [2024遵义十一中模拟改编]风铃,又称铁马,古称“铎”,常见于中国
传统建筑屋檐下[如图(1)].如图(2),是六角形风铃的平面示意图,其
底部可抽象成正六边形ABCDEF,连接CF,则∠AFC的度数为
A.45°
B.60°
C.110°
D.135°
F在BC的延长线上,且CF=BE.
(1)求证:四边形AEFD是平行四边形.
(2)连接ED,若∠AED=90°,AB=4,BE=2,求四边形AEFD的面积.
（第五章 四边形和多边形）
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, (2)如图,连接DE.
∴AD∥BC,AD=BC.
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,
E,AF⊥CD 于点F
1.两组对边分别①平行 ,即AD//BC,AB∥CD
行
2.两组对边分别相等,即AD=BC,AB=CD
四
3.两组对角分别② 相等 ,即∠BAD=
边
形
性
质
∠BCD, ∠ABC= ∠ADC
4.对角线互相平分,即AO=CO,BO=DO
5.平行四边形是③中心 对称图形,
对称中心是两条对角线的交点
(2)在▱ABCD中,AB=CD,
∴CD∥BE.
在▱DBEC中,CD=BE,∴AB=BE.
∵CE∥BD,
∵CE⊥AC,∴BC=AB=BE=5,
∴四边形DBEC为平行四边形.
∴AE=10.
∵AC=8,∴CE= 2 − 2 =6,
人教版中考数学一轮复习课件第4章 第15讲 全等三角形
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
2.三角形全等的判定定理 (4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；(AAS)
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；(HL)
2.(2)如图，点E，F在BC上，且AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，AB＝DC，BF＝CE， 求证：∠A＝∠D. 证明：∵AE⊥BC于点E， DF⊥BC于点F， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°. ∵BF＝CE， ∴BF＋EF＝CE＋EF， 即BE＝CF. 在Rt△ABE和Rt△DCF中，
(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；(ASA)
2.(1)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，且BF＝CE，∠B＝∠E. 请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使得△ABC≌△DEF.你添加 的条件是__∠__A_＝__∠__D__(答__案__不__唯__一__)__，并证明． 证明：∵BF＝CE， ∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF.
A.70°
B.80°
C.90°
D.无法确定
图1
图2
(2)(2022六盘水)如图2，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝
90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝___2___.
2.三角形全等的判定定理 (1)三边对应相等的两个三角形全等；(SSS)
(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；(SAS)
OP＝OP，
∴△OPD≌△OPE(AAS)．
2.(2022兰州改编)如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝ AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝35°，求∠D的大小． 解：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD， 即∠BAC＝∠EAD. 在△BAC与△EAD中， AB＝AE， ∠BAC＝∠EAD， AC＝AD， ∴△BAC≌△EAD(SAS)． ∴∠D＝∠C＝35°.
人教版中考数学第一轮复习第四章图形的认识与三角形
第四章图形的认识与三角形第十五讲图形初步及相交线、平行线【基础知识回顾】一、直线、射线、线段线段公理：直线公理：【名师提醒：一条直线上有n个点，则这条直线上存在条线段】二、角1、定义：有公共端点的两条组成的图形叫做角，角也可以看做是一条绕它的从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形【名师提醒：角的表示方法：可以用三个大写字母表示，如：∠AOB，也可用一个大写字母，如∠A表示，或用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠α等，注意善于选择合适、简洁的方法表示角】2、角的分类：角按照大小可分为：周角、、锐角等。
其中1周角= 度= 平角直角1度= 分1分= 秒【名师提醒：钟表转动过程中常见时针，分针的夹角问题，要牢记一个前提：即时针每分转动度，分针每分转动度】3、角的平分线一条射线把一个角分成的角，这条叫做这个角的平分线【名师提醒：有公共顶点的n条射线，一共可形成个小于平角的角】1、互为余角互为补角①互为余角：若∠1+∠2=则称∠1与∠2互为余角②互为补角：若∠1+∠2=则称∠1与∠2互为补角3性质：同角或等角的余角，同角或等角的补角【名师提醒：1、互补和互余是指两个角的关系2、一个锐角的补角比它的余角大度】三、相交线1、对顶角及其性质：对顶角和邻补角：两条直线相交所成的四个角中如图：对顶角有邻补角有对顶角性质：2、垂线及其性质互相垂直：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的。
性质：1、过一点与已知直线垂直2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短，（简称：）【名师提醒：注意三个距离的区别1、两点间的距离是指：2、点到直线的距离是指3、两平行线间的距离是指】四、平行线：1、三线八角：如图：两条直线AB与CD被第三条直线EF所截，构成八个角其中同位角有 对，分别是 ，内错角有 对，分别是 同旁内角有 对，分别是2、平行线的定义：在同一平面内 的两条直线叫平行线3、平行公理：经过已知直线外一点 条直线与已知直线平行4、平行线的性质和判定两直线平行 ————→【名师提醒：平行线的常用判定方法还有两条：1、平行于同一直线的两条直线互相 2、 同一直线的两条直线互相平行】 五、 命题、公理、定理和证明1、命题： 的语句叫命题，一个命题由 和 两部分构成，可分为 和 两类【名师提醒：1、判断一个命题是真命题要能给出 判断一个命题是假命题可以举出2、任何一个命题一定有它的逆命题：对于任意一个定理 有它的逆定理】 【重点考点例析】1.如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是____________2.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，若∠BOD=40°，OA 平分∠COE ，则∠AOE= ．3.下列命题是真命题的有（ ）①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； ④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4.如图，直线l 1∥l 2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（ ） A ．70° B ．80° C ．65° D ．60° 5.把15°30′化成度的形式，则15°30′= 度．6.如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= ．7.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，点A 、B 、C 分别在直线l 1、l 2、l 3上．若∠1=70°，∠2=50°，相等 同旁内角 性质 判定相等则∠ABC= 度．8.如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4= ．9.如图，直线AD与AB、CD相交于 A、D两点，EC、BF与AB、CD交于点E、C、B、F，且∠l=∠2，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．10.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．11.已知：如图，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF⊥AB于F．∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ACB．第十六讲三角形与全等三角形一：【知识梳理】1.三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：（2）三角形的中线：（3）三角形的高： (4) 三角形的中位线：2.三角形的边角关系（1）三角形边与边的关系：（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o．一个外角等于3.三角形的分类（1）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形4.中位线性质定理：三角形中位线：12 AD BD DE BC AE BEDE BC⎧==⎫⎪⇒⎬⎨=⎭⎪⎩∥5.全等三角形的性质：全等三角形的判定：【重点考点例析】1.如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．82.如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．E DA3.如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件，就得△ABC≌△DEF．4.如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°5.如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．6.如图，已知AB、CD相交于点O，AC∥BD，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，试说明CE＝DF．第十七讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是2、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。
中考数学高分一轮复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 课时17 等腰三角形与直角三角形课件
【解答】在 Rt△ADB 和 Rt△ADC 中，AABD＝＝AACD，， ∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL)， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2×12AB·DE＝AB·DE＝3AB. ∵S△ABC＝12AC·BF，∴12AC·BF＝3AB. ∵AC＝AB，∴12BF＝3，∴BF＝6 cm.
概念 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
(1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°； (2)斜边上的中线等于斜边的⑱____一_半_____； (3)30°角所对的直角边等于斜边的⑲___一_半____；
性质
(4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边 长为c，那么⑳____a_2＋__b_2＝__c2______； (5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所
22 12/9/2021
②当DE＝AD时，如答图2，
同理得四边形ABED是菱形，
∴AD＝BE＝ED＝AB＝5, 即m＝5.
图2
③当 AE＝DE 时，如答图 3，此时点 C 与点 E 重合，m
＝8.
综上所述，当 m＝285或 5 或 8 时，△ADE 是等腰三角形．
图3 答图
23 12/9/2021
9 12/9/2021
判定 满足 条件
(1)两边相等的三角形―迁―移→⑫__三____边相等的三角形； (2)⑬__两____个角相等的三角形―迁―移→⑭__三____个角相等的三角形―拓―展→有 一个角是⑮___60_°____的等腰三角形
面积
ah S＝⑯___2_____(h
是底边
a
S＝⑰____a_2h_(_或__4_3_a_2_) _____(h
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第一部分 第四章 课时
18
1．在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AD 是∠BAC 的平分线，交边BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，则tan ∠EDC ＝( A
)
A ．43
B ．34
C ．55
D ．35
【解析】∵AD 是∠BAC 的角平分线，DB ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴BD ＝DE ，∴AE ＝AB ＝3.根据勾股定理可得AC ＝5, ∴EC ＝AC －AE ＝2. 在Rt △DEC 中，设DE ＝x ，则DC ＝4－x ，根据勾股
定理可得，DE 2＋EC 2＝DC 2，即x 2＋22＝(4－x )2，解得x ＝32
， ∴tan ∠EDC ＝EC ED ＝232＝43
. 2．某湖中间有一棵树，不乘船不易到达．有一天，小华和小军两个人带着测倾器和皮尺想测量这个湖的岸边到这棵树的距离．测量方法如下：如图，首先，小华站在A 处，用测倾器测得树顶端M 点的仰角为26°，此时测得小华的眼睛距地面的高度AB 为1.7米，然后，小华在A 处蹲下，用测倾器测得树顶端M 点的仰角为28°，这时测得小华的眼睛距地面的高度AC 为1米．请你利用以上测得的数据，计算此湖岸边与树之间的距离AN 的长．(结果精确到1米
)(参考数据：sin26°≈0.438 4，cos26°≈0.898 8，tan26°≈0.487 7，sin28°≈0.469 5，cos28°≈0.883 0，tan28°≈0.531 7)
解：如答图，过点B 作BD ⊥MN ，过点C 作CE ⊥MN ，垂足分别为
D ，
E .
答图
设AN ＝x 米，则BD ＝CE ＝x 米．
在Rt△MBD中，MD＝x·tan26°，在Rt△MCE中，ME＝x·tan28°.
∵ME－MD＝DE＝BC，∴x·tan28°－x·tan26°＝1.7－1＝0.7，∴x＝0.7
tan28°－tan26°≈16(米)．
答：此湖岸边与树之间的距离AN的长约为16米．。