复变函数与积分变换课程9-1
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复变函数与积分变换课件
9
根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R( z ) 1 z
mn
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m 1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
20
四、小结与思考
本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.
21
本章内容总结
孤立奇点
可去奇点 极点
函数的零点与 极点的关系
本性奇点
留数
计算方法 留数定理
1.
计算
f ( z )dz
C
留数在定积分 计算中的应用
2
0
R(sin ,cos )d f ( x )dx
z2 1 , dz ie i d , 令 z e i , 则 sin 2 zi
I
2π
0
1 d 5 3 sin
1 dz 1 3( z 2 1) iz z 5 2iz
z 1
2 2 2 dz 3z 10iz 3 3 z 1
2 i ( z )(z 3i) 3
封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化
2) 被积函数的转化
2
形如
0
2π
R(cos , sin )d
i
令ze
dz ie d
i
dz d , iz
z2 1 1 i sin (e e i ) , 2i 2iz
根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R( z ) 1 z
mn
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m 1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
20
四、小结与思考
本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.
21
本章内容总结
孤立奇点
可去奇点 极点
函数的零点与 极点的关系
本性奇点
留数
计算方法 留数定理
1.
计算
f ( z )dz
C
留数在定积分 计算中的应用
2
0
R(sin ,cos )d f ( x )dx
z2 1 , dz ie i d , 令 z e i , 则 sin 2 zi
I
2π
0
1 d 5 3 sin
1 dz 1 3( z 2 1) iz z 5 2iz
z 1
2 2 2 dz 3z 10iz 3 3 z 1
2 i ( z )(z 3i) 3
封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化
2) 被积函数的转化
2
形如
0
2π
R(cos , sin )d
i
令ze
dz ie d
i
dz d , iz
z2 1 1 i sin (e e i ) , 2i 2iz
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数与积分变换课件
解: ( 2)
z 1
sin z 4 dz z2 1 1
2
z 1
sin z 4 z 1 dz 1 z 1
2
sin z 4 2i z 1
2 i; 2
z 1
11
sin z 解: ( 3) 2 4 dz 由闭路复合定理, 得 z 1 z 2 sin z 4 dz 2 z 2 1 z
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末 1 f (z) f ( z0 ) C z z dz . 2 πi 0
证明: 因为 f ( z ) 在 z0 连续,
z0
C
D
则 0, ( ) 0,
2i (3(6 z 7), 而 1 i 在 C 内, 所以 f (1 i ) 2 ( 6 13i ).
9
sin z 4 dz , 其中 C : (1) z 1 1 ; 练习:计算积分 2 2 C z 1
3
关于柯西积分公式的说明: (1) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积 分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (2) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周 上的平均值. 如果 C 是圆周 z z0 R e i ,
1 2π f ( z0 ) f ( z0 R e i )d . 2π 0
2! f ( z) 可得 f ( z0 ) C ( z z )3 dz. 2i 0
18
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
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1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
第4页/共75页
1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
第21页/共75页
例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
复变函数与积分变换课件
复变函数的积分与积分变换
1
积分公式
复变函数的积分公式可以用于计算曲线下面积。
2
积分变换
积分变换是一种将函数映射到复平面的转换方法。
3
常见的积分变换
包括拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
复变函数的解析性和调和函数
解析性
复变函数具有解析性，意味着它在某个区域内 无穷次可微且无奇点。
调和函数
调和函数是一种具有平均值性质的函数，它满 足拉普拉斯方程。
拉普拉斯变换与应用
定义 应用
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，常用于解 决常微分方程和偏微分方程。
拉普拉斯变换在信号处理、控制系统和电路分 析等领域中具有重要的应用价值。
傅里叶变换与应用
傅里叶变换
傅里叶变换是一种将时域函数 转换为频域函数的方法。
应用
傅里叶变换广泛应用于信号处 理、音频处理和图像处理等领 域。
数学表示
傅里叶变换可以用数学公式描 述函数的频域特性。
积分变换的性质和逆变换
1 性质
积分变换具有线性性质、频率平移性质和尺度变换性质等。
2 逆变换
逆变换是将积分变换的结果转换回原始函数的过程。
复变函数与积分变换的综合应用
信号处理
复变函数与积分变换在信 号滤波和频域分析中发挥 重要作用。
控制系统
复变函数与积分变换可用 于分析和设计具有复杂传 递函数的控制系统。
电路分析
复变函数与积分变换可以 帮助求解电路中的电压和 电流等问题。
复变函数与积分变换课件
欢迎来到复变函数与积分变换的世界！在这个课件中，我们将深入探索复变 函数的基本概念和性质，以及复变函数的积分公式和积分变换。
复变函数概念与性质
[优选文档]复变函数与积分变换详细PPT
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复变函数与积分变换详细
复变函数与积分变换讲义详细
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲
第九讲
目录
复数的代数运算及几何表示 复数的乘幂与方根 区域 复变函数 复变函数及极限与连续 解析函数的概念及充要条件 初等函数 复积分的概念 柯西古萨基本定理 复合闭路定理原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数和调和函数的关系 复数项级数 幂级数
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576)在研究
一元二次方程 x10x40时引进了复数。他发现
这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表
为 5 15与 5 15。在当时，包括他自己在内，
谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，复数被
Cardano 引入后，在很长一段时间内不被人们所理
与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 a ib
为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久 疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到 建立和发展。 复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术
中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学， 热学弹性理论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复 数领域的推广和发展。
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个辐角,将满足
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
当 z = 0 时, | z | = 0, 而辐角不确定. arg z可由下列关系确定
说 a明r gt：a zn 当(z pa在prp)c第 taa 二rnactxya r象tn ca,(tn限p zaxy在n 时,xy第z，),在 p 2 z一在 t第a 、 n 第二 四三 a 象rg 象y 象限 z其 限 限中 p pp2 p 2 aar rcc ttaan np xyy p0 2 例 谁利一直A第第因可热z可在第与程x第解z利这复第例 第为利(为C第 解四-11,ary++如也用元到六三此以学以当五实来四析用个变十1五用十析则gr分dzza<将a22n大弄 欧 二 十 讲 讲 ,将 弹 将 时 讲 数 表 讲 函 欧 方 函 六 讲 欧 二函 运t别n==d<它下o家 不拉次七z性z，不示数拉程数讲拉讲 数算zz+(称表表22的法(列++1所 清公方与理包同.和公没的公和为复复初解初示示5复设zz国)复110熟 这式程十论括,调式有理F。式。孤 调Z积变等析等一成成1数o.;;数的-知 样八中他和根论和立u分函函函函e般ee1三三形r化zz5实iiii的 表世平自函，和函奇e11qqq的数数数数说7角角式rzz为6部变===示纪面己数并方数E点22概及的来)表表的u在==三ccc和换有，问在的把法的时lzzooo念极概,e示示参任研22sss角虚r的什随题内关这在关引qqqzz限念式式数柯意11究表部性么着的，系个数系进+++与及::方西两示,;;质iii好微有方学了记连充zzsss程古个式11iii处积力程、复作nnn续要++应为萨复qqq与((。分工的自数zz条用基数得得得22指的具两然。++件本不指指指zz数卷产。个科33定能数数数))表积生根学==理比((表表表示zz与形和11较示示示式++发式工zz大式式式.22展地程))小:::++，表技zz.33术
复变函数与积分变换讲义详细
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲
第九讲
目录
复数的代数运算及几何表示 复数的乘幂与方根 区域 复变函数 复变函数及极限与连续 解析函数的概念及充要条件 初等函数 复积分的概念 柯西古萨基本定理 复合闭路定理原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数和调和函数的关系 复数项级数 幂级数
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576)在研究
一元二次方程 x10x40时引进了复数。他发现
这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表
为 5 15与 5 15。在当时，包括他自己在内，
谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，复数被
Cardano 引入后，在很长一段时间内不被人们所理
与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 a ib
为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久 疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到 建立和发展。 复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术
中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学， 热学弹性理论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复 数领域的推广和发展。
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个辐角,将满足
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
当 z = 0 时, | z | = 0, 而辐角不确定. arg z可由下列关系确定
说 a明r gt：a zn 当(z pa在prp)c第 taa 二rnactxya r象tn ca,(tn限p zaxy在n 时,xy第z，),在 p 2 z一在 t第a 、 n 第二 四三 a 象rg 象y 象限 z其 限 限中 p pp2 p 2 aar rcc ttaan np xyy p0 2 例 谁利一直A第第因可热z可在第与程x第解z利这复第例 第为利(为C第 解四-11,ary++如也用元到六三此以学以当五实来四析用个变十1五用十析则gr分dzza<将a22n大弄 欧 二 十 讲 讲 ,将 弹 将 时 讲 数 表 讲 函 欧 方 函 六 讲 欧 二函 运t别n==d<它下o家 不拉次七z性z，不示数拉程数讲拉讲 数算zz+(称表表22的法(列++1所 清公方与理包同.和公没的公和为复复初解初示示5复设zz国)复110熟 这式程十论括,调式有理F。式。孤 调Z积变等析等一成成1数o.;;数的-知 样八中他和根论和立u分函函函函e般ee1三三形r化zz5实iiii的 表世平自函，和函奇e11qqq的数数数数说7角角式rzz为6部变===示纪面己数并方数E点22概及的来)表表的u在==三ccc和换有，问在的把法的时lzzooo念极概,e示示参任研22sss角虚r的什随题内关这在关引qqqzz限念式式数柯意11究表部性么着的，系个数系进+++与及::方西两示,;;质iii好微有方学了记连充zzsss程古个式11iii处积力程、复作nnn续要++应为萨复qqq与((。分工的自数zz条用基数得得得22指的具两然。++件本不指指指zz数卷产。个科33定能数数数))表积生根学==理比((表表表示zz与形和11较示示示式++发式工zz大式式式.22展地程))小:::++，表技zz.33术
复变函数与积分变换课堂PPT课件
完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
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上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
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例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
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容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换经典PPT—复变函数.ppt
解
由上例可知
(z
1 a)n1
dz
2i, 0,
n0 n 0,
此处不妨设 a z0,
则有
1
1
1,
2 i (z z0 )n dz 0,
n1 n 1.
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点.
1
2
3
CF
A
A
F
B4
D1 E C1 B
D
E
问题的提出 C
C1
复合闭路定理D
C2 C3
典型例题
小结与思考
一、.
z 2 z 1
因为 z 2 是包含 z 1 在内的闭曲线,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1 由此希望将基本定理推广到多连域中.
y C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理, ez dz 0. z
例3 求
(z
1 a)n1
dz
,
为含
a
的任一简单闭
路，n 为整数.
解 因为a 在曲线内部,
a
1
BB
BB
即 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
或 f (z)dz f (z)dz.
C
C1
CF
A A F B
D1 E C1 B
《复变函数与积分变换》课程教学大纲
复变函数与积分变换课程教学大纲（Complex Function and Integral Transform）一、课程概况课程代码：0801010学分：3学时：48（其中：讲授学时48 ，实验学时0 ，上机学时0 ）先修课程：高等数学适用专业：工科各专业建议教材：《复变函数》，西安交通大学，高等教育出版社，2014.7课程归口：理学院课程的性质与任务：本课程是工科专业的通识必修课。
通过本课程的学习，使学生系统地获得复变函数与积分变换的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法；提高学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力；并能运用数学知识、理论、方法解决相关的实际应用问题；提高学生的数学素养，为学生学习后续相关课程及终身学习奠定必要的数学基础。
二、课程目标目标1.能够获得课程基本概念与性质。
目标2. 能够掌握本课程要求的计算方法。
目标3. 能够具有一定的抽象概括、逻辑推理等能力。
目标4. 能够具有一定的运算能力。
目标5. 能够具有一定的数学思维与分析能力。
本课程支撑专业人才培养方案中毕业要求1-1，对应关系如表所示。
三、课程内容及要求（一）复数与复变函数1.教学内容（1）能够理解复数的各种表示方法及其运算（2）能够了解区域、简单曲线的概念（3）能够掌握用复数式表达常见区域、简单曲线的方法（4）能够了解复球面与无穷远点（5）能够理解复变函数及映射的概念（6）能够理解复变函数的极限和连续的概念（7）能够了解闭区域上连续函数的性质2.基本要求（1）重点与难点：复变函数及映射、复变函数的极限和连续。
（2）教学方法：启发式互动讲授结合多媒体辅助；适当课堂练习；及时了解学生的作业状况并对共同的问题作及时解答；安排好课后答疑。
3.思政内容注重理论联系实际，尊重客观规律，树立社会主义核心价值观，增强专业素养，强调理论对实践的指导意义。
（二）解析函数1.教学内容（1）能够理解复变函数的导数及复变函数解析的概念（2）能够掌握复变函数解析的充要条件（3）能够了解调和函数的概念及其与解析函数的关系（4）能够掌握利用解析函数的实（虚）部求其（实）部（5）能够理解指数、三角、双曲、对数函数及幂函数的定义、性质与计算2.基本要求（1）重点与难点：复变函数的导数及复变函数解析，从解析函数的实（虚）部求其（实）部。
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解： F (s) u(t)estdt 0 estdt 0 1 (Re s 0) s
练习 求函数 et 的拉氏变换（其中 0）
解： F (s) etestdt 0
a
1
s
e( s)t
|
t 0
1 (Re s ) s
设函数 f (t) 满足 在t 0 的任何有限区间上分段连续 当 t 时，f (t) 具有有限的增长性，即存 在常数 M 0及 c 0 使得
F () f (t)e jtdt
称为 傅里叶变换，简称傅氏变换。
f (t) 1 F ( )e jtd
2
称为 傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换。
f (t )u(t )ete jtdt
f (t )e te jtdt 0
f (t )e( j )tdt 0
f (t )estdt 0
| f (t) | Mect (0 t )
则像函数 F(s)在半平面 Re s c 上一定存 在，且是解析的.
例2 求函数 f (t) e jt 的拉氏变换.
解： | e jt | 1
c0
F (s) f (t )estdt e jtestdt
0
0
e(s j )t dt 0
1
s j
Re s 0
二、拉氏变换的基本性质
线性性质 设
为常数则
例3 求函数 f (t) cost 的拉氏变换.
解： cost 1 (e jt e jt )
2
11
1
s
[ 2 sjຫໍສະໝຸດ s]js2
2
例3 求函数 f (t) cost 的拉氏变换. 解：
s
s2 2
相似性质 设
为常数则
x at
主要内容
一、拉普拉斯变换的定义 二、拉普拉斯变换的性质
一、拉普拉斯变换的定义
设函数 f (t) 是定义在 [0, ] 上的实值函数 如果对于复参数 s j ，积分
F(s) f (t)estdt 0
在复平面S的某一域内收敛，则称F(s)为f (t) 的 拉普拉斯变换.
例1 求单位阶跃函数 u(t ) 的拉氏变换.
1
( s )x
f ( x)e a dx
a0
练习
教材234页 第1题和第2题
三、小 结
线性、相似、微分
练习 求函数 et 的拉氏变换（其中 0）
解： F (s) etestdt 0
a
1
s
e( s)t
|
t 0
1 (Re s ) s
设函数 f (t) 满足 在t 0 的任何有限区间上分段连续 当 t 时，f (t) 具有有限的增长性，即存 在常数 M 0及 c 0 使得
F () f (t)e jtdt
称为 傅里叶变换，简称傅氏变换。
f (t) 1 F ( )e jtd
2
称为 傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换。
f (t )u(t )ete jtdt
f (t )e te jtdt 0
f (t )e( j )tdt 0
f (t )estdt 0
| f (t) | Mect (0 t )
则像函数 F(s)在半平面 Re s c 上一定存 在，且是解析的.
例2 求函数 f (t) e jt 的拉氏变换.
解： | e jt | 1
c0
F (s) f (t )estdt e jtestdt
0
0
e(s j )t dt 0
1
s j
Re s 0
二、拉氏变换的基本性质
线性性质 设
为常数则
例3 求函数 f (t) cost 的拉氏变换.
解： cost 1 (e jt e jt )
2
11
1
s
[ 2 sjຫໍສະໝຸດ s]js2
2
例3 求函数 f (t) cost 的拉氏变换. 解：
s
s2 2
相似性质 设
为常数则
x at
主要内容
一、拉普拉斯变换的定义 二、拉普拉斯变换的性质
一、拉普拉斯变换的定义
设函数 f (t) 是定义在 [0, ] 上的实值函数 如果对于复参数 s j ，积分
F(s) f (t)estdt 0
在复平面S的某一域内收敛，则称F(s)为f (t) 的 拉普拉斯变换.
例1 求单位阶跃函数 u(t ) 的拉氏变换.
1
( s )x
f ( x)e a dx
a0
练习
教材234页 第1题和第2题
三、小 结
线性、相似、微分