(完整版)2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案
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2015年全国初中数学联合竞赛试题
第一试(A )
一、选择题(每小题7分,共42分)
1.设实数a ,b ,c 满足:3a b c ++=,2224a b c ++=,则222222
222a b b c c a
c a b +++++=---( ) A. 0
B. 3
C. 6
D. 9
2.若抛物线2
y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,且过点A (m ,n ),B (m -8,n ),则n =( )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24
3.矩形ABCD 中,AD =5,AB =10,E 、F 分别为矩形外的两点,BE =DF =4,AF =CE =3,则EF =( ) A
. B .15 C
D
.4.已知O 为䝐标原点,位于第一象限的点A 在反比例函数1
(0)y x x
=>的图象上,位于第二象限的瀹B 在反比例函数4
(0)y x x
=-<的图象上且OA ⊥OB ,则tan ∠ABO 的值为( ) A .
1
2
B
.2 C .1 D .2
5.已知实数x (y 满足关系式1xy x y --=,则22x y +的最小值为( )
A
.3-
B
.6-
C .1 D
.6+6.设n 是小于100的正整数且使2
535n n +-是15的倍数,则符合条件的所有正整数n 的和是( ) A .285 B .350 C .540 D .635 二、填空题(每小题7分,共28分)
7.设a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根,则32
2
34a b a ++
的值为 . 8.从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个,它是直角三角形 的概率为 .
9.已知锐角△ABC 的外心为O ,AO 交BC 于D ,E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 的外心,若AB >AC ,EF =BC ,则∠C -∠B = .
10.将数字1,2,3,…,34,35,36填在6×6的方格中,每个方格填一个数字,要求每行数字从
左到右是从小到大的顺序,则第三列所填6个数字的和的最小值为 .
第一试(B )
一、选择题(每小题7分,共42分)
1.设实数a ,b ,c 满足:3a b c ++=,2
2
2
4a b c ++=,则222222
222a b b c c a c a b
+++++=---( )
A. 12
B. 9
C. 6
D. 3
2.若抛物线2
y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,且过点A (m ,n ),B (m -8,n ),则n =( )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24
3.矩形ABCD 中,AD =5,AB =10,E 、F 分别为矩形外的两点,BE =DF =4,AF =CE =3,则
EF =( ) A
. B .15
C
D
.4.已知实数x ,y 满足关系式2
2
3x xy y ++=,则2
()x y -的最大值为( )
A .3
B .6
C .9
D .12
5.已知O 为坐标原点,位于第一象限的点A 在反比例函数1
(0)y x x
=>的图象上,位于第二象限的点B 在反比例函数4
(0)y x x
=-<的图象上,且OA ⊥OB ,则tan ∠ABO 的值为( ) A .
12
B
C .1
D .2
6.设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数,则符合条件的所有正整数n 的和是( ) A .784
B .850
C .1536
D .1634
二、填空题(每小题7分,共28分)
7.设a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根,则32
2
34a b a ++的值为 . 8.三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .
9.C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上,AD 平分∠BAC ,AB =20, AD
=AC 的长为 .
10.在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a ,b ,c ,d ,e ,使得ab +bc +cd +de +ea
最小,则这个最小值为 .
A
B
C
D E
F
第二试(A )
1.(20分)关于x
x 有且仅有一个实数根,求实数m 的取值范围. 2.(25分)如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ,且AC ⊥BD ,AB =AC . 过点D 作DF ⊥BD ,交BA 的延长线于点F ,∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . (1)证明:∠BAD =3∠DAC ; (2)如果
BF DF CD
BD AC
-=
,证明:MN =MD .
3.(25分)设正整数m ,n 满足:关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解,证
明:222()5m n mn +<.
第二试(B )
1.(20分)若正数a ,b 满足ab =1,求11
112M a b
=
+
++的最小值. 2.(25分)如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ,且AC ⊥BD ,AB =AC =BD . 过点D 作DF ⊥BD ,交BA 的延长线于点F ,∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . (1)证明:∠BAD =3∠DAC ;
(2)如果MN =MD ,证明:BF =CD +DF .
3.(25分)若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根,求满足条件的正整数k 的值.