排列与组合解题技巧
奥数 数字排列组合解题技巧
奥数数字排列组合解题技巧在奥数（奥林匹克数学竞赛）中，数字排列组合是一个常见的考查点，涉及到的技巧和方法有很多。
以下是一些常见的解题技巧：1. 全排列与重复排列：-全排列：n个元素的全排列有n!种情况，其中n!表示n的阶乘。
-重复排列：有重复元素时，全排列的总数要除以重复元素的阶乘。
2. 循环置换：-对于n个元素的排列，可以通过循环置换的方式进行计算。
循环置换的计算可以借助循环节的长度和总元素个数。
3. 组合公式：-对于从n个元素中选取m个元素的组合数，使用二项式系数的组合公式：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)4. 二项式定理：-利用二项式定理展开多项式，特别是在计算特殊值时，如计算(x+y)^n的展开式。
5. 递推关系：-有时候可以通过递推关系，找到某一项与前面项之间的关系，从而简化计算。
6. 逆向思维：-有时候可以从目标结果出发，逆向思考，找到排列组合的解。
7. 利用对称性：-利用对称性质，减少计算量。
例如，当问题中存在对称性时，可以利用对称性简化问题。
8. 鸽巢原理：-当分配的对象多于容器的个数时，至少有一个容器中含有两个或两个以上的对象。
这个原理在一些排列组合问题中经常被使用。
9. 图论中的排列组合：-在一些图论问题中，可以利用排列组合的知识，特别是在解决路径计数等问题时。
10. 二叉树与组合数学的关系：-一些问题可以通过构建二叉树的方式来求解，从而转化为组合数学的问题。
总的来说，对于奥数中的数字排列组合问题，关键是灵活运用数学知识，善于发现问题中的规律，并通过巧妙的思考和计算得到正确的结果。
排列与组合解题技巧
排列与组合解题技巧排列与组合是组合数学中的重要概念，用于解决计数和概率相关的问题。
下面是一些解题技巧和策略：1.确定问题类型：首先要明确问题是涉及排列还是组合。
排列强调元素的顺序，而组合则不考虑元素的顺序。
2.确定元素个数：确定问题中涉及的元素个数，这有助于确定使用排列还是组合的公式。
3.确定选择个数：确定每次选择的元素个数，这有助于确定使用排列还是组合的公式。
4.使用公式：根据问题类型、元素个数和选择个数，选择合适的排列或组合公式进行计算。
排列使用的公式为P(n, k) = n!/ (n-k)!，组合使用的公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)。
5.注意重复元素：如果问题中存在重复的元素，需要特别处理。
可以使用相应的修正公式来解决，如带有重复元素的排列公式为P(n, k) / (n1! * n2! * ... * nk!)，其中n1、n2、...、nk为重复元素的个数。
6.分类讨论：有些问题可能涉及多个步骤或条件，可以将问题进行分类讨论，然后分别计算每个分类的排列或组合数，最后求和得到最终答案。
7.利用递推关系：有时可以利用排列和组合之间的递推关系简化计算。
例如，n个元素的排列数可以通过(n-1)个元素的排列数乘以n来得到。
8.实际问题转化：将实际问题转化为排列或组合的问题，利用排列和组合的性质解决实际问题。
这需要一定的思维能力和创造力。
9.练习和实践：通过大量的练习和实践，熟练掌握排列和组合的解题技巧和策略。
可以尝试解决不同类型和难度的问题，以加深理解和提高解题能力。
以上是一些常用的排列与组合解题技巧和策略，希望对您有所帮助。
请根据具体的问题和情境选择合适的方法进行解题。
高中数学中的排列与组合解题技巧
高中数学中的排列与组合解题技巧在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和解题方法。
排列与组合涉及到数学中的计数和选择问题，掌握解题技巧对于理解和应用数学知识至关重要。
本文将介绍一些高中数学中排列与组合的解题技巧，帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
一、排列的解题技巧排列是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定顺序排列的结果。
在解决排列问题时，需要注意以下几个技巧：1. 使用排列的知识计算全排列：全排列是指将所有元素按照不同顺序排列的结果。
当需要计算给定元素全排列的数量时，可以使用排列的知识进行计算。
例如，在班级中选取任意3名同学参加演讲比赛，全排列的数量为P(全，3)。
2. 全排列中的重复元素处理：在计算全排列时，如果存在重复的元素，需要考虑重复元素的情况。
可以先计算全排列的总数，再除以重复元素的排列数量。
例如，在字母“MATH”中，字母“A”重复了2次，在计算全排列时，需要除以2!来消除重复的排列。
3. 限制条件下的排列计算：在一些题目中，可能会有某些元素需要满足一定的限制条件才能参与排列。
在解决这类问题时，需要先确定限制条件下可选的元素数量，再进行排列计算。
例如，从1-10中选取3个数字，要求所选数字之间的差值不小于2，可以先确定可选数字的范围，然后计算排列的数量。
二、组合的解题技巧组合是指从给定的元素中选取若干个元素无序地排列的结果。
在解决组合问题时，需要注意以下几个技巧：1. 使用组合的知识计算组合数量：组合的数量可以使用组合的公式进行计算。
例如，在10个人中选取3个人参加某项活动，可以使用组合的知识计算C(10, 3)。
2. 考虑组合的逆问题：在一些题目中，可能需要求解满足特定条件的组合数量。
此时可以考虑组合的逆问题，即求解不满足条件的组合数量，然后用总组合数量减去不满足条件的组合数量，得到满足条件的组合数量。
例如，在一组数字中，需要选出3个数字，使其和为15，可以先计算出不满足条件的组合数量，再用总组合数量减去不满足条件的组合数量。
深入剖析初中数学解题技巧之排列与组合问题
深入剖析初中数学解题技巧之排列与组合问题在初中数学学习中，排列与组合问题是一个常见的解题类型。
针对这一问题，本文将深入剖析初中数学解题技巧，并提供一些有用的方法与技巧。
一、排列问题排列是指从给定的对象集合中选取若干个对象按照一定的次序排列。
常见的排列问题有以下两种情况：1.1 不重复对象的全排列在解决这类问题时，我们首先要确定所给的对象集合和选取的对象个数。
然后，根据排列的定义，使用乘法原理计算排列数，即将选取的对象个数逐个乘起来。
例如，当有4个不重复的对象需要排列，选取其中2个进行排列时，排列数为4×3=12。
1.2 含有重复对象的排列当问题中存在重复的对象时，我们需要将重复的对象进行分类。
比如，有4个对象中有2个相同，在选取2个对象进行排列时，我们可以将问题拆分为两类：选取两个相同的对象进行排列和选取一个重复对象和一个不重复对象进行排列。
然后，分别计算两类情况下的排列数，并将结果相加。
二、组合问题组合是指从给定对象集合中选取若干个对象，但不考虑其次序。
常见的组合问题有以下两种情况：2.1 不重复对象的组合解决这类问题时，首先要确定所给的对象集合和选取的对象个数。
然后，应用组合数的公式计算组合数，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示对象总数，m表示选取的对象个数。
2.2 含有重复对象的组合当问题中存在重复的对象时，我们需要进行分类。
例如，有4个对象中有2个相同，在选取3个对象进行组合时，我们可以将问题拆分为两类：选取两个相同的对象和选取三个不同的对象。
然后，分别计算两类情况下的组合数，并将结果相加。
三、解题技巧与方法在解决排列与组合问题时，以下三个方法是十分常用且有效的：3.1 确定问题类型与条件首先，我们需要明确题目中所给的对象集合、选取的对象个数以及问题类型是排列还是组合。
明确题目条件有助于我们在解题过程中选择合适的公式和方法。
3.2 运用数学公式与原理排列与组合问题的解题过程中，数学公式和原理是非常重要的。
排列组合解题的高效技巧与策略
排列组合解题的高效技巧与策略排列组合是数学中的一个重要概念，它在解决问题时可以帮助我们快速、高效地找出正确的答案。
本文将介绍一些排列组合解题的高效技巧与策略，帮助读者更好地应对相关问题。
1. 理解排列和组合的概念在开始讨论解题技巧之前，我们首先需要理解排列和组合的概念。
排列是指从一组元素中选取一部分元素按照一定的顺序进行排列，而组合是指从一组元素中选取一部分元素，不考虑顺序的情况下进行组合。
2. 利用公式计算排列组合数排列和组合问题的解答往往涉及到计算排列数和组合数。
针对不同的问题，我们可以利用相应的公式来计算。
例如，计算从n个元素中选取r个元素的排列数可以使用下面的公式：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
3. 利用乘法原理和加法原理乘法原理和加法原理是解决排列组合问题的基本原理。
乘法原理指出，如果一个任务可以分为k个相互独立的子任务，每个子任务有n1、n2、...、nk种选择，则总的选择方式数为n1 * n2 * ... * nk。
而加法原理指出，如果一个任务可以通过两个步骤完成，第一步有n种选择，第二步有m种选择，则总的选择方式数为n + m。
4. 利用递推关系简化计算在解决排列组合问题时，有时可以利用递推关系简化计算过程，减少计算量。
例如，C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)就是一个常见的递推关系。
通过利用递推关系，我们可以将原始问题转化为更小规模的子问题，从而简化计算过程。
5. 利用二项式定理求解复杂问题二项式定理是数学中的一个重要定理，它展示了如何将一个二次多项式展开成一个多项式的和。
利用二项式定理，我们可以求解复杂的排列组合问题。
例如，在计算(x + y)^n的展开式中，我们可以得到展开式中各个项的系数，进而能够解决一些特殊问题。
6. 善于应用化简的方法在解决排列组合问题时，有时候问题的描述较为复杂，难以直接进行计算。
组合与排列问题的解题方法
第8讲数学广角—搭配（二）知识点一：简单的排列问题用几个不同的数字组成没有重复数字的两位数时，先让每一个数字（0除外）作十位上的数字，再把其余的数字依次和它组合。
知识点二：简单的搭配问题可用图示法找出简单事物的组合，按一定的顺序把要组合的事物两两相连，再数一数连了几条线，就得到了组合数。
知识点三：简单的组合问题解决稍复杂的组合问题可以用图示连线的方法来完成，组合中不计算事物的先后顺序，只需注意不同组合中的元素。
考点一：简单的排列问题例1．（2019春•河间市期末）接着画下去，你所画的第15个球是白球（黑球白球）【分析】黑色球的所处的位置的序号从2开始每次递增3、4、5、6…，即第2、5、9、14、20…个，所以第15个球是白球．【解答】解：根据分析可得，所画的第15个球是白球．故答案为：白球．【点评】本题关键是得出黑球所处位置的排列规律．1．（2019•北京模拟）四个小动物换座位，一开始小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号．以后不停地交换座位，第一次上下两排交换，第二次是第一次交换后在左右两排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换…，这样一直下去，第十次交换位子后，小猫在第1号位子上．【分析】观察图形，由已知小猫坐在第4号，按要求交换，第一次⇒3，第二次⇒1，第三次⇒2，第四次回到原位4，…，得到的规律是每4次一循环，根据此规律很容易得到第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上．【解答】解：由已知和图形得知，小猫自第一次交换位子后依次坐在2→1→3→4→2…，得到每4次一循环，因为，10÷4＝2……2，所以，第十次交换位子后，小猫坐在和第二次交换的位子相同，即第1号位子上．答：第十次交换座位后，小猫坐在第1号位子．故答案为：1．【点评】此题考查的知识点是图形的变化类问题，解题的关键是通过观察图形和已知得到规律：小兔自第一次交换位子后依次坐在3→1→2→4→3…，得到每4次一循环．2．（2018春•淮上区期末）（）里是什么图形？画线连起来．【分析】观察每组图形的排列情况，找出几个一组在循环出现，即可得解．【解答】解：【点评】得出每组图形排列的周期特点，是解决本题的关键．3．（2015秋•萧县校级期末）如图，每两块正方形瓷砖中间贴一块长方形彩砖．像这样一共贴了50块长方形彩砖，那么正方形瓷砖有多少块？【分析】由题意可得这组瓷砖的排列规律是正方形瓷砖的个数比长方形彩砖的个数多1，据此即可解答．【解答】解：50+1＝51（块），答：正方形瓷砖有51块．【点评】本题考查了事物的间隔排列规律，解答此类问题的关键明确彩砖的排列规律．考点二：简单的搭配问题例2．（2020春•巩义市期末）按规律接着画一画、填一填．．【分析】根据图示，第一、第三、第五个图形圆的个数依次减少2个，第二、第四、第六个图形方形的个数依次增加1个；由此求解。
高中数学中的排列与组合的计算技巧解析
高中数学中的排列与组合的计算技巧解析高中数学中的排列与组合是一种非常重要的数学概念，广泛应用于各种实际问题的计算中。
排列与组合的计算技巧涉及到一系列公式和方法，掌握这些技巧对于解决相关问题至关重要。
本文将从基本概念入手，逐步介绍排列与组合的计算技巧。
一、排列的计算技巧在数学中，排列是指从n个不同元素中取出m个（m≤n），并按照一定的顺序进行排列。
排列的计算可以分为有放回和无放回两种情况。
下面我们将分别介绍这两种情况下的排列计算技巧。
1.1 有放回排列有放回排列是指在每次选择后，所选择的元素又放回到原始集合中，使得下一次选择仍有可能选择到该元素。
有放回排列的计算公式为P(n,m)=n^m，其中n为元素的总数，m为选择的元素个数。
例如，假设有4个元素：A、B、C、D。
从中选择2个元素进行排列，即计算P(4,2)。
根据有放回排列的公式，P(4,2)=4^2=16。
因此，可以得到排列的结果为：AB、BA、AC、CA、AD、DA、BC、CB、BD、DB、CD、DC。
1.2 无放回排列中，使得下一次选择不可能选择到该元素。
无放回排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n为元素的总数，m为选择的元素个数。
例如，假设有4个元素：A、B、C、D。
从中选择2个元素进行排列，即计算A(4,2)。
根据无放回排列的公式，A(4,2)=4!/(4-2)!=4!/2!=4x3=12。
因此，可以得到排列的结果为：AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC。
二、组合的计算技巧在数学中，组合是指从n个不同元素中取出m个（m≤n），并不考虑其顺序的选择方式。
组合的计算同样可以分为有放回和无放回两种情况。
下面我们将分别介绍这两种情况下的组合计算技巧。
2.1 有放回组合有放回组合是指在每次选择后，所选择的元素又放回到原始集合中，使得下一次选择仍有可能选择到该元素。
有放回组合的计算公式为C(n,m)=C(n+m-1,m)=(n+m-1)!/(n!(m-1)!)，其中n为元素的总数，m为选择的元素个数。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
佛山学习前线教育培训中心
高二数学（理）讲义
专题：排列与组合解题技巧
主要技巧：
一. 运用两个基本原理
例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？
练习1：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）
（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种
二. 特殊元素（位置）优先
例2：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？
练习2：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？
三. 捆绑法
例3：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？
练习3：记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有
.A1440种.B960种.C720种.D480种
四. 插入法
例4：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？
练习4：安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种。
五. 排除法
例5：求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。
练习5：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。
现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？
练习6：8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？
六. 机会均等法
例6：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？
练习7：用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。
七. 转化法
例7：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
练习8：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？
八. 隔板法
例14：20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？
练习9：把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。
请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？
针对练习：
1、7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？
2、7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？
3、(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个.
4、(1995年上海高考题)1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．
5、（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.
6、（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演
前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的
种数为（）
A．42 B．30 C．20 D．12 7、（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）
8、（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）
A．种B．种C．种D．种
9、（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）
A．24种B．18种C．12种D．6种
10、（2008年陕西卷）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．
11、（2008年天津卷）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．
12、（2008年浙江卷）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答)。
参考答案：
一. 运用两个基本原理
加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？
解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n个人通过，有种结果。
所以一共有种可能的结果。
解法2：用分步记数的原理。
第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。
所以一共有种可能的结果。
例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）
（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种
解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；
第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有种分配方式。
二. 特殊元素（位置）优先
例3：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？
解：个位选0，有个，个位不选0且万位不能选0，有个，所以一共可以得到个偶数。
注0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。
例4：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？
解：先排甲，有种排法。
再排乙，有种排法，再排其余的人，又有种排法，所以一共有种排法。
三. 捆绑法
例5：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？
解：把甲、乙、丙先排好，有种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有种排法，所以一共有=1440种排法。
四. 插入法
例6：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？
解：先排5个不是小品的节目，有种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有种排法，所以一共有=7200种排法。
注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。
五. 排除法
例7；求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。
解：从8个点中取4个点，共有种方法，其中取出的4个点共面的有种，所以符合条件的四面体的个数为个。
例8：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。
现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？
解：从100件产品中取5件产品，有种取法，从不含次品的95件中取出5件产品有种取法，所以符合题意的取法有种。
例9：8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？
解：无限制条件有种排法。
A与B或A与C在一起各有种排法，A、B、C 三人站在一起且A在中间有种排法，所以一共有+=21600种排法。
六. 机会均等法
例10：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？
解：甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为。
例11：用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。
解：若不为0，在每一个数位上1，4，5，，出现的机会是均等的。
由于一共可以得到24个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现6次，于是得到：
，解得。
若为0，无解。
七. 转化法
例12：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
解：10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。
显然，必须有2步中每步走2级，6步中每步走一级。
记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B。
其余的填写A，这是一个组合问题，所以一共有种走法。
例13：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？
解：动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14，把动点运动1个单位看成是1步，则动点走了14步，于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8个“右”，这也是一个组合的问题，于是得到一共有种走法。
八. 隔板法
例14：20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？
解：将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（两个隔板可以插在同一空隙中），规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给3个人，则每一种隔法对应了一种分法，每一种分法对应了一种隔法，于是分法的总数为种方法。
注：本题可转化成求方程的非负整数解的个数。