倍长中线法(加倍法)
中考数学几何辅助线：倍长中线法
中考数学几何添加辅助线：倍长中线中线或中点是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。
此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角进而用“SAS”证明对应边之间的关系。
常规的倍长中线可以出全等，但需要证明“三点共线”，遇到“中点+平行”，我们“延长出全等”，而非“倍长出全等”. 用“倍长中线法”作辅助线解几何题，是一种重要的技巧套路。
它可以有效地生发出全等、平行等基本条件，关联好多基本图形，帮助解题，大家务必好好掌握。
也给我们解题的启示：抓住核心，找到关键，才能快速解题。
逢中点，便倍长，全等观，平行现.倍长中线法:是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造“8字形”的全等三角形。
在与中点有关的线段尤其是涉及线段的等量关系时，倍长中线应用较常见，常见添加如图（AD是底边中线）典例1．已知：AD是ΔABC的中线，AE=EF．求证：AC=BF．名师指点：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可．满分解答：证明：延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 中线，∴CD ＝BD ，∵在△ADC 和△MDB 中，{CD ＝BD∠ADC ＝∠MDB AD ＝DM，∴△ADC ≌△MDB （SAS ），∴BM ＝AC ，∠CAD ＝∠M ，∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE ，∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠CAD ＝∠M ，∴BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF ．名师点评：倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角、线段的代换是解决问题的关键． 1．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠。
倍长中线法
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE例6：如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD.E D AB C第 14 题图D F C BE AF E A B C自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE。
2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.3、已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC∠4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．FEAB CDABFD E C。
倍长中线法(初二)
全等三角形的构造方法---常用辅助线搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．(一)倍长中线法:题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
例1．如图（1）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ． 求证：AC=BF 证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD， ∠BDH=∠ADC ，DH=DA ， ∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ， ∴∠DAC=∠AFE ，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE= 图（1） ∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
中线一倍辅助线作法△ABC 中 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线DE=AD ，连⊥AD 于F ，延长MD AD 的延长线于使DN=MD ， 连接例2、△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围E AB C DF H例3、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAEB第 1 题图 A B F D EC作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
倍长中线法(经典例题)2资料讲解
倍长中线法(经典例题)2倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EF CF BE >+第 14 题图DF CBEAB例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。
2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E DABCF EABCD3、已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC∠4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．ABFD E C5、如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD.4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.DA BCMTE倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
倍长中线法总结
倍长中线法总结1. 引言倍长中线法（The Doubling Midline Method）是一种用来解决数学问题的方法，它主要应用于图形和数列的问题。
该方法通过找出中线并将其倍增来寻找问题的解。
本文将详细介绍倍长中线法的思想和应用，并通过示例展示其实际运用。
2. 思想和原理倍长中线法的思想源于对图形和数列的观察和分析。
当遇到需要找到图形或数列的某个特定点或者结果时，我们可以通过找出中线并将其倍增来逐步逼近目标。
该方法的原理是基于中线的特性，即中线两侧长度相等。
通过不断倍增中线的长度，我们可以逐步逼近目标点或结果。
3. 应用步骤倍长中线法的应用可以分为以下几个步骤：步骤一：观察问题首先，我们需要观察和分析问题，确定需要找到的目标点或结果。
这可以帮助我们确定使用倍长中线法的运算方式和步骤。
步骤二：确定初始中线然后，我们需要确定初始中线。
中线的选择要尽可能接近目标点或结果，以提高计算的准确性和效率。
步骤三：倍增中线长度接下来，我们将中线的长度倍增。
具体的倍增倍数可以根据实际情况而定。
每次倍增后，我们检查新的中线是否更接近目标点或结果。
如果是，我们继续倍增中线的长度，直到达到预定的精度要求。
步骤四：确定最终结果最后，我们确定最终结果。
根据具体的问题，我们可以根据中线的位置和长度计算出目标点的坐标或者得出数列的结果。
4. 实际应用示例为了更好地理解倍长中线法的应用，以下是一个实际示例：问题描述在平面直角坐标系中，有一条直线L通过点A(2, 3)和点B(5, 9)。
现在需要确定直线L和Y轴的交点C的坐标。
解决步骤1.观察问题，确定需要找到交点C的坐标。
2.初始中线的选择可以是线段AB的中点M，即M(3.5, 6)。
3.根据倍长中线法，将线段AM的长度倍增，得到线段CM。
4.假设线段CM的长度为d，当d接近垂直距离MC时，我们可以认为目标点C的坐标已经确定。
5.通过不断倍增线段AM的长度，我们最终确定了线段CM的长度为2.5，即MC的长度为2.5。
初中数学倍长中线法课件模板
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实战演练——证明角相等
例二：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
实战演练
解：延长中线AE，使EF=AE，连接BF,DF,可知ABFD为平行四边形，故AB=DF，DF=CD∵∠BAD+∠ABD=∠ADC（邻角和=外角） ∠BDA +∠EDF=∠ADF且∠BDA=∠BAD（已知） ，∠ABD=∠EDF（内错角相等）∴∠ADC=∠ADF∵ AD=AD ∠ADC=∠ADF DC=DF∴△ADC≌△ADF（SAS），∠C=∠BAE
倍长中线法
——基本要点与应用
试讲人：
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授课对象：初二年级学生基本掌握三角形、全等三角形知识后学习本课内容
主要内容
学习导入
在△ABC中，D是BC的重点，延长AD至E，使DE=AD
你能得出哪些结论呢？
△ ACD≌ △ BDE △ ABD≌ △ ECD ABEC是平行四边形,AC=BE AB=EC ，AC∥BE AB∥BC
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小结：倍长中线法只是解题的第一步！注重把握中点与直角三角形相关定理的结合，以及等边等角、对顶角相等相互转化的应用。
实战演练—— 一题多解
例五：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF,求证：BD=CE
例二：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
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78 全等模型—倍长中线模型
拓展应用：以△ABC 的边 AB，AC 为边向外作△ABE 和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°， M 是 BC 中点，连接 AM，DE．当 AM＝3 时，求 DE 的长． 【答案】问题背景： SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6． 【分析】问题背景：先判断出 BD=CD，由对顶角相等∠BDE=∠CDA，进而得出△ADC≌△EDB（SAS）； 问题解决：先证明△ADC≌△EDB（SAS），得出 BE=AC=3，最后用三角形三边关系即可得出结论； 拓展应用：如图 2，延长 AM 到 N，使得 MN=AM，连接 BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS）， 则 BN=AC，进而判断出∠ABN=∠EAD，进而判断出△ABN≌△EAD，得出 AN=ED，即可求解． 【详解】问题背景：如图 1，延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 BE，
【答案】4＜AE＜8 【分析】证明△ABD≌△ECD（AAS），得到 AB=EC=6，AD=ED，再由三角形的三边关系即可得出答案． 【详解】解：∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BD=CD． ∵AB∥CE， ∴∠BAD=∠E， 在△ABD 和△ECD 中， BAD E BDA CDE ， BD CD ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AB=EC=6， ∴AD=DE， 在△ACE 中，CE-AC＜AE＜CE+AC， 即 6-2＜AE＜6+2， ∴4＜AE＜8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的三边关系等知识；熟练掌握三角 形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键．
题型二：利用倍长中线证明线段、角相等 【例题 2】（2021·全国八年级课时练习）如图，CE、CB 分别是 ABC 与 ADC 的中线，且 ACB ABC ， AC AB ．求证： CD 2CE ．
初中数学倍长中线法
初中数学倍长中线法
在初中数学中，倍长中线法是一种求解三角形面积的方法。
它基于中线的性质：连接三角形两边中点的线段叫做中线，且中线的长度等于这两边之和的一半。
因此，对于任意三角形ABC，可以先求出它的三条中线长度，分别记为m<sub>a</sub>、m<sub>b</sub>、m<sub>c</sub>。
然后，用海龙公式：
s = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
其中，s 是三角形的半周长，a、b、c是三边长度。
而半周长 s 可以用三条中线的长度求出：
s = 1/2(m<sub>a</sub> + m<sub>b</sub> + m<sub>c</sub>) 这样，就可以用倍长中线法求出任意三角形的面积了。
需要注意的是，倍长中线法只适用于求解面积，不能用来求解三角形的其他属性。
但在一些实际问题中，求解面积就足够了。
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• 知识网络详解： • 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几
何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
• 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以 便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识 来解决问题的方法．
• 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某 某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等 （对顶角）
求证：AF=EF
A
F E
B
D
C
例4：如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交
AC于F.
求证：
BE CF EFAFra bibliotekE F
B
C
D
第 14 题图
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证：∠C=∠BAE
A
B
ED
C
1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证， AD平分∠BAE。
A
F
B
D
E
C
第 1 题图
• 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全 等三角形模型的构造。
A
例1：△ABC中，AB=5B，AC=3，求中线CAD
的取值范围。
D
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的 延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，
求证：BD=CE
A
D
B
F
C
E
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一 点，且BE=AC，延长BE交AC于F，