广西南宁市第三中学2020年高2022届高2019级高二上学期期中段考文科数学试题及答案

南宁三中2020~2021学年度上学期高二段考

文科数学试题

命题人:韦锋 陈婷婷 审题人:韦锋 陈婷婷

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.已知命题:0p x ?>,33x x >,则p ?为( )

A.0x ?>,33x x ≤

B.0x ?≤,33x x ≤

C.00x ?>,03

03x x ≤

D.00x ?≤,03

03x x ≤

2.甲乙两队积极准备一场篮球比赛,根据以往的经验知甲队获胜的概率是12,两队打平的概率是16

,则这次比赛乙队获胜的概率是( ) A.

1

6

B.

13

C.

12

D.

56

3.过点(2,0)P -,斜率是3的直线方程是( )

A.32y x =-

B.32y x =+

C.3(2)y x =-

D.3(2)y x =+

4.已知命题0:R p x ?∈,使05

sin x =；命题:R q x ?∈,都有210x x ++>,则下列结论正确的是( )

A.命题“p q ∧”是真命题；

B.命题“()p q ∧?”是假命题；

C.命题“()p q ?∨”是假命题；

D.命题“()()p q ?∨?”是假命题.

5.在空间中,设m ,n 为两条不同直线, α,β为两个不同平面,则下列命题正确的是

A.若//m α且//αβ,则//m β

B.若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥

C.若m α⊥且//αβ,则m β⊥

D.若m 不垂直于α,且n ?α,则m 必不垂直于n

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.6 B.7

C.

152 D.

233

7.在ABC ?中,角A B C ,,所对应的边分别为,,a b c , 则“a b =”是“sin sin A B =”的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件

C.必要非充分条件

D.非充分非必要条件

8.执行如右图所示的程序框图,则输出的m 的值为( ) A.5 B.6

C.7

D .8

9.我国古代数学家赵爽给出了勾股定理的绝妙证明,下图是赵爽的弦图,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实,图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色、黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2×勾×股＋(股 - 勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实,化简得 勾2＋股2＝弦

2

,设其中勾股比为1:3若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图

钉数大约为 A.866 B.500

C.300

D.134

10.已知函数()2

1

sin 3cos 2

f x x x x =+

,则下列结论正确的是

F 1

C 1A 1

B C

A

B

A.()f x 的最大值为1

B.()f x 的最小正周期为2π

C.()f x 的图象关于点7(

0)12

π，对称 D.()f x 的图象关于直线3

x π

=

对称

11.已知向量a 是与单位向量b 夹角为60的任意向量,则对任意的正实数t ,ta b -的最小值是( )

A.0

B.

12

D.1

12.已知函数()22x

f x b =-+的两个零点分别为1212,()x x x x >,则下列结论正确的是( )

A.11212,2x x x <<+<

B.11212,1x x x <<+<

C.1121,2x x x >+<

D.1121,1x x x >+<

二、填空题(每小题5分,共20分)

13.已知实数x ,y 满足约束条件20201x y x y x +-≥??

-+≥??≤?

,则32z x y =+的最小值为_________

14.某班的全体学生某次测试成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次

为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则该次测试该班的平均成绩是__________(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)

第14题图 第15题图

15.如图,111A B C ABC -是直三棱柱,90BCA ∠=,点11,D F 分别是1111,A B AC 的中点,若

1BC CA CC ==,则1BD 与1AF 所成角的余弦值是_________.

16.在等腰三角形ABC 中,23

A A

B π

∠=

=，将它沿BC 边上的高AD 翻折,使BCD ?为正三角形,则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________. 三、解答题

17.学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发

言.求:

()1列出所有可能的抽取结果,并求A 同学被选中的概率； ()2至少有1名女同学被选中的概率.

18.若数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >且22()n n n S a a n N *

=+∈.

(1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)若0()n a n N *

>∈,令1

(1)

n n n b a a =

+,求数列{}n b 的前n 项和n T .

19.某高新技术企业近5年的年研发费用x (百万元)与企业年利润y (百万元)的统计数据如下表:

(1)求出y 关于x 的线性回归方程 ???y bx a =+；

(2)如果该企业某年研发费用投入8百万元,预测该企业获得年利润为多少?

参考公式:1

12

2

2

1

1

()(),()

()i

n

n

i

i

i i

i i n

n

i

i i x x y y x y nx y

b a y bx x x x

n x ====---=

=

=---∑∑∑∑

20.在ABC ?中,三个内角,,A B C 所对的边分别为a,b,c ,若(cos ,cos ),(2,)m B C n a c b ==+,且

m n ⊥.

(1)求角B 的大小；

(2)若6b =,求ABC ?的周长的取值范围.

21.如图,在长方形ABCD 中,4AB =,2AD =,点E 是DC 的中点.将ADE 沿AE 折起,使平面

ADE ⊥平面ABCE ,连结DB 、DC 、EB .

(1)求证:AD ⊥平面BDE ；

(2)点M 是线段DA 的中点,求三棱锥D MEC -的体积.

22.已知点(1,0)(1,0)M N -，,曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N . (1)求曲线E 的方程；

(2)已知0m ≠,设直线1:10l x my --=交曲线E 于A 、C 两点,直线2:0l mx y m +-=交曲线E 于B 、D 两点,C 、D 两点均在x 轴下方.当CD 的斜率为1-时,求线段AB 的长.

南宁三中2020~2021学年度上学期高二段考

文科数学试题答案

1.C 【试题解析】命题p 是一个全称命题,故其否定是一个特称命题,先改写量词,然后否定结论即可

得到,该命题的否定为“00x ?>,03

03x x ≤”.故选:C.

2.B

3.D

4.B 【试题解析】命题p 是假命题,命题q 是真命题,所以B 正确.

5.C 【试题解析】在A 中,若m ∥α且α∥β,则m ∥β或m ?β,故A 错误；在B 中,若α⊥β,m ?α,n ?β,则m 与n 相交、平行或异面,故B 错误；在C 中,若m ⊥α且α∥β,则由线面垂直的判定定理得m ⊥β,故C 正确；在D 中,若m 不垂直于α,且n ?α,则m 有可能垂直于n ,故D 错误.故选:C .

6.B 【试题解析】由三视图可得,该几何体是棱长为2的正方体割去 一个三棱柱ABC DFE -后剩余的部分,如图所示,所以该几何 体的体积为3

1

211272

V =-???=,故选B. 7.A

8.B 【试题解析】始值S ＝0,m ＝1,进入循环,S ＝2,m ＝2; S ＝10,m ＝3; S ＝34,m ＝4; S ＝98,m ＝5; S ＝258,m ＝6, 此时S ＞100,不满足循环条件,退出循环.输出的m 的值为6,故选B .

9.D 【试题解析】因为勾股比为1∶√3,不妨设勾为1,则股为√3,大正方形的边长为2,小正方形的边长

31.设落在黄色图形内的图钉数为n ,则有2

(31)1000n -=

解得n ≈134. 10.D 【试题解析】因为211cos 231

()sin 3cos 2222

x f x x x x x -=++

=++= sin(2)1,6

x π

-+所以函数()f x 的最大值为2,最小正周期为π,故A 、B 不正确；由

2,6x k k Z π

π-

=∈得,212k x k Z ππ=

+∈,当1k =时712x π

=

,所以函数()f x 的图象关于点7(,1)12π对称,故C 不正确；由2,62x k k Z πππ-=+∈,得,23k x k Z ππ=+∈,所以函数()f x 的图象关于直线3

x π

=

对称,故D 正确.故选D.

11.C 【试题解析】222221

cos60,212

a b a b a ta b t a ta b b t a t a ?==

∴-=-?+=-+,设2213

33

,0,1()24

4x t a x ta b x x x =>∴-=-+=-+≥

=

12.A 【试题解析】()22x

f x b =-+有两个零点,

即22x

y =-与y b =-有两个交点,交点的横坐标就是

1212,()x x x x >,在同一坐标系画出22x

y =-与y b =-

的图象如图,可知112,x <<

1212122222,42222,x x x x x x b +-=-=-∴=+>

,故选A .

13.4【试题解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,

作出直线3x ＋2y ＝0并平移,由图知当直线3x ＋2y - z ＝0经过点A (0,2)时, z ＝3x ＋2y 取得最小值,即z min ＝3×0＋2×2＝4.

14.68平均分是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和.

∴平均分为:300.00520500.0120700.0220900.0152068??+??+??+??=.

30

BC 的中点D,连接D 1F 1,F 1D,∴D 1B ∥DF 1,∴∠DF 1A 121224,2x x x x +∴<∴+

y

y=b

y=2

2

1x 1x 2

或其补角就是BD 1与AF 1所成角,设BC ＝CA ＝CC 1＝2,则AD 5=AF 15=16=在△DF 1A 中,由余弦定理得cos ∠DF 1A 30=

16.15π【试题解析】翻折后所得的四面体ABCD 的直观图如图所示,

易知AD ⊥平面,3,3BCD AD BD BC CD ====,设BCD ?的

重心为G ,则32

33,23

DG =?

=∴外接球的半径 2

2315322

R =+=

（）（

）,从而外接球的表面积为

2415R ππ=.

17.【试题解析】() 1选两名代表发言一共有()()()(),,,,,,,A B A C A D A E ,()()(),,,,,A F B C B D ,

()()()(),,,,,,,,B E B F C D C E ()()()(),,,,,,,C F D E D F E F 共15种情况,---------3分

其中A 被选中的情况是()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F 共5种.

所以A 被选中的概率为

51

153

=. ------------------------6分 ()2不妨设, , , A B C D 四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:

()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,B C B D C D 共6种,

则至少有一名女同学被选中的概率为63

1155

-

=. ------------------------10分 18.解:(1)

2

10,2,n n n a S a a >=+∴当1n =时,21112S a a =+,则11a =,

当2n ≥时,22

11122

n n n n n n n a a a a

a S S ---++=-=-,

即111()(1)0,n n n n n n a a a a a a ---+--=∴=-或11n n a a -=+,

1(1)n n a -∴=-或n a n =.------------------------6分

(2)

1110,,(1)1

n n n a a n b n n n n >∴==

=-++

111

11(1)()()223

1

n T n n ∴=-+-+

+-+ 1

11

n =-

+------------------------12分 19.【试题解析】

(1)由题意可知x ＝

2455

13++++＝3,23447

5y ++++=＝4,

5

1

122334445771i i

i x y

==?+?+?+?+?=∑,5

2222221

1234555i i x ==++++=∑,

∴5

1

5

2

2

21

71534

1.15553

5?5i i

i i

i x y x y

b

x

x

==---??==

=-?∑∑,∴4 1.130.7?a y bx =-=-?=, ∴所求回归直线的方程为?y

＝1.10.7x +.------------------------8分 (2)在(1)中的方程中,令8x =,得?y

＝1.180.7?+＝9.5, 故如果该企业某年研发费用投入8百万元,预测该企业获得年利润为9.5百万元.---------12分

20.解:(1),cos (2)cos 0m n B a c C b ⊥∴?++?=,

cos (2sin sin )cos sin 0B A C C B ∴?++?=,

2cos sin (sin cos cos sin )sin()sin B A C B C B B C A ∴=-?+?=-+=-,

12cos ,23B B π∴=-∴=

,故角B 的大小为23

π.------------------------6分 (2)根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-

22236,36()a c ac a c ac ∴=++∴=+-

,

2223

()36(

),()36,624

a c a c ac a c a c +∴+-=≤∴+≤∴<+≤

则ABC ?的周长的取值范围是(

12,6+.------------------------12分 21.【试题解析】(1)证明:∵2AD DE ==,90ADE ∠=?

∴22AE BE ==,4AB =,∴222AE BE AB +=,∴AE BE ⊥

又平面ADE ⊥平面ABCE ,平面ADE

平面ABCE AE =,

∴BE ⊥平面ADE ,又AD ?平面ADE ,所以AD BE ⊥, 又

AD DE ⊥,DE BE E ?=,所以AD ⊥平面BDE .------------------------6分

(2)∵M 是线段DA 的中点,∴11

22

D MEC M DEC A DEC D AEC V V V V ----==

= 作AE 的中点O ,连接DO ,∵DA DE =∴DO AE ⊥ 又平面DAE ⊥平面ABCE ∴DO ⊥平面ABCE 又2DO =

1

sin13522

AEC

S

AE EC =????=, ∴12

2233

D AEC V -=

?=

,∴23D MEC V -=.------------------------12分 22.解:(1)设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ,

2222(1)3(1)x y x y ++=-+整理得2

2

410x y x +-+=,即2

2

(2)3x y -+=.------------------------4分

(2)由题意知12l l ⊥,且两条直线均过定点(1,0)N ,

设曲线E 的圆心为E ,则(2,0)E ,线段CD 的中点为P ,则直线:2EP y x =-,

设直线:CD y x t =-+,由2y x y x t =-??=-+?

得点22

(

,)22t t P +-, 由圆的几何性质得22

1

2

NP CD ED EP =

=-

而2

22

22222(

1)(),3,22t t NP ED EP +-=-+==, 解得0t =或3t =,又,C D 两点均在x 轴下方,所以直线:CD y x =-,

由22410x y x y x ?+-+=?=-?,

解得1212x y ?=-????=-??

或121

2

x y ?=+???

?=--??, 不失一般性,

设(11),(11)2222

C D -

-+--, 由22410

(1)

x y x y u x ?+-+=?

=-?,消去y 得2222(1)2(2)10u x u x u +-+++= ① 方程①的两根之积为1,所以点A

的横坐标2A x =又因为点

C (11)22

-

-在直线1:10l x my --=上,

解得1m =,

直线1:1)(1)l y x =-,

所以(2A +,

同理可得(2B -,

所以线段AB

的长为------------------------12分