高三数学立体几何专题训练
高三数学立体几何专题训练
【考点】1.三视图;2求体积;3证线面垂直(垂直关系);4求二面角的平面角;5求线面 角;6求异面直线所成角;7.求三角形面积;8判断平行、垂直、相交、重合位置关系。 【复习建议】
本题为低中档,一般分为两小问,可得满分。第(1)问,一般考查平行与垂直的证明 及相关问题,需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理,并注意证明过程的书写规范, 如能建系。也可用向量法;第(2)问一般研究空间角,如用综合法请注意证明过程。如用 空间向量需注意:异面直线所成角(一定不大于900)、线面所成角(此类题最容易错,记 ,
住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦)、二面角(注意观察是钝角还是锐角,一般 情况下是锐角)。向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建,并用文字说明,注意检查所写 的点或向量坐标有无错,注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算,注意是否作答。特别 的说明:广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别,但其实都很简单,无需紧张。用向量 还是综合法,视题目(更适合哪种方法)和个人情况而定。最后适当注意:求解线面所成角 要转换(比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系)和翻折问题。下面的例题仅供参考。
【题例】 1.如图3所示,在四面体P —ABC 中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,342=PB .F
是线段PB 上一点,3417
15
=
CF ,点E 在线段AB 上且EF⊥PB.
(I)证明:PB⊥平面CEF ; ¥
(Ⅱ)求二面角B —CE-F 的正切。选题目的,练好计算(包括三角形各边,二面角求解)
练好规范;判定是否适用向量。
!
2.翻折问题.体积问题.函数导数)如图6所示,等腰△ABC 的底
边66=AB ,高CD=3,点E 是线段BD 上异于点B,D 的动点,点F 在BC 边上,且EF⊥AB,现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使PE⊥AE,记BE=x ,V(x)表示四棱锥P 一ACEF 的体积.
(1)求V(x)的表达式;
(2)当x 为何值时,V(x)取得最大值?
(3)当V(x)取得最大值时,求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值
?
3、(组合图形问题)如图所示:边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且2=
DE ,ED∥AF,且∠DAF=900
(1)求BD 和面BEF 所成的角的正弦;
(2)线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的 平面和直线DB 垂直,若存在,求EP 与PF 的比值; |
若不存在,说明理由。 ;
总结:解决存在性问题方法:1.先假设存在,再去推理,下结论: 2.运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。
4.(视图,无棱二面角问题)四棱锥P —ABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示.
(1)写出四棱锥P 一ABCD 中四对线面垂直关系(不要求证明);
(2)在四棱锥P--ABCD 中,若E 为PA 的中点,求证:BE∥平面 PCD ;
(3)在四棱锥P 一ABCD 中,设面PAB 与面PCD 所在的角为θ(00<θ≤900
),求cosθ的值.
,
5.(无棱二面角问题)如图,四棱锥S 一ABCD 的底面是边长为l 的正方形.SD 垂直于底面ABCD ,.3=
SB
(1)求证:BC⊥SC
(2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;
(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小.
!
6.
如图①边长为1的正方形ABCD中,点E、
F分别为AB、BC的中点,将ABEF剪去,将
¥
△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、
C两点重合于点P得一三棱锥如图②示.
(1)求证:PD⊥EF:
(2)求三棱锥P—DEF的体积;
(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值.
:
7、如图,在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=600,Q为AD的中点。(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的值,使PA∥平面MQB
(3)在(2)的条件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2
求二面角M—BQ-C的大小。
(
@
8.(本小题满分l4分)
如图,△ABC是以∠ABC为直角的三角形,SA⊥平面ABC,
SA=BC=2。AB=4.M、N、D分别是SC、AB、BC的中点。
(1)求证:MN⊥AB;
(2)求二面角S-ND—A的余弦值:
(3)求点A到平面SND的距离。
参考答案
;
l(I)证明:2
2
2
1006436PC
AC PA ==+=+
∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形,同理可证△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形,△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形.故PA⊥平面ABC,又
306102
1
||||21=??==
?BC AC S PBC 而
PBC S CF PB ?==??=301734153422
1||||21,故CF⊥PB,又已知EF⊥PB
∴PB ⊥平面CEF
(II)由(I)知PB⊥CE,PA⊥平面ABC .∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影,故AB⊥CE 在平面PAB 内,过F 作FF 1垂直AB 交AB 于F 1,则FF 1⊥平面ABC ,EF l 是EF 在
平面ABC 上的射影,∴EF⊥EC ,故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角. ;
3
5
610tan tan ===
∠=∠AP AB BPA FEB
二面角B —CE 一F 的正切为3
5 说明:本题不适宜用向量
2(1)由折起的过程可知,PE⊥平面ABC ,2212
654,69x S x S S BDC AEF
ABC =?==??? )630)(12
1
9(36)(2<<-=
x x x x V (2))4
1
9(36)(2x x V -=
'
所以)6,0(∈x 时,)(,0)(x V x V >'单调递增;
·
636< (3)过F 作MT∥AC 交AD 与M ,则 26,122,2 1======PM BE MB AB BE BD BE BC BF AB BM 429543 66 36=+= = ==BC PF BF MF 在△PFM 中,7 2 427284cos =-= ∠PFM ∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为7 2 3解(1)因为AC 、AD 、AB 两两垂直,建立如图坐标系,则B(2,0,0),D(0,0,2) E(1,l ,2),F(2,2,0)。则)0,2,0(),2,1,1(),2,0,2(=-=-=BF BE DB … 设平面BEF 的法向量),,(z y x n =,则x -,0,02==++y z y 则可取),1,0,2(=n ∴向量DB 和)1,0,2(=n 所成角的正弦为 10 10)2(21220222 222= -++-+? 即BD 和面BEF 所成的角的正弦 10 10 (2)假设线段EF 上存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直,不妨设 )0(>=m PF m EP 则P 点坐标为)12 ,121,121( m m m m m +++++ 则向量)12 ,121,121(m m m m m AP +++++= / 向量?++-++=)12 ,11,121( m m m m CP 所以,012)2(12101212=+-++++++m m m m m 所以2 1 =m 故存在这样的点P ,当点P 为EF 中点时,BD ⊥面PAC 4.解(1)如图,在四棱锥P 一ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,AB ⊥平面PAD . (2)依题意AB 、AD 、AP 两两垂直,分别以直线AB 、AD 、AP 为z y x 、、轴,建立空间直角坐标系,如图.则P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0). ∵E 是PA 中点,∴点E 的坐标为(0,0,1), — ())2,4,0(),2,2,2(,1,0,2-=-=-=PD PC BE 设),,(1z y x n =是平面PCD 的法向量. 由?????⊥⊥PD n PC n 11.,即???=-=-+0240222z y z y x 取y=1,得)2,1,1(1=n 为平面PCD 的一个法向量. //,n ,021101211BE BE n BE ∴⊥∴=?+?+?-=? 平面PCD. 又?BE 平面PCD ,∴BE ∥平面PCD . (3)由(2),平面PCD 的一个法向量为)2,1,1(1=n 又∵AD ⊥平面PAB ,∴平面PAB 的一个法向量为 @ 66 61|cos ),0,1,0(2 1212= =??= ∴=n n n n n θ 5、方法一.解:(1)如图建立空间直角坐标系.则有B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,1) 于是)1,1,0(),0,0,1(-=-=SC BC .于是0=?SC BC 所以SC BC ⊥,于是BC⊥SC, (2)显然平面ASD 的法向量为)0,1,0(=n ,设平面SCB 的法向量为),1,,(2y x n = 则有SC n BC n ⊥⊥22,,即?? ?=-=-0 10 y x ,解得)1,1,0(2=n 由于2 2,cos 21>= 所以1n 与2n 的夹角为450 ,由图可以判断面ASD 与面BSC 所成的角为锐角,因此与1n 与2n 的夹角相等,从而面ASD 与面BSC 所成的角为450 . (3)M 点坐标为)21,0,21(于是)2 1,0,21(=DM ,而)1,1,1(-=SB ,并且0,cos >= 6.(1)证明:依题意知图①折前AD ⊥AE,CD ⊥CF .∴PD⊥PE,PF⊥PD,……2分 P PF PE = ,∴PD⊥平面PEF ……… 3分 又?EF 平面PEF ∴PD⊥EF………4分 ; (2)解法l :依题意知图①中 2 1 21==∴==PF PE CF AE 在△BEF 中2 22= =BE EF 在△PEF 中PF PE EF PF PE ⊥∴=+222 8 1 21212121=??=??= ∴?PF PE S PEF …………7分 24 1 1813131=??=?==∴?--PD S V V PEF PEF D DEF P ………8分 (2)解法2:依题意知图①中 2 1 21==∴?==PF PE CF AE — 在△BEF 中2 2 2= =BE EF ……………………5分 取EF 的中点M ,连结PM,则PM ⊥EF 4 2 22= -= ∴EM PE PM …………6分 8 142222121=??=?= ∴?PM EF S PEF ……………7分 24 1 1813131=??=?==∴?--PD S V V PEF PEF D DEF P …………8分 (3)由(2)知PE⊥PF, 又PE⊥PD ∴PE⊥平面PDF…………10分 ∴∠PDE 为DE 与平面PDF 所成的角, …………………………11分 在Rt △PDE 中.2 1,2541122==+ =+= PE PE PD DE ……………l2分 55 2 5 21 sin = ==∠∴DE PE PDE …………14分 ; 7.解:(1)连BD ,四边形ABCD 菱形,∵AD⊥AB,∠BAD=600 ,△ABD 为正三角形,Q 为AD 中点,∴AD⊥BQ ,∵PA=PD ,Q 为AD 的中点,AD⊥PQ ,又BQ∩PQ=Q.∴AD⊥平面PQB , ?AD 平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD (2)当3 1 = t 时,PA∥平面MQB, 下面证明,若PA∥平面MQB ,连AC 交BQ 于N, 由AQ∥BC ,可得ANQ ?∽BNC ?,2 1 ==∴NC AN BC AQ 即 3 1 =NC AN ∵PA∥平面MQB ,?PA 平面PAC, 平面PAC∩平面MQB=MN ,∴PA∥MN { 3 1 ==AC AN PC PM 即:PC PM 3 1=,31 =∴t (3)由PA=PD=AD=2,Q 为AD 的中点,则PQ⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD ,所以PQ⊥平面ABCD , 以Q 为坐标原点,分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x ,y ,z 轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为)3,0,0(),0,0,0(),0,3,0(),0,0,1(P Q B A )0,3,0(),3,3,2(),0,3,2(),0,2 3 , 0(=--=-QB PC C N 令()c b a M ,,,则)3,,(-=c b a PM ,由PC PM 31 =, 得点的坐标)332,33,32(-- M ,),332,63,3 2(-=MN 设平面MQB 的法向量为)1,,(y x n =,可得 ???? ?=?=?0 MN n QB n ,MN PA // ,∴?????=?=?00PA n QB n ,解得)1,0,3(=n < 取平面ABCD 的法向量()2 1 ,cos 1,0,0= >= <=n m n m n m m 又因为二面角M —BQ —C 为锐二面角,所以其大小为600 。 8(1)略证:作ME⊥AC,连接NE ,可证得AB⊥平面MNE,即得MN⊥AB……4分 过A 作AF 垂直DN 且与DN 的延长线相交于点F ,连接SF 在△DBN 中,2 1 tan == ∠BN DB DNB ,55sin =∠∴DNB 在Rt△AFN 中,5 52sin = ∠?=DNB AN AF 在Rt△SAF 中,55 5 22 tan === ∠AF SA SFA (3) 过点A 作AH ⊥SF 于H ,由(2)知平面SAF⊥平面SND∴AH⊥面SND ∴AH 的长为点A 到平面SND 的距离 在Rt △AHF 中,3 6 630552sin =?= ∠?=SFA AF AH 故点A 到平面SND 的距离为 3 6 ……………………14分 解法二: (向量法) B 为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图), 由题意得M(1,2,1),N(0,2,0) 所以),0,2,0(),1,0,1(=--=AB MN AB MN AB MN ⊥∴=?,0 设平面SND 的法向量为),,(z y x m = 则0=?SN m ,且0=?DN m , 令解z=1得:x=2,y=-1 ()1,1,2-=∴m 又平面AND 的法向量为)1,0,0(=n 6 6 cos = = n m α (3)36 | |=?=m m AN d 2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台: 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 2015届高三数学(文)立体几何训练题 1、如图3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的一点. ⑴求证:平面PAC ⊥平面PBC ; ⑵若PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥P -ABC 的体积. 2、如图,已知P A ?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB =2,C 是⊙O 上一点,且AC =BC =P A ,E 是PC 的中点,F 是PB 的中点. (1)求证:EF 3、如图,四棱柱1111D C B A ABCD -中,A A 1?底面ABCD ,且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6,且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . (1)证明:EC D A 111A ABB 4、如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,AA 1=AB =2a ,D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点. (1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求证:AE ⊥BD ; (3)求三棱锥D —A 1BA 的体积 . 5.如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB , 将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF . (Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F F E A (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体CDFN 体积的最大值. 6、如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ,AP=AC, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且BC (Ⅰ)求证:D E ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若PC ⊥AD ,且三棱锥P ABC -的体积为8,求多面体ABCED 的体积。 7、如图:C 、D 是以AB 为直径的圆上两点,==AD AB 232,BC AC =,F 是AB 上一点, 且AB AF 3 1 =,将圆沿直径AB 折起,使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上,已知2=CE . (1)求证:⊥AD 平面BCE ; (2)求证://AD 平面CEF ; (3)求三棱锥CFD A -的体积. 8、如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =,现将四边 形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ; 2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 立体几何 G5 空间中的垂直关系 18.、[2014·广东卷] 如图1-4,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E. (1)证明:CF⊥平面ADF; (2)求二面角D- AF- E的余弦值. 图1-4 19.、[2014·湖南卷] 如图1-6所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD =O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明:O1O⊥底面ABCD; (2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值. 19.解:(1)如图(a),因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1,所以CC1⊥BD.而AC∩BD=O,因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知,O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一:如图(a),过O1作O1H⊥OB1于H,连接HC1. 由(1)知,O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形A1B1C1D1是菱形, 因此A1C1⊥B1D1,从而A1C1⊥平面BDD1B1,所以A1C1⊥OB1,于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角. 不妨设AB =2.因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1,OB 1=7. 在Rt △OO 1B 1中,易知O 1H =OO 1·O 1B 1OB 1=237.而O 1C 1=1,于是C 1H =O 1C 21+O 1H 2 = 1+12 7 = 197 . 故cos ∠C 1HO 1=O 1H C 1H = 23 7197 =25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二:因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD 是菱形,因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ,从而OB ,OC ,OO 1两两垂直. 如图(b),以O 为坐标原点,OB ,OC ,OO 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O -xyz ,不妨设AB =2.因为∠CBA =60°,所以OB =3,OC =1,于是相关各点的坐标为O (0,0,0), B 1(3,0,2), C 1(0,1,2). 易知,n 1=(0,1,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量. 设n 2=(x ,y ,z )是平面OB 1C 1的一个法向量,则?????n 2·OB →1=0,n 2·OC →1=0,即???3x +2z =0, y +2z =0. 取z =-3,则x =2,y =23,所以n 2=(2,23,-3). 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ,易知θ是锐角,于是 cos θ=|cos 〈,〉|=??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|=2319=25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19. 、、[2014·江西卷] 如图1-6,四棱锥P - ABCD 中,ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证:AB ⊥PD . 高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体 的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。 高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α=a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β,a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系: 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线,则这两个平 面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直,则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点, 且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ; (Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ; (Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C高三数学知识点总结:立体几何
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