3.1.2函数的表示法-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共22张PPT)
解法二:∵x+2 x=( )x2+2 +1x-1=( +1)x2-1, ∴f( x+1)=( +x1)2-1,∴f(x)=x2-1(x≥1).
(3)由f(x)=2f
1 x
+x,得f
1x=2f(x)+
1,
x
联立得
f
(x)
2
f
1 x
x,①
f
1 x
2
f
(x)
1 x
,②
①+②×2得f(x)=x+4f(x)+ 2 ,则f(x)=- 2 -1
2.函数有哪几种常用的表示法？
函数几种常用的表示法
（1）解析法：用数学表达式表示两 个变量之间的对应关系； （2）图象法：用图象表示两个变量 之间的对应关系； （3）列表法：用表格表示两个变量 之间的对应关系.
某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3， 4，5})个笔记本需要y元．试用适当的方式表示函 数y=f(x)．
求函数解析式的常用方法
1.配凑法.已知f(h(x))=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理或配凑成只 含h(x)的式子,用x将h(x)代换. 2.待定系数法.前提是已知函数的类型(如一次函数、二次函数),比如二次 函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件列 出方程组,解出待定系数即可. 3.换元法.已知f(h(x))=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进 行换元,便可求解. 4.解方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他
未知量,如f 等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解 方程组求出f(x). 5.赋值法. f(x)是关于x,y两个变量的方程式,可对变量赋值求出f(x).
例2 (1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x+3,则f(x)的解析式为
;
(2)已知f( x+1)=x+2 ,则x f(x)的解析式为
解析 (1)由题意可设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab
+b=4x+3,∴
a2
解 4得,
ab b 3,
或
a b
故 --所32, 求解ba 析12式., 为f(x)=-2x-3或f(x)
=2x+1.
(2)解法一:设t= x+1(t≥1),则x=(t-1)2,∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1).
;
(3)已知函数f(x)满足f(x)=2f
1 x
+x,则f(x)的解析式为
;
(4)已知f(0)=1,对任意的实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),则f(x)的解析式为
.
(1)已知函数类型,用待定系数法求解. (2)用换元法求解,注意新元的范围或用配凑法求解. (3)联立方程可解. (4)用赋值法可解.
x.
x
3x 3
(4)令x=0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y2-y,
∴f(y)=y2+y+1,
∴f(x)=x2+x+1.
例3 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和 国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税 （简称个税）．２０１９年１月１日 起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数． 应纳税所得额的计算公式为 应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除 －专项附加扣除－ 依法确定的其他扣除．
法一：分段函数
例1画出函数y=|x|的图像
法二：去绝对值
第一步:画y=x的图像
第二步:画y=|x|的图像
x轴上方的图像加绝 对值位置不变 与x轴的交点位置不 变
x轴下方的图像翻转 到x轴上方
y y=x
o
x
y
o
x
练习1画出函数y=|x-2|的图像
第一步:画数y=|x²-1|的图像
图象法
优点：能直观形象地表示出函数的变化情况. 缺点：只能近似地反映函数的变化情况.
练习
1 设周长为20cm的矩形的一边长为xcm，面
积为Scm2,那么x与S的对应关系是否为函数？
若是,试用适当的方法表示出来.
S x(10 x), x (0,10)
所有的函 数都能用 三种方法 表示吗?
例1画出函数y=|x|的图像
包括工 资、薪金，劳务报 酬，稿 酬，特许
权使用费
“基本减除费用” （免征额）为每年
60000元．
包括居民个人按
照国家规定的范围和标
准缴纳的基本养老保险、
基本医疗保险、失业保
险等社会保险费和住房
公积金等；
包括子女教育、
继续教育、 大病
医疗、住房贷款
利息或者住房租
金、赡养老人
等支出；
（１）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y， 求y＝f（t），并画出图象； （２）小王全年综合所得收入额为１８９６００元， 假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保 险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的 比例分别是８％，２％， １％，９％，专项附加扣
y=5x, x∈{1,2,3,4,5}
：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用 解析式来研究函数的性质。
：一些实际问题很难找到它的解析式。
笔记本数 1 2 3 4 5
x
钱数 y 5 10 15 20 25
：不必通过计算就知道当自变量取某些 值时函数的对应值。
：只用于自变量为有限个的函数。
除是５２８００元，依法确定其他扣除是４５６０ 元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
（２）小王全年应纳税所得额为 t＝１８９６００－６００００－１８９６００（８％＋２％＋１％ ＋９％）－５２８００－４５６０ ＝０．８×１８９６００－１１７３６０ ＝３４３２０． 将t的值代入③，得 y＝０．０３×３４３２０＝１０２９．６． 所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为１０２９．６元．
第三章 函数的概念与性质
3.1函数的概念及其表示
3.1.2函数的表示法
问题提出
1.从集合与对应的观点分析，函数的定 义是什么？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确 定的对应关系f，使对于集A中的任意一 个数x，在集B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.
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人教版高中数学新教材必修第一册课件：3.1.2 函数表示法
即：f (x) 3 x 7
讲
22
课
人
：
邢
启 强
23
典型例题
解 : 设f (x) kx b,则f ( f (x)) f (kx b) k(kx b) b
k(kx b) b 4x 1,
k 2 (k
4 1)b
1
k b
2
1 3
或
k b
2 1
f (x) 2x 1 或f (x) 2x 1
因为 AD＝x 所以 x2= 2 a 2 A 2
E
B
所以 DC＝2－x2
讲
课
人
：
邢
启 强
27
典型例题
例5.已知函数f(x)在［-1,2］上的图象如图 所示，求f(x)的解析式.
【分析】由图象特点先确定函数类型，再求解析式.
【解析】当-1≤x≤0时，设y=ax+b,
∵过点(-1,0)和(0,1),∴
(1)求f{f[f(－2)]} (2) 当f (x)=－7时,求x ;
解: (1) f{f[f(－2)]} = f{f[-1]} = f{1} =0
(2)若x＜－1 , 2x+3 ＜1，与f (x)=－7相符，
由2x+3 =－7得x=－5 易知其他二段均不符合f (x)=－7 。
故 x=－5
讲
课
Hale Waihona Puke 人：(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式， 可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x) 改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便 得 f(x)的解析式； (4)消去法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式， 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
函数的表示法【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件
[-1,8].
方法规律 描点法作函数图象的三个步骤
【跟踪训练】
2.作出下列函数图象: (1)y=1-x(|x|≤2,x∈Z); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 解:(1)因为|x|≤2,x∈Z, 所以x∈{-2,-1,0,1,2}. 所以函数的图象为直 线y=1-x上的孤立点. 如图所示.
所以f(g(x))>g(f(x))的解为x=2.
x f(g(x)) g(f(x))
1 23 1 31 3 13
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
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3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
探索点二 作函数的图象 【例 2】作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y= ,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]
方法规律 描点法作函数图象的三个步骤
【跟踪训练】
2.作出下列函数图象: (1)y=1-x(|x|≤2,x∈Z); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 解:(1)因为|x|≤2,x∈Z, 所以x∈{-2,-1,0,1,2}. 所以函数的图象为直 线y=1-x上的孤立点. 如图所示.
所以f(g(x))>g(f(x))的解为x=2.
x f(g(x)) g(f(x))
1 23 1 31 3 13
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
探索点二 作函数的图象 【例 2】作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y= ,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]
人教A版(2019)高中数学必修第一册3.1.2函数的表示法课件
3.1.2 函数的表示法
S 350t
函数的三种表示方法：
函数的三种表示方法：
1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
2、图像法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 3、列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系
函数的三种表示方法：
1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
解：用图象法可将函 数 y=f(x)表示为 图3.1-2.
分段函数的解析式和图像
例2 画出函数 f(x)=|x| 的图像，并根据图像求函数 f(x)值域
x
0
0，
图像为
这样的函数叫分段函数， 在生活中，有很多可以用分段 函数描述的实际问题，比如出 租车计费，个人所得税等
分段函数的解析式和图像
例3 给定函数f ( x) = x + 1，g( x) = ( x + 1)2 ,
(1)在同一直角坐标系中画 出f ( x)和g( x)的图像 (2)∀x∈ R,用M ( x)表示f ( x), g( x)中的较大者, 记为：
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
S 350t
函数的三种表示方法：
函数的三种表示方法：
1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
2、图像法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 3、列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系
函数的三种表示方法：
1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
解：用图象法可将函 数 y=f(x)表示为 图3.1-2.
分段函数的解析式和图像
例2 画出函数 f(x)=|x| 的图像，并根据图像求函数 f(x)值域
x
0
0，
图像为
这样的函数叫分段函数， 在生活中，有很多可以用分段 函数描述的实际问题，比如出 租车计费，个人所得税等
分段函数的解析式和图像
例3 给定函数f ( x) = x + 1，g( x) = ( x + 1)2 ,
(1)在同一直角坐标系中画 出f ( x)和g( x)的图像 (2)∀x∈ R,用M ( x)表示f ( x), g( x)中的较大者, 记为：
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
4,5})个笔记本需要 y 元，请用函数的三种表示法表示 函数 y=f(x).
函数的三种表示法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 x(x∈{1,2,3,
数学人教A版(2019)必修第一册3.1.2函数的表示法(共40张ppt)
搁了一些时间；
(３)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进．
习题演练
[练习1]某教师将其一周课时节次列表如下：
x/星期
1
2
3
4
5
f(x)/节次
3
5
4
3
1
从上表可看出，这个关于x的函数的定义域为
{1,2,3,4,5}
{1,3,4,5}
1
____________；值域为___________，f(f(2))=_____.
(2)
1
f(x+ )=
x2
+
1
2
(3)f(x)+2f(-x)=x2+2x
(1)解：由题意，设 f(x)=ax+b(a≠0).
即a2=4,且ab+b=-3;
则 f [f(x)]=a(ax+b)+b=4x-3,
解得：a=2,b=-1; 或 a=-2,b=3
所以 f(x)=2x-1; 或
1
(2)解：因为f(x+ )=
x
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等.
习题演练
1、下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个
图象写出一件事．
(１)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了
作业本再上学；
(２)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽
用解析法可将函数y=ƒ(x)表示为 ƒ(x)=5x,
x∈{1,2,3,4,5}
用列表法可将函数y=ƒ(x)表示为 笔记本数x(个) 1 2 3 4 5
总价 y(元)
用图象法可将函数y=ƒ(x)表示为
(３)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进．
习题演练
[练习1]某教师将其一周课时节次列表如下：
x/星期
1
2
3
4
5
f(x)/节次
3
5
4
3
1
从上表可看出，这个关于x的函数的定义域为
{1,2,3,4,5}
{1,3,4,5}
1
____________；值域为___________，f(f(2))=_____.
(2)
1
f(x+ )=
x2
+
1
2
(3)f(x)+2f(-x)=x2+2x
(1)解：由题意，设 f(x)=ax+b(a≠0).
即a2=4,且ab+b=-3;
则 f [f(x)]=a(ax+b)+b=4x-3,
解得：a=2,b=-1; 或 a=-2,b=3
所以 f(x)=2x-1; 或
1
(2)解：因为f(x+ )=
x
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等.
习题演练
1、下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个
图象写出一件事．
(１)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了
作业本再上学；
(２)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽
用解析法可将函数y=ƒ(x)表示为 ƒ(x)=5x,
x∈{1,2,3,4,5}
用列表法可将函数y=ƒ(x)表示为 笔记本数x(个) 1 2 3 4 5
总价 y(元)
用图象法可将函数y=ƒ(x)表示为
3.1.2 函数的表示法(一)课件- 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
解：∵ 2f x +
∴ 2f
消去f
1
x
1
x
+f x
1
x
1
f
x
1
=
x
解得 = −2 + 1 ．
= x x ≠ 0 ，求f x 的解析式.
=x x≠0 ，
Байду номын сангаас
x≠0 ，
，解得f x =
2x
3
−
1
，x
3x
≠ 0.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
方法总结
当同一个对应关系f 中的两个变量之间有互为相反数
1
（或互为倒数）关系时，可以用−x(或 )代替原式中的x
x
所得方程与原方程联立构造方程组求解．
，
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
角度3 赋值法求函数解析式
例6：已知对任意实数x，y都有f x + y − 2f y = x 2 + 2xy − y 2 + 3x − 3y，
求函数f x 的解析式.
2
x
x
x
1
2
1
+ +1 −2 +1 +3
x2
x
x
2
1
1
+ 1 − 2 + 1 + 3,
x
x
1
1 2
1
f 1+ = 1+
− 2 1 + + 3，
x
x
x
1
2
f x = x − 2x + 3. 又∵ 1 + ≠ 1,
x
∴ 2f
消去f
1
x
1
x
+f x
1
x
1
f
x
1
=
x
解得 = −2 + 1 ．
= x x ≠ 0 ，求f x 的解析式.
=x x≠0 ，
Байду номын сангаас
x≠0 ，
，解得f x =
2x
3
−
1
，x
3x
≠ 0.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
方法总结
当同一个对应关系f 中的两个变量之间有互为相反数
1
（或互为倒数）关系时，可以用−x(或 )代替原式中的x
x
所得方程与原方程联立构造方程组求解．
，
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
角度3 赋值法求函数解析式
例6：已知对任意实数x，y都有f x + y − 2f y = x 2 + 2xy − y 2 + 3x − 3y，
求函数f x 的解析式.
2
x
x
x
1
2
1
+ +1 −2 +1 +3
x2
x
x
2
1
1
+ 1 − 2 + 1 + 3,
x
x
1
1 2
1
f 1+ = 1+
− 2 1 + + 3，
x
x
x
1
2
f x = x − 2x + 3. 又∵ 1 + ≠ 1,
x
高中数学必修第一册人教A版3.1.2_函数的表示法_课件
4.解方程组法或消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量
有着某种关系,这时就要根据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,
由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种
方法叫做解方程组法或消元法.
跟踪训练三
1.已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;
1，－2≤x≤0，
＝
x，0＜x≤3，
其“段”是不等长的．
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．
( ×)
(2)函数 f(x)＝2x＋1 不能用列表法表示．
( √ )
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． ( × )
(4)分段函数由几个函数构成．
∴ቊ
= 1,
∴所求二次函数为f(x)=x2-x+1.
= −1.
(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
2
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-3 .
解题方法（求函数解析式的四种常用方法）
1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.
76
88
75
86
80
赵 磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88．2
78．3
85．4
80．3
75．7
82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
有着某种关系,这时就要根据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,
由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种
方法叫做解方程组法或消元法.
跟踪训练三
1.已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;
1，－2≤x≤0，
＝
x，0＜x≤3，
其“段”是不等长的．
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．
( ×)
(2)函数 f(x)＝2x＋1 不能用列表法表示．
( √ )
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． ( × )
(4)分段函数由几个函数构成．
∴ቊ
= 1,
∴所求二次函数为f(x)=x2-x+1.
= −1.
(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
2
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-3 .
解题方法（求函数解析式的四种常用方法）
1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.
76
88
75
86
80
赵 磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88．2
78．3
85．4
80．3
75．7
82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
3.1.2 函数的表示法课件新教材】人教A版(2019)高一数学必修第一册
解析：选 C.设 y＝k，由题意得 1＝k，
x
2
解得 k＝2，所以 y＝2x.
3.1 函 数 的 概 念
随堂练习
3、已知f（x+1）=x2+2x+2,求f(x)
解： 法一：配凑法 f（x+1）=x2+2x+2=（x+1）2+1， ∴f（x）=x2+1．
法二：换元法 令t=x+1 则x=t-1 f(t)=(t-1)²+2(t-1) =t²-2t+1+2t-2 =t²-1 ∴f（x）=x2+1
3.1 函 数 的 概 念
随堂练习
1、函数的基本表示法(列表法、图象法、解析法) 2、描点法画一些简单函数的图象。 3、求函数解析式 4、求函数解析式的配凑法、换元法
谢谢您的聆听
y
4
•
2
2 1 O 1 2
x
2
• 4
f(x)=2x，x∈R,且|x|≤2
3.1 函 数 的 概 念
典型例题
例2. 画出下列函数的图象: (2)f(x)=x+2,(x∈N,且|x|≤3)
f(x)=x+2,(x∈N,且|x|≤3)
3.1 函 数 的 概 念
变式训练
1、画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y ＝x2－2x(x>1，或x<－1)
3
3.1 函 数 的 概 念
温故知新
知识点一 区间的概念及表示
1.一般区间的表示：设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
3.1.2 函数的表示(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
只可能是 ( B )
03
拓展提升
Expansion And Promotion
函数的表示
解析式的求法 - 代入法
题型一. 由f(x)的解析式求f[g(x)]的解析式.
例1.已知f(x)=x2 +x -1，则f(x+1)=________.
【解析】因为f (x) x2 x 1, 所以f (x 1) (x 1)2 (x 1) 1
函数的表示
【分析】从图像中我们可以直观地看到：王伟同学的成绩一直稳定在班级的前茅， 张 城同学的成绩波动较大，赵磊同学的成绩整体有下降趋势，但三位同学的成绩基本上 都大幅领先于班级平均水平.
函数的表示
【练习1】已知f (x) x 1，则f ( f (2)) _______. x
【解析】因为f (2)
【解析】令t x 1 1, 则 x t 1, x (t 1)2 所以f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1 所以f (t) t 2 1，t 1 所以f (x) x2 1，x 1
换元法：已知f(g(x))=h(x)，求f(x)时，往往可设g(x)=t，从中解出x，代入h(x)
代入法：已知f (x)求f(g(x))，只需把f (x)中的x用g(x)代入即可； 配凑法：已知f (g(x))=h(x)，求f (x)的问题,往往把右边的h(x)整理或配凑成只
含g(x)的式子, 再用x将g(x)替换即可得f(x)； 换元法：已知f(g(x))=h(x),求f (x)时,往往可设g(x)=t,从中解出x,代入h(x) 进行
【解析法】y=5x，x∈{1，2，3，4，5} 【图像法】函数图像可以表示如图：
y
【列表法】函数可以表示如下表：
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
03
拓展提升
Expansion And Promotion
函数的表示
解析式的求法 - 代入法
题型一. 由f(x)的解析式求f[g(x)]的解析式.
例1.已知f(x)=x2 +x -1，则f(x+1)=________.
【解析】因为f (x) x2 x 1, 所以f (x 1) (x 1)2 (x 1) 1
函数的表示
【分析】从图像中我们可以直观地看到：王伟同学的成绩一直稳定在班级的前茅， 张 城同学的成绩波动较大，赵磊同学的成绩整体有下降趋势，但三位同学的成绩基本上 都大幅领先于班级平均水平.
函数的表示
【练习1】已知f (x) x 1，则f ( f (2)) _______. x
【解析】因为f (2)
【解析】令t x 1 1, 则 x t 1, x (t 1)2 所以f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1 所以f (t) t 2 1，t 1 所以f (x) x2 1，x 1
换元法：已知f(g(x))=h(x)，求f(x)时，往往可设g(x)=t，从中解出x，代入h(x)
代入法：已知f (x)求f(g(x))，只需把f (x)中的x用g(x)代入即可； 配凑法：已知f (g(x))=h(x)，求f (x)的问题,往往把右边的h(x)整理或配凑成只
含g(x)的式子, 再用x将g(x)替换即可得f(x)； 换元法：已知f(g(x))=h(x),求f (x)时,往往可设g(x)=t,从中解出x,代入h(x) 进行
【解析法】y=5x，x∈{1，2，3，4，5} 【图像法】函数图像可以表示如图：
y
【列表法】函数可以表示如下表：
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
3.1.2 函数的表示法(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
请分别用图象法和解析法表示函数().
解：由(1)中的函数取值情况，结合函数()的定义，可得函数
()的图象.
由( + 1)2 = + 1，得( + 1) = 0.解得 = −1，或 = 0.
结合上图，得出函数的解析式为() =
( + 1)2 ， ≤ −1，
+ 1， − 1 < ≤ 0，
途径，是联系变量和的纽带.
由于在现实生活中，将变量数对应到的方法和途径是多样化的，这就导
致了函数的表示方法也是多样化的.本节课我们就来研究一下函数常见的几种表
示方法.
复习导入
我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.其实在
上一节课的学习中，我们也已经接触了这三种函数的表示法，请同学们结合上节课
图象(均为6个离散的点)表示出来，如图所示，那么就能直观地看到每位同学成
例析
绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.
从图中可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终
高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且优秀.
张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平
均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学
的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成
回顾2：函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域是函数的三要素.其中, 叫做自变量，的取值范
围叫做函数的定义域;与值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{()| ∈
}叫做函数的值域.值域是集合的子集.
复习导入
回顾3：函数的对应关系有什么作用？
对应关系“”是将中的任意一个数，对应到中唯一确定的数的方法和
解：(2)设 = + 1，则 < 1， = − 1.
解：由(1)中的函数取值情况，结合函数()的定义，可得函数
()的图象.
由( + 1)2 = + 1，得( + 1) = 0.解得 = −1，或 = 0.
结合上图，得出函数的解析式为() =
( + 1)2 ， ≤ −1，
+ 1， − 1 < ≤ 0，
途径，是联系变量和的纽带.
由于在现实生活中，将变量数对应到的方法和途径是多样化的，这就导
致了函数的表示方法也是多样化的.本节课我们就来研究一下函数常见的几种表
示方法.
复习导入
我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.其实在
上一节课的学习中，我们也已经接触了这三种函数的表示法，请同学们结合上节课
图象(均为6个离散的点)表示出来，如图所示，那么就能直观地看到每位同学成
例析
绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.
从图中可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终
高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且优秀.
张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平
均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学
的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成
回顾2：函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域是函数的三要素.其中, 叫做自变量，的取值范
围叫做函数的定义域;与值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{()| ∈
}叫做函数的值域.值域是集合的子集.
复习导入
回顾3：函数的对应关系有什么作用？
对应关系“”是将中的任意一个数，对应到中唯一确定的数的方法和
解：(2)设 = + 1，则 < 1， = − 1.
函数的表示法 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
表示函数 M (x) .
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数 f (x) ， g(x) 的图象如图.
（2）由（1）图象中函数取值的情况，结合函数 M (x) 的定义，
可得函数 M (x) 的图象如图.
由 (x 1)2 x 1，得 x(x 1) 0 .
解得 x 1，或 x 0 .
结合图象得出函数
若已知函数的 结构类型， 常用待定系数 法求解析式
已知f(g(x)),求f(x)的 解析式，多用换元 法， 主要步骤： 1换元：令t=g(x), 并写出t的范围 2求解：用t表示x 3代入：用t表示的 x代入原式，写出 解析式
当一个对应 关系中， 含有自变量 的两个表达 式之间有互 为相反数或 互为倒数关 系时，可构 造方程组求 解
例 1 某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x {1，2，3，4 ，5}) 个笔记本需要 y 元， 试用函数的三种表示法表示函数 y f (x) .
解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5} . 用解析法可将函数 y f (x) 表示为 y 5x ， x {1，2，3，4，5} .
用列表法可将函数 y f (x) 表示为
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象 法、列表法、解析法）表示函数. 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 3.掌握求函数解析式的常用方法，理解函数图象的作用.
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
2400 0
9
2700 0
10 3000
35000 30000 25000 20000 15000 10000
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数 f (x) ， g(x) 的图象如图.
（2）由（1）图象中函数取值的情况，结合函数 M (x) 的定义，
可得函数 M (x) 的图象如图.
由 (x 1)2 x 1，得 x(x 1) 0 .
解得 x 1，或 x 0 .
结合图象得出函数
若已知函数的 结构类型， 常用待定系数 法求解析式
已知f(g(x)),求f(x)的 解析式，多用换元 法， 主要步骤： 1换元：令t=g(x), 并写出t的范围 2求解：用t表示x 3代入：用t表示的 x代入原式，写出 解析式
当一个对应 关系中， 含有自变量 的两个表达 式之间有互 为相反数或 互为倒数关 系时，可构 造方程组求 解
例 1 某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x {1，2，3，4 ，5}) 个笔记本需要 y 元， 试用函数的三种表示法表示函数 y f (x) .
解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5} . 用解析法可将函数 y f (x) 表示为 y 5x ， x {1，2，3，4，5} .
用列表法可将函数 y f (x) 表示为
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象 法、列表法、解析法）表示函数. 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 3.掌握求函数解析式的常用方法，理解函数图象的作用.
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
2400 0
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35000 30000 25000 20000 15000 10000