弯曲的内力与强度计算 习题
8章弯曲应力及弯曲强度
x
Fs<0 M
递增函数
x
x
递减函数
Fs1–Fs2=F 由左到右的折角
Fs2
x
斜直线
曲线
M x
递增函数
M x
M
M
x
隆起 与 F相同
以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 a) 外力特征: 受横向载荷的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. b) 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
8.1 平面弯曲的概念和实例
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在同一平面内，并 且弯曲变形后的轴线也位于这个平面内，则梁必关于 此平面对称，这类弯曲称为平面弯曲。
1 a y qL M x 1 M1 x1 Fs1 2 b FR MR
2 用截面法计算Fs1和M1 取1-1截面左边的梁段，根据平衡条件计算 Fs1和M1 .
1 2 M R M qL(a b) qb 2
FR qL qb
F
Y
0
ql FS1 0
M
c1
0
FS1 ql
FS 2 q( x2 a l )
M
c2
0
1 M ql x2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 M qlx 2 q( x2 a) 2 2
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
qL M 1 1 a y x 2
q
若取2-2截面右边的梁段，计算FQ2 FR qL qb 和M2.
F
y
0; ( FS ( x) dFs ( x) Fs ( x) q( x)dx 0
弯曲(1)
a
A
b F
C
B
b M FA x1 Fx1 l 0 x1 a
x1 0 时 M 0 x1 a 时 M ab F
x1 x2
ab M F l
a M =- l FX2 +aF a x2 l
直线
ab x2 a 时 M F l x2 l 时 M 0
l
(4). 简支梁受集中力偶 例4：如图所示的简支梁AB，在点C处受集中力偶M0作用， 尺寸a、b和L均为已知，试作此梁的弯矩图。 解： 1.求约束反力 x2
使微段梁两相邻截面发生左上右下的相对错动时,横截面 上的剪力为正 使微段梁弯曲成凹形时的弯矩为正,弯曲成凸形时的弯矩 为负
课本P39
二. 内力分析结果
内力名称：剪力Q和弯矩M 内力计算：
内力数值—剪力数值上等于所求截面任一侧所有 外力的代数和；弯矩数值上等于所求截面任一侧所有 外力对该截面形心力矩的代数和（包括外力偶） 内力符号—左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯 矩为正
a M M0 l
M0 M M 0 FA x2 M 0 x2 l
a x2 l
x2 a
x2 l
b M M0 l M 0
剪力和弯矩的规律
剪力和弯矩的规律
弯矩图的规律
1.梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图 为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转 折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突 变量为集中力偶的大小。 2.梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物 线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向 一致。 3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点 处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯 矩为集中力偶的大小。
变形量 强度计算
《材料力学》弯曲计算-习题
②无均布载荷段弯矩图均为直线。有均布载荷段，弯矩图为
抛物线，其开口与均布载荷方向相同。
(3)弯矩、剪力、载荷集度的关系
①
M '(x) F S (x) F S'(x) q(x)
② FS=0的点是M图的取极值的点，FS=0的段M图是平行
于轴线的直线。
注意: 内力图上要注明控制面值、特殊点纵坐标值。
利用微分关系绘内力图
y
B截面 30.3 +
z
C截面 15.1 z
-
+
69
34.5
(d) 单位:MPa
Engineering Mechanics
四、弯曲 弯曲强度计算
例3 之二
解：（1）求截面形心轴，即中性轴z轴。
yC
( yi Ai ) Ai
170 30 170 30 200 (170 30)
2
2
17030 30 200
解：（1）外力分析，判变形。
10kN
50kN
(a) A
CD
B
z
4m
2m
4m
求得支坐反力
FA 26kN ,FB 34kN
荷载与梁轴垂直，梁将发
26kN 26 16
34kN
生平面弯曲。中性轴z过形心
+ (b)
与载荷垂直，沿水平方向。
FQ(kN)
104 136
34
（2）内力分析，判危险面。剪力
+
(c)
⑤解题步骤：
1）外力分析，判变形、中性轴，求截面的几何性质、支反力。 2）内力分析，判危险面，画剪力图、弯矩图（可只画弯矩图）
3）应力分析，判危险点。 4）强度计算。
最新弯曲的内力与强度计算习题
弯曲的内力与强度计算一、判断题1.如图1示截面上，弯矩M和剪力Q的符号是：M为正，Q为负。
（）图12.取不同的坐标系时，弯曲内力的符号情况是M不同，Q相同。
（）3、在集中力作用的截面处，Q图有突变，M连续但不光滑。
（）4、梁在集中力偶作用截面处，M图有突变，Q图无变化。
（）5.梁在某截面处，若剪力Q=0，则该截面的M值一定为零值。
（）6.在梁的某一段上，若无荷载作用，则该梁段上的剪力为常数。
（）7.梁的内力图通常与横截面面积有关。
（）8.应用理论力学中的外力定理，将梁的横向集中力左右平移时，梁的Q 图，M图都不变。
（）9.将梁上集中力偶左右平移时，梁的Q图不变，M图变化。
（）10.图2所示简支梁跨中截面上的内力为M≠0，Q=0。
（）图 2 图 311.梁的剪力图如图3所示，则梁的BC段有均布荷载，AB段没有。
（）12.上题中，作用于B处的集中力大小为6KN，方向向上。
（）13.右端固定的悬臂梁，长为4m，M图如图示，则在x=2m处，既有集中力又有集中力偶。
（）图 4 图 514.上题中，作用在x=2m处的集中力偶大小为6KN·m，转向为顺时针。
（）15.图5所示梁中，AB跨间剪力为零。
（）16.中性轴是中性层与横截面的交线。
（）17.梁任意截面上的剪力，在数值上等于截面一侧所有外力的代数和。
（）18.弯矩图表示梁的各横截面上弯矩沿轴线变化的情况，是分析梁的危险截面的依据之一。
（）19.梁上某段无荷载作用，即q=0，此段剪力图为平行x的直线；弯矩图也为平行x轴的直线。
（）20.梁上某段有均布荷载作用，即q=常数，故剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。
（）21.极值弯矩一定是梁上最大的弯矩。
（）22.最大弯矩Mmax只可能发生在集中力F作用处，因此只需校核此截面强度是否满足梁的强度条件。
（）23.截面积相等，抗弯截面模量必相等，截面积不等，抗弯截面模量必不相等。
（）24.大多数梁都只进行弯曲正应力强度核算，而不作弯曲剪应力核算，这是因为它们横截面上只有正应力存在。
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
建筑力学与结构5
f y max f l l l
上式就是梁的刚度条件。 【例6-11】
子情境四 单跨静定梁的刚度计算
•四、提高梁刚度的措施
1）提高梁的抗弯刚度EIZ 2）减改善荷载的分布情况 3）改善荷载的分布情况
想一想
1、P76页，习题6-7
子情境二 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
•三、轴绘制内力图的第三种方法——叠加法和区段叠加法
（二）叠加法绘制弯矩图
子情境二 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
•三、轴绘制内力图的第三种方法——叠加法和区段叠加法
（二）叠加法绘制弯矩图
子情境二 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
•三、轴绘制内力图的第三种方法——叠加法和区段叠加法
（二）剪力图和弯矩图 【6-5】
从剪力图和弯矩图中可得结论： 在无荷载梁段剪力图为平行线，弯矩 图为斜直线。在集中力作用处，左右 截面上的剪力图发生突变，其突变值 等于该集中力的大小，突变方向与该 集中力的方向一致；而弯矩图出现转 折，即出现尖点，尖点方向与该集中 力方向一致。
子情境二 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
（二）单跨静定梁的类型 1）悬臂梁：梁的一端为固定端，另一端为自由端
子情境一 单跨静定梁弯曲时的内力计算
• 一、平面弯曲
（二）单跨静定梁的类型 2）简支梁：梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座
子情境一 单跨静定梁弯曲时的内力计算
• 一、平面弯曲
（二）单跨静定梁的类型 3）外伸梁：梁的一端或两端伸出支座的简支梁
•二、轴绘制内力图的第二种方法——微分关系法
想一想
1、P75页，习题6-2（a）、（b）。
子情境二 单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
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弯曲的内力与强度计算一、判断题1.如图1示截面上，弯矩M和剪力Q的符号是：M为正，Q为负。
（）图12.取不同的坐标系时，弯曲内力的符号情况是M不同，Q相同。
（）3、在集中力作用的截面处，Q图有突变，M连续但不光滑。
（）4、梁在集中力偶作用截面处，M图有突变，Q图无变化。
（）5.梁在某截面处，若剪力Q=0，则该截面的M值一定为零值。
（）6.在梁的某一段上，若无荷载作用，则该梁段上的剪力为常数。
（）7.梁的内力图通常与横截面面积有关。
（）8.应用理论力学中的外力定理，将梁的横向集中力左右平移时，梁的Q图，M图都不变。
（）9.将梁上集中力偶左右平移时，梁的Q图不变，M图变化。
（）10.图2所示简支梁跨中截面上的内力为M≠0，Q=0。
（）图 2 图 311.梁的剪力图如图3所示，则梁的BC段有均布荷载，AB段没有。
（）12.上题中，作用于B处的集中力大小为6KN，方向向上。
（）13.右端固定的悬臂梁，长为4m，M图如图示，则在x=2m处，既有集中力又有集中力偶。
（）图 4 图 514.上题中，作用在x=2m处的集中力偶大小为6KN·m，转向为顺时针。
（）15.图5所示梁中，AB跨间剪力为零。
（）16.中性轴是中性层与横截面的交线。
（）17.梁任意截面上的剪力，在数值上等于截面一侧所有外力的代数和。
（）18.弯矩图表示梁的各横截面上弯矩沿轴线变化的情况，是分析梁的危险截面的依据之一。
（）19.梁上某段无荷载作用，即q=0，此段剪力图为平行x的直线；弯矩图也为平行x轴的直线。
（）20.梁上某段有均布荷载作用，即q=常数，故剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。
（）21.极值弯矩一定是梁上最大的弯矩。
（）22.最大弯矩Mmax只可能发生在集中力F作用处，因此只需校核此截面强度是否满足梁的强度条件。
（）23.截面积相等，抗弯截面模量必相等，截面积不等，抗弯截面模量必不相等。
（）24.大多数梁都只进行弯曲正应力强度核算，而不作弯曲剪应力核算，这是因为它们横截面上只有正应力存在。
（）25.对弯曲变形梁，最大挠度发生处必定是最大转角发生处。
（）26.两根不同材料制成的梁，若截面尺寸和形状完全相同，长度及受力情况也相同，那么对此两根梁弯曲变形有关量值，有如下判断：（1）最大正应力相同；（）（2）最大挠度值相同；（）（3）最大转角值不同；（）（4）最大剪应力值不同；（）（5）强度相同。
（）27.两根材料、截面形状及尺寸均不同的等跨简支梁，受相同的荷载作用，则两梁的反力与内力相同。
（）28.梁内最大剪力的作用面上必有最大弯矩。
（）29.梁内最大弯矩的作用面上剪力必为零。
（）30.图（a）、（b）中，m-m截面上的中性轴分别为通过截面形心的水平轴与铅垂轴。
（）图 1331.在匀质材料的等截面梁中，最大拉应力必出现在弯矩值M最大的截面上。
（）32.对于等截面梁，最大拉应力与最大压应力在数值上必定相等。
（）33.对于矩形截面的梁，出现最大正应力的点上，剪应力必为零。
（）34.弯曲应力公式σ=MY/IZ 适用于任何截面的梁。
（）35.在梁的弯曲正应力公式σ= 中，Iz为梁截面对于形心轴的惯性矩。
（）36.一悬臂梁及其T形截面如图示，其中c为截面形心，该截面的中性轴Z0，最大拉应力在上边缘处。
（）图 1437.T形截面梁受矩为负值，图示应力分布图完全正确。
（）图 1538.匀质材料的等截面梁上，最大正应力∣σ∣max必出现在弯矩M最大的截面上。
（）39.对于等截面梁，最大拉应力与最大压应力在数值上必定相等。
（）40.对于矩形截面的梁，出现最大正应力的点上，剪应力必为零。
（）41.矩形截面梁发生剪切弯曲时，其横截面的中性轴处，σ=0，τ最大。
（）42.T形梁在发生剪切弯曲时，其横截面上的σmax发生在中性轴上，τmax 发生在离中性轴最远的点处。
（）43.图16所示T形截面外伸梁的最大拉应力发生在A截面处。
（）图 1644.T截面铸铁梁，当梁为纯弯曲时，其放置形式最合理的方式是A。
（）图 1745.大多数梁都只进行弯曲正应力强度校核，而不作弯曲剪应力校核，这是因为它们横截面上只有正应力存在。
（）46.截面积相等的抗弯截面模量必相等，截面积不等的抗弯截面模量必不相等。
（）47.梁弯曲时最合理的截面形状，是在横截面积相同条件下，获得W2/A值最大的截面形状。
（）48.矩形截面梁，若其截面高度和宽度都增加一倍，则其强度提高到原来的16倍。
（）49.弯曲变形梁，最大挠度发生处，必定是最大转角发生处。
（）50.图18所示脆性材料⊥形截面外伸梁，若进行正应力强度校核，应校核D.B点下边缘。
（）51.图19示悬臂梁，其最大挠度处，必定是最大转角发生处。
（）图 18 图 1952.不同材料制成的梁，若截面尺寸和形状完全相同，长度及受力情况也相同，那么对此两根梁弯曲变形时，它们的最大挠度值相同。
（）53.EI是梁的抗弯刚度，提高它的最有效，最合理的方法是改用更好的材料。
（）二、选择题1.图6所示B截面的弯矩值为（）。
图 6A．PL B．–Pa C．Pa D．–PL2.图7所示简支梁剪力图正确的为（）。
图 73.应用截面法计算横截面上的弯矩，其弯矩等于（）。
A．梁上所有外力对截面力矩的代数和B．该截面左段梁（或右段梁）上所有外力对任何矩心的代数和C．该截面左段梁（或右段梁）所有外力（包括力偶）对该截面形心力矩的代数和D．截面一边所有外力对支座的力矩代数和4.在集中力作用处剪力图（）。
A．发生转折 B．发生突变Ｃ．无影响Ｄ．发生弯曲5.在弯曲的正应力公式σ=中，I Z为梁截面对于（）的惯性矩。
A．任一轴Z B．形心轴 C．对称轴Ｄ．中性轴6.梁的截面为Ｔ型，z轴通过横截面形心，弯矩图如图示，则有（）。
Ａ．最大拉应力与最大压应力位于同一截面c或dＢ．最大抗应力位于截面c，最大压应力位于截面dＣ．最大拉应力位于截面d，最大压应力位于截面cＤ．以上说法都不正确图 207.最大弯矩截面最大拉应力等于最大压应力的条件是（）。
Ａ．梁材料的拉压强度相等Ｂ．截面形状对称于中性轴Ｃ．同时满足以上两条Ｄ．截面形状不对称于中性轴６、两根荷载、长度、支座相同的梁横截面上最大正应力值相等的条件是（）。
Ａ．Ｍmax与截面积分别相等Ｂ．Ｍmax与ＷＺ分别相等Ｃ．Ｍmax与ＷＺ分别相等，且材料相同Ｄ．两梁的许用应力相等8.直梁弯曲强度条件σmax=≤[σ]中，σmax应是（）上的最大正应力。
A．最大弯矩所在截面 B．梁的最大横截面C．梁的最小横截面 D．梁的危险截面9.EI是梁的抗弯刚度，提高它的最有效、最合理的方法是（）A．改用更好的材料 B．增加横截面面积C．采用惯性矩大的截面形状Ｄ．以上作法都不合理10.由叠加法作图示简支梁的弯矩图，则下述正确的是图（）。
图 2111.跨中受集中荷载P作用的圆截面简支梁，它的θA= ，yc = 。
若将L变为2L，d变为2d时，它的,yc之比为（）。
A． B．C． D．三、分析题1.绘出图示梁横截面上的正应力分布图（假定此截面上的弯矩为正值）。
图 22四、计算题1.作下列各梁的剪力图和弯矩图,并求出Qmax和Mmax。
图 82.试作梁的剪力图和弯矩图，并确定M MAX，Q MAX的值；已知V A=8KN(↑)，V B=12KN(↑)。
图 93.画出下图梁的内力图。
图 10４.作图示多跨静定梁的内力图。
图 115.求静定多跨梁的弯矩图图 126.求图23所示梁的最大正应力及其所在位置。
图237.简支梁受均布荷载作用，已知L=4m，截面为矩形如图24所示。
材料的许用应力[σ]=10Mpa，试求梁的许可荷载q。
图 248.图25所示矩形截面外伸梁，截面高宽比h/b=1.5，材料的许用应力[σ]=10Mpa，试求b和h。
图 259.图26所示T形截面铸铁梁，Z轴为通过截面形心的中性轴，惯性矩Iz=4.0X107mm4，铸铁的许用应力〔σ+〕=35 Mpa，〔σ-〕=140 Mpa，试校核梁的强度。
图 2610.图27所示结构，AB为矩形截面木梁，截面尺寸如图，DE为直径d=30mm 的圆截面刚杆，AB的[σ]1=10Mpa，DE的[σ]2=160Mpa，试确定F的容许值[F]图 2711.图28所示矩形截面外伸木梁，材料的许用正应力[σ]=10Mpa，许用剪应力[τ]=1Mpa，试校核该梁的强度。
图 2812.图29所示梁，已知矩形截面尺寸的比例为b:h=3:4，梁的许用正应力[σ]=15.6Mpa，许用正应力[τ]=1.7Mpa，试确定截面尺寸。
图 2913.图30所示外伸梁，已知Wz=截面面积A=材料的[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa，试求许可荷载[F]。
图 3014.图31所示为20b工字钢制成的外梁，已知L=6m，P=30KN，q=6KN/m，[σ]=160MPa梁的弯矩图如图示，试校核梁的强度。
提示：20b工字钢 Iz=。
图 3115.图32所示T型截面铸铁梁，已知P1 =10.8KN，P2 =4.8KN，a = 1m，，y1 =5.2cm，=8.8cm，弯矩图已绘出。
试求梁中最大拉应力的数值及其所在位置。