金融经济学第二章
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第 2 章
固定收入证券和利率期限结构
□ 资源的有效配置是通过证券的买卖来实现的。 □ 证券
指的是在指定的条件下，获得将来预期利润的权利的一种法
律证明。如当票、定期存款、抵押贷款、国库券和普通股票等。
■ 固定收入证券（Fixed-income Secruity） ■ 利率的期限结构
2.1
固定收入证券的特点
实际利率（Real Interest Rate）
消费价格指标（Consumption Price Index）/生活成本指标
【例子】
假设在某一年，名义利率是7％，消费价格指标从121增加 为124。这意味着，在基准年值100元的商品和服务簇，在这一 年初的价格为121元，而到了这一年年末，价格为124元。这个 商品和服务簇的所有者能够在年初以价格121元卖掉它，并以7 ％的利率投资，在年末，得到129.47（=121×1.07）元，用这 129.47元马上可以买1.0441（=129.47／124）个商品和服务簇。 所以，实际利率为4.41％（=1.0441－1）。
◇ 当到期收益偏离10％时，价格变化的程度不一样。在
到期收益为 0 时，这一点最明显，因为此时债券的价格等于它 的支付之和。
◇ 当期限增加时，收益曲线越来越陡。说明期限越长的
债券，其价格对收益的敏感度越大。
◇ 对投资者而言，价格——收益曲线描述了债券所
具有的利率风险。 债券持有者所面临的风险为：如果到期收益变化，债
r
，每年平均分为
m 期。
k
期末有一个现金流 A ，则合适的折现因子为
1 dk r [1 ( )]k m
在将来的 k 期的现金流 A 的折现值为 d k A 。
永久性现金流
永久性年金：最简单的永久性现金流 假设从第一期期末开始，每期期末支付的数量为 A ，每 期的市场无风险利率为
r
。
永久性年金的价格 P 为
这些计算可以归纳为如下的公式
C0 (1 NIR) 1 RIR C1
这里， C0 为年初的消费价格指标，
（2.1）
C1
为年末的消费
价格指标。 NIR 为名义利率， RIR 为实际利率。
方程（2.1）可以被写成
1 NIR 1 RIR 1 CCL
这里 CCL 表示通货膨胀率。 由方程（2.2）近似地得到
我们得到
rB 8%
。
◆ 债券 C 的到期收益 初始946.93元的投资，一年后变为 (1 rC ) 946.93元 。 这时，投资者得到50元的利息，账户变为
(1 rC ) 946.93 50 （元）
在两年末，投资者的账户变为
(1 rC ) {[(1 rC ) 946.93] 50} 1050
□ 当到期收益越来越大时，债券的价格趋于零。
价格
300
30年 200 10年
债券期限对价格的影响
3年
100
◆
0
5
10
15
20
到期收益
图 2-2
价格——收益曲线与到期日
三种债券的利率均为10％，期限分别为30年、10年和3年。
◇ 当到期收益为10％时，三种债券的价格均等于其面值，
因此它们通过共同的一点（10％，100）。
度一次，每个月一次，在有些情况下甚至每天一次。
○引用的利率仍是以年为单位，而在每个计算利息的时间
区间采用年利率的成比例部分。
【例子】
○ 考虑按季度计算复利
以年利率 为
r
按季度计算复利意味着，每个季度的利率
r 4
。如果你在银行账户上投资一季度，在这个季度
末，你的投资按因子 1 (r 4)
复合因子 [1 (r 4)]4 增加。
这是引起到期收益变化的惟一原因。
○ 反过来，把价格当作收益的函数，当到期收益变化
时，价格也会相应地变动。但是，这种变动会因债券利率结 构的不同而不同。当不同债券的收益增加（或者减少）的幅 度一样时，它们价格变化的程度却不同。
价格
500 400 300 200 100 15％ 10％ 5％ 0％
债券
固定收入证券 （或者无风险证券）：是一种承诺在一段 固定的时间后，支付给其持有者固定收入的证券。 ● 一次现金流支付： 纯折现债券（ Pure Discount Bond ）或者零息债券（ Zero Coupon Bond）。 ● 多次等额现金流支付：利息支付。 ● 到期日：投资者获得本金（Principal）也称面值（Par Value）和最后一次利息支付。
□ 如果一年后有笔款项为 V (1 r ) P ，则它现在的
值为 P 。
□ 换言之，现在的1元钱和一年后的 (1 r ) 元钱是一
样的。我们称 P 为 V 的折现值。
【例子】
有两种情形：⑴你在一年后有110元的收入；⑵你现在有
100元的收入，把它以年利率10％在银行存一年。 显然，一年后，这两种情形的结果是一样的——你的收入
比如利息率为10％的曲线，每年为10点，一共30年， 得到300点，再加上100％的面值，得到的价格为400点。
□ 当到期收益和利息率相等时，债券的价格正好等于
其面值。 例如利息率为10％的曲线，当到期收益为10％时，其 价格正好等于100点。原因在于，每年的利息支付正好等于 10％的收益，从而每年的价格保持不变，均为100点。这相 当于一种贷款，每年支付本金的利息，而本金保持不变。
n
2.4 几种利率的定义及性质
已知各种债券的价格，确定债券的利率（债券带来的 回报率）。
债券的利率： ● 到期收益（Yield to Maturity） ● 现货利率（Spot Rate） ● 远期利率（Forward Rate）
A 到期收益率
【定义 1】由银行支付给投资者的、使得投资者在将来能 够获得该债券承诺的所有支付的惟一利率。
期后，账户以 [1 (r m)]k 增加。
□ 一年的 m 期后，账户以 [1 (r m)]m 增加。
连续复利计算
□ 把一年分成越来越小的区间，我们会得到连续计算
复利的思想。
□ 如果年利率为
则一年的复利为
[1 (r m)]m
m
r
，把一年分成相等的 。
m
期，
□ 令 m 趋于无穷大，得到一年的连续复利
均为110元。我们可以用一种等价的说法，当年利率为10％时，
现在100元的收入和一年后的110元的收入是一样的。 同样地，如果 k 年后有笔款项为 V ，则它现在的折现 值为
V (1 r )k ，我们把 1 (1 r )k 称为 折现因子。
折现值公式依赖于所使用的利率。
【例子】
假设年利率为 如果在
式，我们知道期的增长因子为
r k r mt r m t (1 ) (1 ) [(1 ) ] e rt m m m
2.3
固定收益证券的定价公式
□ 折现值：折现值和利息是在时间上相对的两个概念
□ 如果年利率为
r
，投资的本金为 P ，以年为单位
计算复利，则一年后的将来值为 V (1 r ) P 。
0
5
10
15
20
到期收益
图 2-1
价格——收益曲线和利息率
四个特征：
□ 具有负的斜率，即价格与到期收益之间有相反的
变化关系。 如果到期收益上升，价格就会下降。原因在于，对于
固定的收入流，要使得投资者的到期收益较高，投资者愿
意支付的价格就较低。
□当到期收益为 0 时，债券的价格正好等于它的所有
支付的和。
RIR NIR CCL
Biblioteka Baidu（2.2）
一般地，计算利率的方式有两种：
简单利率计算（Simple Interest）
复利的计算（Compound Interest）。
简单利率计算
简单利率计算的一般规则 如果以简单利率
r 进行投资，投资数目为 A ，
则
n 年后，总值为
V (1 nr) A
在简单利率计算的规则下，总值随时间的增加而线性
1000 1 rA 1000 (1 rB ) 2 50 1050 1 rC (1 rC )2
得到的结果与方程（2.3）、（2.4）和（2.5）的解相同。
价格——到期收益曲线的定性性质
○ 一般来说，不同债券的到期收益彼此相差不大。 ○ 当债券的价格变化时，债券的到期收益也会变化。
增加。一年后，你的投资按
当 r 0 时，[1 (r 4)]4 1 r
。
因此，同样的年利率，以季度为单位计算复利所得的利
息，比以年为单位计算的利息要高。
□ 复利计算可以以任意频率进行 □ 一般的规则是，把每年分成固定数量的时间区间——
比如
m
k
期，每一期的利率为
r m
。
□ 每一期，账户以 1 r m 增加。 □
A P k k 1 (1 r )
A P r
有限期限的现金流
n 期，从第一期期末开始，每一 期支付的金额为 A ，在第 n 期期末结束。假设每期的市场
假设有限期限一共有
无风险利率为
r
。
有限期限的现金流的价格 P 为
A A 1 P 1 k n ( 1 r ) r ( 1 r ) k 1
C．公司债券：信誉等级依赖于发行公司偿还债务的能 力和债券自身的特征 D．分期付款单据：相当于卖出了一种债券
2.2
利率的基本理论
利率——货币的时间价值。 例子
如果年利率为
r ，在银行账户上投资
(1 r )
增加。
A 元，则一年
后，你的初始投资以乘子
名义利率（Nominal Interest Rate）
为基础，所有支付的
[例子]
三种国库券分别称为A、B和C。 债券 A：一年到期，在到期日，投资者获得 1000元。 债券 B：两年到期，在到期日，投资者获得 l000元。 债券 C ：带息债券（ Coupon Bond ），每年支付 50 元 的利息，两年到期，在到期日支付给投资者1050元。
市场上这三种债券的价格分别为： 债券 A（一年到期的纯折现债券）：934.58元 债券 B（两年到期的纯折现债券）：857.34元 债券 C（两年到期的带息债券）：946.93元
● 并不存在绝对无风险的证券
⑴ 承诺的支付不一定能足额和按时兑现；
⑵ 支付现金流的实际购买力存在着很大风险。
● 假设 ⑴ 所有的承诺的支付都能得到足额和按时的兑现； ⑵ 通货膨胀率是能够准确预测的。
固定收入证券有许多种类，基本的固定收入证券有： A. 存款账户：政府担保
B. 政府债券：信誉等级最高
债券 C 的到期收益是使得下式成立的
rC 的值：
(1 rC ) {[(1 rC ) 946.93] 50} 1050 （元） （2.5）
我们得到 r 7.975% C 。
【利用计算折现值的方式来定义到期收益】
对债券A而言，方程（2.3）等价于 934.58
对债券B而言，方程（2.4）等价于 857.34 对债券C而言，方程（2.5）等价于 946.93
【定义 2】如果用其作为折现率，所有现金支付（包括利
息和本金）的现值正好等于其价格。
【定义3】假设该债券的面值为 F ，每年支付
m次
，
利息，每次支付的利息为 C m ，债券的价格为 P 则到期收益是使得下式成立的
(1
值：
P
F (1
m
)
n
k 1
n
C m
m
)k
上式表达的是，以名义利率 现值之和即为债券的价格。
券价格也将变化。这是一种即时风险，只影响债券的近期
价格。 如果债券持有者继续持有债券至到期日，并且在到期 日得到本金和利息，那么这个现金流不会受到到期收益的 影响，从而没有什么风险。但是如果债券持有者提前卖掉 债券，就会有风险，因为这时债券的价格可能特别低。
【用计算利息的方式来定义到期收益】
◆ 债券 A 的到期收益是满足下面方程的
rA
的值：
(1 rA ) 934.58 1000 （元）
我们得到
（2.3）
rA 7%
。
◆ 债券 B 到期收益是使得下式成立的
rB
的值：
(1 rB )[(1 rB ) 857.34] 1000 （元） （2.4）
增加。
复利的计算
大多数银行账户和贷款采用复利计算的方式。 如果年利率为
r
，以年为单位计算复利，
n
年后，
你在银行账户上的投资 A 的总值为
V A (1 r )n
在复利计算的规则下，总值随时间的增加而以指数增加。
○前面的复利计算中，利息是在每年的年末计算并支付的。 ○现在大多数银行计算和支付利息的频率更频繁——每季
r lim [1 ] er m m
这里的 e 2.7818 ，为常用对数基底。
任意一段时间的连续复利
表示一段时间。因此， t 1 表示 一年， t 0.25 表示一个季度。 以年为单位，我们用
t
k t 把一年分成 m 期，使得对某个 k 有 ，即 k 期 m 的长短和 t 差不多。因此， k mt。采用一般的复利计算公
固定收入证券和利率期限结构
□ 资源的有效配置是通过证券的买卖来实现的。 □ 证券
指的是在指定的条件下，获得将来预期利润的权利的一种法
律证明。如当票、定期存款、抵押贷款、国库券和普通股票等。
■ 固定收入证券（Fixed-income Secruity） ■ 利率的期限结构
2.1
固定收入证券的特点
实际利率（Real Interest Rate）
消费价格指标（Consumption Price Index）/生活成本指标
【例子】
假设在某一年，名义利率是7％，消费价格指标从121增加 为124。这意味着，在基准年值100元的商品和服务簇，在这一 年初的价格为121元，而到了这一年年末，价格为124元。这个 商品和服务簇的所有者能够在年初以价格121元卖掉它，并以7 ％的利率投资，在年末，得到129.47（=121×1.07）元，用这 129.47元马上可以买1.0441（=129.47／124）个商品和服务簇。 所以，实际利率为4.41％（=1.0441－1）。
◇ 当到期收益偏离10％时，价格变化的程度不一样。在
到期收益为 0 时，这一点最明显，因为此时债券的价格等于它 的支付之和。
◇ 当期限增加时，收益曲线越来越陡。说明期限越长的
债券，其价格对收益的敏感度越大。
◇ 对投资者而言，价格——收益曲线描述了债券所
具有的利率风险。 债券持有者所面临的风险为：如果到期收益变化，债
r
，每年平均分为
m 期。
k
期末有一个现金流 A ，则合适的折现因子为
1 dk r [1 ( )]k m
在将来的 k 期的现金流 A 的折现值为 d k A 。
永久性现金流
永久性年金：最简单的永久性现金流 假设从第一期期末开始，每期期末支付的数量为 A ，每 期的市场无风险利率为
r
。
永久性年金的价格 P 为
这些计算可以归纳为如下的公式
C0 (1 NIR) 1 RIR C1
这里， C0 为年初的消费价格指标，
（2.1）
C1
为年末的消费
价格指标。 NIR 为名义利率， RIR 为实际利率。
方程（2.1）可以被写成
1 NIR 1 RIR 1 CCL
这里 CCL 表示通货膨胀率。 由方程（2.2）近似地得到
我们得到
rB 8%
。
◆ 债券 C 的到期收益 初始946.93元的投资，一年后变为 (1 rC ) 946.93元 。 这时，投资者得到50元的利息，账户变为
(1 rC ) 946.93 50 （元）
在两年末，投资者的账户变为
(1 rC ) {[(1 rC ) 946.93] 50} 1050
□ 当到期收益越来越大时，债券的价格趋于零。
价格
300
30年 200 10年
债券期限对价格的影响
3年
100
◆
0
5
10
15
20
到期收益
图 2-2
价格——收益曲线与到期日
三种债券的利率均为10％，期限分别为30年、10年和3年。
◇ 当到期收益为10％时，三种债券的价格均等于其面值，
因此它们通过共同的一点（10％，100）。
度一次，每个月一次，在有些情况下甚至每天一次。
○引用的利率仍是以年为单位，而在每个计算利息的时间
区间采用年利率的成比例部分。
【例子】
○ 考虑按季度计算复利
以年利率 为
r
按季度计算复利意味着，每个季度的利率
r 4
。如果你在银行账户上投资一季度，在这个季度
末，你的投资按因子 1 (r 4)
复合因子 [1 (r 4)]4 增加。
这是引起到期收益变化的惟一原因。
○ 反过来，把价格当作收益的函数，当到期收益变化
时，价格也会相应地变动。但是，这种变动会因债券利率结 构的不同而不同。当不同债券的收益增加（或者减少）的幅 度一样时，它们价格变化的程度却不同。
价格
500 400 300 200 100 15％ 10％ 5％ 0％
债券
固定收入证券 （或者无风险证券）：是一种承诺在一段 固定的时间后，支付给其持有者固定收入的证券。 ● 一次现金流支付： 纯折现债券（ Pure Discount Bond ）或者零息债券（ Zero Coupon Bond）。 ● 多次等额现金流支付：利息支付。 ● 到期日：投资者获得本金（Principal）也称面值（Par Value）和最后一次利息支付。
□ 如果一年后有笔款项为 V (1 r ) P ，则它现在的
值为 P 。
□ 换言之，现在的1元钱和一年后的 (1 r ) 元钱是一
样的。我们称 P 为 V 的折现值。
【例子】
有两种情形：⑴你在一年后有110元的收入；⑵你现在有
100元的收入，把它以年利率10％在银行存一年。 显然，一年后，这两种情形的结果是一样的——你的收入
比如利息率为10％的曲线，每年为10点，一共30年， 得到300点，再加上100％的面值，得到的价格为400点。
□ 当到期收益和利息率相等时，债券的价格正好等于
其面值。 例如利息率为10％的曲线，当到期收益为10％时，其 价格正好等于100点。原因在于，每年的利息支付正好等于 10％的收益，从而每年的价格保持不变，均为100点。这相 当于一种贷款，每年支付本金的利息，而本金保持不变。
n
2.4 几种利率的定义及性质
已知各种债券的价格，确定债券的利率（债券带来的 回报率）。
债券的利率： ● 到期收益（Yield to Maturity） ● 现货利率（Spot Rate） ● 远期利率（Forward Rate）
A 到期收益率
【定义 1】由银行支付给投资者的、使得投资者在将来能 够获得该债券承诺的所有支付的惟一利率。
期后，账户以 [1 (r m)]k 增加。
□ 一年的 m 期后，账户以 [1 (r m)]m 增加。
连续复利计算
□ 把一年分成越来越小的区间，我们会得到连续计算
复利的思想。
□ 如果年利率为
则一年的复利为
[1 (r m)]m
m
r
，把一年分成相等的 。
m
期，
□ 令 m 趋于无穷大，得到一年的连续复利
均为110元。我们可以用一种等价的说法，当年利率为10％时，
现在100元的收入和一年后的110元的收入是一样的。 同样地，如果 k 年后有笔款项为 V ，则它现在的折现 值为
V (1 r )k ，我们把 1 (1 r )k 称为 折现因子。
折现值公式依赖于所使用的利率。
【例子】
假设年利率为 如果在
式，我们知道期的增长因子为
r k r mt r m t (1 ) (1 ) [(1 ) ] e rt m m m
2.3
固定收益证券的定价公式
□ 折现值：折现值和利息是在时间上相对的两个概念
□ 如果年利率为
r
，投资的本金为 P ，以年为单位
计算复利，则一年后的将来值为 V (1 r ) P 。
0
5
10
15
20
到期收益
图 2-1
价格——收益曲线和利息率
四个特征：
□ 具有负的斜率，即价格与到期收益之间有相反的
变化关系。 如果到期收益上升，价格就会下降。原因在于，对于
固定的收入流，要使得投资者的到期收益较高，投资者愿
意支付的价格就较低。
□当到期收益为 0 时，债券的价格正好等于它的所有
支付的和。
RIR NIR CCL
Biblioteka Baidu（2.2）
一般地，计算利率的方式有两种：
简单利率计算（Simple Interest）
复利的计算（Compound Interest）。
简单利率计算
简单利率计算的一般规则 如果以简单利率
r 进行投资，投资数目为 A ，
则
n 年后，总值为
V (1 nr) A
在简单利率计算的规则下，总值随时间的增加而线性
1000 1 rA 1000 (1 rB ) 2 50 1050 1 rC (1 rC )2
得到的结果与方程（2.3）、（2.4）和（2.5）的解相同。
价格——到期收益曲线的定性性质
○ 一般来说，不同债券的到期收益彼此相差不大。 ○ 当债券的价格变化时，债券的到期收益也会变化。
增加。一年后，你的投资按
当 r 0 时，[1 (r 4)]4 1 r
。
因此，同样的年利率，以季度为单位计算复利所得的利
息，比以年为单位计算的利息要高。
□ 复利计算可以以任意频率进行 □ 一般的规则是，把每年分成固定数量的时间区间——
比如
m
k
期，每一期的利率为
r m
。
□ 每一期，账户以 1 r m 增加。 □
A P k k 1 (1 r )
A P r
有限期限的现金流
n 期，从第一期期末开始，每一 期支付的金额为 A ，在第 n 期期末结束。假设每期的市场
假设有限期限一共有
无风险利率为
r
。
有限期限的现金流的价格 P 为
A A 1 P 1 k n ( 1 r ) r ( 1 r ) k 1
C．公司债券：信誉等级依赖于发行公司偿还债务的能 力和债券自身的特征 D．分期付款单据：相当于卖出了一种债券
2.2
利率的基本理论
利率——货币的时间价值。 例子
如果年利率为
r ，在银行账户上投资
(1 r )
增加。
A 元，则一年
后，你的初始投资以乘子
名义利率（Nominal Interest Rate）
为基础，所有支付的
[例子]
三种国库券分别称为A、B和C。 债券 A：一年到期，在到期日，投资者获得 1000元。 债券 B：两年到期，在到期日，投资者获得 l000元。 债券 C ：带息债券（ Coupon Bond ），每年支付 50 元 的利息，两年到期，在到期日支付给投资者1050元。
市场上这三种债券的价格分别为： 债券 A（一年到期的纯折现债券）：934.58元 债券 B（两年到期的纯折现债券）：857.34元 债券 C（两年到期的带息债券）：946.93元
● 并不存在绝对无风险的证券
⑴ 承诺的支付不一定能足额和按时兑现；
⑵ 支付现金流的实际购买力存在着很大风险。
● 假设 ⑴ 所有的承诺的支付都能得到足额和按时的兑现； ⑵ 通货膨胀率是能够准确预测的。
固定收入证券有许多种类，基本的固定收入证券有： A. 存款账户：政府担保
B. 政府债券：信誉等级最高
债券 C 的到期收益是使得下式成立的
rC 的值：
(1 rC ) {[(1 rC ) 946.93] 50} 1050 （元） （2.5）
我们得到 r 7.975% C 。
【利用计算折现值的方式来定义到期收益】
对债券A而言，方程（2.3）等价于 934.58
对债券B而言，方程（2.4）等价于 857.34 对债券C而言，方程（2.5）等价于 946.93
【定义 2】如果用其作为折现率，所有现金支付（包括利
息和本金）的现值正好等于其价格。
【定义3】假设该债券的面值为 F ，每年支付
m次
，
利息，每次支付的利息为 C m ，债券的价格为 P 则到期收益是使得下式成立的
(1
值：
P
F (1
m
)
n
k 1
n
C m
m
)k
上式表达的是，以名义利率 现值之和即为债券的价格。
券价格也将变化。这是一种即时风险，只影响债券的近期
价格。 如果债券持有者继续持有债券至到期日，并且在到期 日得到本金和利息，那么这个现金流不会受到到期收益的 影响，从而没有什么风险。但是如果债券持有者提前卖掉 债券，就会有风险，因为这时债券的价格可能特别低。
【用计算利息的方式来定义到期收益】
◆ 债券 A 的到期收益是满足下面方程的
rA
的值：
(1 rA ) 934.58 1000 （元）
我们得到
（2.3）
rA 7%
。
◆ 债券 B 到期收益是使得下式成立的
rB
的值：
(1 rB )[(1 rB ) 857.34] 1000 （元） （2.4）
增加。
复利的计算
大多数银行账户和贷款采用复利计算的方式。 如果年利率为
r
，以年为单位计算复利，
n
年后，
你在银行账户上的投资 A 的总值为
V A (1 r )n
在复利计算的规则下，总值随时间的增加而以指数增加。
○前面的复利计算中，利息是在每年的年末计算并支付的。 ○现在大多数银行计算和支付利息的频率更频繁——每季
r lim [1 ] er m m
这里的 e 2.7818 ，为常用对数基底。
任意一段时间的连续复利
表示一段时间。因此， t 1 表示 一年， t 0.25 表示一个季度。 以年为单位，我们用
t
k t 把一年分成 m 期，使得对某个 k 有 ，即 k 期 m 的长短和 t 差不多。因此， k mt。采用一般的复利计算公