中南大学数理统计作业讲评
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4、设 X1, X 2 ,..., X n 为取自总体 X ~ N (, 2 ) 的一个样本，对于给定的显著性水平 ，已
知关于
2
检验的拒绝域为
2≤
2 1
(n
1)
5、设总体 X ~ N (, 2 ) ， 2 已知，在显著性水平 0.05 下，检验假设 H 0 : 0 ,
2、设 X 1, X 2 ,..., X 16 为取自总体 X
P{
16
i 1
X
2 i
8} =有问题_；
~
N
(0,0.52
3、设总体 X ~ N (, 2 ) ，若 和 2 均未知， n 为样本容量，总体均值 的置信水平为
1 的置信区间为 ( X , X ) ，则 的值为________；
（A） ( X 1 X 2 X 3 )
13
3 i1 (X i
)2
（B） X 1 X 2 X 3
2、设 X1, X 2 ,..., X n 为取自总体 X ~ N (, 2 ) 的样本， X 为样本均值，
S
2 n
（A）
1 n
n
(X i
i 1
n ( X 他
（1）求 2 的置信水平为 0.95 的置信区间；（2）已知 Y
信水平为
解：
（1）
（2）
D
2
由于
0.95
的置信区间；（
的置信水平为
X
2 3
D
=
X
1 2
2 3
即为（0.3000，2.1137）。
D
2 2
0.95
已讲作业讲解(2)
2020/1/30
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1.3(2)已知P( A)
1 2
,
P(B)
1 3
,
P(C)
1 5
,
P( AB)
110 ,
P( AC)
115,
P(BC)
1 20
,
P( ABC)
1 30
,
求A
B,
AB,
A B C, ABC , ABC, AB C的概率。
解：P( A
B)
P(
A)
P(B)
P( A B ) P( A) P(B ) P( AB ) 0.7 0.6 0.5 0.8
P(B A B ) P(B( A B )) P( AB) 0.2 0.25 P( A B ) 0.8 0.8
2020/1/30
16
1.14 (2)已知P( A) 1 , P(B A) 1 , P( A B) 0.5
130,
求ABC, AB C的概率。
解 : P( ABC) P(C ( A B)) P(C C( A B))
P(C) P(CA CB)
1 5
[P(CA)
P(CB)
P( ABC)]
1 5
[
1 15
1 20
130]
7
60
P(
A
B
C
)
P(
A
即 P(B A) 2 1 63
2020/1/30
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1.9 从9双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋 子中至少有2只鞋子配成一双的概率是多少？
中南大学概率论与数理统计课件(1.5事件的独立性与独立试验概型)
解 情形（1）的样本空间为
Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}
P(A) 1 , P(B) 3 , P(AB) 1
2
4
2
此种情形下，事件A、B是不独立的。
例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是 等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形， 讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。
解 情形（2）的样本空间为
Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
P(A) 6 , P(B) 1 , P(AB) 3
8
2
8
此种情形下，事件A、B是独立的。
定理1.5 下列四组事件，有相同的独立性：
（1）A与B；（2）A与B； （3）A与B；（4）A与B 证明 若A、B独立，则 P(AB) P(A) P(B) P( AB) P( A U B) 1 P( A U B)
P4(k) C4k pk q4k (0 k 4)
(2) 设Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,则
P(B) P4 (2) P4 (3) P4 (4) 0.8918
例 设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好 命中3次的概率。
解 该试验为5重贝努利试验，且 n=5,p=0.7;q=0.3;k=3
（2）甲、乙两人依次有放回地连续抽取两张，求甲 乙两人至少有一人中奖的概率。
解 设A表示事件“甲中奖”，B表示事件“乙中奖”。
（1）由于是不放回地抽样，故有
P(AB) P(A)P(B A)
C51C31 C41C21
C120
C82
给学生的——习题讲评
2014/6/8
网电空间科学与技术研究所
18
习题讲评
3.已知一个模拟信号取样值的概率密度p(x)如 图所示，量化器是4电平均匀量化器试求：
（1）量化器输出信号的平均功率； （2）量化噪声平均功率； （3）量化信噪比（单位dB）
2014/6/8
网电空间科学与技术研究所
19
习题讲评
பைடு நூலகம்由题意可得 解：
4个量化区间是：
P(X ,Y )
H(X/Y)=E[-log2P(X/Y)]=- E[log2 P(Y ) ]
∑ ∑ =-
X
Y
P( X ,Y ) log2
P(X ,Y ) P(Y )
∑ ∑ =
X
Y
P( X ,Y ) log2
P(Y ) P(X ,Y )
=
1
/
4
log2
1 1
/ /
4 4
+
1
/
4 log2
3/ 1/
4 4
2014/6/8
网电空间科学与技术研究所
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习题讲评
第三次作业：
二进制通信系统用符号“0”和“1”,由于存在失真, 传输时会产生误码,用符号表示下列事件:
u0:一个“0”发出； u1 :一个“1”发出； v0:一个“0”收到； v1：一个“1”收到。
给定下列概率：p(u0)=1/2,p(v0/u0)=3/4,p(v0/u1)=1/2求：
混叠现象：
例如，一个频带受限于[0,fH ]Hz的基带模拟信号x(t),fs 为取样频率，若fs<2fH,则X s(f)将产生重叠而产生混叠
现象，如图
2014/6/8
网电空间科学与技术研究所
概率论与数理统计研究性作业评语
概率论与数理统计研究性作业评语
1.教材在处理大学数学与高中数学交叉重复的知识部分，详略合理，过渡自然，衔接得当。
特别是专门给出了预备知识（附录），这为学生自学提供了良好的基础平台。
2.教材的编写侧重于理论方法与实际应用的紧密结合，凸显了概率统计的应用功能，适合于非数学专业学生的学习和参考。
3.教材在知识内容、例题分析和作业中融入了数学思想方法和软件操作方法，有助于培养学生的数学建模思维与分析问题、解决问题的实际动手能力。
4.教材中对章节内容、重点和解题方法进行了小结和梳理，便于学生系统理解、掌握知识。
5.教材中的知识内容安排还体现了基本教学要求和发展教学要求，便于分层教学。
中南大学数值分析作业完整版~
数值分析数学实验报告姓名：XX学号：xx指导老师：***专业班级：xx目录1. 高斯消去法 (3)2. LU分解 (6)3. 用牛顿法求积分 (10)4. 用复化梯形法求积分 (12)5. 用复化辛普森法、复化辛普森变步长法求积分 (13)6. 节点加密复化梯形公式 (16)7. 龙贝格积分 (17)8. 欧拉方法、休恩方法、泰勒方法、龙格-库塔方法 (20)一.高斯消去法x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);end4：实验结果：（1）高斯消去法（2）高斯列主元消去法5：实验总结这两个程序让我对高斯消去法有了更深刻的理解，能更灵活的运用各种基础函数与矩阵的运算来进行求解，参考了书上的已有程序流程图，程思想需要进一步完善，需要对函数的进一步熟悉。
姓名：xx2012年3月25日二. LU分解m=j;endendif m~=ifor k=1:nc(k)=A(i,k);A(i,k)=A(m,k);A(m,k)=c(k);endt=b(i);b(i)=b(m);b(m)=t;endfor j=i:nfor k=1:i-1M(k)=L(i,k)*U(k,j);endU(i,j)=A(i,j)-sum(M);endfor j=i+1:nfor k=1:i-1M(k)=L(j,k)*U(k,i);endL(j,i)=(A(j,i)-sum(M))/U(i,i);endendx=U\(L\b);4：实验结果：（1）普通LU分解三. 用牛顿法求积分（2）列主元LU 分解5：实验总结L U 分解在上学期已经学习过，这次的实验让我对LU 分解有了更深的了解，又掌握了一种解线性方程组的好方法。
姓名：XX2012年3月29日 学号XX 班级 XX 姓名XX 指导教师 易昆南 实验题目 用牛顿法求积分评 分1、设计（实习）目的：1． 进一步了解牛顿法及其应用 2．进一步理解牛顿法求积分的思想2、实验内容：用牛顿法求函数x x x x f ++=23)(的积分 3.详细设计：function y=newton(a,b,n) x=a:(b-a)/n:b; %插值节 y=x.^3+x.^2+x;四.用复化梯形法求积分五. 用复化辛普森法、复化辛普森变步长法求积分六.节点加密复化梯形公式七．龙贝格积分八．欧拉方法、休恩方法、泰勒方法、龙格-库塔方法4.龙格-库塔方法>> [x1 y1] =lungkuta(1)[x2 y2] =lungkuta(1/2)[x3 y3] =lungkuta(1/4)[x4 y4] =lungkuta(1/8)plot(x1,y1,'-',x2,y2,'r',x3,y3,'g',x4,y4,'b')x1 =1 2 3y1 =0.769531250000000 1.043746948242188 1.615647614002228x2 =0.500000000000000 1.000000000000000 1.500000000000000 2.000000000000000 2.500000000000000 3.000000000000000y2 =0.935424804687500 0.466060072183609 0.450289419204637 0.558880619571974 0.701568099555500 0.853603753857624x3 =Columns 1 through 65：实验总结用数值分析中的方法编程求积分它能帮助我们简化繁琐又难以计算的数学问题。
数理统计教程课后重要答案习题(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N (),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20. (),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N ()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和()()()()∑∑∑===----=ni ini ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E()()=-+=-ηξηξηξ,cov 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以 统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章：估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f中参数a 的矩法估计量. 解: ()322a dx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a得ξ3ˆ=a . 4.在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a 中参数a 的极大似然估计量是什么?矩法估计量是什么?解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nn i x x L 111ααααα ()i ix∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα， 得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。
作业习题解答公开课获奖课件省赛课一等奖课件
x
1) 2
2y 1 (1/ 2)4 0,
32 y， 15
1 y 1 4 其他
21
第3章 多维随机变量及其分布
(3)
习题13
P{Y
1|X 4
1} 2
1/ 4
fY|X ( y,1/ 2)dy
1 32 ydy 1 1/ 4 15
P{Y 3 | X
4
1} 2
3/ 4 fY|X ( y,1/ 2)dy
0
2
1
3
1
3
(2) P{X 1,Y 3} dx dyf (x, y) dx dyf (x, y) 3k 3 / 8
0
2
(3) P{X 1.5}
1.5
dx
dyf (x, y)
1.5
dx
4
27 27
dyf (x, y) k
Y
0
2
4 32
(4) 4
2
2
4x
16 2
P{X Y 4} 0 dx2
5
/
2
,
0 y 1
0,
其他
习题13
19
第3章 多维随机变量及其分布
习题13
(1)
f X |Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
cx2 y
2 3
cy
5
/
2
3 x2 y 3/ 2，x2 2
y 1
0,
其他
f X |Y
(x
|
y
1) 2
3
x2
(
1
)3/
2
2 2
0,
3
2x2，x2 1 2
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, 当 18, H 0不真， | 18} P { X 18 n 20 18 n z }
z z n
( z z ) 20 18
( z0.025 z0.025 ) 2.5 n 2.5 1.96 n 24.01 2 故样本容量需要 25.
1 2n 1 n X X i , Z ( X i X n i ) 2 n i 1 n i 1 ( X i X n i 2 X ) 2 ( Z i Z ) 2
i 1 i 1 n n
2 1 n ( n 1 ) S 2 2 由定理知： 2 ( Z i Z ) ~ ( n 1) 2 2 i 1 2
例8 试证 : 样本均值 X 是总体均值 的相合估计
n 1 2 量, 样本方差 S 2 X X 及样本的二阶 i n 1 i 1
1 n 2 中心矩 B2 X i X 都是总体方差 2 的相合 n i 1 估计量. 证明 由大数定律知,
1 n 0, 有 lim P X i 1, n n i 1 1 n 所以 X X i 是 的相合估计量. n i 1
( D) P {( n 1) S ( n 1) | H 1为真}
2 2
2.设总体X N ( , ), 样本容量为n,已知在显著
2
性水平 0.05下, 检验H 0 : 0，H 1 : 0的 结果是拒绝H 0，那么在显著性水平 0.10下, 检验H 0 : 0，H 1 : 0的结果（C） ( A )一定接受H 0 ( B)不一定接受H 0 ( C)一定拒绝H 0 ( D)以上都不正确
2 n 1 2n 2 总体的单样本，X X , Y ( X X 2 X ) , i i n i 2 n i 1 i 1
求E[ ( X i X n i 2 X ) ].
2 i 1
n
解：设Z i X i X n i ,则Z i N ( 2, 2 2 )
解 E (Y )
yf ( x )dx 0 f ( x )dx
x
1 2 3
e
( x )2
232
xf ( x )dx
dx
2
3 2
的置信区间为( 4.013, 5), E (Y )的置信区间为( 3.2033, 3.6968)
解：假设样本容量为n, 0.025， 0.025
2.5, 2, 根据确定样本容量的公式知： ( z z ) ( z0.025 z0.025 ) 2.5 n 2.5 1.96 2
代入数据得n 24.01.故样本容量需要 25。
另解：检验假设：H 0： 20, H 1： 20 在假设H 0条件下，接受域为 即X 20 P { X 20 20 18 n z n z n X 20 n z
参数的区间估计
3.设总体X N ( , 2 ), 未知， 2已知，X 1 , X 2 X n
n 1 n 1 是样本，则随机区间( ( X i ) 2 , ( X i ) 2 ) b i 1 a i 1 的长度的数学期望为_______,方差为__________.
故 B2 A2 X 2 依概率收敛于 E ( X 2 ) [ E ( X )]2 2 , 所以 B2 是 2 的相合估计量.
n 又 lim 1, n n 1 n 2 所以 S B2 也是 2 的相合估计量. n 1
2
2
自测题（第七章）
1.设总体X N ( , 2 ), 样本方差为S 2 , , 分别表示 在检验H 0 : 2 1, H 1 : 2 1中犯第一类和第二类 错误的概率，则下列各式成立的是（C）
2 ( A) P {( n 1) S 2 ( n 1) | H 0为真} 2 ( B) P {( n 1) S 2 ( n 1) | H 1为真} 1 2 ( C) P {( n 1) S 2 ( n 1) | H 1为真} 1
n 1 1 n 2 2 2 ( X 2 X X X ) 又 B2 ( X i X ) i i n i 1 n i 1
1 n 2 2 2 X i X A2 X , n i 1 ( A2是样本二阶原点矩)
由大数定律知,
1 n 2 2 A2 X i 依概率收敛于E ( X ), n i 1 1 n X X i 依概率收敛于E ( X ), n i 1
1 1 n 解：区间长度L ( ) ( X i ) 2 a b i 1
n 1 1 E ( L) ( ) E[ ( X i ) 2 ] a b i 1
1 1 2 n Xi 2 1 1 2 =( ) E[ ( ) ]=n( ) a b a b i 1
e y f ( y )dy
2 1 2
e
1 2
1 2
e
( y )2 y 2
e
dy e
2）的置信区间为： 1 1 y z , y z ， n n 2 2
七、( 20分)设X 1 , X 2 X n是总体N ( , 2 )的简单
n 1 n 1 2 随机样本，记X X i， S 2 ( X X ) , i n i 1 n 1 i 1 1 2 2 TX S n 1. 证明T 是 2的无偏估计；
2. 当 0, 1时，求D(T ). (第六章自测题) 1 2 1 2 2 解（1）E (T ) E ( X S ) E ( X ) E ( S 2 ) n n 2 1 1 2 2 2 2 D( X ) [ E ( X )] E ( S ) 2 n n n
由定理知：X 和S 相互独立， 1 2 1 2 2 D(T ) D( X S ) D( X ) 2 D( S ) n n 1 而当 0, 1时，X ~N ( 0, ), nX ~N ( 0, 1) n 2 2 2 2 2 nX ~ (1) D( nX ) 2 D( X ) 2 n 2 ( n 1) S 2 2 又( n 1) S ~ ( n 1) 2 2 2 2 D[( n 1) S ] 2( n 1) D( S ) n1 1 2 2 2 D(T ) D( X ) 2 D( S ) n( n 1) n
1 1 n L ( ) ( X i ) 2 a b i 1
n 1 1 2 2 D( L) ( ) D[ ( X i ) ] a b i 1 n Xi 2 1 1 2 4 1 1 2 4 =( ) D[ ( ) ]=2n( ) a b a b i 1
其中z z0.05 1.645, z z0.05 1.645, 2.5 , 故 n 1.6452 2.5 6.765 因此取n 7就能满足题中的要求。
五、(10分)某电子元件的寿命X N( ,2.5 2 )，现 要求 20时犯第一类错误的概率 0.025，且 当 18时，犯第二类错误的概率 不超过0.025。 试确定样本容量。
解：在水平 0.05检验H 0: 15, H 1: 15, 且已知
2 = 2.5.因要求当 H1且 13 15 时,犯第类 错误的概率 不超过0.05, 因此 2, 所要求的样本容 ( z z ) 量n所满足的关系式为 n ，
4.设x1 , x2 , , xn是来自正态总体X的观察值，f ( x ) 某个已知随机变量的概率密度，要检验总体X的 概率密度是否为f ( x )，可采用（D） ( A) z检验法 ( B) t 检验法 ( C) F 检验法 ( D) 2拟合检验法
六、设需要对某一正态总体的均值进行假设检验 H 0: 15, H 1: 15,已知 2 = 2.5.取 0.05, 若要求 当H1中 13时犯第类错误的概率 不超过0.05。 求所需的样本容量。
3.设X 和Y 是两个独立的正态分布，数学期望和
2 2 2 2 方差均未知，样本方差分别为s1 和 s2 ，已知s1 s2 ， 2 2 2 2 则检验H 0 : 1 2，H1 : 1 2的结果（B）
( A)一定接受H 0 ( B)不一定接受H 0 ( C)一定拒绝H 0 ( D)以上都不正确
五、( 20分)假设0.50, 1.25， 0.80, 2.00是来自总体 X的简单随机样本值，已知Y ln X ~N( ,1), （1）求X的数学期望E ( X )； （2）求的置信水平为0.95的置信区间.(第六章自测题)
解（1）E ( X ) E ( e )
Y
数理统计作业讲评
数理统计作业讲评
5.1 简单随机样本
一、 1. 总体是对某个问题的研究对象全体， （注意题目做完之后，对下练习册后面的答案）
5.2
抽样分布
一、 2.答案是C . （此题老师上课讲过，答案错的原因？）
注意 的规范写法。
四、设总体X N ( , ), X 1 , X 2 X 2n ( n 2)是来自简
1 y (ln 0.5 ln 1.25 ln 0.8 ln 2) 0 4
故总体均值的置信区间为 ( 0.98, 0.98)
六、(10分)设X ~N ( , 32 ), X 1 , X 2 X 100是样本， X, X x 4.5065，Y 0, X 求E (Y )的置信水平为0.90的置信区间. (第六章自测题)