偏导数与全微分
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第3节 偏导数与全微分
处对x的偏导数，记为
z ， 或 x x x0
zx
x x0 y y0
.
y y0
1
类似可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏
导数，为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
z
记为
，或
y x x0
y y0
lim
A,
x0
x
同理可得 B f y( x0 , y0 ) .
dz z dx z dy x y
可微 可偏导 13
注：可偏导不一定可微,见下面反例.
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点 (0,0) 处有 f x (0,0) f y(0,0) 0 ,
同理, f y (0,0) 0 .
9
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
已经求得， f x (0,0) f y(0,0) 0 .
即 dy f ( x)dx .
11
二元函数的可微性和全微分
定义 二元函数 z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处的全增量
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 如果可以表示为
偏导和全微分的关系
偏导和全微分的关系
偏导数和全微分是微积分中两重要的概念，它们之间的关系可以通过梯度来解释。
下面是它们的关系：
1. 偏导数是量函数在特定变量上的变化率，它考虑一个变量的变化而把其他变量固定住。
偏导数可以表示为∂f/∂x，其中f表示函数，x表示自变量。
2. 全分是函数在多个变量上的变化的总和。
它考虑了所有变量的变化，并通过个偏导数对应的变化进行加权。
全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy + ...，其中f表示函数，x、y等表示自变量，dx、dy等表示自变量的变化量。
3. 偏导数是全微分的特例，当只有一个变发生微小变化时，全微分等于对应的偏导数乘以变化量。
换句话说，当只有一个变量变化时变成了偏导数的乘积形式。
总结来说，偏导数是只考虑一个变量变化的变化率，而全微分考虑了所有变量的变化，并将各个偏导数对应的变化进行加权。
全微分是偏导数的总和形式，在只有一个变量变化时，全微分等于对应的偏导数乘以变化量。
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
偏导数与全微分
因为函数在（0，0）处的极限不存在，从而在点 （0，0）处不连续.
函数在点(0,0) 处不可微.
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
可微的充分条件
定理 5.4（充分条件） 如果函数 z f ( x , y )的
z z 偏导数 、 在点( x , y )连续，则该函数在点 x y ( x , y )可微分．
2z 2z 导数 及 在区域 D 内连续，那末在该区域 yx xy
内这两个二阶混合偏导数必相等．
例 6-19 方程
验证函数 z ln x 2 y 2 满足拉普拉斯
2z 2z 2 0. 2 x y
1 ln x y ln( x 2 y 2 ), 解 2 z x z y 2 , 2 , 2 2 x x y y x y
z ( x , y )可微分，则该函数在点( x , y )的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全微分 y
为
z z dz x y ． x y
证 如果函数 z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分,
同理可得
z B . y
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy 2 x y2 例如， f ( x , y ) 0
x2 y2 0 . x y 0
2 2
Hale Waihona Puke 在点(0,0) 处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
二元函数：z = f(u , v) u =φ (x , y) v = ψ (x , y)
5.2偏导数与全微分
偏导数和全微分的概念
13
全增量的概念 如果函数z f ( x, y)在点 P( x, y)的某邻域内有定义，
设 P( x x, y y)为这邻域内的任意一点，则称 这两点的函数值之差 f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增量， 记为 z ，即
z f (x x, y y) f (x, y).
定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0处有增量x时，
相应地函数有增量
z f (x0 x, y0) f (x0, y0)
如果
lim z lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x x0
x0
x
存在，则称此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )
处对 x的偏导数，记为
把 x 看成常量
z x
x1
y2
21 328,
z y
x1
y2
31 227.
例2 求z x2 sin 2 y的偏导数.
解
z x
2xsin2 y;
z y
2x2cos2 y .
把 y 看成常量 把 x 看成常量
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8
例3 设f x, y xy x2 y3,求 f , f ,
x y
27
lim f ( x, y)
( x, y)(0,0)
lim
( x, y)(0,0)
(x2
x2 y2 y2 )3
2
lim sin2 cos2 0 f (0,0),
0
故函数 f ( x, y)在点(0, 0)连续。 (再证偏导数存在)
f x (0,0)
lim
x0
f (x,0) x
全增量的概念 如果函数z f ( x, y)在点 P( x, y)的某邻域内有定义，
设 P( x x, y y)为这邻域内的任意一点，则称 这两点的函数值之差 f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增量， 记为 z ，即
z f (x x, y y) f (x, y).
定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0处有增量x时，
相应地函数有增量
z f (x0 x, y0) f (x0, y0)
如果
lim z lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x x0
x0
x
存在，则称此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )
处对 x的偏导数，记为
把 x 看成常量
z x
x1
y2
21 328,
z y
x1
y2
31 227.
例2 求z x2 sin 2 y的偏导数.
解
z x
2xsin2 y;
z y
2x2cos2 y .
把 y 看成常量 把 x 看成常量
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8
例3 设f x, y xy x2 y3,求 f , f ,
x y
27
lim f ( x, y)
( x, y)(0,0)
lim
( x, y)(0,0)
(x2
x2 y2 y2 )3
2
lim sin2 cos2 0 f (0,0),
0
故函数 f ( x, y)在点(0, 0)连续。 (再证偏导数存在)
f x (0,0)
lim
x0
f (x,0) x
偏导数和全微分
偏导数和全微分偏导数和全微分是微积分中一些重要的概念，用于描述多变量函数的变化情况和进行近似计算。
我们来看偏导数。
在一元函数中，导数描述了函数在某一点上的变化速率，而在多元函数中，一个变量的变化并不仅仅受到其他变量的影响，而是受到多个变量的共同影响。
我们需要引入偏导数，用于表示多元函数中一个变量的变化情况。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中各个变量都是相互独立的，我们可以对其偏导数进行求解。
对于变量xi，其偏导数表示为∂f/∂xi，表示在其他变量保持不变的情况下，函数关于xi的变化速率。
偏导数与导数类似，可以用极限的定义来解释。
对于变量xi，其偏导数可以通过限制其他变量，并将函数看作一元函数进行求解，然后取极限得到。
例如，对于函数f(x, y)，其关于变量x的偏导数可以表示为∂f/∂x = lim(Δx→0)(f(x+Δx, y) - f(x, y))/Δx。
我们来看全微分。
全微分是对多元函数进行近似计算的一种方法。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其全微分表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn为变量的微小增量。
全微分的含义是，当各个变量的微小增量dx1, dx2, ..., dxn趋于0时，函数f的微小增量df与各个偏导数的乘积之和趋于一致。
全微分可以看作是函数在某一点上的线性近似，用于描述函数在该点附近的变化情况。
全微分也可以通过偏导数的极限定义来求解，表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn = lim(Δx1→0, Δx2→0, ..., Δxn→0) (f(x1+Δx1, x2+Δx2, ..., xn+Δxn) - f(x1, x2, ..., xn))。
总结起来，偏导数用于描述多元函数中一个变量的变化速率，而全微分用于对多元函数进行近似计算。
7.3偏导数与全微分
函数可微 偏导数存在 函数连续
1. 偏导数连续
2.全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂y ∂x ∂z
y 例 求 u = x + sin + e yz 的全微分. 2 1 y yz yz key : d u = dx + ( cos + ze )dy + ye dz. 2 2
§7.3 偏导数与全微分
1.定义 设函数 z = f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内的极限
∆x 的偏导数， 存在, 存在 则称此极限为 z = f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 对 x的偏导数， ∂f ′ 记为 f x ( x0 , y0 ) ; ; f1′( x0 , y0 ). ∂ x ( x0 , y0 )
x0 + ∆x x0
类似可定义对 y 的偏导数
f ( x0 , y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) ′ f y ( x0 , y0 )= lim ∆ y→0 ∆y
∂f ; f2′( x0 , y0 ). ∂ y ( x0 , y0 )
′ 记为 f y ( x0 , y0 ) ;
注： 函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 若 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数. 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 记为
Tx
y0
Ty
o
x
y
x0
d = f ( x0 , y) dy y = y0
z = f ( x, y) 在点M 在点 0 处的切线 M0Ty 对 y 的 是曲线 x = x0 斜率. 斜率
1. 偏导数连续
2.全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂y ∂x ∂z
y 例 求 u = x + sin + e yz 的全微分. 2 1 y yz yz key : d u = dx + ( cos + ze )dy + ye dz. 2 2
§7.3 偏导数与全微分
1.定义 设函数 z = f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内的极限
∆x 的偏导数， 存在, 存在 则称此极限为 z = f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 对 x的偏导数， ∂f ′ 记为 f x ( x0 , y0 ) ; ; f1′( x0 , y0 ). ∂ x ( x0 , y0 )
x0 + ∆x x0
类似可定义对 y 的偏导数
f ( x0 , y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) ′ f y ( x0 , y0 )= lim ∆ y→0 ∆y
∂f ; f2′( x0 , y0 ). ∂ y ( x0 , y0 )
′ 记为 f y ( x0 , y0 ) ;
注： 函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 若 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数. 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 记为
Tx
y0
Ty
o
x
y
x0
d = f ( x0 , y) dy y = y0
z = f ( x, y) 在点M 在点 0 处的切线 M0Ty 对 y 的 是曲线 x = x0 斜率. 斜率
多元函数的偏导数与全微分
02
上相等。
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的某邻域内 有定义，并设 P( x x, y y)为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y的全增 量，记为z， 即 z= f ( x x, y y) f ( x, y)
同理， f (0,0) 0. y
可以证明，对本例中的函数f (x,y),
lim f(x,y)
(x,y)(0,0)
不存在，因此它在原点不连续,但在原点的两个偏函数
都存在，这一点和一元函数是不同的.在一元函数中，
高阶偏导 数
xxzx2z2fxx(x,y), xyzy2zxfyx(x,y) yxzx2zyfxy(x,y), yyzy2z2fyy(x,y)
偏导数的几何意义
例1
求 z = x 2 + 3 xy + y2在点 (1,2)处的偏导数．
解
z x
2x3y;
z y
3x2y.
z x
x 1 y2
2 1 3 2 8 ,
z y
x1 y2
3 1 2 2 7 .
例2
设 z = arcsin
x
¶z ¶z
，求 ，
x2 + y2
¶x ¶y
y0
y
记为 z y
， f x x0 y
，zy
x x0
或 x x0
y y0
f y ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
xzxx0，fxxx0，zxxyxy00或fx(x0,y0). yy0 yy0
如果函数z f ( x, y)在区域 D内任一点
上相等。
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的某邻域内 有定义，并设 P( x x, y y)为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y的全增 量，记为z， 即 z= f ( x x, y y) f ( x, y)
同理， f (0,0) 0. y
可以证明，对本例中的函数f (x,y),
lim f(x,y)
(x,y)(0,0)
不存在，因此它在原点不连续,但在原点的两个偏函数
都存在，这一点和一元函数是不同的.在一元函数中，
高阶偏导 数
xxzx2z2fxx(x,y), xyzy2zxfyx(x,y) yxzx2zyfxy(x,y), yyzy2z2fyy(x,y)
偏导数的几何意义
例1
求 z = x 2 + 3 xy + y2在点 (1,2)处的偏导数．
解
z x
2x3y;
z y
3x2y.
z x
x 1 y2
2 1 3 2 8 ,
z y
x1 y2
3 1 2 2 7 .
例2
设 z = arcsin
x
¶z ¶z
，求 ，
x2 + y2
¶x ¶y
y0
y
记为 z y
， f x x0 y
，zy
x x0
或 x x0
y y0
f y ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
xzxx0，fxxx0，zxxyxy00或fx(x0,y0). yy0 yy0
如果函数z f ( x, y)在区域 D内任一点
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即 函数zz = ff(x(,xy) 在x点, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
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定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
o x0
x
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定义1. 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 对 x
的偏导数，记为 z
x xx0 , y y0
f x xx0 , y y0
2y
x2 y2 2xy 2x x2 y2 2
2
y3 x2 x2 y2
y
2
.
f
y
(
x,
y)
y
2xy x2 y2
2x
x2
y2 x2
2xy y2 2
2y
2 x3 xy2 x2 y2 2
.
证明 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u
2u x2
2u y2
Hale Waihona Puke 2u z20
证：
r2
2u x2
1 r3
3 r
x
4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
1 r3
3 y2 r5
,
2u z2
1 r3
y
y0
o
x0
x
y0
y
是曲线 斜率.
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
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注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
例如,
z
f
(x, y)
xy
x2
y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
显然
0
0 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
y2 y2 )2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim y y0 y
即 x＝y＝0 时,
f x (0,0)
d dx
f
( x,0)
x
0
f y (0,0)
d dy
f
(0, y)
y
0
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备用题 设
方程
确定 u 是 x , y 的函数 ,
连续, 且
求
解:
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一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
zy ,
f y (x, y) ,
f2(x, y)
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(证明略)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
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例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
证:
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3. 求
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 yy0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
zx (x0 , y0 ) ;
注意: f x (x0 , y0 ) lim f x0 x, y0 f x0, y0
f
(x0 )
lim
x 0
f
(x0x0 x)
x
f
(x0 )
xd y
dx
x x0
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同样可定义对 y 的偏导数
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，Ax By称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
2z y2
f y y (x, y)
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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为 ( y
)
nz xn1 y
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f y (x0 , y0 ) lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , f , y y
先代后求
先求后代 利用定义
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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思考与练习 P98 题 3
解答提示: P98 题 3
当 x2 y2 0 时，
f
x
(
x,
y)
x
2xy x2 y2
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
(z) y x
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
f yx (x, y);
y
( z ) y
例5. 解:
求函数 z ex2y z ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
x
(
2z ) y x
[ f (x x, y y) f (x, y y)]
[ f (x, y y) f (x, y)]
x
z 4 yex2 cos x 2 y2 .
y
3z
f x, y arc sin
y2 x
,
z x
1
1
y2 x
2
y2 x2
x
y2
x2 y4
x2
y2
;
x x2 y4
z y
x y (x)2 (y)2