矩阵特征值的计算
矩阵特征值及其计算方法的应用
矩阵特征值及其计算方法的应用矩阵特征值是线性代数中的重要概念，它在各个学科领域都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
本篇文章将针对矩阵特征值及其计算方法的应用进行探讨，以期帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、矩阵特征值的定义矩阵特征值是指一个矩阵在行列式中的解，也称为特征根。
对于给定的矩阵A，如果存在一个实数λ和非零向量v，使得：Av=λv，则称λ为矩阵A的特征值，v为相应的特征向量。
二、矩阵特征值的计算方法计算矩阵特征值的方法有很多种，其中比较常用的有特征值分解法、幂法、反迭代法等。
下面我们就来简单介绍一下这几种方法：1、特征值分解法：通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以将任何一个n阶方阵A表示为：A=QΛQ^(-1)，其中Λ是一个对角线矩阵，其对角线上的元素为矩阵A的特征值，Q是由矩阵A的n个特征向量组成的矩阵，并满足Q^(-1)Q=I。
2、幂法：幂法是求解矩阵最大特征值的一种方法。
具体步骤为：首先选择一个非零向量v0作为初始向量，然后进行迭代计算，直至收敛为止。
每次迭代时，都将向量v0乘以矩阵A，并将结果归一化得到下一个向量v1，即：v1=A·v0/||A·v0||。
重复这个步骤直到v1和v0之间的距离小于一定的阈值。
3、反迭代法：反迭代法是幂法的一种改进方法，用于求解矩阵的近似特征值及其对应的特征向量。
该方法的思想是对原问题进行转化，将求解矩阵最大特征值的问题转化为求解矩阵最小特征值的问题。
具体实现时，需要对矩阵A进行平移，使得新矩阵B=μI-A的特征值与B的特征值相互对应，在这个基础上再进行幂法的计算即可。
三、矩阵特征值的应用矩阵特征值由于具有很好的数学性质和广泛的应用场景，因此在各个领域都有着深入的研究和广泛的应用。
下面我们就针对几个具体场景来介绍一下矩阵特征值的应用。
1、图像处理：矩阵特征值在图像处理中有着重要的应用，通过分解一张图像对应的矩阵的特征值和特征向量，可以将原图像进行降维处理，从而达到图像压缩和图像增强的目的。
第章矩阵特征值的计算
的特征向量的近似值。
规范化乘幂法
令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使
xi0
max
1 i n
xi
则
max (x) = xi
对任取初始向量x(0)，记
y(0) x(0) max( x(0) )
则
x(1) Ay(0)
一般地，若已知x(k)，称公式
y(k ) x(k ) max( x(k ) )
2
S sin sin 2
2C
（4）
aip aiq
aipC aiq S a pi aip s aiqC aqi
a pp a ppC 2 2a pqC S aqq S 2 aqq a pp S 2 2a pqC S aqqC 2 a pq (a pp aqq )C S a pq (C 2 S 2 ) aqp
它们之间有如下的关系：
ai(pk )
a(k ip
1)
cos
a(k iq
1)
sin
a(k) pi
ai(qk )
ai(pk1) sin
a(k iq
1)
cos
a(k qi
)
i p,q
aaq((pqkkp))源自a(k 1) ppa(k 1) pp
cos2 sin2
2a
(k 1) pq
sin
cos
2a
然后对j = 1, 2, …, n 解方程
x (k2) j
px j (k 1)
qx j(k )
0
求出p 、q 后，由公式
1
p 2
i
q
p
2
2
2
p 2
i
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是指满足下列条件的数λ：存在一个非零向量x，使得Ax=λx，即为矩阵A作用在向量x上的结果是该向量的数量倍，其中λ为特征值。
定义特征值之后，可以证明如下性质：1.相似矩阵具有相同的特征值；2.矩阵的特征值个数等于矩阵的阶数；3.特征值可以是实数也可以是复数；4.如果一个矩阵的特征向量独立，则该矩阵可对角化。
二、特征值的计算方法特征值的计算方法有多种，包括直接计算、特征向量迭代法等。
以下介绍两种常用的方法，分别是雅可比法和幂法。
1.雅可比法雅可比法是最基本和最直接的求解特征值和特征向量的方法。
首先，构造一个对称阵J，使其主对角线元素等于矩阵A的主对角线元素，非对角线元素等于矩阵A的非对角线元素的平方和的负数。
然后，对J进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
最终得到的J的对角线元素就是矩阵A 的特征值。
雅可比法的优点是计算量相对较小，算法比较简单，可以直接计算特征值和特征向量。
但是，雅可比法的收敛速度较慢，对于大规模矩阵的计算效率较低。
2.幂法幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
首先，随机选择一个非零向量b作为初值。
然后，迭代计算序列b,A*b,A^2*b,...，直到序列趋向于收敛。
最终，特征值是序列收敛时的特征向量的模长，特征向量是序列收敛时的向量。
幂法的优点是可以计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
此外，幂法对于大规模矩阵的计算效率较高。
然而，幂法只能计算最大特征值，对于其他特征值的计算不适用。
三、特征值的应用1.特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它在信号处理、图像压缩、最优化等领域有广泛应用。
通过特征值分解，可以对矩阵进行降维处理、数据压缩和特征提取等操作。
2.矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模的最大值。
谱半径在控制系统、网络分析和量子力学等领域有广泛的应用。
第8章-矩阵特征值计算
min P1 P I ,
( A)
p
pp
(1.5)
其中||·||p为矩阵的p范数，p=1,2,.
证明 由于σ(A)时显然成立,故只考虑̄σ(A).这
时D-I非奇异，设x是A+I对应于的特征向量，由
(A+I-I)x=0左乘P-1可得 (D I )(P1 x) (P1IP)(P1 x), P1 x (D I )1 (P1 IP)(P1 x),
上页 下页
定理7 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量，
主特征值1满足 |1|>|2||n|，
则对任何非零向量v0(a10)，(2.4)式和(2.7)式成立.
如果A的主特征值为实的重根, 即1=2==r, 且 |r|>|r+1||n|，
又设A有n个线性无关的特征向量，1对应的r个线性
无关的特征向量为x1,x2,,xr，则由(2.2)式有
3 1 5.
A的其它两个特征值2, 3包含在D2, D3的并集中.
上页 下页
现在取对角阵
1 0 0
D1 0 1 0 ,
0 0 0.9
做相似变换
4 1 0
A A1 D1 AD 1
0
10 9
.
0.9 0.9 4
矩阵A1的3个圆盘为
E1 : 4 1,
E2 :
19 , 9
矩阵，则
(1) A的特征值均为实数；
(2) A有n个线性无关的特征向量；
(3) 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且1, 2,, n为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un)的列
向量uj为A的对应于j 的单位特征向量.
矩阵特征值的求法举例
矩阵特征值的求法举例
矩阵的特征值是线性代数中一个非常重要的概念，它对于矩阵的性质和求解问题具有
重要意义。
特征值是一个数，它可以通过解一个特征方程来求得，特征方程是一个关于特
征值的多项式方程。
下面我们将通过几个具体的例子来介绍矩阵特征值的求法。
假设我们有一个2×2矩阵A，其元素如下所示：
A = |a b|
|c d|
我们希望求解矩阵A的特征值。
我们将矩阵A减去一个单位矩阵的倍数，得到新的矩阵B：
B = A - λI
λ是一个未知的数，I是单位矩阵。
具体地，我们有：
接下来，我们需要求解特征方程，即求解方程|B| = 0。
|a-λ b | = (a-λ)(d-λ) - bc = 0
|c d-λ|
展开计算得到：
这个二次方程就是特征方程。
根据一元二次方程的求解公式，我们有：
λ = [(a+d) ± √((a+d)^2 - 4(ad-bc)) ] / 2
这里，√表示开方。
通过求解该二次方程，我们就能够求得矩阵A的特征值。
具体的计算过程比较复杂，可以使用数值方法（如牛顿法）来求解，或者使用专门的
软件工具进行计算。
总结：
通过以上两个例子，我们可以看到求解矩阵特征值的过程其实就是求解一个代数方程
的过程。
对于小规模的矩阵，我们可以通过手工计算来得到特征值，但对于大规模的矩阵，
通常需要借助计算机来进行计算。
矩阵特征值的求法对于理解和应用线性代数有着重要的意义，它在很多领域（如数学、物理、金融等）中都有广泛的应用。
第章矩阵特征值的计算
第章矩阵特征值的计算矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用，如物理、化学、工程等。
本文将从特征值的定义、计算方法和应用举例等方面进行阐述。
一、特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k 是一个常数，那么k称为A的特征值，x称为A的对应于特征值k的特征向量。
从定义可以看出，矩阵A的特征值和特征向量是成对出现的，特征向量可以是一个实数或是一个向量，特征值可以是实数或是复数。
二、特征值的计算方法1.直接计算法此方法适合于较小的矩阵。
给定一个n阶矩阵A，首先构造特征方程det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，λ是未知数，然后求解特征方程得到特征值，将特征值代入(A-λI)x=0求解对应的特征向量。
2.幂法幂法是一种迭代方法，适用于大型矩阵。
假设特征值的绝对值最大，那么从非零向量b开始迭代过程，令x0=b，求解x1=A*x0，然后再将x1作为初始值，求解x2=A*x1，以此类推，直到收敛为止。
最后，取最终得到的向量xn，其模即为特征值的近似值。
3.QR方法QR方法是一种迭代方法，可以用于寻找特征值和特征向量。
首先将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，然后对R进行迭代，重复进行QR分解，直到收敛。
最后，得到的上三角矩阵的对角元素即为特征值的近似值，在QR分解的过程中，特征向量也可以得到。
三、特征值的应用举例1.物理学中的量子力学量子力学中的哈密顿算符可以表示为一个矩阵，物理量的测量值就是对应的特征值。
例如，电子的自旋可以有上自旋和下自旋两种状态，上自旋对应的特征值为1，下自旋对应的特征值为-12.工程中的振动问题在工程中，矩阵特征值可以用来求解振动问题。
例如，振动系统的自由度决定了特征向量的个数，而特征值则表示了振动的频率。
通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以预测系统的振动频率和振型。
3.网络分析中的中心性度量在网络分析中，矩阵特征值可以用来计算节点的中心性度量。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
求矩阵特征值的方法有多种，下面将介绍其中的三种常用方法。
一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。
它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘，得到一个新的矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵。
然后求解矩阵B的行列式，得到一个关于λ的多项式，称为特征多项式。
矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。
具体步骤如下：1. 构造矩阵B=A-λI。
2. 求解矩阵B的行列式det(B)。
3. 解特征多项式det(B)=0，得到矩阵A的特征值λ。
二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。
它的基本思想是从一个任意的非零向量开始，不断地将其乘以矩阵A，直到向量的方向趋于特征向量的方向，同时向量的模长趋于特征值的绝对值。
具体步骤如下：1. 选择一个任意的非零向量x0。
2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||，其中||Axn||为Axn的模长。
3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时，停止迭代，此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值，xn/||xn||即为对应的特征向量。
三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。
它的基本思想是将矩阵A 分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
然后对R进行迭代，得到一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
具体步骤如下：1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR。
2. 对R进行迭代，得到一个对角矩阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
以上三种方法都有其优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。
在实际应用中，还可以结合多种方法进行求解，以提高计算精度和效率。
矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)
矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)以下是矩阵特征值求法的十种经典求法：1. 幂法（Power Method）幂法（Power Method）幂法是求解特征值的常用方法之一。
它基于一个重要的数学原理：对于一个非零向量$x$，当它连续乘以矩阵$A$的$k$次幂后，$Ax$的方向将趋于特征向量相应的特征值。
这种方法通常需要进行归一化，以防止向量过度增长。
2. 反幂法（Inverse Power Method）反幂法（Inverse Power Method）反幂法是幂法的一种变体。
它通过计算矩阵$A$的逆来求解最小的特征值。
使用反幂法时，我们需要对矩阵$A$进行LU分解，以便更高效地求解线性方程组。
3. QR方法QR方法QR方法是一种迭代方法，可以通过将矩阵$A$分解为$QR$形式来逐步逼近特征值。
这种方法是通过多次应用正交变换来实现的，直到收敛为止。
QR方法不仅可以求解特征值，还可以求解特征向量。
4. Jacobi方法Jacobi方法Jacobi方法是一种迭代方法，通过施加正交相似变换将矩阵逐步变为对角矩阵。
在每个迭代步骤中，Jacobi方法通过旋转矩阵的特定元素来逼近特征值。
这种方法适用于对称矩阵。
5. Givens旋转法Givens旋转法Givens旋转法是一种用于特征值求解的直接方法。
它通过施加Givens旋转矩阵将矩阵逐步变为对角矩阵。
这种方法是通过旋转矩阵的特定元素来实现的。
6. Householder变换法Householder变换法Householder变换法是一种用于特征值求解的直接方法。
它通过施加Householder变换将矩阵逐步变为Hessenberg形式，然后再进一步将其变为上三角形式。
这种方法是通过对矩阵的列向量进行反射来实现的。
7. Lanczos方法Lanczos方法Lanczos方法是一种迭代方法，用于对称矩阵的特征值求解。
该方法创建一个Krylov子空间，并使用正交投影找到最接近特征值的Krylov子空间中的特征值。
矩阵特征问题的计算方法
矩阵特征问题的计算方法首先，我们来定义特征值和特征向量。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X，使得下式成立：AX=λX其中，λ是一个实数常数，称为特征值；X是一个非零向量，称为特征向量。
也可以将上面的等式写成(A-λI)X=0，其中I是n阶单位矩阵。
接下来，我们介绍一些常用的计算特征值和特征向量的方法。
一、特征方程法特征方程法是最常用的求解特征值和特征向量的方法。
对于n阶方阵A，我们可以将特征方程写成：A-λI，=0其中，A-λI，表示A-λI的行列式。
解特征方程即可得到n个特征值λ1,λ2,...,λn。
对于每个特征值λi，我们可以代入(A-λiI)X=0，求解出对应的特征向量Xi。
二、幂法幂法是一种迭代计算特征值和特征向量的方法。
它的基本思想是，假设一个向量X0，然后通过迭代的方式不断计算Xk+1=AXk，直到收敛为止。
此时，Xk就是所求的特征向量，而特征值可以通过计算向量Xk与Xk+1的比值得到。
三、雅可比迭代法雅可比迭代法是一种用于计算对称矩阵特征值和特征向量的方法。
它的基本思想是，通过矩阵的相似变换将对称矩阵转化为对角矩阵。
雅可比迭代法的具体步骤如下：1.初始化一个对称矩阵A，令Q为单位矩阵。
2.找到A的非对角元素中绝对值最大的元素(a,b)。
3.计算旋转矩阵R，使得AR=RD，其中D为对角矩阵，D的对角线元素与A的特征值相等。
4.更新矩阵A=R^TAR，更新矩阵Q=Q×R，重复步骤2和3，直到达到收敛条件。
四、QR分解法QR分解法是一种计算特征值和特征向量的常用方法。
它的基本思想是，将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然后，通过对R进行迭代得到对角矩阵D，D的对角线元素与A的特征值相等。
具体步骤如下：1.初始化一个矩阵A。
2.对A进行QR分解，得到矩阵Q和R。
3.计算新矩阵A=RQ，重复步骤2和3，直到达到收敛条件。
特征值和特征向量在实际应用中具有重要的意义。
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(3) 如果A是对称阵，则GAGT也是对称阵
(4) 用 G 左乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两行的值 (5) 用 G 右乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两列的值
7
Givens 变换
定理：设 x = (x1, ..., xi , ... , xj , ... , xn)T，且 xi , xj 不全为零，
x 2
(5) det(Hw) 1
15
Householder 变换
定理：设 x, y Rn, x y 且 ||x||2 = ||y||2，则存在 n 阶 Householder 变换 H，使得
y = Hx
16
Householder 变换
定理：对任意的非零向量 x Rn，存在 Householder 变
0 a12 sin a13 cos
a22 sin a23 cos a23 sin a33 cos
令 tan a13
a12
5
Givens 变换
定义：称矩阵
i
j
为 Givens 变换，或 旋转变换。
i j
6
Givens 变换
性质
(1) 只有四个元素与单位矩阵不同
)
0 0 0
0.7475 0
0.6667
0 1 0
0.6667 0.70475
1
A3
G2,4,
A2GT
(2,4, )
3
0 0
3 2.3333 0.4472 0.1491
0 0.4472
2 1
0 0.1491 0.13333
则存在 Givens 变换 G = G (i, j, )，使得 Gx ( x1, ..., xi , ..., 0, ..., xn )T
8
Givens 变换
计算步骤
(1) 构造G(i, j, )矩阵。一般地，对第i行Givens变换，构造
G(i 1,i m, ),(i 1,2,, n 2, m 2,3,, n i) ，其中tan ai(im)
0 1 2 0.4472
2 1.3416 0.41472
10
Givens 变换
由
A2，令
i 2, j 4, tan a14 2 0.8944 ，得sin 0.6667, cos 0.7454 则
a12 2.2361
1
0
0 0
G(2,4,
0 a12 sin a13 cos
a12 a22 cos a23 sin a22 sin a23 cos
a13
a23 cos a33 sin
a23 sin a33 cos
a11 AGT a12
a13
a12 cos a13 sin a22 cos a23 sin a23 cos a33 sin
换 H，使得
Hx = e1
其中 = sgn(x1)||x||2, e1= (1, 0, ..., 0)T ， H uuT I
u x e1
( x1)
的选取是为了防止在实际计算中 与 x1 互相抵消 若 x1=0, 则取 = ||x||2
3
Givens变换
4
引例
a1 1 a12 a13 A a12 a22 a23
a13 a23 a33
1 G(2,3, ) 0
0
0 cos sin
0 sin cos
a11
GA a12 cos a13 sin
同理，得
1
A4
3
0 0
3 2.3333 0.4714
0
0 0.4714 1.1667 1.5000
0 0 10..55000000
11
Householder变换
12
Householder 变换
1985年，A.S.Householder提出用初等 Hermite阵代替Givens阵将对称阵约化为三 对角阵，只需要（n-2）次变换（Givens方 法需要（1/2(n-1)(n-2)）次变换）就能达到 简化目的。
(n
1)(n
2)
次变换，可以约化为三对角阵。
9
Givens 变换
例 1 应用Givens方法把矩阵
1 2 1 2
A
2
1 2
2 1 1
1 1 1
1
1 1
约化为三对角阵。
解：设A A1，令 i 2, sin 0.4772,cos
j 3 ，tan
数分析
第七章 矩阵特征值的计算
—— 正交变换与QR 算法
王伟
1
主要内容
正交变换
Givens 变换 Householder 变换
Sturm序列与二分法 QR 算法
基本算法 具有移位的QR算法
2
实对称阵特征值的计算
通过正交变换，将实对称矩阵约化为三 对角阵，利用Sturm定理隔离特征值，最后 用二分法求出所需特征值。
13
Householder 变换
定义：设 w R n 且 wT w 1 ，称矩阵
Hw I 2wwT
为Householder变换。
14
Householder 变换
性质
(1) 对称：HwT Hw (2) 正交：Hw1 HwT Hw
(3) 对合：Hw2 I
(4) 保模： Hw x 2
0.8944 ，则
a13 a12
1 2
得
1
0
0 0
G(2,3,
)
0 0 0
0.8944 0.4772
0
0.4772 0.8944
0
0 10
1
A2
G(2,3, ) A1G T
(2,3, )
2.2361
0 2
2.2361 1 1
1.3416
ai ( i 1)
(2) Givens变换：Ak1 G AkGT 。经过变换可以把
(i 2,i),(i,i 2),(i 3,i),(i,i 3),...,(n,i),(i, n) 上的元素化为0。
k
1,2,,
1 2
(n
1)(n
2)
•
通过
1
2 (n
2)
1 2