2020年河北省保定市高考数学二模试卷(理科) (解析版)
2020年河北省保定市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合P＝{x|x2﹣4x＞0}，Q＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则（∁R P）∩Q＝（）A．[0，4]B．[0，5）C．（1，4]D．[1，5）2．若复数z满足（2﹣i）z＝（1+2i）2，则|z|＝（）A．3B．C．2D．3．在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则该函数图象是由y＝cos2x的图象经过怎样的变换得到？（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形（如图）：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．6．已知，则cos2α＝（）A．0B．1C．D．7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．8．的展开式中第3项与第7项的二项式系数用等．则该展开式中系数为（）A．56B．448C．408D．17929．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（）A．132B．133C．134D．13510．已知点在函数y＝lnx图象上，若满足的n的最小值为5，则m的取值范围是（）A．（10，15]B．（﹣∞，15]C．（15，21]D．（﹣∞，21] 11．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F1（﹣c，0）作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若∠F1AF2的平分线过点，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．3D．12．已知方程有三个不同的根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，e）B．C．（﹣1，1）D．二、填空题（共4小题）.13．已知向量，满足：||＝2，||＝3，与夹角为120°，则|+2|＝．14．已知正三棱锥P﹣ABC，AB＝2，PA＝2，则此三棱锥外接球的半径为．15．已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为4，则λ﹣μ＝．16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2＝ab sin C，a cos B+b sin A ＝c，，则b＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列{a n﹣n}的前n项和T n．18．我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95（分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种．某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品．现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如表：总分[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100]KN9061442317KN954647358（1）试分别估计两种口罩的合格率；（2）假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，①设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润的和，求随机变量X的分布列和数学期望；②求生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长2的正方形，PA＝PD＝，E为PA中点，点F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延长线上，FH∥DM，交PM于H，且FH＝1（1）证明：EF∥平面PBM；（2）设点N在线段BC上，若二面角E﹣DN﹣A为60°，求BN的长度．20．已知椭圆的离心率为，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）经过定点Q（m，0）（m＞2）的直线l交椭圆于不同的两点M，N，点M关于x 轴的对称点为M'，试证明：直线M'N与x轴的交点S为一个定点，且|OQ|•|OS|＝4（O 为原点）．21．已知函数，（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣2lnx有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），求证：f（x1）+f（x2）﹣x1x2＞8（5ln2﹣2）；（3）设a＝﹣1，函数的反函数为k（x），令，i＝1，2，…，n﹣1，n∈N*且n≥2，若x∈[﹣1，1]时，对任意的n∈N*且n≥2，恒成立，求m的最小值．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）在（1）中，设曲线C经过伸缩变换得到曲线C1，设曲线C1上任意一点为M（x0，y0），当点M到直线l的距离取最大值时，求此时点M的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝x2+2|x﹣1|．（1）求不等式的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且a+b+c＝M（a，b，c∈R），求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合P＝{x|x2﹣4x＞0}，Q＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则（∁R P）∩Q＝（）A．[0，4]B．[0，5）C．（1，4]D．[1，5）【分析】可以求出集合P，Q，然后进行交集和补集的运算即可．解：∵P＝{x|x＜0或x＞4}，Q＝{x|1＜x＜5}，∴∁R P＝{x|7≤x≤4}，（∁R P）∩Q＝（1，4]．故选：C．2．若复数z满足（2﹣i）z＝（1+2i）2，则|z|＝（）A．3B．C．2D．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：∵（2﹣i）z＝（1+2i）2，∴z＝＝＝＝﹣2+i，∴|z|＝＝，故选：B．3．在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC若为钝角三角形，可得B不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件．解：∵，即||•||cosθ＞0，∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，故选：A．4．已知函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则该函数图象是由y＝cos2x的图象经过怎样的变换得到？（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】先求出函数y＝sin（ωx﹣）的周期，再利用求得ω，从而得y＝sin （2x﹣），然后利用诱导公式将其变形为y＝，最后利用三角函数的平移变换法则即可得解．解：由题可知，函数y＝sin（ωx﹣）的最小正周期T＝＝π，∴，∴该函数图象是由y＝cos2x的图象向右平移个单位所得．故选：C．5．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形（如图）：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为2，另外一部分为梯形，上底为，下底为2，高，然后分别求出面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．解：设大正方形的边长为4，则面积为4×4＝16，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为2，面积×2×＝8，故概率P＝＝．故选：C．6．已知，则cos2α＝（）A．0B．1C．D．【分析】利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简已知等式可得cosα＝sinα，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．解：∵，∴cosα+sinα＝cosα+sinα，可得（﹣）cosα＝（﹣）sinα，可得cosα＝sinα，故选：A．7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【分析】利用三视图画出几何体的直观图，结合三视图的数据，求解几何体的表面积即可．解：由题意可知几何体是一个的圆锥与一个三棱锥的组合体，圆锥的底面半径为1，高为1，三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为1，高为6；PA ＝，PO＝2，BO＝OC＝1，AC＝，PC＝，S△PAC＝＝故选：D．8．的展开式中第3项与第7项的二项式系数用等．则该展开式中系数为（）A．56B．448C．408D．1792【分析】先求出n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得该展开式中系数．解：∵的展开式中第3项与第7项的二项式系数用等，∴＝，∴2+6＝n，即n＝8．中第5项与第7项的二项式系数用等．则该展开式中系数，故选：B．9．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（）A．132B．133C．134D．135【分析】列举出该数列的前几项，可知该数列{a n} 为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出数列{a n} 的通项公式，然后求解满足不等式2≤a n≤2021 的正整数n的个数，即可得解．解：设所求数列为{a n}，该数列为11、26、41、，所以，数列{a n} 为等差数列，且首项为a1＝11，公差为d＝26﹣11＝15，解不等式2≤a n≤2021，即2≤15n﹣5≤2021，则满足的正整数n的个数为135，故选：D．10．已知点在函数y＝lnx图象上，若满足的n的最小值为5，则m的取值范围是（）A．（10，15]B．（﹣∞，15]C．（15，21]D．（﹣∞，21]【分析】根据题意，求出a n与S n的表达式，利用S n＞m时n的最小值为5，列出不等式S4≤m＜S5，求出m的取值范围．解：∵点（n，a n）（n∈N*）在y＝lnx的图象上，∴a n＝lnn，又S n＞m时n的最小值为5，即10＜m≤15．故选：A．11．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F1（﹣c，0）作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若∠F1AF2的平分线过点，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．3D．【分析】利用已知条件，结合角的平分线的性质以及双曲线的定义，列出关系式，求解双曲线的离心率即可．解：F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F5（﹣c，0）作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若∠F1AF2的平分线过点，可得，|AF1|＝|AB|＝＝，|AF2|＝2•，解得e＝＝．故选：D．12．已知方程有三个不同的根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，e）B．C．（﹣1，1）D．【分析】原式变形为，令，则m2+（1﹣a）m﹣a﹣1＝0，作出函数y＝m（x）的图象，分析可知m1∈（0，1），m2∈（﹣∞，0），由根的分布建立不等式组，解出即可．解：原式变形为，令，则，即m2+（1﹣a）m ﹣a﹣1＝0，而，易知函数m（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（8，+∞）单调递减，作出函数y＝m（x）的图象如下图所示，由图象可知，必有m1∈（0，1），m2＝3或0或m2＜0，故m1∈（0，1），m2∈（﹣∞，0），由根的分布可知，解得．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，满足：||＝2，||＝3，与夹角为120°，则|+2|＝．【分析】可先求出，然后进行数量积的运算即可求出的值，从而可得出的值．解：∵，∴，∴．故答案为：．14．已知正三棱锥P﹣ABC，AB＝2，PA＝2，则此三棱锥外接球的半径为．【分析】由正三棱锥的棱长可得棱锥的高及底面外接圆的半径，再由外接球的半径和高，底面外接圆的半径之间的关系求出外接球的半径．解：在正三棱锥中，取底面三角形ABC的外接圆的圆心E，则底面外接圆的半径r＝AE ＝AQ＝×＝2．连接PE可得PE⊥面ABC，如图所示：所以棱锥的高PE＝＝＝7；故答案为：．15．已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为4，则λ﹣μ＝﹣2．【分析】先确定λ＝0，再根据f（x）﹣μ是奇函数，得出μ＝2．解：f（x）＝+λe x+μ，∵f（x）有最大值和最小值，则λ＝0，否则，f（x）没有最大或最小值，设f（x）的最大值为m，最小值为n，则m+n＝4，∴m﹣μ+n﹣μ＝0，即2μ＝m+n＝4，∴μ＝8．故答案为：﹣2．16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2＝ab sin C，a cos B+b sin A ＝c，，则b＝3．【分析】由已知a2+b2﹣c2＝ab sin C，a cos B+b sin A＝c，利用余弦定理，正弦定理可求角C，B的三角函数值，进而求b．【解答】解；∵a2+b2﹣c2＝ab sin C，∴3ab cos C＝ab sin C，则tan C＝2，∴sin C＝，cos C ＝．∵a cos B+b sin A＝c，∴sin A cos B+sin B sin A＝sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin B＝sin（A+C）＝，∵，则由正弦定理得b＝＝＝2，故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列{a n﹣n}的前n项和T n．【分析】本题第（1）题先将n＝1代入表达式计算出a1＝，当n≥2时，由2S n+a n﹣n ＝0，可得2S n﹣1+a n﹣1﹣（n﹣1）＝0，两式相减，再化简整理可得a n＝a n﹣1+，然后计算a n﹣并转化可证得数列是以﹣为首项，为公比的等比数列；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，以及数列{a n}的通项公式和数列{a n﹣n}的通项公式，然后根据通项公式的特点运用分组求和法计算前n项和T n．【解答】（1）证明：由题意，当n＝1时，2S1+a1﹣4＝0，∵a1＝S1，∴3a1﹣1＝0，解得a6＝，2S n﹣1+a n﹣1﹣（n﹣2）＝0，整理，得a n＝a n﹣1+，∵a1﹣＝﹣＝﹣，（2）解：由（4）知，a n﹣＝﹣•（）n﹣1，∴a n﹣n＝﹣•（）n﹣1+﹣n＝﹣•（）n﹣n+，＝[﹣•（）1﹣2+]+[﹣•（）2﹣2+]+…+[﹣•（）n﹣n+]＝﹣•﹣+＝（﹣1）﹣．18．我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95（分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种．某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品．现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如表：总分[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100]KN9061442317KN954647358（1）试分别估计两种口罩的合格率；（2）假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，①设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润的和，求随机变量X的分布列和数学期望；②求生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率．【分析】（1）利用古典概型概率计算公式能求出生产KN90口罩合格率和生产KN95口罩合格率．（2）（i）随机变量X的所有可能取值为﹣3，1，7，11，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（ii）设“生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元”为事件A，事件A包括“生产4个KN90口罩全合格”和“生产4个KN90口罩只三个合格”，由此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率．解：（1）由题意知生产KN90口罩合格率为：P1＝，生产KN95口罩合格率为：P2＝．P（X＝﹣3）＝＝，P（X＝5）＝，∴X的分布列为：（ii）设“生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元”为事件A，∴生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率为：P（A）＝（）4+＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长2的正方形，PA＝PD＝，E为PA中点，点F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延长线上，FH∥DM，交PM于H，且FH＝1（1）证明：EF∥平面PBM；（2）设点N在线段BC上，若二面角E﹣DN﹣A为60°，求BN的长度．【分析】（1）取PB的中点G，连结EG，HG，推导出四边形EFHG为平行四边形，EF∥GH，由此能证明EF∥平面PBM．（2）由EF⊥平面PCD，得EF⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而平面ABCD ⊥平面PAD，取AD的中点O，连结PO，以O为原点，ON为x轴，OD为y轴，OP 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BN．解：（1）证明：取PB的中点G，连结EG，HG，则EG∥AB，且EG＝1，∴EG∥FH，EG＝FH．∴四边形EFHG为平行四边形，∴EF∥GH，∴EF∥平面PBM．又AD⊥CD，EF与AD相交，∴CD⊥平面PAD，取AD的中点O，连结PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD，在等腰△PAD中，PO＝＝，则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），D（0，1，0），P（0，3，4），＝（0，﹣，2），＝（2，a﹣6，0），则，取y＝2，得＝（1﹣a，2，），∵二面角E﹣DN﹣A为60°，∴BN＝a﹣（﹣1）＝2﹣．20．已知椭圆的离心率为，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）经过定点Q（m，0）（m＞2）的直线l交椭圆于不同的两点M，N，点M关于x 轴的对称点为M'，试证明：直线M'N与x轴的交点S为一个定点，且|OQ|•|OS|＝4（O 为原点）．【分析】（1）由椭圆的离心率公式，由椭圆上的点为短轴的端点时，它和长轴两端点为顶点的三角形的面积取得最大值，应用三角形的面积公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由题意可得直线l的斜率存在，设为k，可设直线y＝k（x﹣m），联立椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），M'（x1，﹣y1），S（n，0），应用韦达定理和判别式大于0，然后讨论直线l的斜率为0时，直线MN与x轴重合，满足结论；再讨论k不为0，应用三点共线的条件：斜率相等，化简整理可得mn＝4．即可得证．解：（1）由题意可得e＝＝，当椭圆上的点为短轴的端点时，它和长轴两端点为顶点的三角形的面积取得最大值，可得•（2a）b＝4，即ab＝2，则椭圆的方程为+＝1；联立直线y＝k（x﹣m）和椭圆方程3x2+4y2＝12，可得（3+4k2）x2﹣3k2mx+4k4m2﹣12＝0，所以x1+x2＝﹣，x7x2＝，即y3（x1﹣n）+y1（x2﹣n）＝0，即k（x2﹣m）（x1﹣n）+k（x1﹣m）（x3﹣n）＝0，代入韦达定理即2•﹣（n+m）•（﹣）+2mn＝0，化简可得＝0，当斜率k＝0时，直线MN与x轴重合，满足结论．综上可得，直线M'N与x轴的交点S为一个定点（，0），且|OQ|•|OS|＝4．21．已知函数，（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣2lnx有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），求证：f（x1）+f（x2）﹣x1x2＞8（5ln2﹣2）；（3）设a＝﹣1，函数的反函数为k（x），令，i＝1，2，…，n﹣1，n∈N*且n≥2，若x∈[﹣1，1]时，对任意的n∈N*且n≥2，恒成立，求m的最小值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；（2）求出h（x）的导数，根据h′（x）＝0有2个不相等的正实数根，求出a的范围，求出y＝f（x1）+f（x2）﹣x1x2的解析式，令u（a）＝（a+2）ln（2a）﹣2a，（a＞8），结合函数的单调性证明即可；（3）代入a的值，问题转化为﹣m≤++…+，根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x）＝﹣﹣1＝﹣，①a≤0时，由f′（x）＞0，解得：x＜2，由f′（x）＜7，解得：x＞2，故f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减；②0＜a＜2时，由f′（x）＞0，解得：a＜x＜6，由f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，2）递增，在（6，+∞）递减；③a＝2时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）递减；④a＞4时，由f′（x）＞0，解得：2＜x＜a，由f′（x）＜0，解得：x＞a或x＜2，（7）证明：h（x）＝f（x）﹣2lnx＝alnx+﹣x，x＞0，由已知函数有2个不同的极值点x1，x2，知道h′（x）＝4有2个不相等的正实数根，即，解得：a＞8，＝（a+2）lnx1+﹣x7+（a+2）lnx2+﹣x2﹣x1x2＝（a+2）ln（2a）+﹣a﹣2a＝（a+2）ln（2a）﹣2a，则u′（a）＝ln（2a）+（a+2）﹣2＝ln（2a）+﹣1，故u（a）在（8，+∞）递增，（3）a＝﹣8时，f（x）++x＝lnx，则k（x）＝e x，对x∈[﹣1，1]，k1（x）k2（x）…k n﹣6（x）＝…≥e﹣m恒成立，∵y＝在x∈[﹣2，1]递减，当x＝1时，[++…+]min＝++…+＝，显然当n＝2时，＝，即﹣m≤，m≥﹣，故m的最小值是﹣．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）在（1）中，设曲线C经过伸缩变换得到曲线C1，设曲线C1上任意一点为M（x0，y0），当点M到直线l的距离取最大值时，求此时点M的直角坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ＝2，根据ρ2＝x2+y7，转换为直角坐标方程为x2+y2＝4．直线l的参数方程为（t为参数）．消去参数得到．把椭圆转换为参数方程为（θ为参数），设点M（）到直线l：的距离：当且仅当，即时等号成立，即M（）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝x2+2|x﹣1|．（1）求不等式的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且a+b+c＝M（a，b，c∈R），求证：．【分析】（1）根据，分x＜0，0＜x≤1和x＞1三种情况解不等式即可；（2）先求出f（x）的最小值为1，从而得到a+b+c＝M＝1，然后根据，进一步证明成立．解：（1）当x＜0时，等价于x2+2|x﹣1|＞﹣2，该不等式显然成立；当0＜x≤5时，等价于，此时不等组的解集为∅，综上，不等式的解集为．当x＝1时，f（x）取得最小值为2；∴f（x）最小值为1，∴a+b+c＝M＝1，∴，∴．。
保定一中2020届高三上学期第二次阶段测试数学(理)试题含解析
河北保定七中2020届高三10月第二次阶段数学考试题理科数学试卷第Ⅰ卷 选择题(60分）一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1.设集合{}{}222320A x xB x x x =-<=-+<，。
则R AC B =A 。
(][)0,12,4 B. ()1,2 C 。
∅D. ()(),04,-∞+∞【答案】A 【解析】 【分析】解二个不等式，化简集合,A B ，先求出RC B ，最后求出RA CB ⋂.【详解】因为2204x x -<⇒<<，232012x x x -+<⇒<<，所以{}{}0412A x x B x x =<<=<<，,因此{}1,2RC B x x x =≤≥或，所以R A C B =(][)0,12,4,故本题选A.【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算,正确解不等式是解题的关键。
2.复数31ii +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）．A 。
第一象限 B. 第二象限 C 。
第三象限 D 。
第四象限【答案】B 【解析】 复数31ii(1i)1i i+=+=-+，其在复平面上对应的点为(1,1)-，该点位于第二象限． 故选B ．点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念。
首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)()()i,(,,,)a b c d ac bd ad bc a b c d ++=-++∈R ，其次要熟悉复数的相关基本概念,如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b对应点为(,)a b ,共轭复数为i(,)a b a b -∈R3。
下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ）A.1y x=B.1y x =-C 。
lg y x =D 。
12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再依据单调性进行选择． 【详解】1y x=为奇函数;lg y x =的定义域为（0，＋∞),不具备奇偶性；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是偶函数但在(0，＋∞)上为减函数；1y x =-在（0，＋∞)上为增函数,且在定义域上为偶函数． 故选B【点睛】本题主要考查函数的性质，奇偶性和单调性的应用． 4。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟测试试题(二)(含答案)
2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。
河北省保定市2020届高三下学期第二次模拟考试数学(理科)试题--带答案
＝３，犪→ %犫→ rx１２０°，q
→
→
犪＋２犫
＝
．
１４． å y s t 犘－犃犅犆，犃犅＝２槡３，犘犃＝２槡５，q í y s t Í u v + w x
．
１５． *yz犚 +t犳（狓）＝μ＋２λ犲狓＋λ犲２狓狓＋２狓＋２２０２０ｓｉｎ狓i3×d]3=d，\3
×d]3=d+]４，qλ－μ＝
6狓 + D ñ 犕′． X / ： é j 犕′犖 % 狓 + ` ñ 犛 ^ e * ñ， \ ｜犗犙｜·｜犗犛｜＝４ （犗 Îñ）．
２１． （１２b）
t犳（狓）＝（犪＋２）ｌｎ狓＋２狓犪－狓．
（１）Ï1犳（狓）+ÐS； （２）rt犺（狓）＝犳（狓）－２ｌｎ狓 ie|.+Ñdñ狓１，狓２ （狓１＜狓２），
所以
P（A）
4 5
4
C
3 4
4 5
3
g1 5
512（ 625
0.8192）
所以生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元的概率为 512 …………12 分 625
19.（1）证明：取 PB 的中点 G，连结 EG，HG，
则 EG / / AB ，且 EG 1
……1 分
高三二模数学理科答案 第 2页 共 9 页
①-②得 3an
an 1
1即an
1 3
an
1
1 3
，
当n
2时，aann11212
1 3
an1
1 3
an1
1 2
1 2
1 3
……3 分 ……5 分
又
a1
1 2
2020届河北省保定市高三第二次模拟数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届河北省保定市高三第二次模拟数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}240P x x x =->，(){}2log 12Q x x =-<，则()RP Q =（）A ．[]0,4B ．[)0,5C ．(]1,4 D ．[)1,5答案：C先由二次不等式及对数不等式的解法求出集合P 、Q ，然后结合集合交、并、补的混合运算求解即可. 解：解不等式240x x ->，得4x >或0x <，即{4P x x =或}0x <， 即R C P ={}04x x ≤≤,解不等式2log (1)2x -<，得014x <-<，即15x <<，即{}15Q x x =<<， 即()RP Q ={}14x x <≤=(]1,4，故选：C. 点评：本题考查了二次不等式及对数不等式的解法，重点考查了集合交、并、补的混合运算，属基础题. 2．若复数z 满足()()2212z -=+i i ，则z =（）A ．3 BC ．2D答案：B由复数的乘法及除法运算可得2z i =-+，然后求其模即可. 解：由()()2212z -=+i i ，则2(12)(34)(2)10522(2)(2)5i i i iz i i i i +-++-+====-+--+，所以z == 故选：B. 点评：本题考查了复数的乘法及除法运算，重点考查了复数模的运算，属基础题. 3．在ABC 中，“·0AB BC ＞”是“ABC 为钝角三角形”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C由向量数量积和两向量夹角的定义，结合充分必要条件的定义，即可判断出结论； 解：在△ABC 中，若·0AB BC ＞，则cos （π﹣B ）＞0，即cosB ＜0，B 为钝角，则△ABC 是钝角△；若△ABC 是钝角△，不一定B 角为钝角，则·0AB BC ＞不成立，所以“·0AB BC ＞”是“ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：C. 点评：充分、必要条件的三种判断方法:1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．4．已知函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则该函数图象是由cos 2y x =的图象经过怎样的变换得到?（）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度 答案：C由诱导公式及三角函数图像的性质可得2sin 2cos(2)cos 2()633y x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，然后结合函数图像的平移变换求解即可. 解：由函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则22T π=，即T π=， 则2ππω=，即2ω=，则sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又2sin 2cos(2)cos 2()633y x x x πππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 又函数cos 2()3y x π=-的图象是由cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到，即函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是由cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到，故选：C. 点评：本题考查了诱导公式及三角函数图像的性质，重点考查了函数图像的平移变换，属基础题. 5．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是（）A ．38B ．516C ．716D ．13答案：C设大正方形的边长为4，阴影部分可看做一个等腰直角三角形和梯形，然后分别求出其面积，代入几何概型的概率公式求解. 解：设大正方形的边长为4，则面积为4416⨯=，阴影部分：一部分可看做一个等腰直角三角形，直角边边长为22，面积为1222242⨯⨯=， 另一部分为梯形，上底为2，下底为22，高为2，面积为()1222232⨯+⨯=， 所以此点取自阴影部分的概率是4371616p +==. 故选：C 点评：本题主要考查几何概型的概率求法，以及数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 6．已知sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（） A ．0 B ．1C ．22D ．3 答案：A利用和差角公式可求得tan α的值，再利用二倍角的余弦公式结合弦化切的思想可求得cos2α的值. 解：sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3113cos sin cos sin 2222αααα∴+=+，可得tan 1α=， 22222222cos sin 1tan cos 2cos sin 0cos sin 1tan ααααααααα--∴=-===++. 故选：A. 点评：本题考查三角求值，考查和差角公式、二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．142π+B ．51012π++ C ．5101224π+++ D ．1244π++答案：D根据三视图知几何体是一个四分子一圆锥与一个三棱锥的组合体，分别计算其表面积得解. 解：四分子一圆锥表面积111121221144222S ππ+=+⨯+⨯⨯=+ 12112ABD BCD S S ∆∆==⨯⨯=,13322222ACD S ∆==121312+1+1+22+++ 故选：D 点评：本题考查三视图还原几何体求表面积问题.几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．8．在12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为（）A ．56B ．448C ．408D ．1792答案：B由12n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，可得8n =，再结合812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为882182r r rr T C x --+=求解即可.解：解:由12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则26n n C C =,即268n =+=,则812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为88821881(2)()2r r r r r rr T C x C x x ---+==,令822r -=-, 则=5r , 则该展开式中21x的系数为85582448C -=, 故选:B. 点评：本题考查了二项式系数，重点考查了二项式展开式通项公式及指定项系数，属基础题.9．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（） A ．132 B ．133C ．134D ．135答案：D列举出该数列的前几项，可知该数列{}n a 为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出数列{}n a 的通项公式，然后求解满足不等式22021n a ≤≤的正整数n 的个数，即可得解. 解：设所求数列为{}n a ，该数列为11、26、41、56、，所以，数列{}n a 为等差数列，且首项为111a =，公差为261115d =-=， 所以，()()1111151154n a a n d n n =+-=+-=-，解不等式22021n a ≤≤，即21542021n ≤-≤，解得21355n ≤≤， 则满足21355n ≤≤的正整数n 的个数为135， 因此，该数列共有135项. 故选：D. 点评：本题考查数列项数的计算，求出数列的通项公式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 10．已知点()(),n n a n *∈N在函数ln y x =图象上，若满足12n a a a nSe e e m =+++≥的n 的最小值为5，则m 的取值范围是（） A ．(]10,15 B ．(],15-∞C ．(]15,21D ．(],21-∞ 答案：A求得ln n a n =，进而可得出()1122n n n S n +=+++=，由题意可得出45S m S <≤，由此可得实数m 的取值范围. 解：由于点()(),n n a n *∈N在函数ln y x =图象上，则ln nan =，则n a e n =，所以，()121122n a a a n n n S e e e n +=+++=+++=， 由于满足12n a aan S e e e m =+++≥的n 的最小值为5，则45S m S <≤，所以，1015m <≤.因此，实数m 的取值范围是(]10,15. 故选：A. 点评：本题考查参数取值范围的计算，考查了等差数列求和公式的应用，根据题意得出45S m S <≤是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.11．已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过()1,0F c -作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，若12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率为（）A ．2BC ．3D答案：D作出图形，设1AF m =，可得22AF m a =+，根据角平分线定理可得1122AF MF AF MF =，可得出m与a 的等量关系，再利用勾股定理可得出a 、c 的关系式，进而可求得双曲线的离心率. 解：设1AF m =，可得22AF m a =+，如下图所示：由于12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则121122213423AMF AMF c S AF MF SAF MF c ====， 即122m m a =+，12AF m a ∴==，224AF m a a =+=，在12Rt AF F △中，由勾股定理可得2222112AF AF F F =+，即()()()222422a a c =+，3c a ∴=，因此，椭圆的离心率为3==ce a故选：D. 点评：本题考查双曲线离心率的求解，考查了利用双曲线的定义求解焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题. 12．已知方程()2111x x x e ex x ae---+=-有三个不同的根，则实数a 的取值范围为（） A ．()1,e -B ．1,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1-D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：D将等式变形为1111x x x xeae--+=-，换元()1x x u x e -=，可得出()2110u a u a +---=，利用导数分析得出函数()1x x u x e-=的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围.解：将等式()2111x x x ee x x ae---+=-变形为1111x x x x e a e --+=-， 令()1x x u x e -=，则11u u a +=-即()2110u a u a +---=，()11x xu x e--'=，令()0u x '=，得1x =，列表如下：x(),1-∞1()1,+∞()u x '+-()u x极大值所以，函数()1x u x e -=的单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，函数()1x x u x e-=的极大值为()11u =，作出函数()y u x =的图象如下图所示：由于方程()2111x x x e ex x ae---+=-有三个不同的根，则()10,1u ∈，{}(]210,u ∈+∞，①当20u =时，则10a --=，得1a =-，关于u 的方程为220u u +=，解得12u =-，不合乎题意；②当21u =时，则120a -=，得12a =，关于u 的方程为2230u u +-=，解得132u =-，不合乎题意；③当()10,1u ∈，()2,0u ∈-∞时，由二次方程根的分布得()101110a a a --<⎧⎨+--->⎩，解得11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上所述，实数a 的取值范围是11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D. 点评：本题考查利用导数研究复合函数的零点问题，一般要将复合函数分解为内层函数和外层函数来进行分析，同时也考查了二次方程根的分布，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 二、填空题13．已知向量a 、b 满足：2a =，3b =，a 与b 夹角为120，则2a b +=_______.答案：利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2a b +的值. 解：()22222244a b a ba ab b +=+=+⋅+224cos1204a a b b =+⋅+ 221242343282⎛⎫=+⨯⨯⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，因此，227a b +=.故答案为：点评：本题考查平面向量模的计算，考查平面向量数量积的运算律和定义，考查计算能力，属于基础题.14．已知正三棱锥P ABC -，AB =PA =_______.答案：52作出图形，找出外接球球心的位置，根据几何体的结构特征列等式可求三棱锥P ABC -外接球的半径. 解： 如下图所示：设点G 为ABC 的外心，则PG ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的外接球球心O 在直线PG 上，设其外接球的半径为R ， 由正弦定理得22sin3AB AG π==，224PG PA AG ∴=-=，在Rt OAG 中，4OG PG R R =-=-，由勾股定理得222OA OG AG =+，即22224R R =+-，解得52R =. 故答案为：52. 点评：本题考查三棱锥外接球半径的计算，解题时要充分分析几何体的结构特征，找出球心的位置，通过几何体的结构特征列等式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15．已知定义域为R 的函数()2222020sin 2x x e e x xf x xλλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为4，则λμ-=_______. 答案：2-计算出()22020sin 2xxf x e x μλ=+++，利用函数()y f x =有最小值和最大值推导出0λ=，进而得出()()2f x f x μ+-=，可得出函数()y f x =的图象关于点()0,μ对称，进而可求得μ的值，由此可计算出λμ-的值.解：()22222020sin 2020sin 22x x xe e x x xf x e x x λλμμλ++=+=++++， 若0λ<，则函数()y f x =无最小值，不合乎题意； 若0λ>，则函数()y f x =无最大值，不合乎题意. 所以，0λ=，则()22020sin 2xf x x μ=++，则()()()()222020sin 2020sin 222x xf x f x x x μμμ-+-=+++=++-， 所以，函数()y f x =的图象关于点()0,μ对称，则()()max min 42f x f x μ+==，则2μ=， 因此，2λμ-=-. 故答案为：2-. 点评：本题考查利用函数的最值求参数的值，解答的关键在于推导出0λ=，并求出函数()y f x =的对称中心，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 16．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，a =，则b =_______答案：利用余弦定理可求得tan C 的值，利用正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式可求得4A π=，进而可求得sin B 的值，利用正弦定理可求得b 的值.解：222sin a b c ab C +-=，即2cos sin ab C ab C =，tan 2C ∴=， 由22sin tan 2cos sin cos 1sin 0C C C C C C ⎧==⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin cos C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos sin a B b A c+=，由正弦定理得()sin cos sin sin sin sin sin cos cos sin A B A B C A B A B A B +==+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=.0B π<<，sin 0B ∴>，则tan 1A =，0A π<<，4A π∴=，()()sin sin sin cos sin 42B AC C C C π⎛⎫∴=+=+=+= ⎪⎝⎭. 由正弦定理得sin sin b aB A=，得sin sin a B b A ===.故答案为：点评：本题考查三角形边长的计算，涉及余弦定理和正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()20n n S a n n N *+-=∈.（1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求数列{}n a n -的前n 项和n T .答案：（1）详见解析；（2）2111432n n nT ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭．（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥由20n n S a n +-=可得()11210n n S a n --+--=，两式相减可得131n n a a -=+，利用等比数列的定义可证明出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）由（1）求得数列{}n a n -的通项公式，然后利用分组求和法可求得n T . 解：（1）当1n =时，11210S a +-=，解得113a =； 因为()20n n S a n n N*+-=∈，①当2n ≥时，()11210n n S a n --+--=，②①-②得131n n a a -=+即11133n n a a -=+，当2n ≥时，11111111332211322n n n n a a a a ---+--==--，又11126a -=-，所以12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，以13为公比的等比数列；（2）由第一问可得111232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，111232nn a n n ⎛⎫-=-⋅-+ ⎪⎝⎭，根据等比数列前n 项和公式和分组求和得：()1113311122213nn n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-+-，化简得：2111432n n n T ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.点评：本题考查等比数列的证明，同时也考查了分组求和法，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18．我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能常见的口罩有90KN 和95KN （分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种，某口罩厂两条独立的生产线分别生产90KN 和95KN 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：（1）试分别估计两种口罩的合格率；（2）假设生产一个90KN 口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品，则亏损1元；生产一个95KN 口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，①设X 为生产一个90KN 口罩和生产一个95KN 口罩所得利润的和，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率答案：（1）90KN 口罩合格率为80%；95KN 合格率为90%（2）①分布列详见解析，数学期望为9.2；②512625． （1）根据题意，结合表中数据即可求解.（2）①随机变量X 的所有可能取值为3-，1，7，11，利用相互独立事件的概率乘法公式求出各随机变量的概率即可列出分布列，利用期望公式即可求解；②根据题意可知事件包括“生产4个90KN 口罩全合格”和“生产4个90KN 口罩只三个合格”，由二项分布的概率求法4334441555P C ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 解：解（1）由题意知生产90KN 口罩合格率为142317480%1005P ++===，生产口罩95KN 合格率为247358990%10010P ++===；（2）①随机变量X 的所有可能取值为3-，1，7，11()111351050P X =-=⨯=()414215105025P X ==⨯==()199751050P X ==⨯=()493618115105025P X ==⨯==因此，X 的分布列如下：∴()9.25E X ==（元） ②设“生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元”事件为A ，事件A 包括“生产4个90KN 口罩全合格”和“生产4个90KN 口罩只三个合格”所以()4334441512555625P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率为512625. 点评：本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、二项分布，属于基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，PA PD ==E 为PA 中点，点F 在PD 上且EF ⊥平面PCD ，M 在DC 延长线上，//FH DM ，交PM 于H ，且1FH =(1)证明：//EF 平面PBM ；(2)设点N 在线段BC 上，若二面角E DN A --为60︒，求BN 的长度． 答案：(1)详见解析；(2)1122-． (1)要证//EF 平面PBM ，只需证明EF 平行于平面PBM 内一条直线即可，取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，可证四边形EFHG 为平行四边形，从而可得//EF GH ，根据线面平行的判定定理即可证出；(2)取AD 的中点O ，连结PO ，可证PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OD 为y 轴，OP 为z 轴建系，设()2,,0N a ()11a -≤≤，求出平面EDN 的法向量n 及平面ABCD 的法向量m ，根据二面角E DN A --为60︒，利用夹角公式列出方程即可求出a ,进而可求出BN 的长度． 解：(1)证明：取PB 的中点G ，连结EG ，HG ，则//EG AB ，且112EG AB ==，因为//FH DM ，交PM 于H ，且1FH =， 又因为//AB DM ，所以//EG FH ，EG FH =， 所以四边形EFHG 为平行四边形，所以//EF GH ，又EF ⊄平面PBM ，GH ⊂平面PBM ， 所以//EF 平面PBM .(2)由EF ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以EF CD ⊥，又AD CD ⊥，EF 和AD 在平面PAD 内显然相交， 所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以平面ABCD ⊥平面PAD ，取AD 的中点O ，连结PO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥， 又平面ABCD平面PAD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，在等腰PAD △中，221714PO PA AO -=-=，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0O，()0,1,0A -，()0,1,0D ，()0,0,4P ，因为E 为PA 的中点，所以10,,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭， 设()2,,0N a ()11a -≤≤，设平面EDN 的一个法向量(),,n x y z =，30,,22DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,1,0DN a =-，由00n DE n DN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得()3202210y z x a y ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩，令2y =，得32z =，1x a =-，所以31,2,2n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面ABCD 的一个法向量()0,0,1m =，所以()232cos ,9144n m n m n ma ⋅〈〉==-++，因为二面角E DN A --为60︒，所以()232cos 609144a =-++，即312=12a =-，所以()12BN a =--=. 点评：本题主要考查线面平行的判定定理，已知二面角的大小逆向探求点的位置，关键是求出二面角的两半平面的法向量，根据夹角公式列出方程，属于中档题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）经过定点()(),02Q m m >的直线l 交椭圆C 于不同的两点M 、N ，点M 关于x 轴的对称点为M '，试证明：直线M N '与x 轴的交点S 为一个定点，且4OQ OS ⋅=（O 为原点）． 答案：（1）22143x y +=；（2）详见解析． （1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，进而可求得椭圆C 的方程； （2）设直线l 的方程为()y k x m =-，设点()11,M x y 、()22,N x y ，可得点()11,M x y '-，设点(),0S n ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由M '、S 、N 三点共线可得出M S NS k k '=解：（1）由题意得22212122c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率一定存在，设为k ，设()11,M x y 、()22,N x y ，则()11,M x y '-，设(),0S n ，联立()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222223484120k x k mx k m +-+-=，由>0∆得()22430mk-+>，即2234k m <-时，M ，N 一定存在， 2122843k m x x k ∴+=+，2212241243k m x x k -⋅=+. 当斜率k 不为0时：因为M '、N 、S 三点共线，M S NS k k '=，1212y y x n x n-=--，即()()21120y x n y x n -+-=， 即()()()()21120k x m x n k x m x n --+--= 化简()()2112220x x n m x x mn -+⋅++=， 代入韦达定理化简得24043mn k -=+，即4mn =，4n m =， 4,0S m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，且4OQ OS mn ⋅==，当斜率0k =时，直线M N '与x 轴重合，满足结论． 综上，直线M N '与x 轴的交点S 为一个定点4,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，且4OQ OS ⋅= 点评：本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点问题的求解，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 21．已知函数()()22ln af x a x x x=++-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()2ln h x f x x =-有两个不同的极值点1x 、()212x x x <，求证：()()()121285ln 22f x f x x x +->-；（3）设1a =-，函数()2f x x x++的反函数为()k x ，令()x i n i k x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，n *∈N 且2n ≥，若[]1,1x ∈-时，对任意的n *∈N 且2n ≥，()()()1211n nik x k x k x e -≥恒成立，求m 的最小值.答案：（1）具体详见解析；（2）证明见解析；（3）12-． （1）求得函数()y f x =的定义域和导数()()()22x x a f x x--'=-，对a 与2的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，进而可得出函数()y f x =的单调区间；（2）求得()222x ax ah x x-+'=-，由题意可知方程220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x ，可求得a 的取值范围，并列出韦达定理，进而可得出()()()()12122ln 22f x f x x x a a a +-=+-，然后构造函数()()()2ln 22u a a a a =+-，利用导数证明出()()85ln 22u a >-即可； （3）根据题意得出x k x e =，进而可得()xi n i k x k⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，n *∈N 且2n ≥，由已知条件得出121x xxn m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分析出函数121xxxn y n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在[]1,1-上的单调性，可得出12n m --≤，进而可求得m 的最小值. 解：（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()()222221x x a a af x x x x --+'=--=- ①当0a ≤时，由()0f x '>得02x <<；由()0f x '<，得2x >.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； ②当02a <<时，由()0f x '>得2a x <<；由()0f x '<得0x a <<或2x >. 此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a ，单调递减区间为()0,a 和()2,+∞；③当2a =时，()0f x '≤对任意的0x >恒成立，此时，函数()y f x =在()0,∞+单调递减； ④当2a >时，由()0f x '>得2x a <<；由()0f x '<得02x <<或x a >. 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()2,a ，单调递减区间为()0,2和(),a +∞. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞；当02a <<时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a ，单调递减区间为()0,a 和()2,+∞； 当2a =时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当2a >时，函数()y f x =的单调递增区间为()2,a ，单调递减区间为()0,2和(),a +∞； （2）证明：()()22ln ln ah x f x x a x x x=-=+-，0x > ()222221a a x ax ah x x x x -+'=--=-由已知函数有两个不同的极值点1x 、2x ，知()0h x '=有两个不等的正实数根，即220x ax a -+=有两个不等正实数根，即12120020x x a x x a ∆>⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得8a >，()()()()121211221212222ln 2ln a a f x f x x x a x x a x x x x x x +-=++-+++--()()()()121212121222ln a x x a x x x x x x x x +=++-+-()()()()22ln 222ln 222a aa a a a a a a a⋅=++--=+-， 令()()()2ln 22u a a a a =+-，8a >，()()()()12ln 222ln 21u a a a a a a'=++-=+-，因为8a >，所以()ln 210a ->，()0u a '>，所以()y u a =在()8,+∞单调递增，()()()810ln161685ln 22u a u ∴>=-=-，结论得证； （3）当1a =-时，()2ln f x x x x++=，则x k x e =， 所以()xi n i k x e⎛⎫⎪⎝⎭=，1i =、2、，1n -，*n N ∈且2n ≥，对[]1,1x ∈-，()()()121121xxxn m n n n n k x k xk x eeee -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=≥恒成立，即121xxxn mn n n ee -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，即121xxxn m n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为xi y n ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,1x ∈-单调递减，所以121xxxn y n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也递减，当1x =时，min 12112112x xxn n n n n n n nn ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即对任意n *∈N 且2n ≥，12n m --≤恒成立， 显然当2n =时，min1122n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，即12m -≤，即12m ≥-，所以m 的最小值为12-． 点评：本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式以及求解函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）在（1）中，设曲线C 经过伸缩变换,x x y=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到曲线1C ，设曲线1C 上任意一点为()00,M x y ，当点M到直线l 的距离取最大值时，求此时点M 的直角坐标．答案：（1）22:4C x y +=，10l y +-=；（2）(M ．（1）由222x y ρ=+可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线l 的参数方程中消去参数t 可将直线l 的参数方程化为普通方程；（2）利用伸缩变换求得曲线1C 的普通方程，进而可得出曲线1C 的参数方程，设点()2cos ,M θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式、正弦函数的有界性可求得点M 到直线l 的距离的最大值，并求出对应的点M 的坐标.解：（1）将曲线C 的极坐标方程化为24ρ=，由222x yρ=+，所以，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=.在直线l 的参数方程中消去参数t 10y +-=， 所以，直线l 10y +-=；（2）由伸缩变换,,x x y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得,,3x x y y =⎧=''⎪⎨⎪⎩带入圆的方程C 得2243y x ''+=， 化简得曲线221:1412x y C +=，其参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，且[)0,2θ∈π），设点()2cos ,M θθ，点M到直线:10l y +-=距离为：d ==02θπ≤<，则9444πππθ≤+<，所以，当342ππθ+=时，即当54πθ=时，d取最大值，即max d =，此时，点M的坐标为(. 点评：本题考查曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程求解椭圆上的点到直线距离的最值，考查计算能力，属于中等题. 23．已知2()2|1|.f x x x =+- （1）求不等式|2|()x f x x>的解集； （2）若f(x)的最小值为M ，且a+b+c=M(a ，b ，c ∈R)，答案：（1）{|0x x <或}1x >（2）见解析 （1）根据绝对值不等式性质，进行分类讨论即可；（2）由题知f(x)的最小值为M=1，再根据基本不等式推理论证即可证明. 解：（1）由题可知，()22224,122,0124,0x x x x f x x x x x x x x ⎧+-≥⎪-=-≤<⎨⎪-+<⎩则()20x f x x->的解集为{|0x x <或}1x >综上，不等式|2|()x f x x>的解集为{|0x x <或}1x > （2）由题可知，f(x)的最小值为M=1（1x =时取得）， 即1a b c ++=， 由柯西不等式，得，()()()2222211a b ab +≥≥+⇒+≥2a b c ++=得证（等号成立条件==a b c ）点评：本题考查解绝对值不等式和利用柯西不等式的简单证明，难度一般，利用基本、柯西不等式证明结论时，注意等号成立条件.。
河北省保定市2020届高三下学期第二次模拟考试数学(理)答案
则 tan 60o
EG GK
3
, 则GK
23 3
.
以 A 为 原点， 以 AD 为 X 轴，以 AB 反向为 Y 轴，
P
N
建立平面坐标系,则 G( )，D(2,0) ，
设直线 DN 的方程为
(k>0) 则点 G 到直线 DN 的距离
，
解得
，则直线 DN 方程为
，N 点为直线 DN 与直线 BC 的交点，
DN
(2,a
1,0)，由 n
DE
0及n
DN
0知
3 2
y
2z
0 令 y
2 得：
2x (a 1)y 0
高三二模数学理科答案 第 3页 共 9 页
z
3 ,x 2
1a
故： n
(1
a,2, 3)……………10 2
分
设平面ＡＢＣＤ的法向量 m (0,0,1)，
cos n，m
2020 年高三第二次模拟考试
数学理科参考答案
一、选择题：
CBACC ADBDA DD
12（理）分析：
原式变形为1
x e x1
1
x e x1
a
令u(x)
x e x1
,则1
u
u
1
a
即u2
(1
a)u
a
1
0
用导数分析u(x)函数图像,由已知可知必有u1 (0,1), u2 1或0或u2 0
当 u2 0或1时可解得a进而得出不符合题意
F G EH
ＥＦ和 AD 显然相交所以 CD 平面PAD ，
所以 平面ABCD 平面PAD
……………6 分
2020-2021学年河北省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
河北省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}2．若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或33．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm35．在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．217．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（）A．y=2.0x+2.2 B．y=0.6x+2.8 C．y=2.6x+2.0 D．y=2.6x+2.88．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）A．20πB．15πC．10πD．2π9．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A．y=±x B．C．D．10．已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．111．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A． B． C．D．12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC= ．14．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是名．15．若直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，则的展开式中x的系数为．16．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）在（1）中，设b n=，求证：当c=﹣时，数列{b n}是等差数列．18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的正弦值．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），b（0，b），D（﹣a，0），△ABD的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设P（x0，y0）是椭圆C在第二象限的部分上的一点，且直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=e x的切线l1，l2，若两切线的斜率互为倒数，求证：1＜a＜2．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sinθ+cosθ=．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}【考点】1D：并集及其运算．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．2．若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，可得x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x．【解答】解：∵复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，∴x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x=1．故选：B．3．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用直线斜率的定义、二倍角的正切公式，进行计算即可．【解答】解：∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，∴tanθ=2；∴tan2θ==﹣，故选D．4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】该三棱锥高为3，底面为直角三角形．【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，∴V=××3×1×3=．故选A．5．在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．【解答】解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2，由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为6，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax ﹣a2＞0}这个事件的测度为3，故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为，故选：D．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．21【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据基本不等式求得ab的范围，进而利用三角形面积公式求得．【解答】解：∵ab≤（）2=36，当且仅当a=b=6时，等号成立，∴S△ABC=absinC≤×36×=9，故选：B．7．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（）A．y=2.0x+2.2 B．y=0.6x+2.8 C．y=2.6x+2.0 D．y=2.6x+2.8【考点】EF：程序框图．【分析】由题意可得：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，应按超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元收费，进而可得函数的解析式．【解答】解：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元∴y=2.6（x﹣2）+7+1=8+2.6（x﹣2），即整理可得：y=2.6x+2.8．故选：D．8．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）A．20πB．15πC．10πD．2π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由正弦定理可得截面圆的半径，进而由勾股定理可得球的半径和截面圆半径的关系，解方程代入球的表面积公式可得．【解答】解：由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′，设截面圆O′的半径为r，由正弦定理可得2r=，解得r=2，设球O的半径为R，∵球心到平面ABC的距离为1，∴由勾股定理可得r2+12=R2，解得R2=5，∴球O的表面积S=4πR2=20π，故选：A．9．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A．y=±x B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦距2c=2=2，由二次函数的性质分析可得当m=1时，双曲线的焦距最小，将m的值代入双曲线方程可得此时双曲线的方程，由双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦距2c=2=2，分析可得：当m=1时，双曲线的焦距最小，此时双曲线的方程为：﹣=1，其渐近线的方程为y=±x，故选：B．10．已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得==1+，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣a n﹣1，化为：==1+，由于数列单调递减，可得：n=2时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：C．11．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A． B． C．D．【考点】KE：曲线与方程．【分析】取特殊点代入进行验证即可．【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．故选B．12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】IS：两点间距离公式的应用；2K：命题的真假判断与应用．【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0），x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）成立，故①正确；在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|（x0﹣x1）+（x2﹣x0）|+|（y0﹣y1）+（y2﹣y0）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）③，故②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③成立；设B（x，y），则d（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|2﹣x|≥2，即d（A，B）的最小值为2，故④正确；综上知，正确的命题为①③④，共3个．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC= ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的数量积公式可得•=||•||cosA=6，再根据余弦定理即可求出．【解答】解：∵AB=3，AC=4，，∴•=||•||cosA=6，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB••cosA=9+16﹣12=13，∴BC=，故答案为：．14．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是7 名．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．【解答】解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+y⇔y=﹣x+z 则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过⇒（4，3）时使得目标函数取得最大值为：z=7．故答案为：7．15．若直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，则的展开式中x的系数为210 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，求出a=2，由此利用分类讨论思想能求出=（x+﹣2）5的展开式中x的系数．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，∴，解得a=2，∴=（x+﹣2）5，∴展开式中x的系数为：++=80+120+10=210．故答案为：210．16．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是a＞c＞b ．【考点】3S：函数的连续性．【分析】根据题意得出f（x）是单调函数，得出f（x）﹣log2015x是定值；设t=f（x）﹣log2015x，得f（x）=t+log2015x，结合f（x）是单调增函数判断a，b，c的大小．【解答】解：∵方程f′（x）=0无解，∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，∴f（x）是单调函数；由题意得∀x∈（0，+∞），f=2017，又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，则f（x）﹣log2015x是定值，设t=f（x）﹣log2015x，则f（x）=t+log2015x，∴f（x）是增函数，又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5，∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）在（1）中，设b n=，求证：当c=﹣时，数列{b n}是等差数列．【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求{a n}的通项公式；（2）先化简b n，再利用定义证明即可．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0得其二根分别为1和5，∵a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根∴以a1=1，a2=5，∴{a n}等差数列的公差为4，∴=2n2﹣n；（2）证明：当时，=，∴b n+1﹣b n=2（n+1）﹣2n=2，∴{b n}是以2为首项，公差为2的等差数列．18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人．用分层抽样的方法，与古典概率计算公式即可得出．（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．利于古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人．用事件A表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，则=．因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3.，，，，因此，ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3p∴．19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，四边形AEFG 为平行四边形，即AG∥EF，由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，可证平面BDE⊥平面BCD（2），过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，可得∠DMB为所求二面角的平面角在等腰三角形EBC中．由面积相等可知：，；，根据余弦定理=，即可．【解答】解：（1）证明：如下图所示：取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，FG是△BCD的中位线所以FG∥AE且FG=AE，即四边形AEFG为平行四边形，所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF⊂面BDE，故平面BDE⊥平面BCD（2）由AB=2，AE=1可知，，同理又DC=BC=2，EC为△BEC，△DEC的公共边，知△BEC≌△DEC，过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，所以∠DMB为所求二面角的平面角在等腰三角形EBC中，BC=2．由面积相等可知：，；根据余弦定理=所以二面角D﹣EC﹣B正弦值为20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），b（0，b），D（﹣a，0），△ABD的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设P（x0，y0）是椭圆C在第二象限的部分上的一点，且直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的离心率公式及三角形的面积公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）求得直线PA的方程，求得丨BM丨，同理求得丨AN丨，由，代入即可求得四边形ABNM的面积．【解答】解：（1）由题意得，解得a=2，．∴椭圆C的方程为．（2）由（1）知，A（2，0），，由题意可得，因为P（x0，y0），﹣2＜x0＜0，，．∴直线PA的方程为令x=0，得．从而=．直线PB的方程为．令y=0，得．从而|AN|=|2﹣x N|=．∴|AN|•|BM|=，=，=，=．∴=，四边形ABNM的面积2．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=e x的切线l1，l2，若两切线的斜率互为倒数，求证：1＜a＜2．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，从而求解函数f（x）的极值；（2）设切线l2的方程为y=k2x，从而由导数及斜率公式可求得切点为（1，e），k2=e；再设l1的方程，整理得，再令，求导确定函数的单调性，从而问题得证．【解答】（1）解：①若a≤0时，＞0所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，故无极大值和极小值②若a＞0，由得，所以．函数f（x）单调递增，，函数f（x）单调递减故函数f（x）有极大值a﹣lna﹣1，无极小值．（2）证明：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，，所以x2=1，y2=e，则．由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则=，所以，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得令，则，所以m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．又x0为m（x）的一个零点，所以①若x1∈（0，1），因为，，所以，因为所以=1﹣lnx1，所以1＜a＜2．②若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以a=1﹣lnx1=0（舍去）．综上可知，1＜a＜2．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sinθ+cosθ=．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求出圆心到直线的距离，即可求直线l被圆C所截得的弦长．【解答】解：（1）圆C的参数方程化为普通方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x+y=1，（2）圆心到直线的距离，故直线l被圆C所截得的弦长为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）≥3的解集；（2）f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2=0，利用关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于或或解得：或，∴不等式的解集为或．（2）∵f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2=0，且f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，∴a2﹣a﹣2≤0，解得﹣1≤a≤2，∴实数a的取值范围是﹣1≤a≤2．。
河北省保定市2020年高三第二次模拟数学(理科)试卷(含答案)
2020年高三第二次模拟考试，理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分， 共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}042>-=x x x P ，{}2)1(log 2<-=x x Q ，则Q P C R I )(=A ． [0，4]B ．[0，5）C ．（1，4]D ．[1，5）2．若复数z 满足2)21()2(i z i +=-，则|z|=A ．3B ．5C ．2D ．33．在△ABC 中，“0>⋅”是“△ABC 是钝角三角形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件：4．已知函数)0)(6sin(>-=ωπωx y 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则该函数图象是由x y 2cos =的图象经过怎样的变换得到？A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 5．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.完整图案为一正方形（如图）：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是A ．83B ．165C ．167D ．31 6．已知)3cos()3sin(απαπ-=+，则=α2cos ． A ． 0 B ．1 C ．22 D ．23 7．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A ．π214+ B ．π212105++ C ．π4212105+++ D ．π4214++ 8．n x x )12(+的展开式中第3项与第7项的二项式系数用等。
2020届河北省保定一中高三上学期第二次阶段测试数学理科试卷(PDF版)
保定一中2019-2020学年第一学期高三年级第二次阶段考试理科数学试卷说明：1.本试卷有选择题和非选择题两部分构成，其中选择题60分，非选择题90分，总分150分. 考试时间120分钟.2. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．考试过程中考生答题必须使用0.5毫米黑色水笔作答，答案必须写在指定的答题区域，在其它区域作答无效.第Ⅰ卷 选择题（60分）一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1．设集合{}{}222,B 320A x x x x x =-<=-+<.则R A C B ⋂=( ) A.B.C.D.2．复数31ii +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A. 1y x =B. 1y x =-C. lg y x =D. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭4．已知函数1()f x x x =-，若2(log 6)a f =，22(log )9b f =-，0.5(3)c f =，则，，的大小关系为（ ） A.B.C.D.5．不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：，，，其中的真命题是（ ） A ．B ．C ．D ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的i =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．8．函数1()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny --=上，其中，，则12m n+的最小值为（ ） A.4B.5C.6D.9．已知在各项为正数的等比数列中，2a 与8a 的等比中项为8，则374a a +取最小值时，首项1a =（ ）A.8B.4C.2D.110．已知：(cos 2,sin )a αα=，(1,2sin 1)b α=-，(,)2παπ∈，若25a b ⋅=则tan()4πα+的值为（ ）A ．23B ．13C ．27D ．1711. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()0f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()()sin π=-F x f x x ，在区间[]1-，m 上有10个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3.54，B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)5 5.5，[]2121212.()220182019,1,1,()()1f x ax x t R t t x x f x f x a =--∈-+-≥已知函数对任意,在区间存在两个实数，使成立，则的取值范围是（ ）11Α.[,]22- B .[1,1]- (]{}[)C .,101,-∞-⋃⋃+∞{}11D.,0,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭第Ⅱ卷 非选择题（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若对任意的x ∈R ，不等式1221x x a --+≤-恒成立，则实数a 的取值范围为________. 14．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________ 15.已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b s i n )()s i n (s i n 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．16．已知函数22()23,(),1f x x x ag x x =-+=-若对任意1[0,3]x ∈，总存在2[2,3]x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的值为____．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17.(本小题满分10分) 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求函数f (x )的解析式.（2）写出函数f (x )的单调递增区间. (3)当x ∈,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求f (x )的值域. 18．(本小题满分12分)已知a b c ，，分别为ABC △的三内角A ，B ，C 的对边，其面积222602S B a c b ︒==+=，，在等差数列{}n a 中，1a a =，公差d b =．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且*210n n T b n -+=∈N ，．（1）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 19．(本小题满分12分)定义：已知函数()f x 在[],()m n m n <上的最小值为t ，若t m ≤恒成立，则称函数()f x 在[],()m n m n <上具有“”性质．（）判断函数2()22f x x x =-+在[]1,2上是否具有“”性质？说明理由．（）若2()x 2f x ax =-+在[],1a a +上具有“”性质，求的取值范围．20．(本小题满分12分)已知函数()214f x x a x=-+-． （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）设函数()()g x xf x =，讨论()g x 在区间（0，1）上零点的个数．21．(本小题满分12分)已知函数()||f x x m =+(1)m ≥.（1）当2m =时，求不等式()112f x x->-的解集； （2）设1()()g x f x m=-+，记()()()p x f x g x =+，证明：()3p x ≥.22. (本小题满分12分)已知函数()ln 1()xmf x x m R e =+-∈，其中无理数.（1）若函数()f x 有两个极值点，求的取值范围； （2）若函数3211()(2)32x g x x e mx mx =--+的极值点有三个，最小的记为1x ，最大的记为2x ，若12x x 的最大值为1e，求12x x +的最小值.保定一中2019-2020学年第一学期高三年级第二次阶段考试理科数学试卷答案ABBDB CADCD AD(][)12-∞-⋃+∞，，, -6,13-11. 由()()20f x f x -+=可知函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称， 且()()()2f x f x f x -=-=-，所以，()()2f x f x +=，所以，函数()y f x =的周期为2， 由于函数()y f x =为奇函数，则()00f =，则()()240f f ==， 作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象如下图所示：211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q ,11122f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是得出7311222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象可知，函数()y f x =与函数()sin y x π=在区间[]1,m -上从左到右10个交点的横坐标分别为1-、12-、0、12、1、32、2、52、3、72，第11个交点的横坐标为4，因此，实数m 的取值范围是[)3.5,4，故选：A 。