2019年人教版数学初二上学期第十五章知识点总结
2019年人教版数学初二上学期第十五章知识点总结
第十五章 分式
一、知识框架 ：
二、知识清单：
1.分式：形如
A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.
2.分式有意义的条件：分母不等于0.
3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.
4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.
5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.
7.分式的四则运算：
⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：
a b a b c c c
±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分
母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd
±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积
的分母.用字母表示为：a c ac b d bd
⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc
÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b
⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
9.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)；④写出分式方程的解.
11.列分式方程解应用题：①审题，弄清题意；②设未知数，根据题意，设未知数；③根据题意列方程④解方程求出未知数的值⑤检验，看未知数的值是否符合题意，是否符合方程⑥下结论，写出方程的解.。
2019秋人教版八年级数学上册教案：第15章5课题：分式的乘方及乘除、乘方混合运算
1.理论介绍：首先，我们要了解分式乘方及乘除的基本概念。分式乘方是指分式的指数运算，它是我们解决实际问题时的一个重要工具。分式的乘除法则则是进行相关运算的基础，对于简化计算过程和提高解题效率具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用分式乘方及乘除法则来解决实际问题，以及这些规则如何帮助我们简化计算步骤。
（1）分式乘法法则；
（2）分式除法法则。
3.乘方混合运算：学会将分式的乘方与乘除进行混合运算，并能正确求解。
（1）乘方与乘法的混合运算；
（2）乘方与除法的混合运算。
4.应用练习：通过典型例题和练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力：通过分式的乘方及乘除、乘方混合运算的学习，使学生能够运用逻辑思维分析问题，推导出正确的运算步骤，提升推理能力。
-同底数分式乘方的运算，如(a/b)^n的简化方法；
-不同底数分式乘方的运算，如(a/b)^m * (c/d)^n的计算方法。
（2）分式乘除运算的符号处理：学生在进行分式乘除运算时，容易出错，特别是符号的处理。
-分式乘法中，符号变化的处理，如负数与正数相乘的结果；
-分式除法中，符号变化的处理，如负数与正数相除的结果。
其次，在新课讲授环节，我发现学生们对于分式乘方法则和分式乘除法则的理解程度不一。在讲解过程中，我尽量用简单的语言和具体的例子来说明，但仍有部分学生显得有些困惑。为了帮助这部分学生更好地掌握知识，我考虑在课后增加一些针对性的练习题，并对他们进行个别辅导。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现让我印象深刻。他们能够积极思考、主动参与，这让我深感欣慰。但同时，我也注意到有些小组在讨论时，个别成员参与度不高。针对这个问题，我打算在以后的教学中，加强对小组讨论的引导，确保每个学生都能积极参与其中。
人教版八年级数学上册第十五章小结与复习
第15章分式一、选择题：（每小题3分，共30分）二、1．下列各式2ba -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2．如果分式242--x x 的值等于0，那么（ ）A.2±=xB.2=xC.2-=xD.2≠x3．与分式b a ba --+-相等的是（ ） A.b a b a -+ B.b a b a +- C.b a b a -+- D.b a ba+--4．若把分式xy yx 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A ．扩大3倍B ．不变C ．缩小3倍D ．缩小6倍5．化简2293m mm --的结果是（ ） A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m m-36．下列算式中，你认为正确的是( )A ． 1-=---a b a b a b B. 11=⨯÷ba ab C ．3131a a -= D ． b a b a b a b a +=--⋅+1)(1222 7．甲乙两个码头相距s 千米，某船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（ ）小时. A.b a s +2 B.b a s -2 C.b s a s + D.ba sb a s -++ 8．甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x 棵，则根据题意得出的方程是（ ）A ．80705x x =- B ．80705x x =+ C ．80705x x =+ D ．80705x x =- 9．分式方程214111x x x +-=--若有增根，则增根可能是（ ） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．010．若三角形三边分别为a 、b 、c ，且分式ca b bc ac ab --+-2的值为0，则此三角形一定是（ ） A. 不等边三角形 B. 腰与底边不等的等腰三角形C. 等边三角形D. 直角三角形二、填空题：（每空2分，共18分）11．当x ________时,分式x x2121-+有意义．12．利用分式的基本性质填空：（1）())0(,10 53≠=a axy xy a （2）() 1422=-+a a13．计算：=+-+3932a a a __________．14. 计算：ab ba b ab -÷-)(2＝ .15. 分式ab b a 65,43,322的最简公分母是 ．16. 当x= 时，分式x x+-51的值等于21 .17. 生物学家发现一种病毒的长度约为0.000 043毫米，用科学记数法表示为_____________米. 18. 已知311=-y x ，则分式y xy x yxy x ---+2232的值为 ___ ．三、解答题：（每题5分，共25分）19.计算：（1） x y y x y x y x -+-+-+2122 （2） 22222)(ab a ab b ab a a ab -⋅+-÷-（3） 1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x xx（4）32232)()2(b a c ab ---÷20. 先化简，再求值：x x x x x x11132-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--，其中2=x ．四、解分式方程：（每题6分，共12分） 21. 87176=-+--x x x 22. 1412112-=-++x x x五、列方程解应用题：（每题6分，共12分）23. 某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了5小时，问原计划每小时加工多少个零件？24. 学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定期限内完成．如果由甲工程小组做，恰好如期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定期限3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定期限内完成，问规定期限是几天？六、解答题：（共3分）25．m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根．答案：1、C2、C3、B4、C5、B6、D7、D8、D9、C 10、B11、21≠x 12、（1）26a （2）2-a 13、3-a 14、2ab 15、b a 212 16、 -117、8103.4-⨯ 18、 5319、 （1）0 （2）b - （3） 1 （4） 7644b c a20、 42+x 21、822、 7=x 是增根，原方程无解。
人教版 八年级上册数学 第十五章 分式实际应用题 综合复习(五)(含答案)
第十五章分式实际应用题综合复习（五）1．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？2．2020年1月份，为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为40元，用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同．（1）求每袋甲种、乙种口罩的进价分别是多少元？（2）该药店计划购进甲、乙两种口罩共480袋，其中甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数的，药店决定此次进货的总资金不超过10000元，求商场共有几种进货方案？3．某商场家电专柜购进一批甲，乙两种电器，甲种电器共用了10 350元，乙种电器共用了9 600元，甲种电器的件数是乙种电器的1.5倍，甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少90元．（1）甲、乙两种电器各购进多少件？（2）商场购进两种电器后，按进价提高40%后标价销售，很快全部售完，求售完这批电器商场共获利多少元？4．疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题：（1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？5．列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2019年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2019 年地铁每小时客运量是2012年地铁每小时客运量的4倍，2019年客运240万人所用的时间比2012年客运240万人所用的时间少30小时，求2019年地铁每小时的客运量？6．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？7．甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等．求甲、乙每小时各做多少个零件？8．列分式方程解应用题某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．9．潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元．（1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？（2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？10．城都地铁17号线正在建设汇总，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）若甲队参加该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？参考答案1．解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．2．解：（1）设甲种口罩进价x元/袋，则乙种口罩进价为（40﹣x）元/袋，依题意有＝，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解，则40﹣x＝25．故甲种口罩进价15元/袋，则乙种口罩进价为25元/袋；（2）设购进甲种口罩y袋，则购进乙种口罩（480﹣y）袋，依题意有，解得200≤y＜204．因为y是整数，甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数，所以y取200，201，202，203，共有4种方案．3．解：（1）设乙种电器购进x件，则甲种电器购进1.5x件，根据题意得：，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝45．答：甲种电器购进45件，乙种电器购进30件．（2）（10350+9600）×40%＝7980（元）．答：售完这批电器商场共获利7980元．4．（1）设购进的第一批医用口罩有x包，则＝﹣0.5．解得：x＝2000．经检验x＝2000是原方程的根并符合实际意义．答：购进的第一批医用口罩有2000包；（2）设药店销售该口罩每包的售价是y元，则由题意得：[2000+2000（1+50%）]y﹣4000﹣7500≤3500．解得：y≤3．答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元．5．解：设2002年地铁每小时客运量x万人，则2017年地铁每小时客运量4x万人，由题意得，解得x＝6，经检验x＝6是分式方程的解，答：2017年每小时客运量24万人．6．解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意，得＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．由题意得：3y﹣5+y≤95．解得y≤25．答：商场最多购进乙商品25个；（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，解得：y≥23．∵y为整数，y≤25，∴y＝24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．7．解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据题意得：，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，∴x+6＝18．答：乙每小时做12个零件，甲每小时做18个零件．8．解：设甲车的平均速度是x千米/时，则乙车的平均速度是1.2x千米/时，根据题意，得＝+，解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的解，此时1.2x＝72．答：乙车的平均速度是72千米/时．9．解：（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购x千克茶叶，则第二次购进2x千克茶叶，根据题意得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，∴2x+x＝2×200+200＝600．答：凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶600千克．（2）设每千克茶叶售价y元，根据题意得：600y﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%，解得：y≥200．答：每千克茶叶的售价至少是200元．10．解：（1）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，∵甲队单独施工30天完成该项工程的，∴甲队单独施工180天完成该项工程，根据题意可得：+15（+）＝1，解得：x＝20，检验得：x＝20是原方程的根，答：乙队单独施工，需要20天才能完成该项工程；（2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：×36+y×≥1，解得：y≥16，答：乙队至少施工16天才能完成该项工程．。
2019秋人教版八年级数学上册习题课件：第15章 15.3 第2课时 分式方程的应用
解：在不耽误工期的情况下只能选择方案(1)或(3)．设工期为 x 天，则甲队 单独完成需 x 天，乙队单独完成需(x＋5)天，由题意得：4x＋x＋x 5＝1，解得 x＝20，经检验 x＝20 是原方程的解，且符合题意，则方案(1)需工程款 1.5×20 ＝30(万元)，方案(3)需工程款 1.5×4＋1.1×20＝28(万元)，∵28＜30，∴在 不耽误工期的情况下，方案(3)最省工程款．
知识点三：百分率问题
3．(舟山中考)甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测 20 个，甲 检测 300 个比乙检测 200 个所用的时间少 10%，若设甲每小时检测 x 个， 则根据题意，可列出方程： 3x00＝x2－0020×(1－10%) ．
知识点四：商品销售问题 4．(广东中考)某公司购买了一批 A、B 型芯片，其中 A 型芯片的单价比 B 型芯片的单价少 9 元，已知该公司用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用 4200 元购买 B 型芯片的条数相等． (1)求该公司购买的 A、B 型芯片的单价各是多少元？ (2)若两种芯片共购买了 200 条，且购买的总费用为 6280 元，求购买了多少 条 A 型芯片？
【规范解答】(1)设 B 型机器人每小时搬运 x 千克材料，则 A 型机器人每小 时搬运(x＋30)千克材料．根据题意，得x1＋00300＝8x00.解得 x＝120.经检验，x ＝120 是原方程的解，且符合题意．当 x＝120 时，x＋30＝150.答：A 型机 器人每小时搬运 150 千克材料，B 型机器人每小时搬运 120 千克材料； (2)设购进 A 型机器人 a 台，则购进 B 型机器人(20－a)台．根据题意，得 150a ＋120(20－a)≥2800.解得 a≥430.∵a 是整数，∴a≥14.答：至少购进 A 型机 器人 14 台.
人教版数学八年级上册 第十五章 小结与复习
6. 分式的通分： 通分的定义 解据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成
与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
最简公分母的定义 为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所
有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
二、分式的运算 1. 分式的乘除法则：
2. 分式的乘方法则： 3. 分式的加减法则： (1) 同分母分式的加减法则：
解：设购买杂酱面 x 份，则购买牛肉面 (170 - x) 份， 由题意知，15x + 20×(170 - x) = 3000， 解得 x = 80. ∴ 170 - x = 90.
∴ 购买杂酱面 80 份，购买牛肉面 90 份.
(2) 由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司 分别花费 1260 元，1200 元一次性购买杂酱面，牛肉面 两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多 50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少 6 元，求购买 牛肉面多少份?
分式方程
去分母 整式方程
解整式方程
x = a 是分式 方程的解
x=a
最简公分 母不为0
检验
最简公 分母为0
x = a 不是 分式方程
的解
3. 分式方程解决实际问题的基本过程： 设：未__知__数___ 解：分__式__方__程_
审
设
列
解
验
答
列：_分__式__方__程__ 检验:1.是__否__是__分__式__方__程__的__解__； 2.___是__否_符__合__题__意__
(2) 方程两边同乘最简公分母 x + 1，得 x - 4 = 2x + 2 - 3. 解得 x = -3.
检验：当 x = -3 时， x + 1≠0， 所以原方程的解是 x = -3 .
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和典型题型
.
12 xy
（ 1） 2 3 1x 1 y 34
0.2a 0.03b （2）
0.04a b
题型二：分数的系数变号
【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号
.
（ 1） x y xy
（ 2）
a
ab
（3） a b
题型三：化简求值题
【例 3】已知： 1 1 5 ，求 2x 3xy 2 y 的值 .
b
:
c
bc a
0
aa a
2. 异分母加减法则
b
:
d
bc da
bc
da a
0, c
0;
a c ac ac ac
【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.
（1） x 1 x3
|x| 2 （ 2） x2 4
x2 2x 3 （ 3） x2 5x 6
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例 4】（ 1）当 x 为何值时，分式 4 为正； 8x
“实际问题 ———
【例 1】下列代数式中：
x1
a b x2
, x y,
,
y2 x ,
y ，是分式的有：
.
2
ab x y x y
分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对
题型二：考查分式有意义的条件
培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法
式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程
（一）、分式定义及有关题型
的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．
人教版八年级数学上册第十五章分式 教材分析
观察题目 特征
分子分母同时 做因式分解
2x 6 2 x2 2x 3 (x 1)
依据分式的基 本性质进行恒
等变形
3、约分：
（1）约分的目的————化为最简分式 （2）约分的关键————寻找公因式 （3）约分的依据————分式的基本性质 （4）分式的分子、分母是单项式时，公因式是 它们系数的最大公约数与公有字母的最低次幂的 积 （5）分式的分子、分母是多项式时，先进行因 式分解，然后再约分
• 本章既是对前面所学知识的巩固，又是在新 情境中学习能力的体现，所以在教学中要注 意知识的衔接.
二、本章主要内容、重点、难点及数学思想
1、重点：本章学习的重点是分式的四则运算， 它是整式四则运算的进一步发展，是代数 式恒等变形的重要内容之一．
（1）分式的基本性质是本章学习的重点 （2）分式的四则运算是本章的重点内容 （3）注意类比学习方法的掌握
（5）含有乘除混合运算时，要注意运算顺序，要先统一为乘 法运算.
五、2019年中考说明中对分式提出的要求
考试要求层次
考试内容
A
B
C
能用分式的基本性质进行约
分和通分会进行简单的分式
分式 了解分式和最简分式 加、减、乘、除运算；会选
用恰当方法解决与分式有关
的问题
Hale Waihona Puke 数与了解整数指数幂的意 能用整数指数的幂性质进行
幂的运算
数与代 式
义和基本性质
相关的运算
数
会求代数式的值；能根据代 运用适当的知识和方
学建模思想。
为解决“最后一公里”的交通接驳问
题，北京市投放了大量公租自行车 供市民使用．到2013年底，全市已 有公租自行车25 000辆，租赁点600 个．预计到2015年底，全市将有公 租自行车50 000辆，并且平均每个 租赁点的公租自行车数量是2013年
人教版初二数学知识点归纳总结
2019人教版初二数学知识点归纳总结数学是被很多人称之拦路虎的一门科目，同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺，为此小编为大家整理了2019人教版初二数学知识点归纳总结，希望能够帮助到大家。
91圆是定点的距离等于定长的点的集合92圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合93圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合94同圆或等圆的半径相等95到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆96和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线97到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线98到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线99定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
100垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧101推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧102推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等103圆是以圆心为对称中心的中心对称图形104定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等105推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
106定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
2019年人教版数学初二上学期第十五章知识点总结
2019年人教版数学初二上学期第十五章知识点总结第十五章分式一、知识框架：二、知识清单：1.分式：形如AB，A B、是整式，B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.9.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)；④写出分式方程的解.11.列分式方程解应用题：①审题，弄清题意；②设未知数，根据题意，设未知数；③根据题意列方程④解方程求出未知数的值⑤检验，看未知数的值是否符合题意，是否符合方程⑥下结论，写出方程的解.。
人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．将分式2+x x y中的x ，y 的做同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．缩小到原来的13C ．保持不变D ．无法确定2．下列命题中，属于真命题的是（ ）A ．如果0ab =，那么0a =B ．253xx x-是最简分式 C ．直角三角形的两个锐角互余 D ．不是对顶角的两个角不相等3．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-4．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（ ）A ．6000600052x x -= B ．6000600052x x -= C ．6000600052x x -=+ D ．6000600052x x-=+ 5．如果a ，b ，c ，d 是正数，且满足a +b +c +d =2，11a b c b c d ++++++11a c d ab d+++++=4，那么d a a b c b c d ++++++b ca c d ab d+++++的值为（ ）A ．1B ．12C ．0D ．46．如果分式11m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =±D ．0m =7．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．若x 2y 5=，则x y y+的值为（ ） A ．25 B ．72C ．57D ．759．计算2m m 1m m-1+-的结果是（ ） A ．mB ．－mC ．m ＋1D ．m －110．大爱无疆，在爆发新冠病毒疫情后，甲，乙两家单位分别组织了员工捐款．已知甲单位捐款7500元，乙单位捐款9800元，甲单位捐款人数比乙单位少10人，且甲单位人均捐款额比乙单位多20元，若设甲单位的捐款人数为x ，则可列方程为（ ） A ．7500980020x x 10-=- B ．9800750020x 10x-=- C ．7500980020x x 10-=+D ．9800750020x 10x-=+ 11．下列式子的变形正确的是（ ）A ．22b b a a=B ．22+++a b a b a b=C ．2422x y x yx x --=D ．22m nn m-=- 12．3333x a a y x y y x+--+++等于（ ） A ．33x y x y-+B ．x y -C ．22x xy y -+D ．22xy +13．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）A ．102x x x -<<B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<<14．计算a ba b a÷⨯的结果是（） A ．a B ．2aC ．2b aD ．21a 15．化简214a 2a 4---的结果为（ ） A ．1a 2+ B ．a 2+C ．1a 2- D ．a 2-二、填空题16．已知5,3a b ab -==，则b aa b+的值是__________． 17．席卷全世界的新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，它的身高（直径）约为0.0000012米，将数0.0000012用科学记数法表示为_________．18．已知13x x-=，则21x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．19．若关于x 的方程1322m x x x-+=--的解是正数，则m =____________． 20．101()()2π-+-=______，011(3.14)2--++＝______． 21．化简分式：2121211a a a a +⎛⎫÷+= ⎪-+-⎝⎭_________．22．下列计算：①3100.0001-=；②()00.00011=；③()()352x x x --÷-=-；④22133a a-=；⑤()()321m m mm a a a -÷=-．其中运算正确的有______．（填序号即可）23．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Min{,}a b 表示a ，b 中的较小的值，如Min{3,4}3=，按照这个规定，方程135Min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_____________．24．计算：11|1|3-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 25．计算3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的结果是________．26．某工人现在平均每天比原计划多做20个零件，现在做4000个零件和原来做3000个零件的时间相同，问现在平均每天做______个零件．三、解答题27．某社区为了落实“惠民工程”，计划将社区的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？28．某快餐店欲购进A ，B 两种型号的餐盘，每个A 种型号的餐盘比每个B 种型号的餐盘费用多5元，且用120元购进的A 种型号的餐盘与用90元购进的B 种型号的餐盘的数量相同．（1）问A ，B 两种型号的餐盘单价为多少元？（2）若该快餐店决定在成本不超过1900元的前提下购进A ，B 两种型号的餐盘100个，则最多购进A 种型号餐盘多少个？29．鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队单独施工a 天，再由甲、乙两工程队合作______天（用含有a 的代数式表示）可完成此项工程．（3）现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？ 30．计算 （1）2152224-⨯+÷； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭；（3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦； （4）()()()3323231333xx x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭．。