2019年最新陕西省高考数学全真模拟试卷(理科)及答案解析
陕西省榆林市2019届高三第三次模拟测试数学(理科)答案
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2019年陕西省西安市高考数学一模试卷和答案(理科)
2019年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x||x|＜1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U（M∪N）＝（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）在复平面内，复数z＝1﹣i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 4．（5分）（x2+x+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）A．﹣3B．﹣2C．2D．35．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7．（5分）若直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定8．（5分）已知函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a18），则{a n}的前21项之和为（）A．0B．C．21D．429．（5分）△ABC中，BC＝2，AC＝3，，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，B（0，2b），若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为（）A．B．2C．D．312．（5分）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g 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x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系及参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos （）＝．（1）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；（2）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求||+||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣a|．（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）设函数g（x）＝|x+1|．当x∈R时，f（x）+g（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．2019年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x||x|＜1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U（M∪N）＝（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵M＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}．又∵U＝R，M∪N＝{x|x＞﹣1}，∴∁U（M∪N）＝（﹣∞，﹣1]．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数z＝1﹣i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z＝1﹣i对应的向量为，复数z2＝﹣2i对应的向量为，则向量对应的复数为：﹣2i﹣（1﹣i）＝﹣1﹣i．故选：D．3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．4．（5分）（x2+x+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【解答】解：∵（x2+x+2）（﹣1）5＝（x2+x+2）（x﹣10﹣5x﹣8+10x﹣6﹣10x﹣4+5x﹣2﹣1），∴展开式的常数项是5﹣2＝3，故选：D．5．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：令函数＝0，则x＝0，或x＝，即函数有两个零点，故排除B；当0＜x＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由＝0，可排除D，故选：A．6．（5分）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【解答】解：最前排甲，共有＝120种，最前只排乙，最后不能排甲，有＝96种，根据加法原理可得，共有120+96＝216种．故选：B．7．（5分）若直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径r＝1，直线l：ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1无交点，则圆心C到直线的距离d＝＞1，变形可得：a2+b2＜1，即（a﹣0）2+（b﹣0）2＜1，则点P（b，a）一定在圆的内部；故选：C．8．（5分）已知函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a18），则{a n}的前21项之和为（）A．0B．C．21D．42【解答】解：函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，可得y＝f（x）的图象关于x＝1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a18），可得a4+a18＝2，又{a n}是等差数列，所以a1+a21＝a4+a18＝2，可得数列的前25项和S21＝＝21，则{a n}的前21项之和为21．故选：C．9．（5分）△ABC中，BC＝2，AC＝3，，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵BC＝2，AC＝3，，∴由余弦定理可得：AB＝＝＝3，∵sin∠BCA＝＝，∴设△ABC外接圆的半径为R，可得：2R＝＝，解得：R＝，∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝．故选：C．10．（5分）已知A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π【解答】解：∵A，B，C在球O的球面上，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，∴BC为△ABC外接圆的直径，又∵直线OA与平面ABC成30°角则球的半径R＝＝故球的表面积S＝4×π×（）2＝π故选：D．11．（5分）设F为双曲线C：的右焦点，B（0，2b），若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：F为双曲线C：的右焦点F（c，0），B（0，2b），若直线FB与C的一条渐近线垂直，可得：得：＝3，可得2b2＝3ac，即2c2﹣2a2＝3ac，可得2e2﹣3e﹣2＝0，e＞1，解得e＝2．故选：B．12．（5分）设函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g （b）＝0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【解答】解：①由于y＝e x及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y＝e x，y＝2﹣x的图象，∵f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，f（a）＝0，∴0＜a＜1．同理g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（）＝，g（b）＝0，∴．∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，f（b）＝e b+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为60°，，，则＝1．【解答】解：∵，，∴＝＝9，则＝1．故答案为：114．（5分）设曲线y＝a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，0）处的切线方程为y＝2x﹣4，则a ＝3．【解答】解：y＝a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）的导数为：y′＝a﹣，在点（2，0）处的切线斜率为a﹣1＝2，解得a＝3，故答案为：3．15．（5分）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为2．【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）＝sin（ax+b），则函数的周期相同，若a＝3，此时sin（3x﹣）＝sin（3x+b），此时b＝﹣+2π＝，若a＝﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）＝sin（﹣3x+b）＝﹣sin（3x﹣b）＝sin（3x﹣b+π），则﹣＝﹣b+π，则b＝，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故答案为：2．16．（5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝3，则线段AB的中点到准线的距离为．【解答】解：∵F是抛物线y2＝x的焦点F（，0）准线方程x＝﹣设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|＝x1++x2+＝3解得x1+x2＝∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到准线的距离为+＝故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一)必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求b n的通项公式．【解答】（1）证明：由题意，∵S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．整理，化简得：．①当n＝1时，，解得：a1＝t．②当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝＝，整理，化简得：a n＝ta n﹣1．∴{a n}成首项为t，公比为t的等比数列．（2）解：由（1）可知：∴＝．∵数列{b n}为等比数列，，∴∴＝．18．（12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如表：（1）判断是否有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为X，求X的分布列、数学期望．（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（1）由公式：K2＝≈11.978＞10.828．∴有99.9%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．（2）随机变量X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布为：∴E（X）＝＝0.9．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面P AB是正三角形，AB＝2，BC＝，PC＝．（1）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（2）若E为P A中点，求二面角E﹣BD﹣A的大小．【解答】（1）证明：∵△P AB是正三角形，∴PB＝AB＝2，又∵BC＝，PC＝，∴PB2+BC2＝PC2，∴BC⊥PB，∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又PB∩AB＝B，∴BC⊥平面P AB，又BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面P AB．（2）取AB的中点H，连接PH，则PH⊥AB，∵平面ABCD⊥平面P AB，平面ABCD∩平面P AB＝AB，∴PH⊥平面ABCD，以H为原点，以HA，HP和AB过H的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），P（0，0，），D（1，，0），E（，0，），∴＝（，0，），＝（2，，0），设平面EBD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1可得＝（1，﹣，﹣），又＝（0，0，）为平面ABCD的一个法向量，∴cos＜＞＝＝＝﹣，由图形可知二面角E﹣BD﹣A为锐二面角，∴二面角E﹣BD﹣A的大小．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为，离心率为，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0）．（1）求椭圆C的方程；（2）求y0的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C：的短轴长为，离心率为，∴，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的方程为+＝1，（2）当MN⊥x轴时，显然y0＝0．当MN与x轴不垂直时，由右焦点为（1，0），可设直线MN的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则x1+x2＝．则x3＝＝，y3＝k（x3﹣1）＝﹣．线段MN的垂直平分线方程为y+＝﹣（x﹣）．在上述方程中令x＝0，得y0＝＝．当k＜0时，4k+＜﹣4；当k＞0时，4k+≥4．所以﹣≤y0＜0，或0＜y0≤．综上：y0的取值范围是[﹣，]．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+px﹣﹣2lnx．（1）若p＞0，且函数F（x）＝f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（2）设函数g（x）＝e x+，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．【解答】解：（1）F（x）＝f（x）﹣e x＝px﹣﹣2lnx．定义域为（0，+∞）．F′（x）＝p+﹣＝．∵函数F（x）＝f（x）﹣e x在其定义域内为增函数，∴F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．∴px2﹣2x+p≥0，化为：p≥，对任意x＞0恒成立．设h（x）＝，（x＞0）．h′（x）＝，可得函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴h（x）max＝h（1）＝1，∴p≥1．∴实数p的取值范围是[1，+∞）．（2）令u（x）＝f（x）﹣g（x）＝px﹣﹣2lnx．x∈[1，e]．∵在x∈[1，e]上至少存在一点x0，u（x0）＞0，⇔u（x）max＞0，x∈[1，e]．u′（x）＝p+﹣＝．①当p＝0时，u′（x）＝≥0，则u（x）在x∈[1，e]上单调递增，u（x）max＝u（e）＝﹣4＜0，舍去．②当p＜0时，u（x）＝p（x﹣）﹣﹣2lnx．∵x∈[1，e]，∴x﹣≥0，＞0，lnx＞0．∴u（x）＜0，舍去．③当p＞0时，u′（x）＝＞0，则u（x）在x∈[1，e]上单调递增，u（x）max＝u（e）＝pe﹣﹣4＞0，化为：p＞．综上可得：p∈．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系及参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos （）＝．（1）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；（2）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求||+||的值．【解答】解：（1）∵曲线C2的极坐标方程为ρcos（）＝，∴ρcosθ﹣ρsinθ＝2，∴曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0，∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴P（3cosα，sinα），∴|OP|＝＝，∴曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值为|OP|max＝3．（2）由（1）知直线x﹣y﹣2＝0与x轴交点E的坐标为（2，0），曲线C2的参数方程为，（t为参数），曲线C1的直角坐标方程为＝1，联立，得：﹣5＝0，∵||+||＝|t1|+|t2|，∴||+||＝|t1﹣t2|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣a|．（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）设函数g（x）＝|x+1|．当x∈R时，f（x）+g（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）当a＝4时，f（x）＝|3x﹣4|．由|3x﹣4|＜3，解得．所以，不等式f（x）＜3的解集为．（Ⅱ）f（x）+g（x）＝|3x﹣a|+|x+1|＝＝（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）＝．综上，当时，f（x）+g（x）有最小值．故由题意得，解得a＜﹣6，或a＞0．所以，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．。
陕西省2019届高三第一次模拟联考理科数学试卷附答案解析
陕西省2019届高三第一次模拟联考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，直接运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.复数的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将复数化成形式，再求模。
【详解】所以模是故选D.【点睛】本题考查复数的计算，解题的关键是将复数化成形式，属于简单题。
3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简单的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中判断几何体的形状与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件，即可结束循环，得到答案．【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点睛】本题主要考查了循环框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，逐次循环，注意判断框的条件的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
2019年陕西省高考数学全真模拟试卷(理科)
2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．74．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥05．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．170219．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．110．5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．9011．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x 轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(),0a t =r ，()1,3b =-r，若4a b ⋅=r r ，则2a b -=r r ． 14．若()52132x a x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为80，则a = ．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为 ．16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点4,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，射线,MO NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点,A B ，若,,A B F 三点共线，则p = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知正项数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，且12,9,a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18． 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口()1,2,3,4k A k =.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为34，摔倒的概率均为14.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用X 表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后，在最后一圈顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求X 的分布列及数学期望()E X .19． 如图，在三棱锥P ABC -中，D 为棱PA 上的任意一点，,,F G H 分别为所在棱的中点.（1）证明：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，45BAC ∠=︒，当二面角C GF H --的平面角为3π时，求棱PC 的长.20． 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，且b =，圆()222:0O x y r r +=>与x 轴交于点,,M N P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点,A B ，求AB 的取值范围.21． 已知函数()()326,f x x x ax b a b =-++∈R 的图象在与x 轴的交点处的切线方程为918y x =-. （1）求()f x 的解析式； （2）若()()212910kx x f x x k -<<+对()2,5x ∈恒成立，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为3cos ρθ=. （1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，()5,0A ，若点P 到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求ACP ∠的大小.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3121f x x x a =--++. （1）求不等式()f x a >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，求a 的取值范围.2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集确定出集合P，取集合Q中解集的整数解确定出集合Q，然后找出既属于P又属于Q的元素即可确定出两集合的交集．【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9＜0，解得：﹣3＜x＜3，∴集合P={x|﹣3＜x＜3}；由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整数为﹣1，0，1，2，3，∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q={﹣1，0，1，2}．故选D【点评】此题属于以不等式解集为平台，考查了交集的元素，是一道基础题，也是高考中常考的题型．3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．7【考点】两角和与差的正切函数；弦切互化．【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案．【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢p为：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0故选：D【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．5．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S+2）（S3+2）1代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0代入可得sin（φ）=0，从而可求答案．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）的图象关于原点对称∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0∴sin（φ）=0∴φ=kπ∴φ=故选：D【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量．8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以的最小值是．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．10．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90【考点】二项式系数的性质．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，令5【分析】（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1﹣r=2，解得r=3．展开（x2+3x）3，进而得出．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，【解答】解：（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1令5﹣r=2，解得r=3．∴（x2+3x）3=x6+3（x2）2•3x+3（x2）×（3x）2+（3x）3，∴x5y2的系数=×9=90．故选：D．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：根据积分的知识可得，y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积=等式组表示平面区域D即为△AOB，其面积为根据几何概率的计算公式可得P=故选：C【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D ．f （2﹣x 1）≤f （2﹣x 2）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】①若函数f （x ）为常数，可得当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，可得y=f （x ）关于x=1对称．当x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|可得f （x 1）＞f （x 2）．当x 1＜1，x 2＜1时，同理可得f （x 1）＞f （x 2）．综合①②得出结论．【解答】解：①若f （x ）=c ，则f'（x ）=0，此时（x ﹣1）f'（x ）≤0和y=f （x +1）为偶函数都成立，此时当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，因为函数y=f （x +1）为偶函数，所以y=f （x +1）=f （﹣x +1）， 即函数y=f （x ）关于x=1对称，所以f （2﹣x 1）=f （x 1），f （2﹣x 2）=f （x 2）． 当x ＞1时，f'（x ）≤0，此时函数y=f （x ）单调递减，当x ＜1时，f'（x ）≥0，此时函数y=f （x ）单调递增．若x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得x 1﹣1＜x 2﹣1，即1≤x 1＜x 2，所以f （x 1）＞f （x 2）．同理若x 1＜1，x 2＜1，由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得﹣（x 1﹣1）＜﹣（x 2﹣1），即x 2＜x 1＜1，所以f （x 1）＞f （x 2）．若x 1，x 2中一个大于1，一个小于1，不妨设x 1＜1，x 2≥1，则﹣（x 1﹣1）＜x 2﹣1， 可得1＜2﹣x 1＜x 2，所以f （2﹣x 1）＞f （x 2），即f （x 1）＞f （x 2）． 综上有f （x 1）＞f （x 2），即f （2﹣x 1）＞f （2﹣x 2）， 故选A ．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题13．()2,6-- 14．-2 15．3216．2 三、解答题17．解：（1）因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，所以212233a a -=， 则21318a a =+，又12,9,a a 成等比数列，所以()212113189a a a a =+=，解得13a =或19a =-，因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为正项数列，所以13a =.所以()3212133n n a n n =+-=-， 故()213n n a n =-⋅.（2）由（1）得()21333213n n S n =⨯+⨯++-⋅L ， 所以()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅L ，所以()231332333213n n n n S S n +⎡⎤-=+⨯+++--⋅⎣⎦L ，即()2133323221313n n n S n +-⨯-=+⨯--⋅-()1136123n n n ++=-+-⋅()12236n n +=-⋅-， 故()1133n n S n +=-⋅+.18．解：（1）由题意可知：3312744256P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）X 的所有可能值为0,1,2,3,4.则()()31,2,3,44k P A k ==，且1234,,,A A A A 相互独立. 故()()1104P X P A ===，()()121P X P A A ==⋅=3134416⨯=，()()1232P X P A A A ==⋅⋅=23194464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12343P X P A A A A ==⋅⋅⋅=3312744256⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12344P X P A A A A ==⋅⋅⋅=43814256⎛⎫=⎪⎝⎭.从而X 的分布列为所以()139********E X =⨯+⨯+⨯+278152534256256256⨯+⨯=.19．（1）证明：因为,G H 分别为,AC BC 的中点， 所以AB GH ∥，且GH ⊂平面FGH ，AB ⊄平面FGH ，所以AB ∥平面FGH .又因为,F G 分别为,PC AC 的中点，所以有GF AP ∥，FG ⊂平面FGH ， 且AP ⊄平面FGH ，所以AP ∥平面FGH . 又因为AP AB A =I ，所以平面ABP ∥平面FGH . 因为BD ⊂平面ABP ，所以BD ∥平面FGH .（2）解：在平面ABC 内过点C 作CM AB ∥，如图所示，以C 为原点，,,CB CM CF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -.由ABC ∆为等腰直角三角形知BG AC ⊥，又BG C F ⊥，AC CF C =I ，所以有BG ⊥平面PAC .设CF a =，则()2,0,0B ，()1,1,0G -，所以()1,1,0BG =--uuu r为平面PAC 的一个法向量.又()0,0,F a ，()1,0,0H ，所以()1,0,FH a =-uuu r ，()1,1,FG a =--uuu r，设(),,m x y z =u r 为平面FGH 的一个法向量，则有0m FH m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uu u r，即有0x az x y az -=⎧⎨--=⎩，所以可取(),0,1m a =u r .由1cos ,2m BG ==u r uu u r，得1a =，从而22a =. 所以棱PC 的长为2.20．解：（1）因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以，22214r c a ==. 设()00,P x y ，则0b x b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=， 当0y b =时，()max 12PMN S ab ∆== 由①，②解得2a =，所以b =1c =，所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3AB =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x kx m +，()22,B x kx m +.因为直线l1=，即221m k =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=， ()224843k m ∆=+-=()248320k +>，122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+.AB ===24k+=令2134t k =+，则214034t k <=≤+，所以AB =，403t <≤，所以AB =33AB <≤.综上，AB 的取值范围是⎛ ⎝⎦.21．解：（1）由9180x -=得2x =，∴切点为()2,0. ∵()2312f x x x a '=-+，∴()2129f a '=-=，∴21a =，又()282420f a b =-++=，∴26b =-，()3262126f x x x x =-+-. （2）由()9f x x k <+得()9k f x x >-=3262126x x x -+-，设()3261226g x x x x =-+-，()()2344g x x x '=-+=()2320x ->对()2,5x ∈恒成立，∴()g x 在()2,5上单调递增，∴()59k g ≥=.∵()()32612892f x x x x x =-+-+-=()()3292x x -+-，∴由()()21210kx x f x -<对()2,5x ∈恒成立得()129102x k x x x -<+-213212x x x -=+-对()2,5x ∈恒成立，设()()21321252x h x x x x -=+<<-，()()22213132x x h x x x -+'=-， 当25x <<时，213130x x -+<，∴()0h x '<，∴()h x 单调递减，∴()165105k h ≤=，即12k ≤. 综上，k 的取值范围为[]9,12.22．解：（1）∵3cos ρθ=，∴23cos ρρθ=，∴223x y x +=，即223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴圆C 的参数方程为33cos ,223sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）.（2）由（1）可设333cos ,sin 222P θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[)0,2θπ∈，sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0y -+=， 则P到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=3sin 23πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin 03πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵[)0,2θπ∈，∴3πθ=或43π，故3ACP π∠=或23ACP π∠=. 23．解：（1）由()f x a >，得3121x x ->+， 不等式两边同时平方得，22961441x x x x -+>++， 即2510x x >，解得0x <或2x >.所以不等式()f x a >的解集为()(),02,-∞+∞U .（2）设()3121g x x x =--+=12,2115,2312,3x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，作出()g x 的图象，如图所示，因为()()020g g ==，()()()34213g g g <=<-=， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，所以()()30,40,f f <⎧⎪⎨≥⎪⎩即1020a a +<⎧⎨+≥⎩，故a 的取值范围为[)2,1--.。
陕西省延安市2019届高三高考模拟试卷(一)理科数学及解析
………○…………_________班级：________………○…………陕西省延安市2019届高三高考模拟试卷（一）理科数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数z 满足()1i 2z +=，则复数z 的虚部为 A. 1 B. 1- C. i D. i -2.已知集合A ={y|y =2x ，x ∈R }，B ={x |y =lg (2−x ) }则A ∩B =（ ）A. (0，2)B. (−∞，2]C. (−∞，2)D. (0，2]3.AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 指数值为201.则下列叙述正确的是（ ）A. 这12天的AQI 指数值的中位数是90B. 12天中超过7天空气质量“优良”C. 从3月4日到9日,空气质量越来越好D. 这12天的AQI 指数值的平均值为100 4.已知向量()()()2,3,,4,a b x a a b ==⊥-则x = ( ) A. 1 B.12C. 2D. 3 5.已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面.下列说法正确的是（ ） A. 若m//α，n//α，则m//n B. 若m ⊥α，n ⊥α，则m//n C. 若m⊥α，m ⊥n ，则n//αD. 若m//α，m⊥n ，则n ⊥α6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（ ）答案第2页，总17页……○…………线…………○题※※……○…………线…………○A. 5B. 4C. 3D. 2 7.函数f (x )=√3sin (2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则φ等于（ ） A. π6B. −π6C. π3D. −π38.已知a 为常数，a =∫2xdx 10，则(√x −a x )6的展开式中的常数项是（ ） A. 10B. 12C. 15D. 169.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆()2244x y -+=相切，则该双曲线的离心率为（ ） 3210.设函数f (x )(x ∈R )满足f (x +π)=f (x )+sinx,，当o ≤x <π，f (x )=0，则f (23π6)=（ ） A. 12B. √32C. 0D. −1211.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为√3，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A. 6πB. 7πC. 8πD. 9π12.已知函数f (x )=|lg (x −1)|，若1<a <b 且f (a )=f (b )，则实数2a +b 的取值范围是（ ）A. [3+2√2，+∞)B. (3+2√2，+∞)…外…………○…学校:…内…………○… C. [6，+∞) D. (6，+∞)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.在ΔABC 中，若AB=√13，BC =3，∠C =120°，则AC =_____．14.已知实数x,y 满足不等式组{x −3y +5≥02x +y −4≤0y +2≥0，则z =x +y 是最小值为 _____.15.甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科A ，B ，C ，已知： ①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作； ②在延安工作的教师不教C 学科； ③在咸阳工作的教师教A 学科； ④乙不教B 学科.可以判断乙工作的地方和教的学科分别是______、_____． 16.已知抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若|AF |=23，|BF |=2，则p=______．三、解答题（题型注释）17.已知函数f (x )=x 2−4x ，数列{a n }的前n 项和S n =f (n )，n ∈N +.（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设c n=2a n ，求{c n }的前n 项和T n .18.如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB =BE =EC ，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.（Ⅰ）求证：GF//平面ADE ；（Ⅱ）求平面AEF 与平面BEC 所成角的余弦值.19.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每千克20元，成本为每千克15元，销售宗旨是当天进货当天答案第4页，总17页……○…………线…题※※……○…………线…销售，如果当天卖不完，那么未售出的部分全部处理，平均每千克损失3元.根据以往的市场调查，将市场日需求量（单位：千克）按[50，150)，[150，250)，[250，350)，[350，450)，[450，550)进行分组，得到如图的频率分布直方图.（Ⅰ）未来连续三天内，连续两天该种鲜钱的日需求量不低于350千克，而另一天的日需求量低于350千克的概率；（Ⅱ）在频率分布直方图的日需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值，并以日需求量落入该区间的频率作为日需求量取该区间中点值的概率.若经销商每日进货400千克，记经销商每日利润为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望. 20.已知两直线方程l 1:y =√22x 与l 2:y =−√22x ，点A 在l 1上运动，点B 在l 2上运动，且线段AB 的长为定值2√2.（Ⅰ）求线段AB 的中点C 的轨迹方程；（Ⅱ）设直线l 1:y =kx +m 与点C 的轨迹相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ⋅k ON =54，求原点O 的直线l 的距离的取值范围. 21.已知函数f (x )=ax +1−xlnx 的图象在点(1，f (1))处的切线与直线x −y =0平行.（Ⅰ）求函数f (x )的极值； （Ⅱ）若对于∀x 1，x 2∈(0，+∞)，f (x 1)−f (x 2)x 1−x2>m (x 1+x 2)，求实数m 的取值范围. 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3+2cosα，y =2+2sinα（α为参数），直线C 2的方程为y=√33x ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP |⋅|OQ |的值. 23.已知函数f(x)=|2x −1|，x ∈R .（1）解不等式f(x)<|x|+1；（2）若对x，y∈R，有|x−y−1|≤13，|2y+1|≤16，求证：f(x)≤56.答案第6页，总17页参数答案1.B【解析】1.设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（） ， 2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,{2a b b a =-⇒=- 1b ⇒=- ，故选B.2.A【解析】2.先根据指数函数的值域求出集合A ，然后根据对数函数有意义求出集合B ，最后根据交集的定义求出所求即可．∵A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}＝{y |y ＞0}，B ＝{x |y ＝lg （2﹣x ）}＝{x |2﹣x ＜0}={x |x ＜2}=（﹣∞，2）， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ＜2}=(0，2)， 故选A. 3.C【解析】3.这12天的AQI 指数值的中位数是95+922=93.5 ，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确. 故选 C ． 4.B【解析】4.()()()2,3,,4,2,1,a b x a b x ==∴-=--由()(),4230,a a b a a b x ⊥-∴⋅-=--= 则1.2x =故选B. 5.B【解析】5.A ．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B ．运用线面垂直的性质，即可判断；C ．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D ．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断． A ．若m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错； B ．若m ⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理可知m//n ，故B 正确；C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n ⊥α，故D 错． 故选：B ． 6.B【解析】6.模拟程序运行，可得： 52a b ==，，1n =， 1542a b ==，，不满足条件a b ≤，执行循环体 2n =， 4584a b ==，，不满足条件a b ≤，执行循环体 3n =， 135168a b ==，，不满足条件a b ≤，执行循环体 4n =， 4053216a b ==，，满足条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为4 故选B7.D【解析】7.先根据图象变换规律求得平移后的解析式设为g （x ），再根据对称性求得结果． 函数f （x ）=√3sin （2x +φ）（|φ|＜π2）的图象向左平移π6个单位后， 得到g （x ）=√3sin （2x +π3+φ）（|φ|＜π2）的图象， 由于平移后的图象关于原点对称， 故g （0）=√3sin （π3+φ）＝0，∴π3+φ=k π（k ∈Z ）由|φ|＜π2得： φ=−π3，故选：D ． 8.C【解析】8.答案第8页，总17页计算定积分求出a 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得常数项． a =∫12xdx ＝x 2|01=1，∴（√x −1x ）6的通项公式为T r +1＝C 6r √x 6−r （−1x ）r ＝（﹣1）r C 6r x 6−3r 2，令6−3r2=0，解得r ＝2，则二项展开式中的常数项为（﹣1）2C 62＝15， 故选C. 9.B【解析】9.由双曲线方程可知，双曲线的一条渐近线为： by x a=，即： 0bx ay -=， 由直线与圆的位置关系可得：2=，整理可得： 2b c =，则： ()222224,34c c a c a =-∴=，据此有： 2224,3c e e a ==∴=.本题选择B 选项. 10.A【解析】10.试题因为函数f(x),(x∈R)满足f(x +π)=f(x)+sinx ，当0≤x <π时，f(x)=0，所以f(23π6)=f(π+17π6)=f(17π6)+sin17π6=f(11π6)+sin11π6+sin17π6=f(5π6)+sin5π6+sin11π6+sin17π6=sin5π6+sin11π6+sin17π6=12−12+12=12，故选A ．11.B【解析】11.四面体ABCD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可． 根据题意可知四面体ABCD 的三条侧棱BD ⊥AD 、DC ⊥DA ，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩……○…………装………学校:___________姓名：_______……○…………装………展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径， 三棱柱中，底面△BDC ，BD ＝CD ＝1，BC =√3，∴∠BDC ＝120°，∴△BDC 的外接圆的半径为12×√3sin120°=1由题意可得：球心到底面的距离为√32，∴球的半径为r =√34+1=√72．外接球的表面积为：4πr 2＝7π 故选：B ． 12.A【解析】12.根据对数的性质的可知：函数f （x ）＝|lg （x ﹣1）|，若1＜a ＜b 且f （a ）＝f （b ），可得log 110(a −1)=lg(b −1)，即1a−1=b −1，可得a ，b 的关系，利用基本不等式求解2a +b 的取值范围.函数f （x ）＝|lg （x ﹣1）|， ∵1＜a ＜b 且f （a ）＝f （b ），则b ＞2，1＜a ＜2， ∴log 110(a−1)=lg(b −1)，即1a−1=b −1，可得：ab ﹣a ﹣b ＝0． 那么：a =b b−1．则2a +b =2b b−1+b =(2b−2)+2b−1+b −1+1=(b −1)+2b−1+3≥2√2+3，当且仅当b =答案第10页，总17页…………装…………○…※※请※※不※※要※※在※※装※※订…………装…………○…√2+1时取等号．满足b ＞2，故选：A ． 13.1【解析】13.由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 由余弦定理得13=9+AC 2+3AC ，解得AC =1或AC =−4（舍去）.14.-13【解析】14.作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z ＝2x +y 对应的直线进行平移，可得当x ＝y ＝1时，z ＝2x +y 取得最小值．作出不等式组{x −3y +5≥02x +y −4≤0y +2≥0表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由{y =−2x −3y +5=0解得B （﹣11，﹣2）设z ＝F （x ，y ）＝x +y ，将直线l ：z ＝x +y 进行平移，当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值＝F （﹣11，﹣2）＝﹣13． 故答案为：﹣13 15.宝鸡 C【解析】15.第11页，总17页…○…………装……学校:___________姓名：____…○…………装……综合分析判断每一句话，能推理出正确结果．由③得在咸阳工作的教师教A 学科；又由①得乙不在咸阳工作，所以乙不教A 学科； 由④得乙不教B 学科，结合③乙不教A 学科，可得乙必教C 学科， 所以由②得乙不在延安工作，由①得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作， 综上，乙工作地方和教的学科分别是宝鸡和 C 学科． 故答案为：宝鸡 C ． 16.1【解析】16.根据AF |，|BF |，利用抛物线的定义可得A ，B 的横坐标，利用y 12y 22=x 1x 2=(232)2=19，即可求得p 的值． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 ∵|AF |=23，|BF |＝2|∴根据抛物线的定义可得x 1=23−p 2，x 2＝2−p2，∴y 12y 22=x 1x 2=(232)2=19，∴9（23−p2）＝2−p 2，∴p ＝1． 故答案为：1.17.（Ⅰ）a n =2n −5(n ∈N +)（Ⅱ）T n =4n −124【解析】17.（Ⅰ）先由题意得S n=n 2−4n ，当n 大于等于2时可根据数列的前n 项的和减去数列的前n ﹣1项的和求出a n ，然后把n ＝1代入验证； （Ⅱ）由（Ⅰ）知c n=22n−5，可得{c n }是等比数列，根据等比数列的求和公式即可求得结果.答案第12页，总17页外…………○…………※※请※※不※内…………○…………（Ⅰ）因为函数f (x )=x 2−4x ，所以S n =f (n )=n 2−4n ，当n =1时，a 1=S 1=−3，当n≥2时，a n =S n −S n−1=2n −5. 所以a n=2n −5(n ∈N +).（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n=2a n =22n−5， c 1=18，c n+1c n=22n−322n−5=4所以{c n }是首项为18，公比为4的等比数列.所以{c n }的前n 项和：T n =18(1−4n)1−4=4n −124所以T n=4n −124. 18.（Ⅰ）见证明（Ⅱ）23【解析】18.（Ⅰ）取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，通过证明四边形HGFD 是平行四边形来证明GF ∥DH ，由线面平行的判定定理可得；（Ⅱ）以B 为原点，分别以BE →，BQ →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC 和平面AEF 的法向量，由向量夹角的余弦值可得． （Ⅰ）如图，取AE 的中点H 连接HG ，HD ，又G 是BE 的中点，所以HG//AB ，且HG=12AB ，又F 是CD 中点，所以DF=12CD ，由四边形ABCD 是矩形得，AB//CD ，AB =CD ，第13页，总17页…订…………○…………____考号：___________…订…………○…………所以GH//DF 且GH =DF .从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF//DH ， ∵DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，∴GF ∥平面ADE . （Ⅱ）如图，在平面BEC 内，过点B 作BQ//EC ，因为BE ⊥CE ，所以BE ⊥BQ .又AB ⊥平面BEC ，所以AB⊥BE ，AB ⊥BQ .以B 为原点，分别以BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，BQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设ADE ，设AB=4，则A(0，0，4)，B (0,0,0)，E (4,0,0)，F (4,4,2).因为AB⊥平面BEC ，所以BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,4)为平面BEC 的法向量，设n =(x ，y ，z)为平面AEF 的法向量. 又AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(4，0，−4)，AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(4，4，−2) {n ⋅AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,即{4x −4z =04x +4y −2z =0 ，取n =(2，−1，2)，∴cos <BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，n >=BA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n |BA⃑⃑⃑⃑⃑ ||n |=2×44×3=23，所以平面AEF 与平面BEC 所成角的余弦值为23. 19.（Ⅰ）0.192（Ⅱ）见解析【解析】19.（Ⅰ）根据频率分布直方图，即可求出连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率，（Ⅱ）结合频率分布直方图求得利润的可能取值，列出分布列，求出数学期望. （Ⅰ）由频率分布直方图可知，日需求量不低于350千克的概率为(0.0025+0.0015)×100=0.4，答案第14页，总17页则未来连续三天内，有连续两天的日需求量不低于350千克，而另一天日需求量低于350千克的概率为0.4×0.4×(1−0.4)+ (1−0.4)×0.4×0.4=0.192.（Ⅱ）日需求量的可能取值为100，200，300，400，500， 当日需求量为100时，利润为（20-15）×100-300×3=-400， 当日需求量为200时，利润为（20-15）×200-200×3=400， 当日需求量为300时，利润为（20-15）×300-100×3=1200， 当日需求量为400或500时，利润为（20-15）×400=2000， 所以X 可取的值是−400，400，1200，2000，P (X =400)=0.0020×100=0.2； P (X =1200)=0.0030×100=0.3；P (X =2000)=0.0025×100+0.0015×100 =0.25+0.15=0.4所以X 的分布列：此时利润的期望值E (X )=−400×0.1+400×0.2 +1200×0.3+2000×0.4=1200（元）.20.（Ⅰ）x 24+y 2=1（Ⅱ）[0，2√147)【解析】20.（Ⅰ）利用已知条件设A (x 1，√22x 1)，B (x 2，−√22x 2)，C(x,y)，建立x,y 与x 1，x 2的关系，利用线段AB 的长化简计算即可；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由判别式大于0求得m 2＜4k 2+1，再由k OM ⋅k ON =54，可得m 2+k 2=54，从而求得k 的范围，再由点到直线的距离公式求出原点O 到直线l 的距离，则取值范围可求． （Ⅰ）∵点A 在l 1:y =√22x 上运动，点B 在l 2:y =−√22x 上运动，∴设A (x 1，√22x 1)，B (x 2，−√22x 2)，线段AB 的中点C(x,y)，则有x =x 1+x 22，y =√22x 1−√22x 22，∴x 1+x 2=2x ，x 1−x 2=2√2y ，第15页，总17页∵线段AB 的长为定值2√2，∴(x 1−x 2)2+(√22x 1+√22x 2)2=8，即(2√2y)2+(√2x)2=8，化简得x24+y 2=1. ∴线段AB 的中点C 的轨迹方程为x 24+y 2=1.（Ⅱ）设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，联立{x 24+y 2=1y =kx +m得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，Δ=(8km )2−4(4k 2+1) (4m 2−4)>0，化简得m 2<4k 2+1①. x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m ) =k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2，若k OM ⋅k ON=54，则y 1y2x 1x 2=54，即4y 1y 2=5x 1x 2， 所以4k 2x 1x 2+4km (x 1+x 2) +4m 2=5x 1x 2，即(4k2−5)4m 2−44k 2+1+ 4km (−8km 4k 2+1)+4m 2=0，化简得m 2+k 2=54②， 由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54，因为O 到直线l 的距离d =√1+k 2，所以d 2=m 21+k2=54−k 21+k2=−1+94(1+k 2)又因为120<k2≤54，所以0≤d 2<87， 所以O 到直线l 的距离的取值范围是[0，2√147). 21.（Ⅰ）f (x )在x =e 处取得极大值为f (e )=e +1，无极小值.（Ⅱ）m ≤−12e 2【解析】21.（Ⅰ）求得f （x ）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得a ，求出f （x ）的导数和单调区间，即可得到所求极值；（Ⅱ）设x 1＞x 2，可得f （x 1）﹣f （x 2）＞mx 12﹣mx 22，设g （x ）＝f （x ）﹣mx 2在（0，+∞）为增函数，设g （x ）＝f （x ）﹣mx 2在（0，+∞）为增函数，求得g （x ）的导数，再由参数分离和构造函数，求出最值，即可得到所求m 的范围． （Ⅰ）f (x )=ax +1−xlnx 的导数为f ′(x )=a −1−lnx ，可得y=f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为a −1，答案第16页，总17页由切线与直线x−y =0平行，可得a −1=1，即a =2，f (x )=2x +1−xlnx ，f ′(x )=1−lnx ，当0<x <e 时f ′(x )>0，当x >e 时， ，所以f (x )在(0，e )上递增，在(e ，+∞)上递减， 可得f (x )在x =e 处取得极大值为f (e )=e +1，无极小值.（Ⅱ）设x 1>x 2>0，若f (x 1)−f (x 2)x 1−x2>m (x 1+x 2)，可得f (x 1)−f (x 2)>mx 12−mx 22， 即f (x 1)−mx 12>f (x 2)−mx 22设g (x )=f (x )−mx 2在(0，+∞)上增函数，即g ′(x )=1−lnx −2mx ≥0在(0，+∞)上恒成立， 可得2m≤1−lnx x在(0，+∞)上恒成立，设ℎ(x )=1−lnx x，所以ℎ′(x )=lnx−22， ℎ(x )在(0，e 2)上递减，在(e 2，+∞)上递增，ℎ(x )在x =e 2处取得极小值为ℎ(e 2)=−1e，所以m≤−12e 2.22.（Ⅰ）ρ2−2√3ρcosθ−4ρsinθ+3=0（Ⅱ）3【解析】22.（Ⅰ）先把曲线C 1的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程．（Ⅱ）把直线方程转化为极坐标方程，与曲线C 1的极坐标方程联立，根据根与系数的关系，求得结果． （Ⅰ）曲线C 1的普通 方程为(x −√3)2+(y −2)2=4，则C 1的极坐标方程为ρ2−2√3ρcosθ−4ρsinθ+3=0 （Ⅱ）设P(ρ1，θ)，Q(ρ2，θ)， 将θ=π6代入ρ2−2√3ρcosθ −4ρsinθ+3=0，得ρ2−5ρ+3=0所以ρ1ρ2=3，所以|OP |⋅|OQ |=3.23.（Ⅰ）{x |0<x <2 }（Ⅱ）见证明【解析】23.（Ⅰ）由条件|2x ﹣1|＜|x |+1，分类讨论，求得x 的范围． （Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式证得不等式成立．第17页，总17页（Ⅰ）因为f (x )<|x |+1，所以|2x −1|<|x |+1，即{x ≥122x −1<x +1 ，或{0<x <121−2x <x +1，或{x ≤01−2x <−x +1 ， 解得12≤x <2，或0<x <12，或∅.所以不等式的解集为{x |0<x <2 }. （Ⅱ）因为 |x −y −1|≤13,|2y +1|≤16, 所以f (x )=|2x −1|=|2(x −y −1)+(2y +1)|≤|2(x ﹣y ﹣1)|+|2y +1|≤2•13+16=56.。
2019年陕西省高考理科数学模拟试题与答案(一)
2019年陕西省高考理科数学模拟试题与答案（一）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z 满足(1i)i z+=,则在复平面内复数z 所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2．设集合03x A N B xA B x ⎧⎫==≤⋂=⎨⎬-⎩⎭，，则A ．[0，3)B ．{1，2}C ．{0，l ，2}D ．{0，1，2，3}3. 若某多面体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则此多面体的体积是A. 378cmB. 323cmC. 356cmD. 312cm4. 设,x y 满足约束条件4,4,4,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值为A.4B.8C.12D.165.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有A ．144种B ．48种C ．36种D ．72种6. 已知4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α= A. 725-B. 15-C.15D.7257．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为AA.3π B. 6π C. 8π D. 4π8. 当01x <<时，ln ()xf x x=，则下列大小关系正确的是 A ．22()()()f x f x f x << B. 22()()()f x f x f x << C. 22()()()f x f x f x << D. 22()()()f x f x f x <<9. 设函数())sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0=x 对称，则 A.()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B.()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数C.()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数D.()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数 10.一条渐近线的方程为43y x =的双曲线与抛物线2:8C y x =的一个交点为A ，已知AF =(F 为抛物线C 的焦点)，则双曲线的标准方程为A ．2211832x y -=B ．2213218y x -= C ．221916x y -=D ．2291805y x -= 11.设函数()f x 定义域为R ，且满足f(-x)=f(x), f(x)=f(2-x),当[]0,1x ∈时,f(x)=2x-1 , 则函数()()()cos g x x f x π=-在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为A. 4B. 3C. 2D. 1 12．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13. 已知数列{}n a 的前n 项和n S =n2+n ，则a3 + a4＝ .14．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答） 15. 在ABC ∆中，313AC BC AB ===，且,,CE xCA CF yCB ==（其中(),0,1x y ∈），且41x y +=，若,M N 分别为线段,EF AB 中点，则线段MN 的最小值为 ．16．若圆22:2430C x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则ab 的最小值为 ，由点(,)P a b 向圆所作两条切线，切点记为A,B ，当|AB|取最小值时，ABP ∆外接圆的半径 为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数)cos()(ϕ+=x x f （0<<-ϕπ），)(')()(x f x f x g +=是偶函数． （1）求ϕ的值；（2）求函数)()(x g x f y ⋅=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π的最大值． 18．（本小题满分12分）如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值； （Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图219. （本小题满分12分）大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =…数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑81i ii x y =∑81i ii w y =∑46.6 573 6.8 289.8 1.6 215083.4 31280表中i w x =，8118i i w w ==∑.()Ⅰ根据散点图判断，y a bx =+与y c dx =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）()Ⅱ根据()Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；()Ⅲ已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-.根据()Ⅱ的结果回答下列问题：()i 年宣传费64x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ()ii 年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ……，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121nii i nii uu v vu u β∧==--=-∑∑，v u αβ∧∧=-.20. （本小题满分12分）已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，交y 轴于点,C O 为坐标原点.（1）若4OA OB k k +=,求直线l 的方程；（2）线段AB 的垂直平分线与直线,l x 轴，y 轴分别交于点,,D M N ，求NDCFDMS S ∆∆ 的最小值. 21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(a －2)x . (1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求函数y ＝f (x )在[a 2，a ]上的最大值．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，[0,2]θπ∈． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线:32x l y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）的距离最短，写出D 点的直角坐标.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|--=x k x f ，R x ∈，且()04≥+x f 的解集为[-1，1].（1）求k 的值；（2）若c b a ,,是正实数，且131211=++kc kb ka ，求证：1939291≥++c b a .参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.C3.A4.C5.C6.D7.A8.D9.B 10.B 11.B 12.B第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13. 14 14. 30 15.16. 94-322三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.17.（本小题满分12分）（1）依题意，)sin()cos()(')()(ϕϕ+-+=+=x x x f x f x g ……………2分)4cos(2πϕ++=x ．……………3分因为)(')()(x f x f x g +=是偶函数，所以1)4cos(±=+πϕ．……………5分 又因为0<<-ϕπ，所以4πϕ-=．……………6分 （2）由（1）得，)4cos()(π-=x x f ，x x f x f x g cos 2)(')()(=+=．……………8分 21)42sin(22cos )4cos(2)()(++=-=⋅=ππx x x x g x f y ．……………10分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈++=212,121)42sin(22πx y ，故函数)()(x g x f y ⋅=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π的最大值为212+．……………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为 在△中，，分别为，的中点，所以，．所以 ，又为的中点，所以． [ 1分]因为 平面平面，且平面，所以 平面， [ 3分]所以 ． [ 4分] （Ⅱ）取的中点，连接，所以．由（Ⅰ）得，．如图建立空间直角坐标系． [ 5分] 由题意得，，，，． 所以 ，，．设平面的法向量为，则即令，则，，所以 ． [ 7分]设直线和平面所成的角为， 则．所以 直线和平面所成角的正弦值为． [ 9分]（Ⅲ）线段上存在点适合题意．设 ，其中． [10分]设 ，则有，所以 ，从而 ，所以，又，所以 ． [12分]令 ，整理得 ． [13分] 解得 ，舍去．所以 线段上存在点适合题意，且． [14分]19. （本小题满分12分）解：()Ⅰ由散点图可以判断y c x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.()Ⅱ令w x =y 关于w 的线性回归方程()()()()()()()88888111118888222211118iii iiii iii ii i i i i i i i i i i i i y y w w w y wy yw wy w y wy w y wyd w ww ww ww w=========----+--====----∑∑∑∑∑∑∑∑∑31280 6.85738681.6-⨯⨯==，57368 6.8110.6c y dw =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为110.668y w =+， 所以y 关于x 的线性回归方程为110.668y x =+()Ⅲ()i 由()Ⅱ知，当64x =时，年销售量y 的预报值为110.66864654.6y =+=，年利润z 的预报值为654.60.26466.92z =⨯-=.()ii 根据()Ⅱ的结果知，年利润z 的预报值)20.2(110.668)22.12 6.868.36z x x x x x =⨯+-=-+=-+，6.8x =，即46.24x =时，年利润的预报值最大，故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.20．（本小题满分12分）解：（1）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．所以k OA ＋k OB ＝4y 1＋4y 2＝4(y 1＋y 2)y 1y 2＝－4m ＝4．所以m ＝－1，所以l 的方程为x ＋y －1＝0．（2）由（1）可知，m ≠0，C (0，－1m)，D (2m 2＋1，2m )．则直线MN 的方程为y －2m ＝－m (x －2m 2－1)，则M (2m 2＋3，0)，N (0，2m 3＋3m )，F (1，0)，S △NDC ＝ 12·|NC |·|x D |＝ 1 2·|2m 3＋3m ＋ 1m |·(2m 2＋1)＝(m 2＋1)(2m 2＋1)22|m |，S △FDM ＝ 12·|FM |·|y D |＝ 12·(2m 2＋2)·2|m |＝2|m | (m 2＋1)， 则S △NDC S △FDM ＝(2m 2＋1)24m 2＝m 2＋ 14m2＋1≥2， 当且仅当m 2＝ 14m 2，即m 2＝ 1 2时取等号． 所以，S △NDCS △FDM的最小值为2．其它解法参考答案给分． 21.(本小题满分12分)(1)因为f (x )＝ln x －ax 2＋(a －2)x ，所以函数的定义域为(0，＋∞)． 所以f ′(x ) ＝1x －2ax ＋(a －2)＝1－2ax 2＋(a －2)x x ＝－(2x －1)(ax ＋1)x.因为f (x )在x ＝1处取得极值，即f ′(1) ＝－(2－1)(a ＋1)＝0，解得a ＝－1. 当a ＝－1时，在(12，1)上f ′(x )<0，在(1，＋∞)上f ′(x ) >0，此时x ＝1是函数f (x )的极小值点，所以a ＝－1. (2)因为a 2<a ，所以0<a <1，f ′(x ) ＝－(2x －1)(ax ＋1)x.因为x ∈(0，＋∞)，所以ax ＋1>0，所以f (x )在(0，12)上单调递增，在(12，＋∞)上单调递减．①当0<a ≤12时，f (x )在[a 2，a ]上单调递增，所以f (x )max ＝f (a )＝ln a －a 3＋a 2－2a ；②当⎩⎪⎨⎪⎧ a >12，a 2<12，即12<a <22时，f (x )在(a 2，12)上单调递增，在(12，a )上单调递减， 所以f (x )max ＝f (12)＝－ln2－a 4＋a －22＝a 4－1－ln2； ③当12≤a 2，即22≤a <1时，f (x )在[a 2，a ]上单调递减，所以f (x )max ＝f (a 2)＝2ln a －a 5＋a 3－2a 2. 综上所述，当0<a ≤12时，函数y ＝f (x )在[a 2，a ]上的最大值是ln a －a 3＋a 2－2a ； 当12<a <22时，函数y ＝f (x )在[a 2，a ]上的最大值是a 4－1－ln2； 当22≤a <1时，函数y ＝f (x )在[a 2，a ]上的最大值是2ln a －a 5＋a 3－2a 2.22．（本小题满分10分）解：（1）由[)=2sin ,0,2ρθθπ∈，可得22sin ρρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-= …………5分（2）直线l 的参数方程为()3332x t t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩为参数，消去t 得l 的普通方程为35y x =-+， C 与l 相离，设点()00,D x y ，且点D 到直线:35l y x =-+的距离最短，则曲线C 在点D 处的切线与直线:35l y x =-+平行，()001.31y x -∴-=-，又()220011x y +-= 032x ∴=-或032x =， 032y ∴= ∴点D 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭…………10分23. （1）因为，所以等价于，由有解，得，且其解集为. 又的解集为，故（2）由（1）知，又是正实数，由均值不等式得：，当且仅当时取等号，所以.。
陕西省延安市2019届高三下学期高考模拟试卷(一)理科数学试卷+Word版含解析
延安市2019届高考模拟试题（一）数学（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，由，，故选B.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据指数函数的值域求出集合A，然后根据对数函数有意义求出集合B，最后根据交集的定义求出所求即可．【详解】∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝lg（2﹣x）}＝{x|2﹣x＜0}={x|x＜2}=（﹣∞，2），∴A∩B＝{x|0＜x＜2}=，故选A.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合A，B是解决本题的关键，比较基础．3.即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日的统计数据.则下列叙述正确的是（）A. 这天的的中位数是B. 天中超过天空气质量为“优良”C. 从3月4日到9日，空气质量越来越好D. 这天的的平均值为【答案】C【解析】这12天的AQI指数值的中位数是，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的指数值的平均值为110，故D不正确.故选C．4.已知平面向量（2，3），（x，4），若⊥（），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．【详解】；∵；∴；解得．故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．5.已知，表示两条不同的直线，表示平面.下列说法正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【详解】A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，，由线面垂直的性质定理可知，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟定理是解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，竹松何日而长等.如图是源于思想的一个程序框图，若输入的，分别为和，则输出的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】模拟程序运行，可得：，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，满足条件，退出循环，输出的值为故选7.函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据图象变换规律求得平移后的解析式设为g（x），再根据对称性求得结果．【详解】函数f（x）sin（2x+φ）（|φ|）的图象向左平移个单位后，得到g（x）sin（2xφ）（|φ|）的图象，由于平移后的图象关于原点对称，故g（0）sin（φ）＝0，∴φ=k（k）由|φ|得：φ，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是函数图象的平移变换，三角函数的对称性，属于基础题．8.已知为常数，，则的展开式中的常数项是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算定积分求出a的值，再利用二项展开式的通项公式，求得常数项．【详解】a2xdx＝x21，∴（）6的通项公式为T r+1＝C6r＝（﹣1）r C6r，令0，解得r＝2，则二项展开式中的常数项为（﹣1）2C62＝15，故选C.【点睛】本题主要考查定积分的运算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由双曲线方程可知，双曲线的一条渐近线为：，即：，由直线与圆的位置关系可得：，整理可得：，则：，据此有：.本题选择B选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10.设函数满足，当，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为函数满足，当时，，所以，故选A．考点：抽象函数的性质；三角函数的求值．【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应用，本题的解答中函数满足，当时，，利用三角函数的诱导公式，即可求解的值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．【此处有视频，请去附件查看】11.正三角形的边长为，将它沿高折叠，使点与点间的距离为，则四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】四面体的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．【详解】根据题意可知四面体的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面△BDC，BD＝CD＝1，BC，∴∠BDC＝120°，∴△BDC的外接圆的半径为 1由题意可得：球心到底面的距离为，∴球的半径为r．外接球的表面积为：4πr2＝7π故选：B．【点睛】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，属于中档题．12.已知函数，若且，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数的性质的可知：函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）＝f（b），可得，即，可得a，b的关系，利用基本不等式求解2a+b的取值范围.【详解】函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，∵1＜a＜b且f（a）＝f（b），则b＞2，1＜a＜2，∴，即，可得：ab﹣a﹣b＝0．那么：a．则2a+b，当且仅当b时取等号．满足b＞2，故选：A．【点睛】本题考查对数函数的性质和基本不等式的综合运用，考查了数形结合思想，属于中档题．二、填空题。
2019年陕西省高考数学全真模拟试卷(解析版)(理科)(五)
2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（五）一、选择题1．计算+（2﹣i）2等于（）A．4﹣5i B．3﹣4i C．5﹣4i D．4﹣3i2．若sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤14．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．5．一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．56 D．646．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ8．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile 表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．59．口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则两次取出的球颜色不同的概率是（）A．B．C．D．10．曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e211．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（，2）D．[，）二、填空题13．已知实数x，y满足z=x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a=______．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f （log2m），则a，b，c大小关系为______．15．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=______．16．大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租，假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元，若该车使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于______．三、解答题17．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2（Ⅰ）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的最值．18．（12分）（2016•陕西模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．（1）求证：C′E⊥平面BCE；（2）求直线AB′与平面BEC′所成角的大小．19．（12分）（2016•陕西模拟）某设备在正常运行时，产品的质量m～N（μ，σ2），其中μ=500g，σ2=1，为了检验设备是否正常运行，质量检查员需要随机的抽取产品，测其质量．（1）当质量检查员随机抽检时，测得一件产品的质量为504g，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质量检查员的决定是否有道理，并说明你判断的依据．进而，请你揭密质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准：（2）请你根据以下数据，判断优质品与其生产季节有关吗？（3）该质量检查员从其住宅小区到公司上班的途中要经过6个红绿灯的十字路口，假设他在每个十字路口遇到红灯或绿灯是互相对立的，并且概率均为，求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （（μ﹣σ＜X ＜μ+σ）≈0.683， P （（μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）≈0.954，P （（μ﹣3σ＜X ＜μ+3σ）≈0.997，20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．（1）当m=1时，求证：﹣1＜x≤0时，f（x）≤；（2）试讨论函数y=f（x）的零点个数．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•陕西模拟）如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016•陕西模拟）已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•陕西模拟）已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．计算+（2﹣i）2等于（）A．4﹣5i B．3﹣4i C．5﹣4i D．4﹣3i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】同乘分母共轭复数，（2﹣i）2去括号，化简即可．【解答】解： +（2﹣i）2=﹣i（1+i）+4﹣1﹣4i=4﹣5i，故选：A．【点评】本题考查了复数的四则运算．2．若sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由两角和与差的三角函数公式可得sinβ=﹣m，结合角β的象限，再由同角三角函数的基本关系可得．【解答】解：∵sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，∴sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sinβ=m，即sinβ=﹣m，又β为第三象限角，∴cosβ＜0，由同角三角函数的基本关系可得：cosβ=﹣=﹣故选B【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是∃x∈R，cosx≤1，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．5．一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．56 D．64【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得几何体是简单组合体，且可求出几何体的各棱长，再利用几何体的体积公式求出该组合体的体积及即可．【解答】解：由几何体的三视图知，该几何体是由两个长方体叠加构成的简单组合体，且下面的长方体长为6mm，宽为4mm，高为1mm，则体积为24（mm）3，上面长方体长为2mm，宽为4mm，高为5mm，则体积为40（mm）3，则该组合体的体积为64（mm）3，故选D．【点评】本题考查由三视图得到几何体的体积，注意三视图中的等价量：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽．6．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题．7．已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由m⊂α，m⊥γ，知α⊥γ，由β∩γ=l，知l⊂γ，故l⊥m．【解答】解：∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ，∵β∩γ=l，∴l⊂γ，∴l⊥m，故A一定正确．故选A．【点评】本题考查平面的基本性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile 表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．5【考点】解三角形的实际应用．【分析】△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°，利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：由题意，△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∴∠C=45°∴由正弦定理可得=，∴|BC|=5n mile．故选：D．【点评】本题考查正弦定理的运用，确定三角形模型是关键．9．口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则两次取出的球颜色不同的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出能两次取出的球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出能两次取出的球颜色不同的概率．【解答】解：∵口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，∴基本事件总数n==9，能两次取出的球颜色不同包含的基本事件个数m==6，∴能两次取出的球颜色不同的概率p===．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．【解答】解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．【点评】此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线y=能够正确求导，此题是一道基础题．11．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，然后利用向量模的运算性质求得||的最小值．【解答】解：∵=0，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，∴AC为△ABC外接圆直径，如图，设坐标原点为O，则==，∵P是圆x2+y2=4上的动点，∴，∴||=．当与共线时，取得最小值5．故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了直线与圆位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．12．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（，2）D．[，）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]上不单调，从而求得a的取值范围．【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．，当时，f′（x）=0，f（x）在处取得最小值，由题意知，f（x）在（0，e]上不单调，所以，解得，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当a满足条件且f（e）≥1因为f（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得综上所述，a的取值范围是．故选：A．【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件．二、填空题13．已知实数x，y满足z=x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a=2．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出z=a+1=3，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，1），∵a＞1，∴﹣1＜﹣＜0，∴z=x+ay看化为：y=﹣x+，结合图象直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是z=a+1=3，解得：a=2，故答案为：2．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f （log2m），则a，b，c大小关系为a＞b＞c．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2﹣x），知函数f（x）的图象关于x=1对称．再根据函数的单调性比较大小即可．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），令x=x+1，则f（x+1）=f[2﹣（x+1）]=f（﹣x+1），∴函数f（x）的图象关于x=1对称；令g（x）=，则g′（x）=，当x≠1时，xf′（x）＞f′（x）成立，即xf′（x）﹣f′（x）＞0成立；∴x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，∵1＜m＜2，∴2＜2m＜4，0＜＜1，∴a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c．【点评】本题考查利用导数研究函数单调性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．15．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB斜率为k，得出AB的方程，联立方程组，由根与系数的关系得出A，B两点的坐标的关系，令k MA•k MB=﹣1列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=kx ﹣k．联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=﹣4．•k MB=﹣1．∵•=0，∴MA⊥MB，∴k即=﹣1，∴y1y2﹣2（y1+y2）+4+x1x2+x1+x2+1=0，∴﹣4﹣+4+1+2++1=0，解得k=1．故答案为：1．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．16．大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租，假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元，若该车使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于3．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．【解答】解：设该汽车第n年的营运费为a n，万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n=2n，则该汽车使用了n年的营运费用总和为T n=n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n=11n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+10n﹣9，∴年平均盈利额P=10﹣（n+）当n=3时，年平均盈利额取得最大值4，故答案为：3．【点评】本题主要考查与数列有关的应用问题，根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利总额的表达式是解决本题的关键．三、解答题17．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2（Ⅰ）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的最值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由三角函数定义可取α=﹣，代值计算可得f（α）；（Ⅱ）由x∈[0，]和不等式的性质以及三角函数值域可得．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2=2sinxcosx+2sin2x﹣2=sin2x﹣cos2x﹣1=2sin（2x﹣）﹣1，∵点P（，﹣1）在角α的终边上，∴tanα==﹣，可取α=﹣∴f（α）=2sin（﹣﹣）﹣1=﹣3；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）﹣1∈[﹣2，1]，∴f（x）的最小值为﹣2，最大值为1．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的定义和三角函数的最值，属中档题．18．（12分）（2016•陕西模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．（1）求证：C′E⊥平面BCE；（2）求直线AB′与平面BEC′所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由△ACE和△A′C′E是等腰直角三角形得∠A′EC′=∠AEC=45°，于是C′E⊥CE，结合C′E⊥BE得出C′E⊥平面BCE；（2）证明BC⊥平面ACC′A′得出AC⊥BC，以C为原点建立空间直角坐标系，设AC=1，求出和平面BC′E的法向量，则直线AB′与平面BEC′所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（1）在矩形ACC′A′中，∵E是AA′的中点，AA′=2AC，∴EA=AC=EA′=A′C′，∴∠A′EC′=∠AEC=45°，∴∠CEC′=90°．即C′E⊥CE．又C′E⊥BE，CE⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，BE∩CE=E，∴C′E⊥平面BCE．（2）∵C′E⊥平面BCE，BC⊂平面BCE，∴C′E⊥BC，又CC′⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC′⊥BC，又C′E，CC′⊂平面ACC′A′，C′E∩CC′=C′，∴BC⊥平面ACC′A′，又AC⊂平面ACC′A′，∴BC⊥AC．以C为原点，以CA，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：设AC=BC=1，则CC′=2．∴A（1，0，0，），B（0，1，0），B′（0，1，2），E（1，0，1），C′（0，0，2）．∴=（﹣1，1，2），=（1，﹣1，1），=（0，﹣1，2）．设平面BC′E的法向量为=（x，y，z）．则．∴，令z=1，得=（1，2，1）．∴=3，||=，||=，∴cos＜＞==．∴直线AB′与平面BEC′所成角的正弦值为，∴直线AB′与平面BEC′所成角为30°．【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．19．（12分）（2016•陕西模拟）某设备在正常运行时，产品的质量m～N（μ，σ2），其中μ=500g，σ2=1，为了检验设备是否正常运行，质量检查员需要随机的抽取产品，测其质量．（1）当质量检查员随机抽检时，测得一件产品的质量为504g，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质量检查员的决定是否有道理，并说明你判断的依据．进而，请你揭密质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准：（2）请你根据以下数据，判断优质品与其生产季节有关吗？（3）该质量检查员从其住宅小区到公司上班的途中要经过6个红绿灯的十字路口，假设他在每个十字路口遇到红灯或绿灯是互相对立的，并且概率均为，求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.683，P（（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.954，P（（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.997，【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；独立性检验的应用．【分析】（1）P（m＞500+3σ）=0.0015，可得m＞500+3σ的事件是小概率事件，利用P（497＜m＜503）=0.997，可得质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准；（2）利用公式，计算X2，可得结论；3）该质量检查员在上班途中遇到红灯的次数为Y，则X～B（6，），利用公式，即可求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．【解答】解：（1）∵产品的质量m～N（μ，σ2），其中μ=500g，σ2=1，504∈（500+3σ，+∞），P（m＞500+3σ）=0.0015∴m＞500+3σ的事件是小概率事件，∴该质量检查员的决定有道理．∵P（497＜m＜503）=0.997，∴质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准为m＜497或m＞503；（2）X2==0.0129＜2.706，∴没有充足的理由认为优质品与其生产季节有关；（3）该质量检查员在上班途中遇到红灯的次数为Y，则X～B（6，），∴EX=6×=2，DX=6×=．【点评】本题考查正态分布，考查独立性检验，考查期望和方差，知识综合性强．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设c=t，则a=2t，，推导出点P为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty ﹣9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆的离心率为，不妨设c=t，a=2t，即，其中t＞0，又△F1PF2内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，∵，为定值，∴也取得最大值，即点P为短轴端点，∴，，解得t=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，则，，直线AA1的方程为，直线BA1的方程为，则，，假设PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），则，，，即，即，，即6nt﹣9+n2+（4﹣m）2=0，若PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），即不论t为何值时，恒成立，∴n=0，m=1或m=7．∴以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．（12分）【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．21．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．（1）当m=1时，求证：﹣1＜x≤0时，f（x）≤；（2）试讨论函数y=f（x）的零点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）将m=1代入函数表达式，通过讨论函数的单调性证明结论即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围确定函数的零点即可．【解答】证明：（1）m=1时，令g（x）=f（x）﹣，（﹣1＜x≤0），则g′（x）=，当﹣1＜x≤0时，﹣x3≥0，1+x＞0，∴g′（x）≥0，g（x）递增，∴g（x）≤g（0）=0，故f（x）≤①；解：（2）f′（x）=，②，令f′（x）=0，解得：x1=0或x2=m﹣，（i）m=1时，x1=x2=0，由②得f′（x）=③，∴x＞﹣1时，1+x＞0，x2≥0，∴f′（x）≥0，f（x）递增，∴﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（0）=0，x＞0时，f（x）＞f（0）=0，故函数y=f（x）在x＞﹣1上有且只有1个零点x=0；（ii）0＜m＜1时，m﹣＜0，且﹣＜m﹣，由②得：x∈（﹣，m﹣]时，1+mx＞0，mx＜0，x﹣（m﹣）≤0，此时，f′（x）≥0，同理得：x∈（m﹣，0]时，f′（x）≤0，x≥0时，f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣，m﹣]，（0，+∞）递增，在（m﹣，0]递减，故m﹣＜x＜0时，f（x）＞f（0）=0，x＞0时，f（x）＞f（0）=0，∴f（x）在（m﹣，+∞）有且只有1个零点x=0，又f（m﹣）=lnm2﹣（m2﹣），构造函数ω（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则ω′（t）=④，易知：∀t∈（0，1），ω′（t）≤0，∴y=ω（t）在（0，1）递减，∴ω（t）＞ϖ（1）=0，由0＜m＜1得：0＜m2＜1，∴f（m﹣）﹣ln（m2）﹣（m2﹣）＞0⑤，构造函数k（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则k′（x）=，0＜x＜≤1时，k′（x）≥0，x＞1时，k′（x）＜0，∴k（x）在（0，1]递增，在（1，+∞）递减，∴k（x）≤k（1）=0，∴ln≤﹣1＜+1，则＜m2，＜m﹣，∴﹣＜x＜时，m（1+mx）＜﹣﹣1⑥，而﹣mx＜x2﹣mx＜+1⑦，由⑥⑦得f（x）=ln（1+mx）+﹣mx＜﹣﹣1++1=0⑧，又函数f（x）在（﹣，m﹣]递增，m﹣＞，由⑤⑧和函数零点定理得：∃x0∈（﹣，），使得f（x0）=0，综上0＜x＜＜1时，函数f（x）有2个零点，m=1时，f（x）有1个零点．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式的证明以及函数的零点问题，是一道综合题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•陕西模拟）如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）证明两组对应角相等，即可证明：△PED∽△PAE；（2）利用相似三角形的性质，结合PE=2，求PA长．【解答】（1）证明：∵BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，∵在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，∴△PED∽△PAE；（2）解：∵△PED∽△PAE，∴=，∴PE2=PA•PD．设AD=x∵PD=2DA，∴PA=3x，PD=2x，∴6x2=（2）2，∴x=2∴PA=6．【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生的计算能力，正确判断三角形相似是关键．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016•陕西模拟）已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的倾斜角α=，可得直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程即可得出．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角α=，∴直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程ρ=4sinθ可得：或ρ=﹣2（舍去）．∴l与圆E的交点A的极坐标为．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M （﹣1，1）．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣4y=0，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得：t2﹣2t（sinα+cosα）﹣2=0，△＞0，∴t1+t2=2（sinα+cosα），t1t2=﹣2．|﹣|t2||=|t1+t2|=2|sinα+cosα|=2∴||MB|﹣|MC||=||t||，∴||MB|﹣|MC||的最大值为2．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、三角函数求值、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•陕西模拟）已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=3，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，即可得出结论；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），1+a≤a2﹣a﹣2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=3时，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，x＜﹣3时，﹣x+1﹣x﹣3＞6，∴x＜﹣4，﹣3≤x≤1时，﹣x+1+x+3＞6，无解，x＞1时，x﹣1+x+3＞6，∴x＞2．综上所述，x＜﹣4或x＞2，∴不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}；（2）∵x∈[﹣a，1]，∴f（x）=1+a，∴f（x）≤g（a），化为1+a≤a2﹣a﹣2，∴a2﹣2a﹣3≥0，∴a≥3或a≤﹣1，﹣a＜1，∴a＞﹣1，∴a≥3．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，正确转化是关键．。
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陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2x﹣1＜}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣2，+∞）2．定义：=ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i3．等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣84．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．5．设命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不要条件6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（）A．8 B．9 C．10 D．77．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上过F的两个端点，设线段AB的中点M在l上的摄影为N，则的值是（）A．B．1 C．D．28．在△ABC中，=5，=3，D是BC边中垂线上任意一点，则•的值是（）A．16 B．8 C．4 D．29．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF1=60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．4 C．2 D．10．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．πD．3π11．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[1，4] B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，0]∪[1，4]12．把曲线C：y=sin（﹣x）•cos（x+）上所有点向右平移a（a＞0）个单位，得到曲线C′，且曲线C′关于点（0，0）中心对称，当x∈[π，π]（b为正整数）时，过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是_______．14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为_______cm2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）15．若实数x，y满足，则的最大值是_______．16．已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1=2a n+2n+1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，函数的图象过点．（1）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，求f（A）的取值范围．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为1级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市区2015年全年每天的PM2.5检测数据中随机抽取6天的数据最为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出3天．（Ⅰ）求至多有2天空气质量超标的概率；（Ⅱ）若用随机变量X表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数，求X的分布和数学期望．20．过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，当|PM|=|PN|时，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（3x+2）﹣x2（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）求EC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1和C2交点的直角坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2x﹣1＜}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：2x﹣1＜=2﹣2，得到x﹣1＜﹣2，解得：x＜﹣1，即B=（﹣∞，﹣1），∵A=[﹣2，0），∴A∩B=[﹣2，﹣1），故选：C．2．定义：=ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用新定义直接化简=﹣1﹣i，则iz=1，求出复数z，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，进行化简可得答案．【解答】解：根据定义=﹣zi﹣i=﹣1﹣i，则iz=1，∴．故选：C．3．等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列性质得a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，∴a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，∴a6（a2+2a6+a10）=a6×4a6=4．故选：A．4．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出“不是整数”包含的基本事件个数，由此能求出“不是整数”的概率．【解答】解：∵在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，∴基本事件总数n=4×3=12，“不是整数”包含的基本事件有，，，，，，，，共8个，∴“不是整数”的概率p==．故选：C．5．设命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥，利用向量共线定理即可得出m 的值．命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，可得m﹣1=1，x＞0，解得m．即可判断出结论．【解答】解：∵命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥，∴2（m+1）﹣m（m+1）=0，和化为（m+1）（m﹣2）=0，解得m=﹣1或2；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，∴m﹣1=1，x＞0，解得m=2．则命题p成立是命题q成立的必要不充分条件．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（）A．8 B．9 C．10 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得当k=8时，S=+++…+=，由题意，此时应该不满足条件k＜N，退出循环，输出S的值为，从而可得输入的N为为8．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=1，S=0S=，满足条件k＜N，k=2，S=+，满足条件k＜N，k=3，S=++，…满足条件k＜N，k=8，S=+++…+=（1﹣）+（）+…（﹣）=1﹣=，由题意，此时应该不满足条件k＜N，退出循环，输出S的值为，故输入的N为为8．故选：A．7．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上过F的两个端点，设线段AB的中点M在l上的摄影为N，则的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质和梯形的中位线定理可得出|MN|=（|AF|+|BF|）=|AB|．【解答】解：过A作AP⊥l于P，过B作BQ⊥l于Q，则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|．∵M为AB的中点，∴|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|．∴=．故选：A．8．在△ABC中，=5，=3，D是BC边中垂线上任意一点，则•的值是（）A．16 B．8 C．4 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设BC中点为M，利用表示出，，代入数量积公式计算．【解答】解：设BC中点为M，则．∴．∵DM⊥BC，∴．∴•=（）==（）•（）=（）=×（25﹣9）=8．故选：B．9．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF1=60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．4 C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得F2（，0），F1（﹣，0），由余弦定理可得PF1•PF2=16，由S=PF1•PF2sin60°，即可求得△F1PF2的面积．【解答】解：由题意可得F2（，0），F1（﹣，0），在△PF1F2中，由余弦定理可得F1F22=16+4a2=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°=（PF1﹣PF2）2+PF1•PF2=4a2+PF1•PF2，即有PF1•PF2=16．可得S△=PF1•PF2sin60°=×16×=4．故选：B．10．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．πD．3π【考点】球的体积和表面积．【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1，正方体的对角线长为，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴正四面体的外接球的半径为∴外接球的表面积的值为4πr2=4=3π．故选：D．11．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[1，4] B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，0]∪[1，4]【考点】分段函数的应用．【分析】若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则函数f（x）与函数y=mx的图象只有一个交点，数形结合可得答案．【解答】解：若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则函数f（x）与函数y=mx的图象只有一个交点，在同在坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：∵f′（x）=，故当m∈（﹣∞，0]∪[1，4]时，两个函数图象有且只有一个交点，即函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，故选：D．12．把曲线C：y=sin（﹣x）•cos（x+）上所有点向右平移a（a＞0）个单位，得到曲线C′，且曲线C′关于点（0，0）中心对称，当x∈[π，π]（b为正整数）时，过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】运用二倍角的正弦公式和诱导公式，可得y=cos2x，再由平移和中心对称可得y=±sin2x，求得函数的导数，由有余弦函数的图象可得减区间，再由b为整数，即可得到b=1或2．【解答】解：y=sin（﹣x）•cos（x+）=sin（x+）cos（x+）=sin（2x+）=cos2x，由题意可得曲线C′：y=cos（2x﹣2a），曲线C′关于点（0，0）中心对称，可得2a=kπ+，k∈N，即有y=±sin2x，由y=sin2x的导数为y′=cos2x，由cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+，2kπ+]．当x∈[π，π]（b为正整数），过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，即有y′＜0恒成立，可得[π，π]⊆[，]，即有b=1或2；由y=﹣sin2x的导数为y′=﹣cos2x，由﹣cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+，2kπ+]．当x∈[π，π]（b为正整数），过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，即有y′＜0恒成立，则[π，π]⊆[2kπ+，2kπ+]不恒成立．综上可得b=1或2．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是1120．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意求得n=8，在二项式展开式的通项公式中，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n为偶数，展开式共有9项，故n=8．（x﹣）n即（x﹣）8，它的展开式的通项公式为T r+1==•（﹣2）r•x8﹣2r，令8﹣2r=0，求得r=4，则展开式中的常数项是•（﹣2）4=1120．故答案为：1120．14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为cm2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形[的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为10×10=100 与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们的面积皆为100 另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为=10，故此两侧面的面积皆为50故此四棱锥的表面积为cm2．故答案为：15．若实数x，y满足，则的最大值是2．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合的几何意义求出其最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，2），而的几何意义表示平面区域内的点到原点0的斜率，显然OA的斜率最大，故的最大值是2，故答案为：2．16．已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1=2a n+2n+1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=n•2n．【考点】数列递推式．【分析】a n+1=2a n+2n+1（n≥1），变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：a n+1=2a n+2n+1（n≥1），∴﹣=1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为1．∴=1+（n﹣1）=n，a n=n•2n．故答案为：n•2n．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，函数的图象过点．（1）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，求f（A）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由向量和三角函数公式可得f（x）=sin（2x﹣），由周期公式可得周期，解可得单调增区间；（2）由题意和正弦定理以及三角函数公式可得cosB=，进而可得A的范围，由三角函数值域可得．【解答】解：（1）由题意可得，∵点在函数f（x）的图象上，∴，解得，∴f（x）=sin（2x﹣），∴，解可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单调增区间为；（2）∵，∴ccosB+bcosC=2acosB，∴由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB，∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB=∵B∈（0，π），∴，，∴，，∴，∴f（A）的取值范围是．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面垂直的性质定理即可证明DM⊥BM；（2）利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明（1）由底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，∴DC=2，D0=，则OA⊥DC，建立以O为坐标原点，OA，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（3，0，0），P（0，0，3），D（0，﹣，0），B（3，2，0），C（0，，0），∵M为PB的中点．∴M（，，），=（，2，），=（3，0，﹣3），=（0，2，0），则•=×3+2×0﹣×3=0，•=0，则PA⊥DM，PA⊥DC，∵CD∩DM=D，∴PA⊥平面DMC．（2）=（，0，），=（3，﹣，0），设平面AMC的法向量为=（x，y，z），则由•=0，•=0，得，令x=1，则y=，z=﹣1，则=（1，，﹣1），同理可得平面CDM的法向量为==（3，0，﹣3），则cos＜，＞===，即二面角D﹣MC﹣B的余弦值是．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为1级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市区2015年全年每天的PM2.5检测数据中随机抽取6天的数据最为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出3天．（Ⅰ）求至多有2天空气质量超标的概率；（Ⅱ）若用随机变量X表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数，求X的分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）至多有2天空气质量超标的对立事件是3天空气质量都超标，由此利用对立事件概率计算公式能求出至多有2天空气质量超标的概率．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设“至多有2天空气质量超标”为事件A，“3天空气质量都超标”为事件B，则P（B）=0，∴至多有2天空气质量超标的概率P（A）=1﹣P（B）=1．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：EX==2．20．过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，当|PM|=|PN|时，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为，确定几何量，从而可得椭圆的方程；（2）设A为弦MN的中点，直线与椭圆方程联立得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，可得m2＜3k2+1，|PM|=||PN|，可得AP⊥MN，由此可推导出m的取值范围．【解答】解：（1）∵△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为，∴a=，c=∴b=1，∴椭圆的方程为：=1；（2）设A（x A，y A）、M（x M，y M）、N（x N，y N），A为弦MN的中点，直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）2﹣12（3k2+1）（m2﹣1）＞0，∴m2＜3k2+1，①由韦达定理，可得A（﹣，）∵|PM|=||PN|，∴AP⊥MN，∴∴2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2∵2m=3k2+1＞1，∴m＞∴＜m＜2．当k=0时，m=，也成立．综上可得m的范围是[，2）．21．已知函数f（x）=ln（3x+2）﹣x2（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（Ⅱ）问题转化为a＞lnx﹣ln或a＜lnx+ln恒成立①，设h（x）=lnx﹣ln=ln，g（x）=lnx+ln=ln，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是（﹣，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（﹣，）递增，在（，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（）=ln3﹣；（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，⇔a＞lnx﹣ln或a＜lnx+ln恒成立①，设h（x）=lnx﹣ln=ln，g（x）=lnx+ln=ln，由题意得：a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[1，2]恒成立，⇔a＞h（x）max或a＜g（x）min，∵h′（x）=＞0，g′（x）=＞0，∴h（x），g（x）在[1，2]递增，要使不等式①恒成立，当且仅当a＞h（2）或a＜g（1），即a＜ln或a＞ln．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）求EC的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）取BD的中点为O，连接OE，由角平分线的定义和两直线平行的判定和性质，结合圆的切线的定义，即可得证；（2）设△BDE的外接圆的半径为r，运用直角三角形的勾股定理，和直角三角形的性质，即可得到所求EC的长．【解答】解：（1）证明：取BD的中点为O，连接OE，由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠OBE，又DE⊥EB，即有OB=OE，可得∠OBE=∠BEO，可得∠CBE=∠BEO，即有BC∥OE，可得∠AEO=∠C=90°，则直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）设△BDE的外接圆的半径为r，在△AOE中，OA2=OE2+AE2，且即（r+2）2=r2+62，解得r=2，OA=4，由OA=2OE，可得∠A=30°，∠AOE=60°，可得∠CBE=∠OBE=30°，BE=2rsin60°=r，则EC=BE=•r=××2=3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1和C2交点的直角坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由得，两式平方作和可得直角坐标方程，由ρ=﹣4cosθ可得：ρ2=ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程，联立解得交点坐标．（2）由平面几何知识可知，当A、C1、C2、B依次排列且共线时|AB|最大，此时，O到直线AB的距离为，即可得出．【解答】解：（1）由得两式平方作和得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0．①由ρ=﹣4cosθ⇒ρ2=ρcosθ，即x2+y2=﹣4x②②﹣①：x+y=0，代入曲线C1的方程得交点为（0，0）和（﹣2，2）．（2）由平面几何知识可知，当A、C1、C2、B依次排列且共线时|AB|最大，此时，O到直线AB的距离为，∴△OAB的面积为：．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0可得不等式||x|﹣4|＜2，解此不等式可得解集；（Ⅱ）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x ﹣4|+|x|恒成立，只要求|x﹣4|+|x|的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0并化简得||x|﹣4|＜2，∴﹣2＜|x|﹣4＜2，∴2＜|x|＜6，故不等式的解集为（﹣6，﹣2）∪（2，6）；（Ⅱ）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，∵|x﹣4|+|x|≥|（x﹣4）﹣x|=4，∴m的取值范围为m＜4．。