数学竞赛之窗2010年模拟题解答(11-20)
2010年全国高中数学联赛一试试题及答案
6. 两人轮流投掷骰子否则轮由另 一人投掷.先投掷人的获胜概率是
84 . 119 21 7 = ，从而先投掷人的获胜概率为 36 12
解：同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为
7 5 7 5 7 + ( )2 × + ( )4 × + " 12 12 12 12 12 7 1 84 . = × = 25 119 12 1− 144
2
数学竞赛之窗博客/
g ( y ) max = a 2 + 3a − 2 = 8 ⇒ a = 2 ，
所以 g ( y ) min = 2
1 + 3 × 2 −1 − 2 = − . 4 1 综上 f ( x) 在 x ∈ [ −1,1] 上的最小值为 − . 4
解二：如图， PC = PC1 , PA1 = PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则
OA1 = OB, OA = OB1 , A1 B ⊥ AB1 .
因为 PA = PB1 , 所以 PO ⊥ AB1 ,
从而 AB1 ⊥ 平面 PA1 B . 过 O 在平面 PA1 B 上作 OE ⊥ A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ∠B1 EO 为二面角 B − A1 P − B1 的平面角. 设 AA1 = 2 ,则易求得
2
3 ≤ a ≤ 12 . 2
解：令 sin x = t ，则原函数化为 g (t ) = ( −at + a − 3)t ，即
2
g (t ) = −at 3 + (a − 3)t .
由
− at 3 + (a − 3)t ≥ −3 ， − at (t 2 − 1) − 3(t − 1) ≥ 0 ，
2010年模拟考试数学试题答案
tan ABO
1 ……………………………………………
OB 4
2
.2 分
∴ OA＝ 2，即 A 的坐标为 (0， 2)，点 B 的坐标为 (4， 0)……………… 3 分
OA OB
∵ CE⊥ x 轴，∴ CE∥ OA，∴
………………………………
CE BE
∵ OE=2，∴ CE＝3.∴点 C 的坐标是 (－ 2， 3)…………………………
∴ OE ON , AE CN .
ห้องสมุดไป่ตู้
又∵ MOE MON 450 , OM OM , ∴ OME OMN . ∴ MN ME AM AE . ∴ MN AM CN ， ∴ p MN BN BM AM CN BN BM AB BC 4.
∴在旋转正方形
OABC 的过程中， p 值无变化 . …………… 10 分
∴一共调查了 3x＋4x＋ 5x＋ 8x＋ 2x＝ 66(人 ) ……………………………………………
∴捐款数不少于
20 元的概率是 30 66
5 11
．…………………………………………………
3分 5分
数学 第 1 页 ( 共 6 页)
(2) 由(1) 可知，这组数据的众数是 20(元 )，中位数是 15(元 )．…………………………… 7 分 (3) 全校学生共捐款 (9× 5＋ 12×10＋ 15×15＋ 24×20＋ 6× 30)÷ 66× 2310＝ 36750(元 ) ………………… 10 分
2y ……………………… 4 分 xy
x 3y =
2 y ………………………………………… 6 分
xy xy
= x y =1. xy
…………………………………………… 7 分
2010全国初中数学竞赛题及答案
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF PAD BC∠=．证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，可得…………（20分）12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.（第11题）解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝1（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． ⎧⎨⎩＝B '(2-，2)是CO 的延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .．解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+， 所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =. 所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，， 这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分）另一方面，设12n a a a <<< 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n . 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， …………（15分）故20分）。
高州市2010年学科竞赛数学试卷答案
高州市2010年学科竞赛数 学 答 案一、精心选一选：（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题给出四个答案，其中只有11．120 12．2(3)x y - 13．40 14．20- 15． 12三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题7分，共35分。
）16．解：=原式……………………1分…………………………………………2分3分=a ba b +-………………………………………………4分当44a b ==时原式5分…………………………………………6分=7分17．（2分） （2分） （3分）（注：其他正确的分割方法相应给分。
）18．解：作DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AB 于F ，……………………1分则30,60DCE ADF ∠=∠=四边形DEBF 为矩形，……………………………………2分在,1000500Rt CDE CD DE =∴= 中米米500FB ∴=米…………………………3分45,30ACB DCB ∠=∠= 15ACD ∴∠=90B ∠= 又 45CAB ∴∠=又453015CAD CAB DAF ∠=∠-∠=-=ACD CAD ∴∠=∠1000AD CD ∴==米………………………………4分 在3,sin 6010005003()2Rt ADF AF AD =⋅=⨯= 中米…………5分 …………………………6分答：山高AB 为50031）米……………………………………7分19、解：设甲工种招x 人，两工种每月要付工资总额为y 元，则乙工种招（150-x ）人， (1)分依题意得1502,x x -≥………………2分得050x ≤≤…………………………3分10015015x ≤-≤………………4分即：甲工种招工不多于50人，乙工种不少于100人时，每月所付工资总额最少。
……5分 又8001000(150)150000200(050)y x x x x =+-=-≤≤50,140000(x y ∴==当时最小元)………………………………6分答：甲工种招人不多于50人，乙工种招人不少于100人时，工资总额最少。
2010年全国 初中数学联赛(含答案)
12010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若a ，b ，c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B【解析】 因为()()10101a b a c ---=，而左边的两个加数都是非负整数，所以一个等于0，另一个等于1，也就是说，a ，b ，c 三个数中有两个相等，另一个和它们相差1．因此，所求的和式中，两项等于1，另一项等于2，结果为2．2．若实数a ，b ，c 满足等式3||6a b =，49||6a b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】 为了使c 尽量大，a 应该尽量大，b 应该尽量小．因为它们都是非负数，3a ，0b =，不难观察到所求答案为2．3．若a ，b 是两个正数，且1110,a b b a--++= 则（ ）2A ．103a b <+≤B ．113a b <+≤C ．413a b <+≤D ．423a b <+≤. 【答案】 C【解析】 去分母之后得到()()110a a b b ab -+-+=，即220a ab b a b ++--=．给定a 和b 是两个正数，那么如果让它们中的一个等于0，则另一个等于0或14．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．13-B ．9-C ．6D ．0【答案】 A【解析】 这需要使得前者是后者的因式，用综合除法可得，余式为()()33310a b x a c +++++，它应该等于0．所以两个系数都为0，特别地，()()333210a b a c ++-++，所以所求答案为13-．5．在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠,则DCB ∠= ( )A ．15oB ．20oC ．25oD ．30o【答案】 B【解析】 观察可得ADE △为正三角形，6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则312320092010a a a a a +++++=L （ ）A ．28062B ．28065C ．28067D ．28068.【答案】 D【解析】 根据弃九法，它和1到2010的和被9除的余数相等．每连续9个自然数之和被9整除，2010被9除余3，1236++=，所以只有D 符合．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ⎧+=⎨+=⎩，，则22x y += ．【答案】 13【解析】 第一式除以第二式可得2219x xy y -+=，第二式平方可得2221x xy y ++=，那么所求答案就是()1921313⨯+÷=．2．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知3AB ，30CAO ∠=︒，则c = ．【答案】 19【解析】 观察可知A 必须在B 左边，否则B 会跑到x 轴负半轴上．设A 的横坐标为a ，则C 的纵坐标3，23AC =，2AB a =．因此，考虑两根之积，33a a ⨯，3a =319=． 3．在等腰直角ABC △中，5AB BC ==，P 是ABC △内一点，且5PA ，5PC =，则PB = ．4【答案】 10【解析】 设()00B ，，()50A ，，()05C ，，根据熟知的勾三股四弦五，可观察到()31P ，，（另一个点在三角形外，不符合），所以10PB =．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 个球．【答案】 15【解析】 也就是说，编号之差为6或11的两个球颜色相同．下面从1号球开始，依次写出颜色相同的球的编号：11261711516104159314821371→→→→→→→→→→→→→→→→→也就是说，如果有17个球，则全部同色；如果超过17个，则任何连续17个同色，也不行．如果有16个，则上面的圈去掉17号球仍然是一条链，仍然不行；如果有15个，则上面的圈去掉17号球和16号球后断成两部分，所以可以．第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数()a b c a b c ≥≥，，为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长5不超过30的三角形的个数．【解析】 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤， 所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.6⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）已知等腰三角形ABC △中，AB AC =，C ∠的平分线与AB 边交于点P ，M 为ABC △的内切圆I e 与BC 边的切点，作MD AC ∥，交I e 于点D ．证明：PD 是I e 的切线．【解析】 过点P 作I e 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N ．因为CP 为ACB ∠的平分线，所以ACP BCP ∠=∠．又因为PA 、PQ 均为I e 的切线，所以APC NPC ∠=∠．IP QNB7又CP 公共，所以ACP NCP △≌△，所以PAC PNC ∠=∠．由NM QN =，BA BC =，所以QNM BAC △≌△，故NMQ ACB ∠=∠，所以MQ AC ∥．又因为MD AC ∥，所以MD 和MQ 为同一条直线．又点Q 、D 均在I e 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是I e 的切线．三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点()1P a ，，()210Q a ，． ⑴ 如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值．⑵ 设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ．如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC △的面积．【解析】 点()1P a ，、()210Q a ，在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-．⑴ 由8c b a <<知8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，，解得13a <<．又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=．⑵ 设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤，旗开得胜8由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=．所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩，，或982985m n -=⎧⎨-=⎩，，或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩，，或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩，，解得12m n =⎧⎨=⎩，，或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或19323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =．因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+．易求得点A 、B 的坐标为()10，和()20，，点C 的坐标为()02，， 所以ABC △的面积为1(21)212⨯-⨯=．第二试 （B ）旗开得胜9一．（本题满分20分）设整数a ，b ，c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）．【解析】 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤，旗开得胜10所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）11一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数2(1)4y x px k p =+++-的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．【解析】 由题意知，方程2(1)40x px k p +++-=的两根1x ，2x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得12x x p +=-，12(1)4x x k p =+-，从而有()()()()12121222241x x x x x x k p ++=+++=- ①⑴ 若1k =，则方程为22(2)0x px p ++-=，它有两个整数根2-和2p -．⑵ 若1k >，则10k ->.因为12x x p +=-为整数，如果1x ，2x 中至少有一个为整数，则1x ，2x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知1|2p x +或2|2p x +．不妨设1|2p x +，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，12故()()12122k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+， 即1(1)4k m p m-++= ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p ++⨯=≥，10k m->， 从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<， 从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1k >时，方程2(1)40x px k p +++-=不可能有整数根．综上所述，1k =．旗开得胜13。
2010年全国初中数学联赛模拟卷
图３
１． Ａ Ｃ内接于Ｑ０， ２Ａ Ｂ Ｄ是边 Ｂ Ｃ上的中点 ， ／ Ｂ 若 ＿ Ｃ＋Ｌ Ａ ９ 。则 ＡＡ Ｃ ＿ Ａ Ｄ Ｃ＝ ０ ， Ｂ 是
三角形．
第 ７期
２ １ 全 国初 中数 学联 赛模 拟 卷 ０ ０年
・
４ ４・
中学教研 （ 数学）
２１ ０ ０生
２０１０年 全 国 初 中 数 学 联 赛 模 拟 卷
一
、
选择题
１已知 ： ＡＡ Ｃ中， Ｃ ９ 。 ／Ａ Ｃ＝１。Ａ ． 在 Ｂ ＬＡ Ｂ＝ ０ ， Ｂ ＿ ５ ，Ｃ＝１则 Ｂ ， Ｃ的长为
（
）
Ａ２ ．＋
Ａ 二者 均 为有 理数 ．
Ａ． ０ｏ ８
４ ≤ ５
Ｂ． Ｏ。 ５
ｃ≤ ２ ． ６ ７ ＜
Ｃ． ４０。
Ｄ－≤ 莩 ． ） ， ≤
（
Ｄ． Ｏ。 ２
５ 如 图 １ 已知在 ＡＡ Ｃ中 ，Ｂ＝ Ｃ ／ Ａ ． ， Ｂ Ａ Ａ ， ＿Ｂ Ｃ和 ／Ａ Ｂ 的平 分线 相 交 于 点 Ｄ， Ａ ＿ Ｃ ／ ＤＣ＝ ＿
ｌ． ４ 已知线 段 Ａ Ｂ是 ｏ０ 的弦 ， Ｐ是 优 弧Ａ 上 一个 动点 （ 点 Ｂ Ｐ不与 ， 重合 ） 直线 ｚ ／Ａ Ｂ的平分 线． ， 是＿Ｐ
／ 、
（） １ 画图并 证 明 ： 当点 Ｐ在 优弧 船 上运 动时 ， Ａ Ｂ 的平 分 线 ｚ 定点 Ｑ ／ Ｐ ＿ 过 ．
・ ５・ ４
三、 解答 题
ｌ． 同学买某种铅笔 ， ３某 当他买了 ． ， ２ 付了 Ｙ ， ７ 支 元（ Ｙ都是整数 ） ， 时 营业员说 ：你要再多买 ｌ ， “ ０支 我就总
2010年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及参考解答
A B C 内 一点 , 且满 足 2 PA +
∋
&& ∋
3 P B + 6 PC = 0, 试 确 定 P CA 的面积之比. 6. 如图 5, 凸四边形 A B CD 中, ( B A D + ( A D C = 240 ), E 和 F 分 别是边 A D 、 B C 的中点 , EF =
) ] , 而已知这个函数是奇函数 , 其必要 2 = k ,所
条件是在 0 点的函数值为 0, 即 3 以 的最小值是 6 .
2 . 答: ( B) . b 理由 为直线 O P 的斜率, 其最小值为 a b O C 的斜率 , 其最大值为 OA 的斜率, 所以 的 a p q 最大值为 , 最小值为 . m n 3 . 答 : ( C) . 理由 在 A BC 所在平面上取一点 O , ∗ + + 即 P A + P B + PC = 2 A B ,
2010 年 7 月上
第 397 期 ( 高中 )
数 学 竞 赛 之 窗
S PC 1 A 1 , 6# 2 + S PA B . S PB C . S PCA = 6 . 2 . 3 . 6. 答: 28 . 解 延长 B A 、 CD 相交于点 P , 由 ( BA D + ( A D C = 240 ) , 得 ( BP C = 60 ). 连接 BD , 取 BD 的中点 G, 连接 EG, FG, 则 由三角形中位线定理, 知 GE / BP, GF / PC, 所 1 1 以 ( EGF = 120 ), EG = A B, FG = CD. 2 2 在 E GF 中, 由余弦定理得 E F 2 = EG 2 + F G 2 - 2EG FG cos 120 ) AB 2 CD 2 AB CD = + + , 2 2 2 2 2 2 AB CD AB CD 即 + + 2 2 2 2 S
2010年大学生数学竞赛试题及解答
（1）计算积分222,0,0.xxee dx xαβαβ--+∞->>⎰解 方法一 直接利用分部积分法得222xxee dx xαβ--+∞-⎰221()()xxeedx xαβ+∞--'=--⎰221(22)()xxxexe dx xαβαβ+∞--=--+-⎰22(22)xxeedx αβαβ+∞--=--⎰)22(2πβπα⋅-⋅-=)(αβπ-=；方法二 不妨设0αβ<<，由于dyexe e yxxx⎰---=-βαβα2222，而积分2yxe dx +∞-⎰关于y 在[,]αβ上一致收敛，故可交换积分次序222xxee dx xαβ--+∞-⎰2yxdx edy βα+∞-=⎰⎰2yxdy edxβα+∞-=⎰⎰dy y⎰=βαπ21)(αβπ-=；方法三 将0β>固定，记222(),0xxee I dx xαβαα--+∞-=>⎰ ， 可证()I α在(0,)+∞上收敛．设[,),0αδδ∈+∞> ， 因为22xxe eαδ--≤，而2xedx δ∞-⎰＋０收敛，所以由Weierstrass 判别法知道2xedx α∞-⎰＋０对[,)αδ∈+∞一致收敛．所以可以交换微分运算和积分运算的次序， 即222()()xxee I dx xαβαα--+∞∂-'=∂⎰2()xedx α+∞-=-⎰12πα=-．由δ的任意性，上式在(0,)+∞上成立． 所以 ()I C απα=-+，由于()0,,I C βπβ==所以)()(αβπα-=I ，即dx xe exx⎰∞+---0222βα)(αβπ-=．(2)若关于x 的方程211kx x +=，()0k >在区间()0,+∞内有唯一的实数解，求常数k.解：设()211f x kx x=+-，则有()32f x k x'=-，当1320,x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当132,x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>. 由此()f x 在132x k ⎛⎫= ⎪⎝⎭处达到最小值，又()211f x kx x=+-在()0,+∞内有唯一的零点，必有1320f k ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13322102k k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3212331214k ⎛⎫⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22714k ⋅=， 所以233k =.（3）设函数()f x 在区间[],a b 上连续，由积分中值公式，有()()()xaf t dt x a f ξ=-⎰，()a x b ξ≤≤≤，若导数()f a +'存在且非零，求lim x aax aξ+→--.解：()()()()()()()xaf t f a dt x a f f a ξ-=--⎰，()()()()()()21xaaa f t f a dt x af f a x a ξξξ--=⋅----⎰， 由条件，可知()()()1l i m x aaf f a f a ξξ+→+-='-，()()()()()()()()21lim lim 22xax ax af t f a dtf x f a f a x a x a +++→→--'==--⎰，故有1lim 2x aax aξ+→-=-.二、设函数()f x 在0x =附近可微，()00f =，()0f a '=,定义数列22212n n x f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证明：{}n x 有极限并求其值.证明：由导数的定义， 对于任意0ε>,存在0δ>，当0||x δ<<时，有()f x a xε-<.于是()()()a x f x a x εε-<<+，()0x δ<<从而，当1nδ->时，有21k nnδ<<，()()222kk k a f a n n n εε⎛⎫-<<+ ⎪⎝⎭，其中1,2,,k n = .对于上式求和，得到()()2211nnn k k k k a x a nnεε==-<<+∑∑，即()()1122n n n a x a nnεε++-<<+，令n →∞，有()()11lim lim 22nn n n a x x a εε→∞→∞-≤≤≤+,由0ε>的任意性，得到 lim 2n n a x →∞=.设()f x 在()1,1-上有定义，在0x =处可导，且()00f =.证明：()210lim2nn k f k f n →∞='⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.三、设函数f在[0,)+∞上一致连续，且对任何[0,1]x ∈，有()0limn f x n →∞+=，证明：()0lim x f x →+∞=。