管理运筹学第二章-线性规划应用(建模)ppt课件
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管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学课件 第二章线性规划
2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
第2章线性规划的图解法素材
• 这时新的约束条件成为
• ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn – si = bi
管理运筹学- 第二章 线形规划的图解法
20
• 3. 变量无符号限制的问题：
•
• • • •
在标准形式中，必须每一个变量均 为非负变量。当某一个变量 xj 没有非 负约束时，可以令 xj = xj’ – xj” 其中 xj’ ≥ 0，xj” ≥ 0 即用两个非负变量之差来表示一个 无符号限制的变量，当然 xj 的符号取决 于xj’和xj” 的大小。
＝ 8 ＝ 16 ＝ 12
19
管理运筹学- 第二章 线形规划的图解法
•
•
当约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi
•
可以在不等式左端减去一个新的非负 剩余变量si，使它等于约束右边与左边之
• 差。
• si = (ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn) – bi
第二章 线性规划的图解法
• §1 问题的提出 • §2 图解法 • §3 图解法的灵敏度分析
管理运筹学- 第二章 线形规划的图解法
1
第二章 线性规划的图解法
在管理中一些典型的线性规划应用 • 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 • 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 • 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 • 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最 大 • 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 • 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
• 能解决问题的共性特点： • 1·都有要求达到某些数量上的最大化或最 小化的目标。 • 2.所有问题都是在一定的约束条件下来追求 其目标的。
运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用
对偶问题同时解
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
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0
0
0
3/2 -M-3/2
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x4
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x1
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x2
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1
(1)
0
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2
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42
5
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7
7
0
2
1
cj - zj
0
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2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
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0
0
1
0
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5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
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2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
管理运筹学ppt课件
最小生成树问题
要点一
总结词
最小生成树问题是网络优化中的另一类重要问题，旨在寻 找一个子图，该子图包含图中所有节点且边的总权重最小 。
要点二
详细描述
最小生成树问题是网络优化中的另一类重要问题。在一个 加权图中，我们希望找到一个子图，该子图包含图中所有 节点且边的总权重最小。这个子图被称为最小生成树。 Kruskal算法和Prim算法是最著名的最小生成树问题的求 解方法。这些算法可以帮助我们在加权图中找到一个最小 生成树，从而在实际应用中实现最小成本的网络设计或路 由选择。
决策变量
整数规划的决策变量是整数类型的变量，用于表 示决策结果。
ABCD
约束条件
整数规划的约束条件可以是等式或不等式，例如 资源限制、时间限制等。
整数约束
整数规划的约束条件要求决策变量取整数值，以 确保问题的可行解是整数解。
整数规划的求解方法
枚举法
枚举法是一种暴力求解方法，通 过列举所有可能的决策变量组合 来找到最优解。
约束条件
非线性规划的约束条件可以是等式或不等式， 限制决策变量的取值范围。
决策变量
非线性规划的决策变量可以是连续的或离散的，根据问题的具体情况而定。
非线性规划的求解方法
梯度法
通过计算目标函数的梯度，逐步逼近最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，迭代逼近最优解。
拟牛顿法
通过构造一个近似于目标函数的二次函数，迭代 逼近最优解。
07 决策分析
决策分析的基本概念
决策分析
指在面临多种可能的选择时，基于一 定的目标，通过分析、比较和评估，
选择最优方案的过程。
决策要素
包括决策者、决策对象、决策信息、 决策目标、决策方案和决策评价。
《管理运筹学》02-1线性规划的数学模型及相关概念
03 线性规划的求解方法
单纯形法
1
单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法， 其基本思想是通过不断迭代来寻找最优解。
2
单纯形法的基本步骤包括：建立初始单纯形表格、 确定主元、进行基变换、更新单纯形表格和判断 是否达到最优解。
3
单纯形法在处理大规模线性规划问题时，由于其 迭代次数与问题规模呈指数关系，因此计算量较 大。
06 线性规划的案例分析
生产计划问题
总结词
生产计划问题是一个常见的线性规划应用场景，通过合理安排生产计划，企业可以优化资源利用，降低成本并提 高利润。
详细描述
生产计划问题通常涉及确定不同产品组合、生产数量、生产批次等，以满足市场需求、资源限制和利润目标。线 性规划模型可以帮助企业找到最优的生产计划，使得总成本最低或总利润最大。
最优性条件由单纯形法推导得出，是判断线性规划问题是否达到最优解的 重要依据。
解的稳定性
解的稳定性是指最优解在参数变化时保持相对稳定的能力。
在实际应用中，由于数据的不确定性或误差，参数可能会发生变化。因此，解的稳 定性对于线性规划问题的实际应用非常重要。
解的稳定性取决于目标函数和约束条件的性质，以及求解算法的鲁棒性。在某些情 况下，可以通过敏感性分析来评估解对参数变化的敏感性。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
目标函数是需要最大或最小化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是问题中给定的限制条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$ 或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
管理运筹学讲义 第2 章 线性规划讨论
14
OR:SM
第四节 线性规划灵敏度分析
一、灵敏度分析的必要性
线性规划研究的是一定条件下的最优化问题
• 资源环境和技术条件是可变的 • 基础数据往往是测算估计的数值
• 灵敏度分析的概念
灵敏度分析又称敏感性分析或优化后分析
• 研究基础数据发生波动后对最优解的影响
• 最优解对数据变化的敏感程度 • 在多大的范围内波动才不影响最优基
设备H：
4
经Lindo软件求解，得到最优解为Z=5800,x1=40,x2=60,x3=40。
OR:SM
第二节 线性规划的适用层次
计划链的层次
• 产值计划 或 利润计划 • 绝对数量 或 增长幅度 • 期限:年度 单位:万元 • 大类产品年度生产计划 当前条件 • 确定产品的品种和数量 • 期限:年度 单位:万台
库存管理
物料需求计划MRP 能力需求计划
CRP
预测
经营计划 销售计划 生产计划大纲 主生产计划MPS
• 大类产品销售收入或台套 • 产品品种和数量如何确定 • 期限:年度 单位:万台
粗能力计划
物料清单
• 具体产品在具体 时段的出产计划 • 合同订单和预测 转换为生产任务
• 将产品出产计划 转换成物料需求表
6
OR:SM
第三节 线性规划的典型案例
一、配送中心选择
决策变量：设从供货源Si到分销中心Wj的运输量为 xij ，从分销中 心Wj到需求市场Rk的运输量为 y jk 。选址规划在于二者的实际取值。 如果 x11 x21 0 ，则不设置分销中心W1； 反之，则设置W1,其规模为 x11 x21 如果 x12 x22 0 ，则不设置分销中心W2； 反之，则设置W2，其规模为 x12 x22
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方案1 1 0 3 7.4
0
方案2 2 0 1 7.3
0.1
方案3 0 2 2 7.2
0.2
方案4 1 2 0 7.1
0.3
方案5 0 1 3 6.6
0.8
方案6 1 1 1 6.5
0.9
方案7 0 3 0 6.3
1.1
方案8 0 0 4 6.0
1.4
9
精选
LOGO
二、套裁下料问题
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
11
精选
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三、生产计划的问题
[例3] 明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，
都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、 乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生 产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据 如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、 丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸 造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作8h， 问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又 配备最少司机和乘务人员?
7
精选
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一、人力资源分配的问题
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建
立如下的数学模型。
目标函数：Min z= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
8
精选
23 18 16
解：设 x1 ,x2 ,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的 件数，x4, x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品
的件数。
13
精选
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三、生产计划的问题
求 xi 的利润:利润 = 售价 - 各成本之和可得到 xi （i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。
LOGO
第二章 线性规划的应用
国际医药商学院
1
精选
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1
人力资源分配的问题
2
套裁下料问题
3
生产计划的问题
4
配料问题
5
投资问题
2
精选
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线性规划应用
线性规划---
合理利用线材问题：如何下料使 用材最少。
配料问题：在原料供应量的限制 下如何获取最大利润。
投资问题：从投资项目中选取方 案，使投资回报最大。
0.1
方案2 1 2 0 7.1
0.3
方案3 1 1 1 6.5
0.9
方案4 1 0 3 7.4
0
方案5 0 3 0 6.3
1.1
方案6 0 2 2 7.2
0.2
方案7 0 1 3 6.6
0.8
方案8 0 0 4 6.0
1.4
把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
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线性规划应用
产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，
使获利最大。 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的
需要。 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最
小。
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线性规划应用
数学规划的建模有许多共同点，要遵循下列原则： (1)容易理解。建立的模型不但要求建模者理解， 还应当让有关人员理解。这样便于考察实际问题与模型 的关系，使得到的结论能够更好地应用于解决实际问题。 (2)容易查找模型中的错误。这个原则的目的显然 与(1)相关。常出现的错误有：书写错误和公式错误。
约束条件：
s.t. x1 + 2x2 + x4 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 ≥ 100 3x1 + x2 + 2x3+ 3x5 ≥ 100 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
10
精选
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▪ 约束条件用大于等于号时，目标函数本来求所 用原料最少和求料头最少是一样的。
▪ 但由于第一个下料的方案中料头为零，无论按 第一下料方案下多少根料，料头都为零，所以 目标函数就一定要求是原料最少。
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二、套裁下料问题
[例2] 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m, 2.1m, 1.5m的圆钢各一 根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
解:考虑下列各种下料方案（按一种逻辑顺序给出）
2.9 m 2.1 m 1.5 m 合计 剩余料头
方案1 2 0 1 7.3
方案1 1 0 3 7.4
0
方案2 2 0 1 7.3
0.1
方案3 0 2 2 7.2
0.2
方案4 1 2 0 7.1
0.3
方案5 0 1 3 6.6
0.8
假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。我们建
立如下的数学模型。 目标函数：
Min z= x1 +x2 +x3 +x4 +x5
12
精选
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三、生产计划的问题
甲 乙 丙 资源限制
铸造工时(小时/件)
5 10 7
8000
机加工工时(小时/件) 6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件) 3
5
4
外协铸件成本(元/件) 5
6
--
机加工成本(元/件)
2
1
3
装配成本(元/件)
3
2
2
产品售价(元/件)
6
精选
LOGO
一、人力资源分配的问题
[例1] 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员 数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00
22： —— 2：00 2：00 —— 6：00
(3)容易求解。对线性规划来说，容易求解问题主 要是控制问题的规模，包括决策变量的个数和约束条 件的个数。这条原则的实现往往会与(1)发生矛盾， 在实现时需要对两条原则进行统筹考虑。
5
精选
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线性规划应用
建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：
(1)设立决策变量； (2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式 表示； (3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极 大（Max）还是极小（Min）； (4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。
这样我们建立如下数学模型：
目标函数: Max 15x1+10x2+7x3+13x4+9x5
约束条件：
s.t. 5x1+10x2+7x3 ≤ 8000 6x1+4x2+8x3+6x4+4x5 ≤12000 3x1+2x2+2x3+3x4+2x5 ≤ 10000 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0