八年级数学上册知识点总结第十四章
八年级数学上册知识点总结第十四章
1.画函数图象的一般步骤：一、列表(一次函数只用列出两个点即可,其他函数一般需要列出5个以上的点,所列点是自变量与其对
应的函数值),二、描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应函数的值为纵坐标,描出表格中的个点,一般画一次函数只用两点),三、连线(依次用平滑曲线连接各点).
2.根据题意写出函数解析式：关键找到函数与自变量之间的等量关系,列出等式,既函数解析式.
3.若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量).特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.
4.正比列函数一般式：y=kx(k≠0),其图象是经过原点(0,0)的一条直线.
5.正比列函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线,当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大,当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,y随x的增大而减小,在一次函数y=kx+b 中:当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.
6.已知两点坐标求函数解析式(待定系数法求函数解析式)：
把两点带入函数一般式列出方程组
求出待定系数
把待定系数值再带入函数一般式,得到函数解析式
7.会从函数图象上找到一元一次方程的解(既与x轴的交点坐标横坐标值),一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解(既两函数
直线交点坐标值)
整式的乘法
※(1).单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值.这时容易出现的错误的是,将系数相乘与指数相加混淆;
②相同字母相乘,运用同底数的乘法法则;
③只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式;
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式.
※(2).单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同;
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号;
③在混合运算时,要注意运算顺序.
※(3).多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项,检查的方法是：在没有合并同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积;
②多项式相乘的结果应注意合并同类项;
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和,常数项是两个因式中常数项的积.
平方差公式
¤1.平方差公式：两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,
※即.
¤其结构特征是：
①公式左边是两个二项式相乘,两个二项式中第一项相同,第二项互为相反数;
②公式右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差.
完全平方公式
¤1.完全平方公式：两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,
¤即;
¤口决：首平方,尾平方,2倍乘积在中央;
¤2.结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方;
②公式右边共有三项,是二项式中二项的平方和,再加上或减去这两项乘积的2倍.
¤3.在运用完全平方公式时,要注意公式右边中间项的符号,以及避免出现这样的错误.
添括号法则：添正不变号,添负各项变号,去括号法则同样看了“八年级数学上册知识点总结”的人还看了：。
第14章整式知识点
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、若(2020×2020×…×2020⏟ 共2020个)×(2020+2020+⋯+2020⏟ 共2020个)=2020n ，则n ＝（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 答案：A分析：2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．∵2020×2020×⋯×2020=20202020⏟ 2020，2020+2020+⋯+2020⏟ 2020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022， 即2020n =20202022， ∴n =2022． 故选：A ．小提示：本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2、如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ）A ．ad +bcB ．ad +c (b −d )C ．ab −cdD ．c (b −d )+d (a −c ) 答案：B分析：把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．解：S 阶梯型＝bc +（a ﹣c ）d 或S 阶梯型＝ab ﹣（a ﹣c ）（b ﹣d ） 或S 阶梯型＝ad +c （b ﹣d ）， 故选：B ．小提示：本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．3、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（ ）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ） 答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． x ﹣x 3=x （1﹣x 2） =x （1﹣x ）（1+x ）． 故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 4、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0，∴a =12，b ＝2， 即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b故选：C．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（）A．bc−ab+ac+c2B．ab−bc−ac+c2C．a2+ab+bc−ac D．b2+bc+a2−ab答案：B分析：矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．空白部分的面积为(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2．故选B．小提示：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（）A．2B．3C．4D．8答案：D分析：把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直接输出结果．解：当m=2时，=22-1=3＜7，当m=3时，m2-1=32-1=8＞7，则y=8．故选：D．小提示：此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．7、2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0答案：D分析：先将2变形为(3−1)，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∴332−1的个位数字为0，∴2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故选：D．小提示：本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．8、若x2+ax＝（x+1）2+b，则a，b的值为（）2A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12 答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解． 解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ，∴a =1，14+b =0，∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b 答案：A分析：4张边长为a 的正方形卡片的面积为4a 2，4张边长分别为a 、b 的矩形卡片的面积为4ab ，1张边长为b 的正方形卡片面积为b 2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a 2+4ab+b 2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b ．设拼成后大正方形的边长为x ， ∴4a 2+4ab+b 2=x 2，∴(2a+b)2=x 2，∴该正方形的边长为：2a+b. 故选A.小提示：本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 10、下列计算正确的是（ ）A ．m +m =m 2B ．2(m −n )=2m −nC ．(m +2n)2=m 2+4n 2D ．(m +3)(m −3)=m 2−9 答案：D分析：根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 解：A.m +m =2m ，故该选项错误，不符合题意； B.2(m −n )=2m −2n ，故该选项错误，不符合题意； C.(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，故该选项错误，不符合题意； D.(m +3)(m −3)=m 2−9，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．小提示：本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键． 填空题11、阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c ，abc ，a 2+b 2，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a+b 和ab ，像a 2+b 2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b ，ab 表示，例如：a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ．请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a ）（x+b ）＝x 2+mx+n ． ①若m =−2,n =12，求对称式ba +ab 的值； ②若n ＝﹣4，直接写出对称式a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．答案：（1）①③；（2）①b a +ab ＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．分析：（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b ＝﹣2，ab ＝12，再变形得到b a +ab ＝a 2+b 2ab ＝(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2，再利用完全平方公式变形得到（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2，所以原式=1716m 2+172，然后根据非负数的性质可确定a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．解：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是 ①③．故答案为①③；（2）∵x 2+（a+b ）x+ab ＝x 2+mx+n ∴a+b ＝m ，ab ＝n ． ①a+b ＝﹣2，ab ＝12，b a+ab ＝a 2+b 2ab＝(a+b)2−2abab＝(−2)2−2×1212＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2＝（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2＝m 2+8+m 2+816＝1716m 2+172， ∵1716m 2≥0， ∴a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．小提示：本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．12、平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(m ，3)．若将点A 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B(1，n)，则m +n =_______． 答案：3分析：先写出点A 向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐标．即可求出m 、n ，最后代入m +n 即可．点A 向下平移2个单位后的坐标为(m ，3−2)，即(m ，1)．再向左平移1个单位后的坐标为(m −1，1)．∴{m−1=11=n ，即{m=2n=1．∴m+n=2+1=3．所以答案是：3．小提示：本题考查坐标的平移变换以及代数式求值．根据坐标的平移变换求出m、n的值是解答本题的关键．13、若a+b=1，则a2−b2+2b−2=________．答案：-1分析：将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2，再将a+b=1代入求值即可.解：a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2将a+b=1代入，原式=a−b+2b−2=a+b−2=1-2=-1所以答案是：-1.小提示：本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2.14、已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为__________．答案：8分析：根据平方差公式直接计算即可求解．解：∵a+b=4，a−b=2，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8所以答案是：8小提示：本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．15、若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为______．答案：14分析：由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案．解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=−116，∵a+b=−14，∴a−b=−116÷(−14)=14．故答案是：14．小提示：本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．解答题16、分解因式：2x3−2x2y+8y−8x答案：2(x−y)(x−2)(x+2)分析：先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．解：2x3−2x2y+8y−8x=2x2(x−y)+8(y−x)=2x2(x−y)−8(x−y)=2(x−y)(x2−4)=2(x−y)(x−2)(x+2)．小提示：此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．17、小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，答案：(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12分析：（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．小提示：本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．18、我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b)，所以x2+6x−7=x2+ [7+(−1)]x+7×(−1)=(x+7)[x+(−1)]=(x+7)(x−1)．但小白在学习中发现，对于x2+6x−7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x−7=x2+6x+9−7−9=(x+3)2−16=(x+3)2−42=(x+3+4)(x+3−4)=(x+7)(x−1)．这种在二次三项式x2+6x−7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2−8x+7分解因式；（2）填空：x2−10xy+9y2=x2−10xy+________+9y2−________=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(________)2=[(x−5y)+________][(x−5y)−________]=(x−y)(x−________)；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx−13m2．答案：（1）(x−1)(x−7)；（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）(x+13m)(x−m)分析：（1）在x2−8x+7上加16减去16，仿照小白的解法解答；（2）在原多项式上加25y2再减去25y2，仿照小白的解法解答；（3）将−13m2分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加36m2再减去36m2仿照小白的解法解答．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16+7−16=(x−4)2−9=(x−4)2−32=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）解：x2−10xy+9y2=x2−10xy+25y2+9y2−25y2=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(4y)2=[(x−5y)+4y][(x−5y)−4y]=（x-y）（x-9y）所以答案是：25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）解法1：原式=x2+[13m+(−m)]x+13m⋅(−m)=(x+13m)(x−m)．解法2：原式=x2+12mx+36m2−13m2−36m2=(x+6m)2−49m2=[(x+6m)+7m][(x+6m)−7m]=(x+13m)(x−m)．小提示：此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小白的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．。
八年级上册数学第十四章知识点总结
八年级上册数学第十四章知识点总结第十四章一次函数一、知识点1. 函数：在某一变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
2. 一次函数：一般地，如果y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0，k,b是常数)，那么y随x增大而增大，我们就称它为一次函数。
3. 正比例函数：对于两个相关联的变量x，y，如果它们的函数关系式中，k，b为常数且k≠0，那么就称y按照关于x的一次函数关系随x变化。
4. 正比例函数图象：一般地，当我们把形如y=kx(k≠0)的函数的图象画在同一个直角坐标系中时，正比例函数的图象是经过原点的一条直线。
二、理解与应用1. 理解一次函数的概念：我们需要关注函数的表达方式和形式(即定义)，了解常数k的几何意义，并理解b的含义。
2. 应用一次函数解决实际问题：我们要能够将实际问题转化为数学问题，通过运用一次函数的性质来求解。
例如，我们可以利用一次函数的增减性来解决问题，根据实际情况做出选择。
3. 注意在解题过程中运用画图辅助的方法：利用图象可以直观地看出两个变量之间的变化关系，有助于我们更好地理解问题，找到解题的关键点。
三、例题解析【例】已知正比例函数y=kx的图象经过点(2,4)，求k的值并画出这个函数的图象。
【解析】根据题目中的条件，我们可以直接将点(2,4)代入函数表达式中求得k的值。
根据所求得的k值，我们可以画出这个函数的图象。
通过观察图象，我们可以更好地理解一次函数与自变量之间的关系。
解：将点(2,4)代入函数表达式中，可得k=2×4=8。
画出这个函数的图象如下：这个图象是一条经过原点和点(2,4)的直线。
通过观察图象，我们可以发现当x>0时，y随x的增大而增大。
这对于我们解决实际问题非常有帮助。
四、练习题请完成以下练习题，尝试运用一次函数的知识来解决实际问题。
1. 已知正比例函数y=kx的图象经过点(3,2)，求k的值并画出这个函数的图象。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解重点知识点大全(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解重点知识点大全单选题1、下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是()A．a2+b2B．2a−b2C．−a2+b2D．−a2−b2答案：C分析：根据平方差公式的定义判断即可；A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；C、原式=(b−a)(b+a)，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C．小提示：本题主要考查了平方差公式分解因式，准确判断是解题的关键．2、要使多项式(x+p)(x−q)不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为−1答案：A分析：计算乘积得到多项式，因为不含x的一次项，所以一次项的系数等于0，由此得到p-q=0，所以p与q 相等.解：(x+p)(x−q)=x2+(p−q)x−pq∵乘积的多项式不含x的一次项∴p-q=0∴p=q故选择A.小提示：此题考查整式乘法的运用，注意不含的项即是该项的系数等于0.3、下列分解因式正确的是（）A．a3−a=a(a2−1)B．x3+4x2y+4xy2=x(x+2y)2C．−x2+4xy−4y2=−(x+2y)2D．16x2+16x+4=(4x+2)2答案：B分析：根据分解因式的方法进行分解，同时分解到不能再分解为止；A、a3−a=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，故该选项错误；B、x3+4x2y+4xy2=x(x2+4xy+4y2)=x(x+2y)2，故该选项正确；C、−x2+4xy−4y2=−(x2−4xy+4y2)=−(x−2y)2，故该选项错误；D、16x2+16x+4=4(4x2+4x+1)=4(2x+1)2，故该选项错误；故选：B．小提示：本题考查了因式分解，解决问题的关键是掌握因式分解的几种方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止；4、已知（x-m）（x+n）=x2-3x-4，则m-n的值为( )A．1B．-3C．-2D．3答案：D分析：把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照即可得到m-n的值．（x-m）（x+n）=x2+nx-mx-mn=x2+（n-m）x-mn，∵（x-m）（x+n）=x2-3x-4，∴n-m=-3，则m-n=3，故选D．小提示：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．5、下列式子中，正确的有( )①m3∙m5=m15；②（a3）4=a7；③（-a2）3=-（a3）2；④（3x2）2=6x6A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B分析：根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐一分析判断即可．解：①m3⋅m5=m8，故该项错误；②(a3)4=a12，故该项错误；③(−a2)3=−a6，−(a3)2=−a6，故该项正确；④(3x2)2=9x4，故该项不正确；综上所述，正确的只有③，故选：B．小提示：本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．6、在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（）．A．−a2−9B．a2−9C．a2−4b D．a2+9答案：B分析：直接利用平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)，进而分解因式判断即可．A、−a2−9，无法分解因式，故此选项不合题意；B、a2−9=(a+3)(a−3)，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；C、a2−4b，无法分解因式，故此选项不合题意；D、a2+9，无法分解因式，故此选项不合题意．故选B．小提示：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．7、若x2＋2（k＋1）x＋4是完全平方式，则k的值为（）A．＋1B．﹣3C．﹣1或3D．1或﹣3答案：D分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．解：∵x2+2(k+1)x+4是完全平方式，∴2(k+1)=±4，解得：k=1或-3，故D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的2倍的符号，避免漏解．8、下列因式分解正确的是（）A．a2+b2＝(a+b)2B．a2+2ab+b2＝(a−b)2C．a2−a=a(a+1)D．a2−b2=(a+b)(a−b)答案：D分析：根据因式分解的方法，逐项分解即可．A. a2+b2，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；B. a2+2ab+b2＝(a+b)2故该选项不正确，不符合题意；C. a2−a=a(a−1)，故该选项不正确，不符合题意；D. a2−b2=(a+b)(a−b)，故该选项正确，符合题意．故选D．小提示：本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．9、计算(x+1)(x+2)的结果为( )A．x2+2B．x2+3x+2C．x2+3x+3D．x2+2x+2答案：B解：原式=x2+2x+x+2=x2+3x+2.故选B.10、已知a2+14b2=2a−b−2，则3a−12b的值为（）A．4B．2C．−2D．−4答案：A分析：根据a2+14b2=2a−b−2，变形可得：a2−2a+1+14b2+b+1=(a−1)2+(12b+1)2=0，因此可求出a=1，b=−2，把a和b代入3a−12b即可求解．∵a2+14b2=2a−b−2∴a2−2a+1+14b2+b+1=(a−1)2+(12b+1)2=0即(a−1)2=0，(12b+1)2=0∴求得：a=1，b=−2∴把a和b代入3a−12b得：3×1−12×(−2)=4故选：A小提示：本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．填空题11、多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣1，不含x3项和x2项，则ab＝_____．答案：﹣2分析：根据题意只要使含x3项和x2项的系数为0即可求解．解：∵多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣1，不含x2、x3项，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2．∴ab＝﹣2．所以答案是：﹣2．小提示：本题主要考查多项式的系数，关键是根据题意列出式子计算求解即可．12、分解因式：x2y+xy2=______．答案：xy(x+y)分析：利用提公因式法即可求解．x2y+xy2=xy(x+y)，所以答案是：xy(x+y)．小提示：本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键．13、已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=_____．答案：2分析：将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，当ab=a+b+1时，原式=ab﹣a﹣b+1=a+b+1﹣a﹣b+1=2，故答案为2．小提示：本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用．14、观察下列等式：①32−12=4×2；②42−22=4×3；③52−32=4×4；④62−42=4×5；…，第n（n为正整数）个等式为________．答案：(n+2)2−n2=4(n+1)分析：利用已知数据得出变化规律，进而得出答案即可．解：由32−12=4×2，42−22=4×3，52−32=4×4，62−42=4×5，…，可得：(n+2)2−n2=(n+2+n)(n+2−n)=4(n+1)，即：(n+2)2−n2=4(n+1)．故答案是：(n+2)2−n2=4(n+1)．小提示：此题主要考查了数字变化规律以及平方差公式，得出数字变化规律是解题关键．15、若(m+2022)2=10，则(m+2021)(m+2023)=______．答案：9分析：先将m+2021变形为m+2022−1，m+2023变形为m+2022+1，然后把(m+2022)看作一个整体，利用平方差公式来求解．解：∵(m+2022)2=10，∴(m+2021)(m+2023)=(m+2022−1)(m+2022+1)=(m+2022)2−1=10-1=9．所以答案是：9．小提示：本题考查了平方差公式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−解答题16、先化简，再求值：(3x +2)(3x −2)−5x (x −1)−(2x −1)2，其中x =−13． 答案：9x -5，−8分析：先计算乘法，再计算加减，然后把x =−13代入化简后的结果，即可求解． 解：(3x +2)(3x −2)−5x (x −1)−(2x −1)2=9x 2−4−5x 2+5x −4x 2+4x −1=9x −5当x =−13时，原式=−13×9−5=−8小提示：本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．17、化简：3（a ﹣2）（a +2）﹣（a ﹣1）2．答案：2a 2+2a -13分析：根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减法．解：3（a ﹣2）（a +2）﹣（a ﹣1）2=3（a 2-4）-（a 2-2a +1）=3a 2-12-a 2+2a -1=2a 2+2a -13．小提示：此题考查了整式的乘法计算公式，整式的混合运算，正确掌握平方差公式和完全平方公式的计算法则是解题的关键．18、爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若a m =a n (a >0，且a ≠1，m 、n 都是正整数），则m =n ，例如：若5m =54，则m =4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：(1)如果2×4x ×32x =236，求x 的值；(2)如果3x+2+3x+1=108，求x 的值．答案：(1)x =5分析：（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．（1）因为2×4x×32x=236，所以2×22x×25x=236，即21+7x=236，所以1+7x=36，解得：x=5；（2）因为3x+2+3x+1=108，所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，即3x+1=33，所以x+1=3，解得：x=2．小提示：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．。
人教版数学八年级上册 第十四章 整式乘除与因式分解 知识点归纳
第十四章 整式乘除与因式分解学问点归纳：一、幂的运算：1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
留意底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+•+2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4==3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷5、零指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
二、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，一样字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
如：=•-xy z y x 3232 。
7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。
如：)(3)32(2y x y y x x +--= 。
8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
9、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+留意平方差公式绽开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全一样，另一项互为相反数。
八年级的上册数学知识点第十四章
八年级的上册数学知识点第十四章在八年级上册数学的学习中，第十四章是非常重要的一章，其内容是面积和体积的计算。
本章的学习，将使同学们了解到如何正确地计算面积和体积，掌握一些基本的公式和方法，为以后的数学学习奠定坚实的基础。
一、平面图形面积计算本章的第一部分是平面图形的面积计算。
平面图形面积的计算方法有很多，比如直接测量、利用公式计算等等。
以下是具体的内容：1.矩形、正方形面积计算矩形、正方形的面积计算都非常简单。
矩形的面积等于长乘以宽，即S=长×宽；正方形的面积等于边长的平方，即S=边长×边长。
直接套用公式即可。
2.三角形、梯形面积计算三角形、梯形的面积计算就需要一些公式来辅助了。
三角形的面积等于底乘以高的一半，即S=（底×高）/2；梯形的面积等于上底加下底再乘以高的一半，即S=（上底+下底）×高/2。
3.圆的面积计算圆的面积计算需要用到π的数值。
圆的面积等于π乘以半径的平方，即S=πr²。
π的数值可以用3.14近似代替。
二、立体图形体积计算本章的第二部分是立体图形的体积计算。
立体图形体积的计算方法也有很多，比如直接测量、利用公式计算等等。
以下是具体的内容：1.长方体、正方体体积计算长方体、正方体的体积计算也非常简单。
长方体的体积等于长×宽×高，即V=长×宽×高；正方体的体积等于边长的立方，即V=边长×边长×边长。
同样地，直接套用公式即可。
2.棱锥、棱柱、圆柱、圆锥体积计算棱锥、棱柱、圆柱、圆锥的体积计算就需要一些公式来辅助了。
棱锥的体积等于底面积乘以高再除以3，即V=底面积×高/3；棱柱的体积等于底面积乘以高，即V=底面积×高；圆柱的体积等于底面积乘以高，即V=πr²h；圆锥的体积等于底面积乘以高再除以3，即V=πr²h/3。
三、总结本章学习的重点是面积和体积的计算方法。
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点一、整式的乘法1. 单项式乘单项式：法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2. 单项式乘多项式：法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3. 多项式乘多项式：法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
二、乘法公式1. 平方差公式：公式：$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$应用：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
2. 完全平方公式：公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 2ab + b^2$应用：两个数的和 （或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。
三、因式分解1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。
2. 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
3. 公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
四、十字相乘法十字相乘法主要用于二次项系数为1的二次多项式的因式分解。
方法：通过观察和尝试，将常数项分解为两个因数的乘积，并使得这两个因数与一次项系数的组合满足整式的乘法规则。
五、注意事项在进行整式乘法时，要注意系数的计算、字母的指数运算以及符号的处理。
在进行因式分解时，要注意分解的彻底性，即每一个因式都不能再进一步分解。
熟练掌握乘法公式和因式分解的方法，对于提高解题效率和准确率至关重要。
掌握这些知识点，将有助于学生更好地理解和应用整式的乘法与因式分解，提高代数运算能力和解题能力。
人教版八年级数学上册第14章2 乘法公式
知2－练
例 3 计算： (1)(x＋7y)2； (2)(－4a＋5b)2； (3)(－2m－n)2； (4)(2x＋3y)(－2x－3y).
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方 公式进行计算.
(1)(x＋7y)2；
知2－练
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2 ＝x2＋14xy＋49y2；
知2－练
解：原式＝4y2－4y＋1； 原式＝9a2＋12ab＋4b2； 原式＝x2－4xy＋4y2； 原式＝4x2y2＋4xy＋1.
2
例4
计算：(1)9992；(2)
30
1 3
.
知2－练
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再 利用完全平方公式展开计算即可.
(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)2－c2
连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4
特别解读
知1－讲
公式的特征：
1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完
全相同，另一项互为相反数.
2. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去
＝1 000 000－2 000＋1＝998 001；
2
(2)
30
1 3
.
2
2
2
30
1 3
＝
30＋
1 3
＝302＋2×30×13＋
1 3
＝900＋20＋
19＝920 19.
4-1. 运用完全平方公式进行简便计算：
人教版初中数学八年级上册第十四章 平方差公式
探究新知
14.2 乘法公式/
归纳总结
对于平方差中的a和b可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式.在探究整除性或 倍数问题时，一般先将代数式化为最简， 然后根据结果的特征，判断其是否具有整 除性或倍数关系．
巩固练习
14.2 乘法公式/
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
(2m)2 – 12 (5y)2 – z2
想一想 这些计算结果有什么特点？
探究新知
14.2 乘法公式/
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差. 公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
探究新知
14.2 乘法公式/
归纳总结
解决实际问题的关键是根据题意 列出算式，然后根据公式化简算式， 解决问题．
巩固练习
14.2 乘法公式/
如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方
D．4x2+1
3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的 正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___1_0____．
课堂检测
14.2 乘法公式/
4. 利用平方差公式计算：
(1)(a+3b)(a– 3b)；
(2)(3+2a)(–3+2a)；
解:原式=(a)2–(3b)2 解: 原式=(2a+3)(2a–3)
八年级上册数学第14章思维导图
八年级上册数学第14章思维导图引言本文档是八年级上册数学第14章的思维导图，通过思维导图的形式，对该章节的知识点进行整理和归纳，帮助学生更好地理解和掌握这一章的内容。
思维导图概述思维导图是一种以图形化的方式表达和展示知识结构的工具。
它通过主题、分支、关键词等元素的组织和连接，使复杂的知识体系变得简洁、逻辑清晰。
本文档的思维导图以主题为节点，分支为关联的知识点，结构分层明确，帮助读者更好地理解和记忆。
第14章思维导图主题1：代数基础• 1.1 代数运算符– 1.1.1 加法和减法– 1.1.2 乘法和除法• 1.2 代数式– 1.2.1 代数式的定义– 1.2.2 代数式的计算• 1.3 代数方程– 1.3.1 代数方程的定义– 1.3.2 解代数方程的方法主题2：一元一次方程• 2.1 一元一次方程的概念– 2.1.1 一元一次方程的定义– 2.1.2 一元一次方程的例子• 2.2 一元一次方程的解法– 2.2.1 一元一次方程的解法步骤– 2.2.2 一元一次方程的解法示例• 3.1 一元一次不等式的概念– 3.1.1 一元一次不等式的定义– 3.1.2 一元一次不等式的例子• 3.2 一元一次不等式的解法– 3.2.1 一元一次不等式的解法步骤– 3.2.2 一元一次不等式的解法示例主题4：利用一元一次方程和不等式解实际问题• 4.1 实际问题的转化– 4.1.1 实际问题的描述– 4.1.2 实际问题的转化为方程或不等式• 4.2 解实际问题的步骤和方法– 4.2.1 解实际问题的步骤– 4.2.2 解实际问题的方法示例• 5.1 一元一次方程组的概念– 5.1.1 一元一次方程组的定义– 5.1.2 一元一次方程组的例子• 5.2 一元一次方程组的解法– 5.2.1 一元一次方程组的解法步骤– 5.2.2 一元一次方程组的解法示例主题6：平方根与算术平方根• 6.1 平方根的概念– 6.1.1 平方根的定义– 6.1.2 平方根的例子• 6.2 平方根的性质– 6.2.1 平方根的基本性质– 6.2.2 平方根的运算法则• 6.3 算术平方根的计算– 6.3.1 算术平方根的定义– 6.3.2 算术平方根的计算方法总结本文档通过思维导图的形式概括了八年级上册数学第14章的重要知识点。