2018-2019学年安徽省合肥市六校联盟高一(上)期末数学试卷解析版
2018-2019学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={-1，0，1}，N={y|y=x2-1，x∈M}，则M∩N等于（）A. 0，B.C.D.2.已知向量=（1，m），=（2，-4），若 ∥，则实数m=（）A. 2B.C.D.3.已知cos（π-α）=-，则sin（α+）=（）A. B. C. D.4.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为10的图形运动一周，O，P两点间距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，则点P所走的图形是（）A.B.C.D.5.已知a=log 1.2，b=（）-0.8，c=1.2，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.6.设函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），已知函数f（x）的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x=时，f（x）取得最大值，则下列结论正确的是（）A. 函数的最小正周期是B. 函数在上单调递增C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称7.设cos2019°=a，则（）A. ∈B. ∈C. ∈D. ∈8.已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，则log（）=（）A. B. C. 2 D.9.函数f（x）=1-cos x-log4|x|的所有零点之和等于（）A. 0B. 8C. 14D. 1810.已知函数f（x）=，则方程f（f（a））=1的a的个数是（）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.计算：（）-2+8-（lg5+lg20）=______．12.若幂函数y=（k-2）x m-1（k，m∈R）的图象过点（，），则k+m=______．13.已知函数f（x）=sin x•cos x+cos2x-在x=θ时取得最大值，则cos（4θ+）=______．14.平行四边形ABCD中，E为BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=______．15.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=10x-10，则f（lg2019）═______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知函数f（x）=2x-．（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x的不等式f（log2x）＜f（1）．17.已知函数＞（1）若a=1，求函数f（x）的零点；（2）若函数f（x）在[-7，+∞）上为增函数，求a的取值范围．18.已知，，是共面的三个向量，其中=（1，2），||=，||=2且与反向．（1）求|-|；（2）若+2与2-3垂直，求•（+）的值．19.已知函数f（x）=2sin（2x+）．（1）写出由函数y=sin x的图象，经过怎样的变换得到f（x）的图象；（2）若方程f（x）-a=0在[0，]上有解，求实数a的取值范围．20.如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、M在单位圆上，且B（，），M（-，），∠BOM=α．（1）求tanα的值；（2）若OC为∠AOB的平分线，点P在劣弧上运动，且EP∥OC交OA于点E，EPQF为扇形OAB 的内接矩形，记∠POC=θ，求角θ为何值时，矩形EPQF的面积最大？并求出这个最大面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={-1，0，1}， N={y|y=x 2-1，x ∈M}={-1，0}， ∴M∩N={-1，0}． 故选：B ．分别求出集合M ，N ，由此能求出M∩N ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】D【解析】解：向量=（1，m），=（2，-4），若∥，则2m-1×（-4）=0，解得m=-2． 故选：D ．根据两向量平行的坐标表示，列方程求出m 的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题． 3.【答案】B【解析】解：∵cos （π-α）=-， ∴cosα=，∴sin （α+）=cosα=．故选：B ．由已知利用诱导公式即可求解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 4.【答案】C【解析】解：观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：①点P 运动到周长的一半即x=5时，OP 最大；②点P 的运动图象是抛物线．A ，B 对应的图象一开始为直线，排除A ，B ， 选项D 中，OM≤OP ，不符合条件①，排除D ， 故选：C ．认真观察函数的图象，根据其运动特点，采用排除法求解．本题考查动点问题的函数图象，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．选项C 中出现了椭圆，增加了试题的难度． 5.【答案】B【解析】解：a=log 1.2＜0，b=（）-0.8＞1c=1.2∈（0，1）， 故a ＜c ＜b ， 故选：B ．根据指数函数和对数函数的单调性，分析三个式子值的范围，可得答案．本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．6.【答案】A【解析】解：由题意，f （x ）的最小正周期为4π， ∴ω==，∵当x=时，f （x ）取得最大值．即+φ=2kπ+，k ∈Z ．∴φ=2kπ+，k ∈Z ． ∵0＜φ＜， 可得：φ=．那么f （x ）=2sin （x+），对于A ，正确； 对于B ，当x ∈[0，]，x+∈[，]，由正弦函数的单调性可知错误；对于C ，由2sin （×+）≠2，故错误；对于D，由2sin （×+）≠0，故错误；故选：A．根据f（x）的最小正周期为4π，可得ω，当x=时，f（x）取得最大值．可得φ的值，得到了f（x）的解析式，利用正弦函数的性质逐项判断即可．本题考查了三角函数的图象变换规律，以及正弦函数的性质的应用，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：∵39°∈（30°，45°），∴cos39°∈（，），可得：-cos39°∈（-，-），∴a=cos2019°=cos（360°×5+180°+39°）=-cos39°∈（-，-）．故选：A．根据角的范围和余弦函数的图象和性质可求cos39°∈（，），根据诱导公式化简已知即可求解．本题主要考查了余弦函数的图象和性质，诱导公式在解题中的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，∴sinαcosβ+cosαsinβ=，sinαcosβ-cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，相除可得=7，则log （）==2，故选：C．由题意利用两角和差的正弦公式，求得sinαcosβ和cosαsinβ，相除可得的值，从而得到要求式子的值．本题主要考查两角和的三角公式的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f（x）=1-cos x-log4|x|，有f（-x）=1-cos（-）-log4|-x|=1-cos x-log4|x|=f（x），则f（x）为偶函数，则函数f（x）=1-cos x-log4|x|的零点也关于原点对称，则其所有零点之和等于0；故选：A．根据题意，由函数的解析式可得f（-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数，结合偶函数的性质分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析函数f（x）的奇偶性．10.【答案】B【解析】解：设t=f（a），解方程f（t）=1，得：t1=1，t2=2，方程f（f（a））=1的a的个数等价于t=f（a）的图象与直线，t1=1和t2=2的交点个数之和，由图可知：t=f（a）的图象与直线，t1=1和t2=2的交点个数之和为4，故选：B．由方程的解的个数与函数图象交点个数的关系得：方程f（f（a））=1的a的个数等价于t=f（a）的图象与直线，t1=1和t2=2的交点个数之和，再结合数形结合的数学思想方法作t=f（a）的图象与直线，t1=1和t2=2的图象观察即可得解本题考查了数形结合的数学思想方法及方程的解的个数与函数图象交点个数的关系，属中档题11.【答案】6【解析】解：（）-2+8-（lg5+lg20）=4+4-2=6．故答案为：6．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】2【解析】解：函数为幂函数，则k-2=1，得k=3，则幂函数为y=f（x）=x m-1，∵函数过点（），∴f（）=（）m-1=4，即21-m=4，得1-m=2，得m=1-2=-1，则k+m=3-1=2．故答案为：2．根据幂函数的定义求出k的值，结合幂函数过定点，代入求出m的值即可．本题主要考查幂函数的应用，结合漫幂函数的定义求出k，m是解决本题的关键．13.【答案】0【解析】解：函数函数f（x）=sinx•cosx+cos2x-==，故当2θ+=2kπ+，k∈Z，即θ=kπ+，k∈Z时，函数f（x）取得最大值为1．则cos（4θ+）=cos（4kπ+）=cos（）=0．故答案为：0．利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）═sin（2x+）．由题意可得2θ+=2kπ+，k∈Z，求出θ，再代入cos（4θ+）求解即可．本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，两角和的余弦函数公式，属于中档题．14.【答案】1【解析】解：根据题意得，=+=-∴+μ=）+μ（-）=（λ+μ）+（-μ）=∴λ+μ=1故答案为：1．运用向量的数乘运算可解决此问题．本题考查向量的数乘运算的简单应用．15.【答案】-【解析】解：根据题意，f（x+2）=f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，又由lg103＜lg2019＜lg104，即3＜lg2019＜4，则-1＜lg2019-4＜0，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（lg2019）=f（lg2019-4）=-f（4-lg2019），若x∈[0，1）时，f（x）=10x-10，则f（4-lg2019）=104-lg2019-10=-10=，则f（lg2019）=-，故答案为：-．根据题意，分析可得f（x）是周期为2的周期函数，分析lg2019的范围，结合函数的奇偶性可得f（lg2019）=f（lg2019-4）=-f（4-lg2019），结合函数的解析式计算f（4-lg2019）的值，变形可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数的运算性质，属于基础题．16.【答案】解：（1）∵f（-x）=2-x-2x=-（2x-）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，则当x≥0时，设0≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=--+=-+=（-），∵0≤x1＜x2，∴1≤＜，即-＜0，＞1，则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x）在[0，+∞）上是增函数，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）在R上是增函数．（2）∵f（x）在R上是增函数，∴不等式f（log2x）＜f（1）等价为不等式log2x＜1，即0＜x＜2．即不等式的解集为（0，2）．【解析】（1）先判断函数的奇偶性，然后利用函数单调性的定义进行证明即可（2）利用函数单调性的性质将不等式进行转化求解即可本题考查函数的单调性的判定以及应用，关键是分析证明函数f（x）的单调性．利用函数单调性的定义是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）若a=1，则＞当x＞1时，由得，x=2；…………………（2分）当x≤1时，由x2+2x=0得，x=0或x=-2…………………（4分）所以，f（x）的零点为-2，0，2…………………（6分）（2）显然，函数在[1，+∞）上递增，且g（1）=-2；函数h（x）=x2+2ax-3a+3在[-a，1]上递增，且h（1）=4-a．故若函数f（x）在[-7，+∞）上为增函数，则，，∴a≥7．…………………（10分）故a的取值范围为[7，+∞）．……………（12分）【解析】（1）利用分段函数，分段求解函数的零点即可．（2）利用函数的单调性，列出不等式组，求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：∵ =（1，2），||=2且与反向，∴ =λ，λ＜0，∴||=|λ|，∴2=|λ|，解得λ=-2，∴ =-2（1，2）=（-2，-4），∴ -=（-3，-6）∴|-|==3（2）∵ +2与2-3垂直，∴（+2）•（2-3）=2-6+•=0，∴ •=6×3-2×5=8，∴ •（+）=•+•=8+（1，2）×（-3，-6）=8-3-12=-7【解析】（1）先求出向量的C的坐标，再根据向量的坐标运算和向量模即可求出，（2）根据向量的垂直求出•=8，再根据向量的数量积即可求出．本题考查了向量的模的运算向量的数量积和向量的坐标运算，属于基础题19.【答案】（本题满分为10分）解：（1）把函数y=sin x的图象向左平移的单位，可得函数y=sin（x+）的图象，再把所得图象上点的横坐标变为原来的倍，可得函数y═sin（2x+）的图象再把所得图象上点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数f（x）═2sin（2x+）的图象．…（5分）（2）∵x∈[0，]，可得：2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[-，1]，∵方程f（x）=a在x∈[0，]上有解，∴实数a的取值范围为：[-，1]；…（10分）【解析】（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．（2）利用三角函数的图象与性质即可求出a的取值范围；本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的减区间，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题意知，tan∠BOA==，tan∠MOA==-2，又∠BOM=α，∴tanα=tan（∠MOA-∠BOA）==；（2）由条件得∠AOB=，∠AOC=，且CP=sinθ，EP=cosθ-=cosθ-sinθ，∴矩形EPQF的面积为S（θ）=2CP•EP=2sinθ•（cosθ-sinθ）=2sinθcosθ-2sin2θ=sin2θ-•（1-cos2θ）=2sin（2θ+）-，当2θ+=，即θ=时，矩形EPQF的面积取得最大值，为2-．【解析】（1）由题意知tan∠BOA和tan∠MOA的值，利用两角差的正切公式计算tanα的值；（2）用θ的三角函数值表示出CP、EP的值，求出矩形EPQF的面积，计算它的最大值以及对应θ的值．本题考查了三角函数的运算与性质的应用问题，也考查了矩形的面积计算问题和两角和与差的运算问题，是中档题．。
安徽省合肥一六八中学近年-近年学年高一数学上学期期末考试试题(宏志班,含解析)(最新整理)
19。 ， ，且 , ,且 为偶函数。
(1）求 ；
（2)求满足 , 的 的集合。
【答案】(1） ；(2） ．
【解析】
试题分析：（1）首先利用向量数量积的坐标运算并且结合二倍角公式与两角和的正弦公式化简函数 的解析式,可得： ．由已知 为偶函数知其图象关于y轴对称，可得： 当x=0成立，从而可得 ，再根据θ的范围即可得到答案．
【解析】
【分析】
本题首先可以根据 分别是方程 的根得出 ,再根据
即可得出 ，然后通过函数 与函数 的性质即可得出 ，最后得出结果。
【详解】因为 , ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ,
因为函数 与函数 都是单调递增函数，前者在后者的上方，
所以 ，
综上所述， 。
【点睛】本题考查方程的根的比较大小，通常可通过函数性质或者根的大致取值范围进行比较，考查函数思想，考查推理能力，是中档题.
则有 ，即 ，
设 ，画出函数 的图像：
要使 与 的图像至少有3个交点,
则 且满足 ，即 ，解得 ，故选D。
【点睛】本题考查的是函数的对称性、对数函数以及三角函数的相关性质，主要考查如何根据函数对称性来求出函数解析式，考查学生对对数函数以及三角函数的图像的理解，考查推理能力,考查数形结合思想,是难题。
三、解答题。
17。已知 ，且 ,
（1）求 ， 的值；
（2） ， 求 的值。
【答案】（1) ； (2)
【解析】
【分析】
（1）首先可通过二倍角公式以及 将 转化为 ，然后带入 即可计算出 的值，再然后通过 以及 即可计算出 的值；
安徽省合肥市2018-2019学年高一数学上学期期末调研试卷
安徽省合肥市2018-2019学年高一数学上学期期末调研试卷一、选择题 1．若直线l ：12x ty at=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)经过坐标原点，则直线l 的斜率是A ．2-B ．1-C ．1D ．22．直线y kx b =+与曲线22ln y ax x =+-相切于点()1,4P ，则b 的值为（ ） A.3B.3-C.1-D.13．命题：00x ∃>，20020x x -->的否定是( )A ．0x ∀≤，220x x --≤B ．00x ∃≤，20020x x --≤ C ．0x ∀>，220x x --≤D ．00x ∃>，20020x x --≤4．下图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器不能同时接收到信号的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．正方体1111ABCD A B C D -中，1AB 与平面11ABC D 所成的角为（ ） A.30B.45︒C.60︒D.90︒6．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确7．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]8．如图是某个几何体的三视图，小正方形的边长为1，则该几何体的体积是( ）A ．8B ．4C ．43D ．839．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于11的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．13310=+B ．25?=?9+16C ．36?=?15+21D ．49?=?18+3110．设函数()()g x f x 2x =+是定义R 在上的偶函数，且()()xF x f x 2=+，若()f 11=，则()F 1(-=)A ．12-B ．32C ．72D ．11211．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足： ()()'0f x f x +<，则()221m m f m m e-+-与()1f 的大小关系是（ ） A ．()()2211m m f m m f e-+-> B ．()()2211m m f m m f e-+-< C ．()()2211m m f m m f e-+-≥ D ．不确定12．若,则( )A.B.C.D.二、填空题13．双曲线的方程22142x y k k +=--，则k 的取值范围是______．14．若x R ∀∈，210mx mx ++>，则实数m 的取值范围为__________．15．设是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若，，则；②若则；③若，，则∥；④若，，则∥．其中所有正确命题的序号是________．16．命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是__________. 三、解答题 17．在中，角的对边分别是，.（1）求角；（2）若，的面积，求的值.18．如图：是菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，（1）若，求证：；（2）求证：；（3）若，，，求直线与平面所成角．19．的取值范围为[0,10]，给出如图所示程序框图，输入一个数．（1）请写出程序框图所表示的函数表达式；（2）求输出的（）的概率；（3）求输出的的概率．20．已知命题方程有两个不等的实根；命题方程表示焦点在轴上的双曲线.(1)若为真命题，求实数的取值范围；(2)若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.21．如图，在等腰直角中，，，点，分别为，边上的动点，且．设，的面积为．（1）试用的代数式表示；（2）当为何值时，的面积最大？求出最大面积．22．已知函数()()321453f x x ax ax a a R =+-+∈． ()1若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围； ()2若0a >且()()313g x f x x =-，()2x ax ϕ=+，当[]11,3x ∈-，[]01,3x ∈-时，不等式()()10x g x ϕ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D C B A C B D C D A D二、填空题 13．4k >或2k < 14．[0,4) 15．①③16．2000,3210x R x x ∃∈-+≤三、解答题 17．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得，根据三角形内角范围可得解；（2）由余弦定理得，从而得，又，从而得，进而可得的值.试题解析： 解：（1)由已知得，∴由正弦定理得，∴， 故.由，得. (2)在中，，∴，故.①又，∴.②联立①②式解得.18．（1）见解析（2）见解析（3）（Ⅰ） 证明：取的中点，连接，因为是菱形的对角线与的交点，所以，且．又因为，且，所以，且，从而为平行四边形，所以．又平面，平面，∴平面．（Ⅱ）因为四边形为菱形,所以；因为，是的中点，所以．又，所以平面．又平面，所以平面平面．（Ⅲ）作于，因为平面平面，所以平面,则为与平面所成角．由及四边形为菱形，得为正三角形，则，．又，所以为正三角形，从而．在中，由余弦定理，得，则，从而，所以与平面所成角的大小为．【解析】试题分析: （Ⅰ）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE ∥平面ADF；（Ⅱ）欲证：平面AFC⊥平面ABCD，即证BD⊥平面AFC；（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．试题解析：(Ⅰ)证明：取AD的中点G，连接OG，FG.∵对角线AC与BD的交点为O，∴OG∥DC，OG＝DC，∵EF∥DC，DC＝2EF，∴OG∥EF，OG＝EF，∴OGFE为平行四边形，∴OE∥FG，∵FG⊂平面ADF，OE⊄平面ADF，∴OE∥平面ADF；(Ⅱ)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴OC⊥BD，∵FD＝FB，O是BD的中点，∴OF⊥BD，∵OF∩OC＝O，∴BD⊥平面AFC，∵BD⊂平面ABCD，∴平面AFC⊥平面ABCD；(Ⅲ)解：作FH⊥AC于H.∵平面AFC⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，∴∠FAH为AF与平面ABCD所成角，由题意，△BCD为正三角形，OA＝，BD＝AB＝2，∵FD＝FB＝2，∴△FBD为正三角形，∴OF＝.△AOF中，由余弦定理可得cos∠AOF＝＝－，∴∠AOF＝120°，∴∠FAH＝∠FAO＝30°，∴AF与平面ABCD所成角为30°点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19．（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：(1)由已知中的程序框图可以知道:该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y 的值,分析程序各分支对应的操作可得程序框图所表示的函数表达式;(2)求出输出的y(y<5)的x值的范围,代入几何概型概型计算公式,可得解;(3)求出输出的y(6<y≤8)的值的范围,代入几何概型概型计算公式,可得解;试题解析：(1)由已知可得程序框图所表示的函数表达式是y=(2)当y<5时,若输出y=x+1(0≤x≤7),此时输出的结果满足x+1<5,所以0≤x<4,若输出y=x-1(7<x≤10),此时输出的结果满足x-1<5,所以0≤x<6(不合题意),所以输出的y(y<5)时x的范围是0≤x<4.则使得输出的y(y<5)的概率为p=.(3)当x≤7时,输出y=x+1(0≤x≤7),此时输出的结果满足6<x+1≤8,解得5<x≤7;当x>7时,输出y=x-1(7<x≤10),此时输出的结果满足6<x-1≤8,解得7<x≤9.综上,输出的y(6<y≤8)时x的范围是5<x≤9.则使得输出的y满足6<y≤8的概率为p=.20．(1) (2) 或.【解析】试题分析：（1）根据双曲线的标准方程得到关于的不等式组，解之即可．（2）根据复合命题真假关系得到p，q两命题应一真一假，进行求解即可．试题解析：(1)由已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则，得，得，即.(2)若方程有两个不等的实根则，解得或，即或.因或为真，所以至少有一个为真.因或为假，所以至少有一个为假.因此，两命题应一真一假，当为真，为假时，，解得或；当为假，为真时，，解集为空集.综上，或.21．（1）（2）当时，的面积最大，最大面积为．【解析】【分析】（1）先已知条件得到∽，利用相似成比例化简即可得到EC.(2)利用面积公式表示出面积，然后求导，判断单调性，由单调性即可得到最值.【详解】（1）在中，，又，则． 在和中，由得∽，所以．因直角中，，则，所以，代入 ；（2）的面积为，则，则 ，得． 当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．所以当时，．当时，的面积最大，最大面积为．【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查利用导数求函数最值问题，属于基础题. 22．（1）()()0,,4∞∞+⋃--；（2）20,11⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】()1求出函数的导数，曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，等价于关于x 的方程()'0f x =有2个不相等的实数根，利用判别式小于零得到关于a 的不等式，解出即可；()2 当[]11,3x ∈-，[]01,3x ∈-时，不等式()()10x g x ϕ≥恒成立等价于()()min max x g x ϕ≥，根据函数的单调性求出函数的最值，得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】()1若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线， 则关于x 的方程()'0f x =有2个不相等的实数根，又()2'24f x x ax a =+-，即方程2240x ax a +-=有2个不相等的实数根， 故2(2)160a a =+>，解得：0a >或4a ，故实数a 的范围是()()0,,4+∞⋃-∞-；()2当[]11,3x ∈-，[]01,3x ∈-时，不等式()()10x g x ϕ≥恒成立，即()()min max x g x ϕ≥，又函数()x ϕ在[]1,3-递增，则函数()()12min x a ϕϕ=-=-， 且函数()2(2)g x a x a =-+，[]13,x ∈-，()32g a =,() 110g a -=, 0a >所以函数()10max g x a =， 则有210a a -≥，即2011a <≤， 故a 的范围是20,.11⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，最值问题，考查了转化思想，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题（1）将切线问题转化为方程有根问题是解题的关键.。
安徽省合肥市寿春中学2018-2019学年高一数学理上学期期末试卷含解析
安徽省合肥市寿春中学2018-2019学年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知方程的解集为A，方程的解集是B，那么的解集是（）（A） (B) (C) (D)空集参考答案：A2. 设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面α有（）A．不存在 B．只有1个C．恰有4个 D．有无数多个参考答案：D3. 形如的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数且有最小值，则当时的“囧函数”与函数的图象交点个数为A．1 B．2 C．4 D．6参考答案：C4. 一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”。
棱长为1的正方体ABCD – A1B1C1D1中，E为AB中点，F为CC1中点，过D1、E、F三点的截面图形的周长等于（）（A）( 25 + 2+ 9) （B）( 15 + 4+ 9)（C）( 25 + 2+ 6) （D）( 15 + 4+ 6)参考答案：A5. 函数的值域是（）A．（0,1）B．C．D．参考答案：A6. 已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧棱底面,且,则该四棱锥的体积是（）A、288B、96C、48D、144参考答案：B7. 设，则x、y、z的大小关系为 ( )A．x<y<z B．y<z<x C．z<x<y D． z<y<x参考答案：B8. 若圆C：x2+y2﹣2（m﹣1）x+2（m﹣1）y+2m2﹣6m+4=0过坐标原点，则实数m的值为（）A．2或1 B．﹣2或﹣1 C．2 D．1参考答案：C【考点】J2：圆的一般方程．【分析】由题意，（0，0）代入可得2m2﹣6m+4=0，求出m，再进行验证即可得出结论．【解答】解：由题意，（0，0）代入可得2m2﹣6m+4=0，∴m=2或1，m=2时，方程为x2+y2﹣2x+2y=0，满足题意，m=1时，方程为x2+y2=0，不满足题意，故选C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．9. 已知=，则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据二倍角公式和根据同角三角函数关系式即可求解．【解答】解：由=，可得：2cos2α=cos（）得：4cos22α=cos2（）∵cos2（）=2cos2（）﹣1，即1﹣sin2α=2cos2（）∴8cos22α=1﹣sin2α由cos22α+sin22α=1．∴8（1﹣sin22α）=1﹣sin2α解得：sin2α=．故选：B．10. 下表显示出函数y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（）D．对数函数模型参考答案：C【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由表格可知：无论x＜0，x=0，x＞0，都有y＞0，故最有可能的是指数函数类型．设y=f（x）=ca x（a＞0且a≠1），由，解得．可得f （x）=4x．再进行验证即可．【解答】解：由表格可知：无论x＜0，x=0，x＞0，都有y＞0，故最有可能的是指数函数类型．设y=f（x）=ca x（a＞0且a≠1），由，解得．∴f（x）=4x．验证：f（﹣1）=4﹣1=0.25接近0.26；f（0）=1接近1.11；f（1）=4接近3.96；f（3）=43=64接近63.98．由上面验证可知：取函数f（x）=4x．与所给表格拟合的较好．故选C．【点评】本题考查了根据函数的性质和实际问题恰当选择函数模型解决实际问题，属于难题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m的取值范围是．参考答案：略12. 如果函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是______________．参考答案：略13. 有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sinβ；②若函数y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，则a=；③函数y=是奇函数；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是增函数；其中正确命题的序号为．参考答案：④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①举例说明，令α=30°，β=﹣300°满足均为第一象限角，且α＞β，但sin 30°＜sin （﹣300°），可判断①错误；②若函数y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，则a=±，可判断②错误；③利用奇函数的定义可判断函数y=f（x）=不是奇函数，可判断③错误；④利用余弦函数y=cosx在[0，π]上是减函数，知y=sin（x﹣）=﹣cosx在[0，π]上是增函数，可判断④正确；【解答】解：对于①，α=30°，β=﹣300°均为第一象限角，且α＞β，但sin30°=＜sin（﹣300°）=，故①错误；对于②，若函数y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，即T==4π，则a=±，故②错误；对于③，因为函数f（﹣x）==≠﹣=﹣f （x），所以函数y=不是奇函数，故③错误；对于④，因为y=cosx在[0，π]上是减函数，所以函数y=sin（x﹣）=﹣cosx在[0，π]上是增函数，故④正确；综上所述，正确命题的序号为④．故答案为：④．14. 统计某校800名学生的数学期末成绩，得到频率分布直方图如图示，若考试采用100分制，并规定不低于60分为及格，则及格率为．参考答案：0.8略15. 已知函数f(x),g(x) 分别由下表给出：则当f(g(x))=2时，x =_______________．参考答案：、3;16. 函数的图象为C，则如下结论中正确的序号是_____. ①图象C关于直线对称；②图象C关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．参考答案：①②③，故①正确；时，，故②正确；，故③不正确；，故④不正确.17. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（）=．参考答案：4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】在解答时可以先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．【解答】解：∵幂函数y=f（x）=xα的图象过点（，），∴=，解得：α=﹣2，故f（x）=x﹣2，f（）==4，故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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18．已知向量 =（ x，﹣ 1）， =（ x﹣2 ，3）， =（ 1﹣ 2x， 6）． （ 1）若 ⊥（ 2 + ），求 | | ； （ 2）若 ? ＜ 0，求 x 的取值范围．
2
19．已知函数 f（ x）=Asinx+cosx， A＞ 0． （ 1）若 A=1，求 f （ x）的单调递增区间；
．
22. 解： Ⅰ）若 a=1，则 f（ x）=
，
函数 f （ x）的图象如下图所示：
；
（Ⅱ）若 f（ x） ≥２﹣ x 对任意 x∈[1，2] 恒成立， 即 x2﹣ 4ax+3a2≥２﹣ x 对任意 x∈[1 ，2] 恒成立， 即 x2+（ 1﹣4 a） x+（3a2﹣ 2） ≥０对任意 x∈[1 ， 2]恒成立，
（ 2）函数 f（ x）在 x=x0 处取得最大值
，求 cosx0 的值．
20．已知 f （ x）是定义在 R上的偶函数，当 x ≥０时， f（ x） =xa（ a∈R），函数 f（ x）的图象经过点（ （ 1）求函数 f （ x）的解析式； （ 2）解不等式 f （ x2）﹣ f（﹣ x2+x﹣ 1）＞ 0．
4， 2）．
3
21．已知向量 =（ sinx ，﹣ 1）， =（ cosx ， m），m∈ R．
（ 1）若 m= ，且 ∥ ，求
的值；
（ 2）已知函数 f （ x） =2（ + ） ? ﹣2m2﹣ 1，若函数 f（ x）在 [ 0， ] 上有零点，求 m 的取值范围．
22. 设函数 f （ x） =
由 y=x2+（ 1﹣ 4a） x+（ 3a2﹣ 2）的图象是开口朝上，且以直线 x=
为对称轴的抛物线，
安徽省合肥市六校联盟2018-2019学年高一下学期期末数学试题及解析word版
合肥六校联盟2018-2019学年第二学期期末联考高一年级数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差D. 极差2.已知a ，b ，c 满足,0c b a ac <<<且，那么下列选项一定正确的是（ ） A. 22ca ac >B. ac bc >C. 22ab cb >D. ab ac >3.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，……，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验.若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A. 16B. 226C. 616D. 8564.在等差数列{}n a 中，5a ，10a 是方程21060x x --=的两个根，则{}n a 的前14项和为（ ） A. 55B. 60C. 65D. 705.在ABC ∆中，60C =︒，AC =AB =A =（ ）A. 15︒B. 45︒C. 75︒D. 105︒6.已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前9项的乘积为1，则1a =（ ） A. 8B. 16C. 32D. 647.设实数,x y 满足约束条件35472x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则4z x y =+的最大值为（ ）A. 2-B. 9C. 11D.4148.从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是 A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个白球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D. 至少有一个黑球与都是白球9.已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ABC ∆的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形10.若正实数,x y 满足141x y +=，且234yx a a +≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A .[1,4]-B. (1,4)-C. [4,1]-D. (4,1)-11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A. 16B. 17C. 18D. 1912.如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设36DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A.37B.217C.413213二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填写在答题卡上）13.关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，则b c +=______．14.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________.15.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6b =，sin 2sin A C =，3B π=，则ABC ∆的面积为__________.16.已知一组样本数据1210,x x x L ，且22212102020x x x +++=L ，平均数9=x ，则该组数据的标准差为__________.三、解答题：（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知正项等比数列{}n a 中，12a =，318a =，等差数列{}n b 中，12b =，且123a a a ++=1234b b b b +++. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S .18.下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间x 与每天获得的利润y （单位：万元）的有关数据． 星期x 星期2 星期3 星期4 星期5 星期6 利润y 23569（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$； （2）估计星期日获得的利润为多少万元．参考公式：()() ()$1122211n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nxa y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$19.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的物理成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后得到如图频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在[50,60)的概率.20.在ABC∆中，角A,B,C，的对应边分别为,,a b c，且2coscosa c Cb B-=.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若ABC∆3210a c+=D为AC的中点，求BD的长．21.已知数列{}n a的前n项和为n S，满足21n nS a=-，*n N∈，数列{}n b满足1(1)(1)n nnb n b n n+-+=+，*n N∈，且11b=.（1）求数列{}n a通项公式；（2）求证：数列nbn⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求数列{}n b通项公式；（3）若n n nc a b={}n c的前n项和为n T，对任意的*n N∈，都有2n nT nS a a≤++，求实数a的取值范围.合肥六校联盟2018-2019学年第二学期期末联考高一年级数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤L ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤L ， 中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++L ，后来平均数234817x x x x x '=+++L （） 平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦L 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解. 2.已知a ，b ，c 满足,0c b a ac <<<且，那么下列选项一定正确的是（ ） A. 22ca ac > B. ac bc >C. 22ab cb >D. ab ac >【答案】D 【解析】c ＜b ＜a ，且ac ＜0，可得c ＜0且a >0．利用不等式的基本性质即可得出． 【详解】∵c ＜b ＜a ，且ac ＜0， ∴c ＜0且a >0，b 与0的大小关系不定． ∴满足bc ＞ac ，ac ＜ab ， 故选D ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，……，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验.若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A. 16 B. 226C. 616D. 856【答案】B 【解析】 【分析】 抽样间隔为10002050f ==，由第三组中的第6个数被抽取到，结合226是第12组中的第6个数，从而可得结果．【详解】从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验, 抽样间隔为10002050f ==， 66Q 号学生被抽到，∴第四组中的第6个数被抽取到，226是第12组中的第6个数，226∴被抽到,故选：B .【点睛】本题主要考查系统抽样的性质，确定抽样间隔是解题的关键，属于基础题.4.在等差数列{}n a 中，5a ，10a 是方程21060x x --=的两个根，则{}n a 的前14项和为（ ） A. 55 B. 60C. 65D. 70【答案】D 【解析】根据根与系数之间的关系求出a 5+a 10，利用等差数列的前n 项和公式及性质进行求解即可． 【详解】∵5a ，10a 是方程21060x x --=的两个根，可得51010a a +=， ∴11414142a a S +=⨯51014514702a a +=⨯=⨯=. 故选D ．【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式的应用，考查了等差数列的性质的运用，根据根与系数之间的关系建立方程关系是解决本题的关键． 5.在ABC ∆中，60C =︒，AC =AB =A =（ ）A. 15︒B. 45︒C. 75︒D. 105︒【答案】C 【解析】 【分析】由题意和正弦定理求出sin B ，再由边角关系求出角B ，则可求得A ． 【详解】由题意得，60C =︒，AC AB ==，， 由正弦定理得，AC AB sinB sinC=，则sinB == 所以B ＝45︒或135︒，因为AB ＞AC ，所以C ＞B ，则B ＝45︒， 则A=180456075︒-︒-︒=︒ 故选C ．【点睛】本题考查正弦定理及三角形内角和定理的应用，属于基础题． 6.已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前9项的乘积为1，则1a =（ ） A. 8 B. 16C. 32D. 64【答案】B 【解析】 【分析】先由数列前9项的乘积为1，结合等比数列的性质得到951a =，从而可求出结果.【详解】由已知1291a a a =L ，又2192837465a a a a a a a a a ==== ，所以951a = ，即51a =，所以41112a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，116a = ，故选B. 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及等比数列的基本量计算，熟记等比数列的性质与通项公式即可，属于常考题型.7.设实数,x y 满足约束条件35472x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则4z x y =+的最大值为（ ） A. 2- B. 9C. 11D.414【答案】C 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数4z x y =+为44x z y =-+， 联立247x x y =⎧⎨-=-⎩，解得92,4A ⎛⎫⎪⎝⎭，由图可知，当直线4z x y =+过点92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取得最大值11， 故选：C .【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是 A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个白球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是白球【答案】C 【解析】 【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【详解】对于A ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A 不正确对于B ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴B 不正确对于C ：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C 正确对于D ：事件：“至少有一个黑球”与“都是白球”不能同时发生，但一定会有一个发生， ∴这两个事件是对立事件，∴D 不正确 故选C ．【点睛】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题 9.已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ABC ∆的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A 【解析】 分析】将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B 的范围，可得三角形形状. 【详解】因为在三角形中，sinC<cosA sinB变形为sin sin cos C B A <由内角和定理可得sin()cos sin A B A B +< 化简可得：sin cos 0cos 0A B B <∴< 所以2B π>所以三角形为钝角三角形 故选A【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题. 10.若正实数,x y 满足141x y +=，且234yx a a +≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. [1,4]- B. (1,4)-C. [4,1]-D. (4,1)-【答案】A 【解析】 【分析】先利用基本不等求出4y x +的最小值，然后根据234y x a a +≥-恒成立，可得2min 344y a a x ⎛⎫-≤+= ⎪⎝⎭，再求出a 的范围．【详解】因为正实数x ，y 满足141x y+=，144224444y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当44x yy x=，即5x y ==时取等号， 234y x a a +≥-Q 恒成立，所以只需2min 344y a a x ⎛⎫-≤+= ⎪⎝⎭，2340a a ∴--≤，14a ∴-≤≤，a ∴的取值范围为[]1,4-，故选：A .【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题以及基本不等式求最值，解题时注意“一正、二定、三相等”的应用，本题属于中档题.11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A. 16 B. 17C. 18D. 19【答案】C 【解析】 【分析】先由8109S S S <<，得到90a >，100a <，9100a a +>，公差大于零，再由数列的求和公式，即可得出结果.【详解】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零.又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<， ()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型. 12.如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设36DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A.37B.217C.413D.1313【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析可得233EFA πππ∠=-=，由三角形面积公式计算可得△DEF 和△ACF 的面积，进而可得△ABC 的面积，由几何概型公式计算可得答案． 【详解】根据题意，DEF V 为等边三角形，则3EFD π∠=，则233EFA πππ∠=-=， DEF V 中，6DF =，其面积1166sin 23S π=⨯⨯⨯=ACF V 中，2AF =，8CF EF EC =+=，其面积21228sin23S π=⨯⨯⨯= 则ABC V的面积123S S S =+=故在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率137S P S ===， 故选：A .【点睛】本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A 的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填写在答题卡上）13.关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，则b c +=______． 【答案】72【解析】 【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根与系数的关系，得到b 和c 的值，得到答案.【详解】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ， 所以关于x 的方程20x bx c ++=的解是12,2x x =-=-， 由根与系数的关系得122122b c ⎧--=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以72b c +=.【点睛】本题考查二次不等式解集和二次方程根之间的关系，属于简单题. 14.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________.【答案】6 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S 的值并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 S =1，i =1满足条件S <40，执行循环体，S =3，i =2 满足条件S <40，执行循环体，S =7，i =3 满足条件S <40，执行循环体，S =15，i =4 满足条件S <40，执行循环体，S =31，i =5 满足条件S <40，执行循环体，S =63，i =6此时，不满足条件S <40，退出循环，输出i 的值为6． 故答案为：6．【点睛】本题主要考查的是程序框图，属于基础题．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．15.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6b =，sin 2sin A C =，3B π=，则ABC ∆的面积为__________.【答案】 【解析】 【分析】由已知及正弦定理可得：12c a =，进而利用余弦定理即可求得a 的值，进而可求c ，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】sin 2sin A C =Q ，∴由正弦定理可得：12c a =， ,63B b π==Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得222116+2222a a a a ⎛⎫=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，整理可得：a =-（舍去），c ∴=11sin 22ABC S ac B ==⨯=V故答案为：【点睛】本题注意考查余弦定理与正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.16.已知一组样本数据1210,x x x L ，且22212102020x x x +++=L ，平均数9=x ，则该组数据的标准差为__________. 【答案】11 【解析】 【分析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案．【详解】根据题意，一组样本数据1210,,...,x x x ，且22212102020x x x ++⋯+=，平均数9x =，则其方差()()()()22221210110S x x x x x x =-+-+⋯+-()2222121011012110x x x x =++⋯+-=，则其标准差11S ==， 故答案为：11.【点睛】本题主要考查平均数、方差与标准差，属于基础题. 样本方差2222121[()()...()]n s x x x x x x n =-+-++-，标准差s =三、解答题：（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知正项等比数列{}n a 中，12a =，318a =，等差数列{}n b 中，12b =，且123a a a ++=1234b b b b +++. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）123n n a -=⋅；（2）2322n n nS =+.【解析】 【分析】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q (q >0)，由已知列式求得公比，则等比数列的通项公式可求；（2）由1312234a a a b b b b ++=+++，求解等差数列的公差，则数列{}n b 的前n 项和可求．【详解】(1)设正项等比数列{}n a 的公比为q (q >0)，由13182,a a ==,得3129218a a q ===，则q =3. 123n n a -∴=⋅；(2)设等差数列{}n b 的公差为d ， 由1312234a a a b b b b ++=+++， 得1261846b d ++=+， ∴d =3.∴数列{}n b 的前n 项和2(1)332222n n n n nS n -⨯=+=+【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，考查了等比数列的通项公式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.18.下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间x 与每天获得的利润y （单位：万元）的有关数据．（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$； （2）估计星期日获得的利润为多少万元．参考公式： ()()()$1122211nni i i ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）根据表中所给数据，求出横标的平均数，把求得的数据代入线性回归方程的系数公式，利用最小二乘法得到结果，写出线性回归方程．（2）根据二问求得的线性回归方程，代入所给的x 的值，预报出销售价格的估计值，这个数字不是一个准确数值． 【详解】（1）由题意可得2345645x ++++==，2356955y ++++==，因此，2233455669545 1.749162536516b⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯$， 所以$5 6.8 1.8ay bx =-=-=-$，- 所以$1.7 1.8y x =-；（2）由（1）可得，当7x =时，$1.77 1.810.1y =⨯-=（万元）， 即星期日估计活动的利润为10.1万元．【点睛】关键点通过参考公式求出$a，b $的值，通过线性回归方程求解的是一个估计值． 19.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的物理成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后得到如图频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，求这两人的分数至少一人落在[50,60)的概率.【答案】（1）众数为75，中位数为73.33；（2）910. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图能求出a =0.030．由此能求出众数和中位数；（2）用分层抽样的方法从[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，从这五人中任选两人参加补考，基本事件总数2510n C ==，这两人的分数至少一人落在[50，60）包含的基本事件个数1122339m C C C =+=，由此能求出这两人的分数至少一人落在[50，60）的概率．【详解】（1）由频率分布直方图得： (0.0100.0150.0150.0250.005)101a +++++⨯=，解得0.030a =， 所以众数为：7080752+=，[)40,70Q 的频率为(0.010.0150.015)100.4++⨯=，[)70,80的频率为0.03100.3⨯=，中位数为：0.50.4701073.330.3-+⨯≈. （2）用分层抽样的方法从[)40,60的学生中抽取一个容量为5的样本，[)40,50的频率为0.1，[)50,60的频率为0.15，[)40,50∴中抽到0.1520.25⨯=人，[)50,60中抽取0.15530.25⨯=人， 从这五人中任选两人参加补考， 基本事件总数2510n C ==，这两人的分数至少一人落在[)50,60包含的基本事件个数1122339m C C C =+=，所以这两人的分数至少一人落在[)50,60的概率910m P n ==. 【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率 20.在ABC ∆中，角A,B,C ，的对应边分别为,,a b c ，且2cos cos a c Cb B-=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆a c +=D 为AC 的中点，求BD 的长． 【答案】（I ）3B π=；(II)3BD =【解析】 【分析】（I ）由正弦定理得2sin sin cos sin cos A C CB B-=，展开结合两角和的正弦整理求解；（Ⅱ）由面积得4ac =，利用1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r平方求解即可【详解】（I ）2cos cos a c Cb B -=Q，由正弦定理得2sin sin cos sin cos A C C B B-= 整理得2sin cos sin cos cos sin sin()A B B C B C B C =+=+B C A π+=-Q ，则2sin cos sin A B A =(0,)A π∈Q ，sin 0A ∴≠1cos 2B ∴=(0,)B π∈Q ，3B π∴=.(II)1sin 23ac π=Q，4ac ∴= 1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r Q ，两边平方得2221(2)4BD BA BC BA BC =++⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r222211||()[()]944BD a c ac a c ac u u u v ∴=++=+-=3BD ∴=【点睛】本题考查正弦定理及两角和的正弦，三角形内角和定理，考查向量的数量积及模长，准确计算是关键，是中档题21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，*n N ∈，数列{}n b 满足1(1)(1)n n nb n b n n +-+=+，*n N ∈，且11b =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）若n n c a ={}n c 的前n 项和为n T ，对任意的*n N ∈，都有2n n T nS a a ≤++，求实数a 的取值范围.【答案】（1）12n n a -=；（2）证明见解析，2n b n =；（3）0a ≥或1a ≤-.【解析】 【分析】（1）运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得12n n a a -=，再由等比数列的定义、通项公式可得结果；（2）对等式两边除以()1n n +，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（3）求得12n n c n -=⋅，由数列的错位相减法求和，可得()112nn T n =+-⋅，化简2n n T nS a a ≤++,即212n a a n +-≥-，对任意的N n *∈成立，运用数列的单调性可得最大值，解不等式可得所求范围． 【详解】(1)21n n S a =-，可得11121a S a ==-，即11a =；2n ≥时,1121n n S a --=-,又21n n S a =-，相减可得12121n n n a a a -=--+,即12n n a a -=，则12n n a -=；(2)证明：()()111n n nb n b n n +-+=+， 可得111n nb b n b+-=+， 可得n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项和公差均为1的等差数列， 可得nb n n=,即2n b n =；(3) 12n n n c a n -==⋅，前n 项和为211122+32...2n n T n -=⋅+⋅⋅++⋅，2321222+32...2n n T n =⋅+⋅⋅++⋅，相减可得23112+2...22n nn T n --=+++-⋅12212n n n -=-⋅-， 可得()112nn T n =+-⋅，2n n T nS a a ≤++,即为()()211221n n n n a a +-⋅≤-++，即212n a a n +-≥-,对任意的*n N ∈成立， 由()()1122120n n n n n ++---=-<，可得{}2nn -为递减数列，即n =1时取得最大值1−2=−1，可得211a a +-≥-，即0a ≥或1a ≤-.【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.。
2019-2020学年安徽省合肥市六校联考高一上学期期末考试数学试卷及答案
2019-2020学年安徽省合肥市六校联考高一上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．已知集合{}|22A x x =-≤<，{}2|230B x x x =--≤，则A B = （）A ．[1,1]-B ．[2,1]--C ．[1,2)D ．[1,2)-2．设函数()()()2111x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(4)]f f -的值为（）A ．16B ．15C ．5-D ．15-3．已知角α的终边上一点P 的坐标为2233sincos ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，则sin α的值为（）A ．12B ．1-2C ．2D ．3-24．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144AB AC+D ．1344AB AC+5．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b c a<<6．已知1sin()33πα+=，则5cos()6πα+=（）A ．13B ．13-C ．3D ．3-7．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知非零向量a ，b 满足2a b = ，且()a b b -⊥ ，则a 与b的夹角为()A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为()A ．2或1-B ．1-C ．2D ．2-或110．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称C ．f(x+π)的一个零点为x=6πD ．f(x)在(2π,π)单调递减11．已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若log >1a b ，则A ．(1)(1)0a b --<B ．(1)()0a a b -->C ．D ．(1)()0b b a -->12．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．23log 9log 4⨯=.14．已知1tan 3α=-，tan()1αβ+=，则tan β=_______.15．函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．16．若函数()()()2211,02,0b x b x f x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为________.三、解答题17．已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{}=|-15R B x x ≤≤ð.（1）若=A B φ⋂，求实数a 的取值范围；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.18．已知2sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπαπαπα---+=+--.（1）化简()f α；（2）若α是第四象限角，且33cos()25πα-=，求()f α的值.19．已知函数1()1x x a f x a -=+（0a >且1a ≠）.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若01a <<，判断函数()f x 在R 上的单调性，并证明.20．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，12()log (1)f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围。
安徽省合肥六校联盟2018-2019学年第一学期期末联考高一年级数学试卷(解析版)
2018-2019学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={-1，0，1}，N={y|y=x2-1，x∈M}，则M∩N等于（）A. 0，B.C.D.2.已知向量=（1，m），=（2，-4），若 ∥，则实数m=（）A. 2B.C.D.3.已知cos（π-α）=-，则sin（α+）=（）A. B. C. D.4.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为10的图形运动一周，O，P两点间距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，则点P所走的图形是（）A.B.C.D.5.已知a=log 1.2，b=（）-0.8，c=1.2，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D. 6.设函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），已知函数f（x）的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x=时，f（x）取得最大值，则下列结论正确的是（）A. 函数的最小正周期是B. 函数在上单调递增C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称7.设cos2019°=a，则（）A. ∈B. ∈C. ∈D. ∈8.已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，则log（）=（）A. B. C. 2 D.9.函数f（x）=1-cos x-log4|x|的所有零点之和等于（）A. 0B. 8C. 14D. 1810.已知函数f（x）=，则方程f（f（a））=1的a的个数是（）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.计算：（）-2+8-（lg5+lg20）=______．12.若幂函数y=（k-2）x m-1（k，m∈R）的图象过点（，），则k+m=______．13.已知函数f（x）=sin x•cos x+cos2x-在x=θ时取得最大值，则cos（4θ+）=______．14.平行四边形ABCD中，E为BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=______．15.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=10x-10，则f（lg2019）═______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知函数f（x）=2x-．（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x的不等式f（log2x）＜f（1）．17.已知函数＞（1）若a=1，求函数f（x）的零点；（2）若函数f（x）在[-7，+∞）上为增函数，求a的取值范围．18.已知，，是共面的三个向量，其中=（1，2），||=，||=2且与反向．（1）求|-|；（2）若+2与2-3垂直，求•（+）的值．19.已知函数f（x）=2sin（2x+）．（1）写出由函数y=sin x的图象，经过怎样的变换得到f（x）的图象；（2）若方程f（x）-a=0在[0，]上有解，求实数a的取值范围．20.如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、M在单位圆上，且B（，），M（-，），∠BOM=α．（1）求tanα的值；（2）若OC为∠AOB的平分线，点P在劣弧上运动，且EP∥OC交OA于点E，EPQF为扇形OAB的内接矩形，记∠POC=θ，求角θ为何值时，矩形EPQF的面积最大？并求出这个最大面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={-1，0，1}，N={y|y=x2-1，x∈M}={-1，0}，∴M∩N={-1，0}．故选：B．分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：向量=（1，m），=（2，-4），若∥，则2m-1×（-4）=0，解得m=-2．故选：D．根据两向量平行的坐标表示，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵cos（π-α）=-，∴cosα=，∴sin（α+）=cosα=．故选：B．由已知利用诱导公式即可求解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：①点P运动到周长的一半即x=5时，OP最大；②点P的运动图象是抛物线．A，B对应的图象一开始为直线，排除A，B，选项D中，OM≤OP，不符合条件①，排除D，故选：C．认真观察函数的图象，根据其运动特点，采用排除法求解．本题考查动点问题的函数图象，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．选项C中出现了椭圆，增加了试题的难度．5.【答案】B【解析】解：a=log 1.2＜0，b=（）-0.8＞1c=1.2∈（0，1），故a＜c＜b，故选：B．根据指数函数和对数函数的单调性，分析三个式子值的范围，可得答案．本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．6.【答案】A【解析】解：由题意，f（x）的最小正周期为4π，∴ω==，∵当x=时，f（x）取得最大值．即+φ=2kπ+，k∈Z．∴φ=2kπ+，k∈Z．∵0＜φ＜，可得：φ=．那么f（x）=2sin （x+），对于A，正确；对于B，当x∈[0，]，x+∈[，]，由正弦函数的单调性可知错误；对于C，由2sin（×+）≠2，故错误；对于D，由2sin （×+）≠0，故错误；故选：A．根据f（x）的最小正周期为4π，可得ω，当x=时，f（x）取得最大值．可得φ的值，得到了f（x）的解析式，利用正弦函数的性质逐项判断即可．本题考查了三角函数的图象变换规律，以及正弦函数的性质的应用，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：∵39°∈（30°，45°），∴cos39°∈（，），可得：-cos39°∈（-，-），∴a=cos2019°=cos（360°×5+180°+39°）=-cos39°∈（-，-）．故选：A．根据角的范围和余弦函数的图象和性质可求cos39°∈（，），根据诱导公式化简已知即可求解．本题主要考查了余弦函数的图象和性质，诱导公式在解题中的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，∴sinαcosβ+cosαsinβ=，sinαcosβ-cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，相除可得=7，则log（）==2，故选：C．由题意利用两角和差的正弦公式，求得sinαcosβ和cosαsinβ，相除可得的值，从而得到要求式子的值．本题主要考查两角和的三角公式的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f（x）=1-cos x-log4|x|，有f（-x）=1-cos（-）-log4|-x|=1-cos x-log4|x|=f（x），则f（x）为偶函数，则函数f（x）=1-cos x-log4|x|的零点也关于原点对称，则其所有零点之和等于0；故选：A．根据题意，由函数的解析式可得f（-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数，结合偶函数的性质分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析函数f（x）的奇偶性．10.【答案】B【解析】解：设t=f（a），解方程f（t）=1，得：t1=1，t2=2，方程f（f（a））=1的a的个数等价于t=f（a）的图象与直线，t1=1和t2=2的交点个数之和，由图可知：t=f（a）的图象与直线，t1=1和t2=2的交点个数之和为4，故选：B．由方程的解的个数与函数图象交点个数的关系得：方程f（f（a））=1的a的个数等价于t=f（a）的图象与直线，t1=1和t2=2的交点个数之和，再结合数形结合的数学思想方法作t=f（a）的图象与直线，t1=1和t2=2的图象观察即可得解本题考查了数形结合的数学思想方法及方程的解的个数与函数图象交点个数的关系，属中档题11.【答案】6【解析】解：（）-2+8-（lg5+lg20）=4+4-2=6．故答案为：6．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】2【解析】解：函数为幂函数，则k-2=1，得k=3，则幂函数为y=f（x）=x m-1，∵函数过点（），∴f （）=（）m-1=4，即21-m=4，得1-m=2，得m=1-2=-1，则k+m=3-1=2．故答案为：2．根据幂函数的定义求出k的值，结合幂函数过定点，代入求出m的值即可．本题主要考查幂函数的应用，结合漫幂函数的定义求出k，m是解决本题的关键．13.【答案】0【解析】解：函数函数f（x）=sinx•cosx+cos2x-==，故当2θ+=2kπ+，k∈Z，即θ=kπ+，k∈Z时，函数f（x）取得最大值为1．则cos（4θ+）=cos（4kπ+）=cos（）=0．故答案为：0．利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）═sin（2x+）．由题意可得2θ+=2kπ+，k∈Z，求出θ，再代入cos（4θ+）求解即可．本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，两角和的余弦函数公式，属于中档题．14.【答案】1【解析】解：根据题意得，=+=-∴+μ=）+μ（-）=（λ+μ）+（-μ）=∴λ+μ=1故答案为：1．运用向量的数乘运算可解决此问题．本题考查向量的数乘运算的简单应用．15.【答案】-【解析】解：根据题意，f（x+2）=f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，又由lg103＜lg2019＜lg104，即3＜lg2019＜4，则-1＜lg2019-4＜0，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（lg2019）=f（lg2019-4）=-f（4-lg2019），若x∈[0，1）时，f（x）=10x-10，则f（4-lg2019）=104-lg2019-10=-10=，则f（lg2019）=-，故答案为：-．根据题意，分析可得f（x）是周期为2的周期函数，分析lg2019的范围，结合函数的奇偶性可得f（lg2019）=f（lg2019-4）=-f（4-lg2019），结合函数的解析式计算f（4-lg2019）的值，变形可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数的运算性质，属于基础题．16.【答案】解：（1）∵f（-x）=2-x-2x=-（2x-）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，则当x≥0时，设0≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=--+=-+=（-），∵0≤x1＜x2，∴1≤＜，即-＜0，＞1，则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x）在[0，+∞）上是增函数，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）在R上是增函数．（2）∵f（x）在R上是增函数，∴不等式f（log2x）＜f（1）等价为不等式log2x＜1，即0＜x＜2．即不等式的解集为（0，2）．【解析】（1）先判断函数的奇偶性，然后利用函数单调性的定义进行证明即可（2）利用函数单调性的性质将不等式进行转化求解即可本题考查函数的单调性的判定以及应用，关键是分析证明函数f（x）的单调性．利用函数单调性的定义是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）若a=1，则＞当x＞1时，由得，x=2；…………………（2分）当x≤1时，由x2+2x=0得，x=0或x=-2…………………（4分）所以，f（x）的零点为-2，0，2…………………（6分）（2）显然，函数在[1，+∞）上递增，且g（1）=-2；函数h（x）=x2+2ax-3a+3在[-a，1]上递增，且h（1）=4-a．故若函数f（x）在[-7，+∞）上为增函数，则，，∴a≥7．…………………（10分）故a的取值范围为[7，+∞）．……………（12分）【解析】（1）利用分段函数，分段求解函数的零点即可．（2）利用函数的单调性，列出不等式组，求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：∵ =（1，2），||=2且与反向，∴ =λ，λ＜0，∴||=|λ|，∴2=|λ|，解得λ=-2，∴ =-2（1，2）=（-2，-4），∴ -=（-3，-6）∴|-|==3（2）∵ +2与2-3垂直，∴（+2）•（2-3）=2-6+•=0，∴ •=6×3-2×5=8，∴ •（+）=•+•=8+（1，2）×（-3，-6）=8-3-12=-7【解析】（1）先求出向量的C的坐标，再根据向量的坐标运算和向量模即可求出，（2）根据向量的垂直求出•=8，再根据向量的数量积即可求出．本题考查了向量的模的运算向量的数量积和向量的坐标运算，属于基础题19.【答案】（本题满分为10分）解：（1）把函数y=sin x的图象向左平移的单位，可得函数y=sin（x+）的图象，再把所得图象上点的横坐标变为原来的倍，可得函数y═sin（2x+）的图象再把所得图象上点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数f（x）═2sin（2x+）的图象．…（5分）（2）∵x∈[0，]，可得：2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[-，1]，∵方程f（x）=a在x∈[0，]上有解，∴实数a的取值范围为：[-，1]；…（10分）【解析】（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．（2）利用三角函数的图象与性质即可求出a的取值范围；本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的减区间，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题意知，tan∠BOA==，tan∠MOA==-2，又∠BOM=α，∴tanα=tan（∠MOA-∠BOA）==；（2）由条件得∠AOB=，∠AOC=，且CP=sinθ，EP=cosθ-=cosθ-sinθ，∴矩形EPQF的面积为S（θ）=2CP•EP=2sinθ•（cosθ-sinθ）=2sinθcosθ-2sin2θ=sin2θ-•（1-cos2θ）=2sin（2θ+）-，当2θ+=，即θ=时，矩形EPQF的面积取得最大值，为2-．【解析】（1）由题意知tan∠BOA和tan∠MOA的值，利用两角差的正切公式计算tanα的值；（2）用θ的三角函数值表示出CP、EP的值，求出矩形EPQF的面积，计算它的最大值以及对应θ的值．本题考查了三角函数的运算与性质的应用问题，也考查了矩形的面积计算问题和两角和与差的运算问题，是中档题．。
2019学年安徽省等高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年安徽省等高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则子集的个数为（）A ． 0个___________________________________B ． 1个____________________________________ C ． 2个____________________________ D ． 3个2. 下列说法正确的是（）A．对于函数f：A→B，其值域是集合BB ．函数y＝1与y＝x 0 是同一个函数C．两个函数的定义域、对应关系相同，则表示同一个函数D ．映射是特殊的函数3. 如图所示，C 1 ，C 2 ，C 3 为三个幂函数y＝x k 在第一象限内的图像，则解析式中指数k的值依次可以是（）A ．－1，，3B ．－1，3，C ．，－1，3D ．，3，－14. 已知 f （ x ）是定义在 R 上的奇函数,且当时, ,则的值为（）A ． -3______________B ．_________C ．_________D ． 35. 设，，，则（）A ．B ．C ． ________D ．6. 使得函数有零点的一个区间是（）A ．（ 0，1 ）________B ．（ 1，2 ）___________C ．（ 2，3 ）______________ D ．（ 3，4 ）7. 已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A ．若，垂直于同一平面，则与平行B ．若，平行于同一平面，则与平行C ．若，不平行，则在内不存在与平行的直线D ．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面8. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ． 6 ___________B ． 9 ________________________C ． 12________________________ D ． 189. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是（）A ．与是异面直线B ．平面C ．平面D ．，为异面直线，且10. 过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是（）A．______________________B ．或C．_________________________________D ．或11. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（）A ．___________________B ．_______________________C ．_________________________ D ．12. 已知函数，则函数的零点个数为（）A ． 1个_________B ． 2个___________________________________C ． 3个_________ D ． 4个二、填空题13. 函数的定义域是 _________ ．14. 函数的递减区间为 _________ ．15. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是______________ ．16. 如图所示，正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于________________________ ．三、解答题17. 已知集合，集合．（1）当时，求集合；（2）当时，求实数的取值范围．18. 已知直线：与：的交点为．（1）求过点且平行于直线：的直线方程；（2）求过点且垂直于直线：的直线方程．19. 已知函数，．（1）求的取值范围，使在闭区间上是单调函数；（2）当时，函数的最大值是关于的函数求．20. 如图所示，正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F分别是AB，AA 1 的中点．求证：（1）E，C，D 1 ，F四点共面；（2）CE，D 1 F ，DA三线共点．21. 如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面平面；（3）求证：直线平面．22. 已知函数且的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递减；（3）求不等式的解集：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
18级新高一入学六校联考数学卷(含答案)
ABBF(1,0)P =x 1=y 0=-+y x 1B 3B ⎩=⎨⎧=-b k 11⎩-=+⎨⎧=-+k b k b 4554,B 3B =+y kx b +PB PB 2P P x BB 3-B (5,4)3x B 2B (5,4)2-B (4,5)=5=+41-+⨯⨯22411121++x x (2)(21)安徽六校教育研究会2018级高一新生入学素质测试高一数学试题参考答案A.选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分）B.填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分）11． 12． 1:2 13． 14．0C.（本大题共4小题，每题5分，满分20分）15．解：原式= . ……………………5分 16．解：（1）如图所示△A 1B 1C 1；……………………1分（2）如图所示△A 2B 2C 2；……………………2分（3）如图，点，点，作关于轴对称的点，连接交轴于点，此点即为所求点，即此时最小. 设一次函数的图像经过点和，则有解之得，所以经过点和的直线对应一次函数解析式为，当时，，故点的坐标为.… …5分17．解：如图，过B 作BF ⊥AD 于F ，在Rt △ABF 中，∵sin ∠BAF =，∴BF =ABsin ∠BAF =2sin 45°≈1.414， ∴真空管上端B 到AD 的距离约为 1.414BC BE =AB 2=AB CBEBA ∽ABC EBA ∽ABC ∠=∠∠=∠C BAD ABC EBA ,++2),(2)P 或⎩⎩⎪⎪=+=-+⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪==-⎧⎧y y x x 552255=+-=+y x x yx 2(2)(4),212x y (,)P M ⊥P M x ∠=APB 90(4,4)P ∠=PBA 90-(2,1)P =y 1=+y x 221=-x 2P ∠=PAB 90++=++=+=+===∆∆∆∆S S S S S S S S S S S kOMF OGI OHI OJK 221811232333)(=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆S C F OE MF OE S OMF 2222111112==ME MF C F 212C E 2F EF M =ME MF =GI IH GH I ==IH OI GIME OM MFM OJ C E 2JK GH C E 2=xy 36==m k 6,36+=m m k 4(3)6xkC m (,6)2+A m (3,4)2⨯ADED∴四边形BFDC 是矩形，∴BF =CD ，BC =FD ．在Rt △EAD 中，∵tan ∠EAD =，∴ED =ADtan ∠EAD =1.614tan 30°≈0.932，∴CE =CD -ED =1.414-0.932=0.482≈0.48，∴安装铁架上垂直管CE 的长约为0.48米．……………………5分18．解：（1）在图1中，由题意，点，点，又点A 2、C 2均在反比例函数y =的图象上，所以有，解之得.反比例函数解析式为.……………………2分（2）在图2中，∥∥，设和相交于点，则有. 因为为中点，所以，所以，即点为中点. 又点为中点，所以.所以，所以. ……………………5分D.（本大题共2小题，每题6分，满分12分） 19．解：分三种情况如下：（1）若，则的横坐标为，代入到方程中得纵坐标，故此时点的坐标为； ……………………1分（2）若，同理求得点的坐标为； ……………………2分（3）若，作轴于点，设点的坐标为，根据射影定理，得………………………4分联立消元，解得； 故点的坐标为．……………………6分 20．解：（1） ∴△△ ……………1分△△ ∴• ……………………3分∠=∠BPM BCA ∠=∠BPM BAC ∆ABC ∆PBM ∠=∠PBM ABC -A B C (8,0),(4,0),(0,4)=--+y xx 824112∴=-m 21<-m 181>m 0=-m 21=m 0+=m m 18902∴++=x x b 012=+OA OB OC ∴=-=OA x OBx ,12<>x x 0,012<-m 201>m 0∆>0<-m 181>m 0⎩+>⎨⎧∆>m m 18002t tt =-∴=10245245,12037t t t -=∴=886,247t 45A =sin 35r c =∴=5,10m =20A A >>sin 0,cos 0m m ==1220,4A A +=22sin cos 1A A m m A A m m +=-+=-+sin cos 255,sin cos 85π=-=sin sin(2)cos B A A ABC Rt +=a b c 222a b c ab +-+=224()4(2)0∴=BE BC AB 2BC BE =AB 2BE ∆RT BEG 在中，由勾股定理得由（1）知 •，……………6分E.（本大题共1小题，每题10分，满分10分） 21．解:(1)由题意得△=即在△中, ,则………………………………………………2分由,可得 又由,∴………………………………………………………4分(2)由已知由(1)可得或 ∴直角边分别为6,8……………………………………………………………………………6分 设正方形的边长为则 一、 若正方形两边在三角形两直角边上时,有…………………………………………………………………………8分 二、若正方形的一条边在三角形的斜边上时,有……………………………………………………………………10分F.（本大题共1小题，每题12分，满分12分）22．解：⑴ 由题意得： ，解得或……………………………………（2分） （注：若只有解出或得1分）. （2），，，…………………（4分） 即解得或. 又由（1）知或，，故. ………………………………（6分） （3）解法一：由（2）知：， ∵，要使∽，只需条件或成立即可.8= k3122=BA BCBM BP=k58=-k12123=BC BABM BPBM-kk22(,)833M-=⋅+ky x kk83=-+y x4=BA BCBM BP=BC BABM BP∆ABC∆PBM∠=∠PBM ABC-P k Q k(38,0),(0,)-A B C(8,0),(4,0),(0,4)∆ABCMBP=k3=k58=k3-=kk3831CNBN=OP CNOQ BN∠=∠QPO BCNtan tan∠=∠QPO BCN∠=∠BPM BCA=k58-=kk8321==PO OAOQ OC21∴，即，解之得.………………………………………………………（8分）（ⅱ）若，此时点P在线段OB上，如图，过点B作BN⊥AC，垂足为N，∴，∴，即，又，∴，解之得. …………………………………………（11分）综上可知：当或时，以、、为顶点的三角形与相似. …………………………………………（12分）解法二：由（2）知：，，∵，要使∽，只需条件或成立即可.又∵直线BC的解析式为………………①直线PQ的解析式为………………②联立①②解出点的坐标为.∴. …………………………………………（8分）（ⅰ）若，解得：.（ⅱ）若，即，解得：. …………………………………………（11分）综上可知：当或时，以、、为顶点的三角形与相似. ………………（12分）∆ABCMBP=k3=k5。
2019-2020学年安徽省合肥市六校高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年安徽省合肥市六校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1. 已知集合A ＝{x|−2≤x <2}，B ＝{x|x 2−2x −3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.[−1, 1] B.[−2, −1] C.[1, 2) D.[−1, 2)2. 设函数f(x)={x 2(x <1)x −1(x ≥1) ，则f[f(−4)]的值为（ ）A.15B.16C.−5D.−153. 已知角α的终边上一点P 的坐标为(sin2π3, cos2π3)，则sin α的值为（ ）A.12B.−12C.√32D.−√324. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=( ) A.34AB →−14AC →B.14AB →−34AC →C.34AB →+14AC →D.14AB →+34AC →5. 已知a =log 20.2，b =20.2，c =0.20.3，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <b D.b <c <a6. 已知sin (π3+α)=13，则cos (5π6+α)＝（ ）A.13 B.−13C.2√23D.−2√237. 函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的大致区间是( ) A.(−14, 0) B.(0, 14)C.(14, 12)D.(12, 34)8. 已知非零向量a →,b →满足|a →|=2|b →|，且(a →−b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ）A.π3B.π6C.5π6D.2π39. 幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+m−3在(0, +∞)时是减函数，则实数m 的值为（ ）A.2或−1B.−1C.2D.−2或110. 设函数f(x)=cos (x +π3)，则下列结论错误的是（ ）A.f(x)的一个周期为−2πB.f(x)在上(π2,π)单调递减C.y ＝f(x)的图象关于直线x =8π3对称D.f(x +π)的一个零点为x =π611. 已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则（ ） A.(a −1)(b −1)<0 B.(a −1)(a −b)>0 C.(b −1)(b −a)<0 D.(b −1)(b −a)>012. 函数f(x)=sin x+xcos x+x 2在[−π, π]的图象大致为( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）计算 (log 29)⋅(log 34)＝________．已知tan α=−13，tan (α+β)＝1，则tan β＝________．函数y ＝sin x −√3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________π3 个单位长度得到．若函数f(x)={(2b −1)x +b −1,(x >0)−x 2+(2−b)x,(x ≤0) 在(−∞, +∞)上为增函数，实数b 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤.）已知集合A ＝{x|a ≤x ≤a +3}，∁R B ＝{x|−1≤x ≤5}． （1）若A ∩B ＝⌀，求实数a 的取值范围；（2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．已知f(α)=2sin (π−α)cos (2π−α)tan (−α+π)tan (π+α)sin (−π−α)．（1）化简f(α)；（2）若α是第四象限角，且cos (3π2−α)=35，求f(α)的值．已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >0且a ≠1)． （1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）若0<a <1，判断函数f(x)在R 上的单调性，并证明．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且x ≤0时，f(x)=log 12(−x +1)．(1)求f(x)的解析式；(2)若f(a −1)<−1，求实数a 的取值范围．已知向量a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，|a →−b →|=4√1313． （1）求cos (α−β)的值；（2）若0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−45，求sin α的值．已知函数f(x)=sin (2x +π3)+sin (2x −π3)+2cos 2x −1，x ∈R ． （1）求函数f(x)的单调递减区间；（2）若函数y ＝f(x)−2a +1在[0,π2]上有两个零点，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年安徽省合肥市六校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合A＝{x|−2≤x<2}，B＝{x|x2−2x−3≤0}＝{x|−1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|−1≤x<2}＝[−1, 2)．2.【答案】A【考点】函数的求值求函数的值【解析】由于−4<1，将−4代入第一段的解析式求出f(−4)＝16；由于16>1，将16代入第二段上解析式求出f[f(−4)]的值．【解答】∵f(−4)＝16∴f[f(−4)]＝f(16)＝16−1＝153.【答案】B【考点】任意角的三角函数【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】∵角α终边上一点P的坐标是(sin2π3, cos2π3)，∴x＝sin2π3，y＝cos2π3，r＝|OP|＝1，∴sinα＝cos2π3=−12．4.【答案】A【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，EB→=AB→−AE→=AB→−12AD→=AB→−12×12(AB→+AC→)=34AB→−14AC→.故选A.5.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴c=0.20.3∈(0, 1)，∴a<c<b.故选B.6.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式可得cos(5π6+α)＝cos[π2+(π3+α)]＝−sin(π3+α)，利用条件求得结果．【解答】cos(5π6+α)＝cos[π2+(π3+α)]＝−sin(π3+α)=−13，7.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】确定f(0)=1−3=−2<0，f(12)=√e−1>0，f(14)=√e4−2=√e4−√164<0，f(1)=e+4−3=e+1>0，根据零点存在定理，可得结论． 【解答】解：∵ 函数f(x)=e x +4x −3在R 上是增函数， 求解：f(0)=1−3=−2<0， f(12)=√e −1>0，f(14)=√e 4−2=√e 4−√164<0， f(1)=e +4−3=e +1>0， ∴ 根据零点存在定理，可得函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的大致区间是(14, 12).故选C ． 8.【答案】 A【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】由题意，计算cos θ的值，从而求得a →与b →的夹角θ的值． 【解答】非零向量a →,b →满足|a →|=2|b →|， 且(a →−b →)⊥b →，则(a →−b →)⋅b →=0， 即a →⋅b →=b →2=|b →|2； 所以cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=|b →|22|b →|×|b →|=12，又θ∈[0, π]，所以a →与b →的夹角为θ=π3． 9. 【答案】 B【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得{m 2−m −1=1m 2+m −3<0，由此解得m 的值．【解答】解：由于幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3在(0, +∞)时是减函数，故有{m 2−m −1=1m 2+m −3<0，解得m =−1. 故选B ． 10.【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由余弦型函数的图象与性质逐一分析四个选项得答案． 【解答】∵ f(x)=cos (x +π3)，∴ T =2π2=π，则−2π是f(x)的一个周期，故A 正确；由x ∈(π2,π)，得x +π3∈(5π6, 4π3)，可知函数f(x)=cos (x +π3)在(π2,π)上先减后增，故B 错误；由f(8π3)＝cos (8π3+π3)＝cos 3π＝−1，可知y ＝f(x)的图象关于直线x =8π3对称，故C 正确；当x =π6时，f(x +π)＝f(π6+π3+π)＝cos3π2=0，∴ f(x +π)的一个零点为x =π6，故D 正确．∴ 错误的结论是B ， 11. 【答案】 D【考点】不等式的基本性质 【解析】根据对数的运算性质，结合a >1或0<a <1进行判断即可． 【解答】若a >1，则由log a b >1得log a b >log a a ，即b >a >1，此时b −a >0，b >1，即(b −1)(b −a)>0，若0<a <1，则由log a b >1得log a b >log a a ，即b <a <1，此时b −a <0，b <1，即(b −1)(b −a)>0， 综上(b −1)(b −a)>0， 12.【答案】 D【考点】函数图象的作法 函数的图象【解析】由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A ，然后计算f(π)，判断正负即可排除B ，C ． 【解答】解：∵ f(x)=sin x+xcos x+x 2，x ∈[−π, π]， ∴ f(−x)=−sin x−xcos (−x)+x =−sin x+xcos x+x =−f(x)， ∴ f(x)为[−π, π]上的奇函数，因此排除A ；又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0，因此排除B，C.故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）【答案】4【考点】对数的运算性质【解析】把真数写成幂的形式，然后运用对数式的性质化简计算．【解答】解；(log29)⋅(log34)＝(21og23)⋅(21og32)=4lg3lg2×lg2lg3=4．【答案】2【考点】两角和与差的三角函数【解析】由题意利用两角差的正切公式，求得tanβ的值．【解答】∵已知tanα=−13，tan(α+β)＝1，则tanβ＝tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=2，【答案】π3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】令f(x)＝2sin x，则f(x−φ)＝2in(x−φ)，依题意可得2sin(x−φ)＝2sin(x−π3)，由−φ＝2kπ−π3(k∈Z)，可得答案．【解答】∵y＝sin x−√3cos x＝2sin(x−π3)，令f(x)＝2sin x，则f(x−φ)＝2in(x−φ)(φ>0)，依题意可得2sin(x−φ)＝2sin(x−π3)，故−φ＝2kπ−π3(k∈Z)，即φ＝−2kπ+π3(k∈Z)，当k＝0时，正数φmin=π3，【答案】[1, 2]【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】由题意可得{2b−1>0b−1≥02−b2≥0，解此不等式组求得实数b的取值范围．【解答】∵函数f(x)={(2b−1)x+b−1,(x>0)−x2+(2−b)x,(x≤0)在(−∞, +∞)上为增函数，∴{2b−1>0b−1≥02−b2≥0，解得1≤b≤2，故实数b的取值范围是[1, 2]，三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤.）【答案】∵集合A＝{x|a≤x≤a+3}，∁R B＝{x|−1≤x≤5}．∴B＝{x|x<−1或x>5}，若A∩B＝⌀，则有：{a≥−1a+3≤5，解得−1≤a≤2，∴实数a的取值范围是[−1, 2]．集合A＝{x|a≤x≤a+3}，B＝{x|x<−1或x>5}，若A∩B＝A，则有A⊆B，∴a+3<−1或a>5，即a<−4或a>5．∴实数a的取值范围是(−∞, −4)∪(5, +∞)．【考点】交集及其运算【解析】（1）先求出B＝{x|x<−1或x>5}，再由A∩B＝⌀，得{a≥−1a+3≤5，由此能求出实数a的取值范围．（2）若A∩B＝A，则有A⊆B，从而a+3<−1或a>5，由此能求出实数a的取值范围．【解答】∵集合A＝{x|a≤x≤a+3}，∁R B＝{x|−1≤x≤5}．∴B＝{x|x<−1或x>5}，若A∩B＝⌀，则有：{a≥−1a+3≤5，解得−1≤a≤2，∴实数a的取值范围是[−1, 2]．集合A＝{x|a≤x≤a+3}，B＝{x|x<−1或x>5}，若A∩B＝A，则有A⊆B，∴a+3<−1或a>5，即a<−4或a>5．∴实数a的取值范围是(−∞, −4)∪(5, +∞)．【答案】f(α)=2sinαcosα(−tanα)tanαsinα=−2cosα．cos (3π2−α)=−sin α=35，所以sin α=−35， 又α是第四象限角， 故cos α=45．即f(α)=−85．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 运用诱导公式化简求值【解析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可得解．（2）利用诱导公式可求sin α=−35，利用同角三角函数基本关系式可求cos α=45，即可计算得解．【解答】 f(α)=2sin αcos α(−tan α)tan αsin α=−2cos α．cos (3π2−α)=−sin α=35， 所以sin α=−35，又α是第四象限角， 故cos α=45． 即f(α)=−85．【答案】函数的定义域为R ，f(−x)=a −x −1a +1=1−a x1+a =−f(x)． 有f(−x)＝−f(x)，所以f(x) 是奇函数； 设x 1<x 2(x 1, x 2∈R)，f(x 1)−f(x 2)=a x 1−1a x 1+1−a x 2−1a x 2+1=2(a x 1−a x 2)(a x 1+1)(a x 2+1)．当0<a <1时，a x 1>a x 2，有f(x 1)>f(x 2)，所以f(x) 在R 上是减函数． 【考点】函数单调性的性质与判断 函数奇偶性的性质与判断 奇偶性与单调性的综合【解析】（1）因为定义域为R ，化简求出f(−x)＝−f(x)可得为奇函数； （2）由判断函数单调性的定义可得出函数为减函数． 【解答】函数的定义域为R ，f(−x)=a −x −1a −x +1=1−a x 1+a x=−f(x)．有f(−x)＝−f(x)，所以f(x) 是奇函数； 设x 1<x 2(x 1, x 2∈R)，f(x 1)−f(x 2)=a x 1−1a x 1+1−a x 2−1a x 2+1=2(a x 1−a x 2)(a x 1+1)(a x 2+1)．当0<a <1时，a x 1>a x 2，有f(x 1)>f(x 2)，所以f(x) 在R 上是减函数． 【答案】解：(1)令x >0，则−x <0， f(−x)=log 12(x +1)=f(x)，∴ x >0时，f(x)=log 12(x +1)，则f(x)={log 12(x +1)(x >0),log 12(−x +1)(x ≤0).(2)∵ f(x)=log 12(−x +1)在(−∞, 0]上为增函数，∴ f(x)在(0, +∞)上为减函数， ∵ f(a −1)<−1=f(1)， ∴ |a −1|>1， ∴ a >2或a <0．【考点】对数函数的单调性与特殊点 函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求函数f(x)的解析式；（2）若f(a −1)<−1，将不等式进行转化即可求实数a 的取值范围 【解答】解：(1)令x >0，则−x <0，f(−x)=log 12(x +1)=f(x)，∴ x >0时，f(x)=log 12(x +1)，则f(x)={log 12(x +1)(x >0),log 12(−x +1)(x ≤0).(2)∵ f(x)=log 12(−x +1)在(−∞, 0]上为增函数，∴ f(x)在(0, +∞)上为减函数， ∵ f(a −1)<−1=f(1)， ∴ |a −1|>1， ∴ a >2或a <0． 【答案】∵ a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，| ∴ a →−b →=(cos α−cos β, sin α−sin β )．∴ |a →−b →|2＝(cos α−cos β)2+(sin α−sin β )2＝2−2cos (α−β)=1613， ∴ cos (α−β)=513．∵ 0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−45， ∴ cos β=35，且0<α−β<π．又∵ cos (α−β)=513，∴ sin (α−β)=1213，∴ sin α＝sin (α−β+β)＝sin (α−β)cos β+cos (α−β)⋅sin β=1213×35+513×(−45)=1665．【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用向量模的计算方法，结合差角的余弦公式，即可求cos (α−β)的值； （2）利用sin α＝sin (α−β+β)＝sin (α−β)cos β+cos (α−β)⋅sin β，可得结论． 【解答】∵ a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，| ∴ a →−b →=(cos α−cos β, sin α−sin β )．∴ |a →−b →|2＝(cos α−cos β)2+(sin α−sin β )2＝2−2cos (α−β)=1613， ∴ cos (α−β)=513．∵ 0<α<π2，−π2<β<0，且sin β=−45， ∴ cos β=35，且0<α−β<π．又∵ cos (α−β)=513，∴ sin (α−β)=1213，∴ sin α＝sin (α−β+β)＝sin (α−β)cos β+cos (α−β)⋅sin β=1213×35+513×(−45)=1665．【答案】函数f(x)=sin (2x +π3)+sin (2x −π3)+2cos 2x −1＝sin 2x cos π3+cos 2x sin π3+sin 2x cos π3−cos 2x sin π3+cos 2x ＝sin 2x +cos 2x =√2sin (2x +π4)．令2kπ+π2≤2x +π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得：kπ+π8≤x ≤kπ+5π8(k ∈Z)．故函数f(x)的单调递减区间为：[kπ+π8,kπ+5π8](k ∈Z)．函数y ＝f(x)−2a +1在[0,π2]上有两个零点，等价于方程f(x)＝2a −1在[0,π2]有 两个不等的实根，即函数f(x)在[0,π2]上的图象与直线y ＝2a −1有两个不同的交点． 作出函数f(x)在[0,π2]上的图象，由1≤2a −1<√2得：1≤a <√2+12．【考点】函数与方程的综合运用 两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数f(x)=√2sin (2x +π4)．通过正弦函数的单调性求解函数的单调减区间即可．（2）函数y ＝f(x)−2a +1在[0,π2]上有两个零点，等价于函数f(x)在[0,π2]上的图象与直线y ＝2a −1有两个不同的交点．作出函数f(x)在[0,π2]上的图象，列出不等式求解即可． 【解答】函数f(x)=sin (2x +π3)+sin (2x −π3)+2cos 2x −1＝sin 2x cos π3+cos 2x sin π3+sin 2x cos π3−cos 2x sin π3+cos 2x ＝sin 2x +cos 2x =√2sin (2x +π4)．令2kπ+π2≤2x +π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得：kπ+π8≤x≤kπ+5π8(k∈Z)．故函数f(x)的单调递减区间为：[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z)．函数y＝f(x)−2a+1在[0,π2]上有两个零点，等价于方程f(x)＝2a−1在[0,π2]有两个不等的实根，即函数f(x)在[0,π2]上的图象与直线y＝2a−1有两个不同的交点．作出函数f(x)在[0,π2]上的图象，由1≤2a−1<√2得：1≤a<√2+12．。