苏州立达中学必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(包含答案解析)

【详解】
因为 ，所以
，
因为 ，所以 ，所以由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间是 ，
故选：A.
3．B
解析：B
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简 ，再利用三角函数的性质求解即可.
【详解】
故最大值为2，A错
，故关于 对称，B对
最小正周期为 ，C错
解得 ， 和 都是零点，故D错.
故选：B
【点睛】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为 ，最大值为 ，最小值为 ；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx的形式．
综上，真命题的序号是①②③.
故答案为：①②③.
【点睛】
三角函数的性质分析一般用数形结合，图象的简化十分重要。本题考查命题真假的判断，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式可求的值进而根据同角三角函数基本关系式即可求解【详解】解：因为所以因为所以所以则故答案为：
解析：
【分析】
由图象 ，求得 ，再根据 ，求得 ，从而求得函数解析式，再根据 ，由函数 图象的对称轴为直线x=t求解.
【详解】
由图象知： ，即 ，
则 ，
由“五点法”得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以函数 图象的对称轴为直线x=t，
则 ，
所以 ，
解得 ，
当k=0时，t取到了最小正值为 .
令 ，
解得 ，
所以函数 的单调减区间是 ，
故选：A
二、填空题
13．【分析】由是最大值点结合正弦函数的最大值可得的表达式再求得的最小值即可【详解】由可知时函数取得最大值故有解得所以最小值为故答案为：
解析：
【分析】
由 是最大值点，结合正弦函数的最大值可得 的表达式，再求得 的最小值即可．
【详解】
由 可知 时函数取得最大值.
（1）求 的值；
（2）求 的最小值及 取最小值时 的集合；
（3）求 的单调递增区间.
26．已知 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果.
【详解】
.
故选：C.
2．A
解析：A
【分析】
根据三角恒等变换公式化简 ，结合 的范围，可得选项.
① （或 ，函数 的周期是函数 周期的一半；② 不是周期函数．
18．【分析】利用三角恒等变换公式得到求出后进而求出cos2即可【详解】由题意可知解得则故答案为
解析：
【分析】
利用三角恒等变换公式，得到 ，求出 后，进而求出cos2 即可
【详解】
由题意可知， ，解得 ，则
故答案为 .
19．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：
解析：①
【分析】
利用 与 的关系确定①②的周期，在给定区间上去掉绝对值符号后确定单调性，化简 和 后可得其性质，从而判断③④
【详解】
周期是 ， 时， 是增函数，①满足题意；
周期是 ， 时， 是减函数，②不满足题意；
，周期是 ，③不满足题意；
不是周期函数，④不满足题意．
故答案为：①．
【点睛】
结论点睛：本题考查三角函数的周期性与单调性，解题时可利用如下结论：
解析：
【分析】
根据条件分别求 ， ， ，再代入求两角和的正弦
【详解】
，且 是第二象限角，
， ，
.
故答案为：
20．【分析】由图象求得再根据求得从而求得函数解析式再根据由函数图象的对称轴为直线x=t求解【详解】由图象知：即则由五点法得所以即因为所以所以又因为所以函数图象的对称轴为直线x=t则所以解得当k=0时t取
故有 ，解得 ，所以最小值为 .
故答案为： ．
14．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为：
解析：
【分析】
根据扇形的弧长公式，即可求解.
【详解】
由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为 .
故答案为： .
15．①②③【分析】可把中的整体当作来分析结合三角函数的图象与性质即可得解【详解】由于恰有4个零点令由有4个解则解得①即由上述知故的值有且仅有个正确；②当时当时解得又故存在使得在上单调递增正确；③而所以可
（2）求函数 在区间 上的单调增区间.
23．已知 ．
（1）求函数 的单调递减区间：
（2）若函数 在区间 上有唯一零点，求实数 的取值范围.
24．已知函数 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）从① ， ；② ， 这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数 在 上的最小值，并求函数 的最小正周期．
25．设函数 .
4．A
解析：A
【分析】
将 化为 , 化为 后，利用两角差的余弦公式可求得结果.
【详解】
．
故选：A．
5．C
解析：C
【分析】
直接化简求值即可.
【详解】
解： .
故选：C.
6．B解析：B【分源自】由正弦函数的性质可得 ，结合已知单调区间列不等式组求 解集即可.
【详解】
由函数解析式知： 在 上单调递增，
∴ ， 单调递增，
A．1B．2C． D．4
10．若 ，则 等于（）.
A． B． C． D．
11．已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
12．函数 的单调减区间是（）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．设函数 ，若 对任意的实数 都成立，则 的最小值为___________________.
14．在半径为2米的圆形弯道中， 角所对应的弯道为_________．
函数 在 上的图象如图：
由图可知实数 应满足 或 ，
∴ 或 ，
故实数 的取值范围 或 .
【点睛】
关键点点睛：转化为函数 在 上的图象与 的图象有唯一交点，根据图象求解是解题关键.
24．（Ⅰ）1；（Ⅱ）选择条件①，最小正周期为 ，在 取得最小值 ；选择条件②，最小正周期为 ，在 取得最小值 ．
解析：D
【分析】
先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定 ，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值.
【详解】
因为
，
由题意知 的最小正周期为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 ，
因此 ，
所以函数 的最小值为 ．
故选：D.
9．B
解析：B
【分析】
根据正弦型函数图象性质确定函数 的最小正周期 ，再根据最高点与最低点的距离是5，可列出方程 ，从而解得 的值.
所以不妨取 ，则 ，即 在 取得最小值，
所以 ，此时 ，又 ，所以此时不符合题意，
取 ，则 ，即 在 取得最小值，
所以 ，此时 ，当 时， 满足题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出 ，得出 ，再利用正弦函数取得最小值的点，求得 的值，属于中档题．
8．D
故答案为： .
【点睛】
方法点睛：根据三角函数 的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求 、 ， ；
（2）求出函数的最小正周期 ，进而得出 ；
（3）取特殊点代入函数可求得 的值.
三、解答题
21．（1） ；（2）最小值为1，最大值为4．
【分析】
（1）由二倍角降幂，由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质可求得最小正周期；
23．（1） ；（2） 或 .
【分析】
（1）化简 ，利用正弦函数的递减区间列式可解得结果；
（2）转化为函数 在 上的图象与 的图象有唯一交点，根据图象可得结果.
【详解】
（1）
，
令 ， ，解得： ， ，
∴ 的单调递减区间为 .
（2）由（1）知，函数 ，
在 上有唯一零点等价于 在 上有唯一实根，
设 ， ，依题意可知 与 的图象有唯一交点，
15．设函数 ， ，若 恰有 个零点，则下述结论中：① 恒成立，则 的值有且仅有 个；②存在 ，使得 在 上单调递增；③方程 一定有 个实数根，其中真命题的序号为_________.
16．若 ， ，则 __________.
17．下列函数中，以 为周期且在区间 单调递增的是______.
① ；② ；③ ；④
又∵ 在区间 上单调递增，
∴ ，解得 ，所以当 时，有 ，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：利用整体代入法得到 ，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.
7．D
解析：D
【分析】
利用三角函数的最值，取自变量 、 的特值，然后判断选项即可.
【详解】
因为函数 的周期为 ，由题意可得： ，
若 ，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有 ，
【详解】
解：函数 的最小正周期
函数 在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，
，解得 .
故选：B.
【点睛】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为 或 的形式，则最小正周期为 ，最大值为 ，最小值为 ；奇偶性的判断关键是解析式是否为 或 的形式．
10．A
解析：A
【分析】
22．（1） ， ， ；（2）
【分析】
（1）由函数 的部分图象求解析式，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式．